1 Lineární prostory a podprostory

Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C nad tělesem C.. C nad tělesem R. 3. R nad tělesem C. 4. R nad tělesem Q. 5. Q nad tělesem R. 6. C nad Z. Je Z těleso? 7. {a + b + c 5 a, b, c Q} nad tělesem Q, R, či C. Řešení. Postupně:. Ano, je.. Ano, je. 3. Ne, problém u R nad tělesem C je ten, že R má být množina vektorů a C množina skalárů, a pro libovolný skalár z C a libovolný vektor r R má být z r znovu vektorem z R. Ale z r je obecně komplexní číslo, ne vždy číslo reálné. 4. Ano, je. 5. Ne, u Q nad tělesem R máme podobný problém jako výše: pokud jsou našimi vektory všechna racionální čísla a skaláry mají být všechna reálná čísla, pak by pro libovolné r R a libovolné q Q měl být součin r q znovu prvkem Q. Ale to obecně neplatí: příkladem je třeba q = a r =. 6. Z není těleso, takže C nad Z nemůže být lineárním prostorem. Proč není Z tělesem? Například proto, že číslo nemá v Z multiplikativní inversi: neexistuje a Z takové, aby a =. 7. Ano, ne, ne. Proč například není {a + b + c 5 a, b, c Q} nad tělesem R lineárním prostorem? Vezměme reálné číslo 7 a vektor + + 5. Pak 7 + + 5 je rovno 7, a toto číslo v množině {a + b + c 5 a, b, c Q} není. Cvičení. Uvažujte R nad R. Vymyslete příklad podmnožiny R, která je. uzavřená na sčítání i na násobení skalárem,. uzavřená na sčítání, ale ne na násobení skalárem, 3. uzavřená na násobení skalárem, ale ne na sčítání,

4. neuzavřená jak na sčítání, tak na násobení skalárem. Řešení. Postupně:. Třeba celé R je podmnožinou R, a přitom je určitě uzavřené jak na sčítání vektorů, tak na násobení skalárem.. Třeba množina x { R x, y }. y Uzavřená na sčítání je: když vezmeme dva vektory u = koeficienty, i jejich součet u + v u + v = u + v u u a v = v v s nezápornými má nezáporné koeficienty. Přitom daná množina není uzavřená na násobení skalárem: vezměme například vektor u = a skalár. Součin = už v zadané množině není. 3. Sjednocení os x a y. 4. Třeba množina { }. Cvičení 3. Může lineární prostor nad R obsahovat. přesně vektorů,. přesně vektor, 3. přesně vektory, 4. nekonečně mnoho vektorů? Pokud ano, udejte příklad, pokud ne, dokažte. Řešení 3. Postupně:. Ne, každý lineární prostor obsahuje přinejmenším nulový vektor.. Ano, třeba triviální lineární prostor s množinou vektorů { o}. 3. Předpokládejme, že máme lineární prostor přesně se dvěma vektory: s nulovým vektorem o a s jedním nenulový, vektorem řekněme v. A jaký vektor by pak byl v? Buď v = o, nebo v = v. Pokud v = o, tak vydělením dvěma získáváme v = o = o, což je spor. Pokud v = v, pak odečtením v od obou stran rovnosti získáme v = o což je znovu spor. Proto žádný lineární prostor nad tělesem reálných čísel nemůže mít právě dva vektory. 4. Ano, např. R nad R obsahuje nekonečně mnoho vektorů.

Cvičení 4. Ať M je podmnožina R nad R, Je M lineárním podprostorem R? Řešení 4. Ano, protože M = { M = { = x } = = x }. R } = span x a každá množina vektorů tvaru spanx pro nějakou množinu vektorů X R je lineárním podprostorem R. Cvičení 5. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:. { + =, x, y R} je lineárním podprostorem R.. { 3. { 4. { 5. { 6. { 7. { 8. { 9. {. {. {. { +, x, y R} je lineárním podprostorem R. + =, x, y C} je lineárním podprostorem C. =, x, y R} je lineárním podprostorem R. x =, x, y R} je lineárním podprostorem R. x + =, x, y R} je lineárním podprostorem R. x =, x, y R} je lineárním podprostorem R. x, x, y R} je lineárním podprostorem R. x >, >, x, y R} je lineárním podprostorem R. x, y Z} je lineárním podprostorem R. x =, x, y R} je lineárním podprostorem R. = 3x, x, y R} je lineárním podprostorem R. 3

3. { x =, x, y R} je lineárním podprostorem R. Řešení 5. Postupně:. Ano. Při bližším zkoumání totiž vidíme, že daná množina obsahuje pouze nulový vektor.. Ne. Daná množina je kružnicí s poloměrem procházející počátkem. Zjevně v ní například leží vektor, a přitom vektor už v ní neleží. 3. Ne. V dané množině leží například vektory množině neleží. 4. Ne. Vektory a 5. Ano. { i a i, přitom jejich součet v dané množině leží, přitoom jejich součet x =, x, y R} = { a span lineárním podprostorem je. x R } = span, 6. Ano. { x x + =, x, y R} = { R } = span, x a span lineárním podprostorem je. 7. Ne. { x =, x, y R} = span span, + i + i už v už v množině neleží. a sjednocení os x a y podprostorem R není. x 8. Ne. Daná množina obsahuje vektory, pro které platí, že x i y jsou obě nezáporná nebo y obě nekladná. Tedy do dané množiny vektorů patří například vektory a. Jejich součtem ale získáme vektor, jehož souřadnice mají opačná znaménka. 9. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor.. Ne. Například s vektorem daná množina neobsahuje jeho -násobek.. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor. 4

. Ano. { x = 3x, x, y R} = { R } = span, 3x 3 a span lineárním podprostorem je. 3 3. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor. Cvičení 6. Lineární prostor reálných polynomů v neurčíté x nad tělesem reálných čísel označíme jako R[x]. Množina polynomů stupně nejvýše n je označena jako R n [x]. Rozhodněte, která tvrzení jsou pravdivá:. {px px = ax + b, a, b R} je lineárním podprostorem R 3 [x],. {px px = a, a R} je lineárním podprostorem R 3 [x], 3. {px px = a +, a R} je lineárním podprostorem R 3 [x], 4. {px px R[x] má stupeň 3} je lineárním podprostorem R[x], 5. {px p =, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x], 6. {px p =, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x], 7. {px p = p, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x], 8. {px px, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x], 9. {px p x = px, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x],. {px p x = px, px R[x]} je lineárním podprostorem R[x], Řešení 6. Postupně:. Ano.. Ano. 3. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor. 4. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor. 5. Ano. 6. Ne. Daná množina ani neobsahuje nulový vektor. 7. Ano. 8. Ne. Daná množina například obsahuje polynom px =, ale neobsahuje jeho -násobek. 9. Ano.. Ano. 5

Cvičení 7. Ať W a W jsou lineární podprostory lineárního prostoru L nad R. Definujme součet W a W jako množinu W + W = { w + w w W, w W }.. Dokažte, že W W a W + W jsou lineární podprostory L, a že platí vztahy W W W W W + W.. Objasněte geometrický význam vztahů v předchozím bodu za pomoci dvou přímek procházejících počátkem v R. 3. Kdy je W W lineárním podprostorem L? 4. Dokažte, že W +W je nejmenším lineárním podprostorem L, který obsahuje W W. Neboli: dokažte, že pokud je S podprostorem L a obsahujícím W W, pak platí W + W S. Řešení 7. Postupujeme následovně:. Množina W W je lineárním podprostorem: a W W obsahuje nulový vektor, protože o W a o W. b W W je uzavřená na sčítání, neboť pro libovolné dva vektory u a v z množiny W W platí, že u W, u W, v W a v W. Jelikož jsou W i W uzavřené na sčítání, platí i u + v W a u + v W. Proto u + v W W. c W W je uzavřená na násobení skalárem: pro libovolný vektor u W W a libovolný skalár α platí: u W, u W, a z uzavřenosti W a W na násobení skalárem též α u W a α u W. Proto α u W W. Množina W + W je lineárním podprostorem: a Jelikož o W a o W, lze zapsat o jako součet vektorů o + o, proto o W + W. b Mějme vektor u = w + w z W + W kde w W a w W, a vektor u = w + w z W + W kde w W a w W. Pak u + u = w + w + w + w = w + w + w + w. Součet w + w leží ve W a součet w + w leží ve W, proto u + u leží ve W + W. Množina W + W je tedy uzavřená na sčítání vektorů. c Množina W +W je uzavřená na násobení skalárem: mějme vektor u = w + w W +W kde w W a w W. Pak pro jakýkoli skalár α R platí, že α u = α w + w = α w + α w. Protože α w W a α w W W i W jsou podprostory, je i α u = α w + α w ve W + W. Nyní zjistíme, zda platí vztahy W W W W W + W. 6

Inkluse W W W W platí vždy, využíváme jen známý fakt o množinách: průnik dvou množin je podmnožinou jejich sjednocení. Druhou inklusi W W W + W dokážeme následovně. Pro jakýkoli vektor w W W má platit w W + W. Pokud w W, pak ho můžeme zapsat jako součet w + o a o W, proto w W + W. Pokud w W, pak ho můžeme zapsat jako součet o + w a o W, proto w W + W.. Průnik dvou přímek procházejících počátkem je buď jen počátek, nebo, pokud jsou dané přímky totožné, celá přímka. Průnik tedy leží ve sjednocení daných přímek. Rovnost W W = W W platí právě tehdy, když jsou přímky totožné. Inkluse W W W +W geometricky znamená, že sjednocení přímek W a W leží v rovině W +W určené těmito přímkami. Pokud tedy W a W určují přímku. Může se stát, že W + W je znovu přímka: to platí tehdy, když jsou W a W totožné. 3. W W je lineárním podprostorem právě tehdy, když platí W W nebo W W. To dokážeme po částech. Zaprvé ukážeme, že pokud platí W W nebo W W, pak je W W lineárním podprostorem. Zadruhé ukážeme, že pokud neplatí W W ani W W, pak W W lineárním podprostorem není. a Když platí W W, tak W + W = W, a W je lineární podprostor. Podobně když W W, tak W + W = W, a W je lineární podprostor. b Když W W a W W, tak existuje vektor w W, w / W a vektor w W, w / W. Ukážeme, že pak součet w + w neleží ve W W, čili že neleží ani ve W, ani ve W. Kdyby w + w W, pak využijeme, že w W, čili i součet w + w w = w W. To je spor. Předpokládejme, že w + w W. Ale vektor w W, čili i součet w + w w = w W, a to je spor. Vektor w + w tedy neleží ve W W. 4. Máme dokázat, že pokud je S podprostorem L a obsahujícím W W, pak platí W +W S. Vezměme jakýkoli vektor w W + W. Platí, že w = w + w pro nějaké vektory w W a w W. Jelikož W W S, tak w S a w S. Ale S je lineární podprostor, takže i součet w + w = w S. Důkaz je hotov. Cvičení 8. Vymyslete příklad tří podprostorů vhodného lineárního prostoru L tak, aby platilo W W + W 3 W W + W W 3. Řešení 8. Zvolme například L = R 3 nad R, a podprostory W = span, W = span W 3 = span Výše uvedená nerovnost se pak dá snadno ověřit. 7

Cvičení 9. Ať W a W jsou netriviální podprostory lineárního prostoru L nad F. Součet W + W nazveme direktním součtem a budeme ho označovat jako W W, když lze každý vektor v W + W zapsat jako součet v = w + w, w W, w W právě jedním způsobem. Ukažte, že následující tvrzení jsou ekvivalentní:. W + W je direktním součtem.. Pokud w + w = o a w W, w W, pak w = w = o. 3. W W = { o}. Řešení 9. Dokážeme, že z. plyne., že z. plyne 3., že z 3. plyne., a tím bude ekvivalence všech tvrzení dokázána. Z. plyne.: Předpokládáme, že W + W je direktní součet. Když zjistíme, že pro nějaké vektory w W, w W platí w + w = o, máme ukázat, že pak nutně w = w = o. Ale vektor o W + W lze zapsat jako součet w + w = o právě jedním způsobem. Protože lze zapsat jako o + o = o, je nutně w = w = o. Z. plyne 3.: Předpokládáme, že kdykoli w + w = o pro w W a w W, pak w = w = o. Máme dokázat, že W W = { o}. Nulový vektor je vždy ve W i ve W, proto je i ve W W. Žádný jiný vektor v průniku není, jak nyní ukážeme. Vezměme si vektor w W W. Můžeme napsat, že w + w = o, kde w W a w W. Z předpokladu plyne, že w = o. Z 3. plyne.: Předpokládáme, že W W = { o}. Máme dokázat, že každý vektor v W +W lze zapsat jako součet v = w + w, w W, w W právě jedním způsobem. Co kdyby šel zapsat v dvěma způsoby? Zaprvé zadruhé Pak neboli v = w + w, w W, w W, v = w + w, w W, w W. w + w = w + w, w w = w w Vektor na levé straně rovnosti patří do W, vektor na pravé straně rovnosti patří do W, tedy oba patří do W W. To znamená, že w w = o, w w = o. Neboli w = w, w = w. Vektor v tedy lze zapsat jen jedním způsobem. 8

Cvičení. Rozhodněte, zda platí či neplatí následující tvrzení: Když je W podprostorem lineárního prostoru L nad R a když existuje právě jeden podprostor W takový, že L = W W, pak W = L. Řešení. Neplatí: Vezměme L = R nad R a W = { o}. Pak existuje právě jeden lineární podprostor W takový, že R = W W : W = R. Přitom W R. Cvičení. Mějme tři lineární podprostory W, W a W 3 lineárního prostoru L. definujeme jako Jejich součet W + W + W 3 = { w + w + w 3 w i W i, kde i =,, 3}. Ukažte na vhodném příkladu, že i když platí rovnosti W W = W W 3 = W W 3 = { o}, nemusí být W + W + W 3 direktním součtem, to jest, mohou existovat nenulové vektory w W, w W a w 3 W 3 tak, aby platilo w + w + w 3 = o. Řešení. Například pro L = R nad R a pro podprostory W = span, W = span, W 3 = span vidíme, že průnik každých dvou různých W i je { o}, a přitom např. + =. Cvičení. Označme jako CR lineární prostor reálných spojitých funkcí nad tělesem reálných čísel. Ať W CR je množina lichých reálných spojitých funkcí a ať W CR je množina sudých reálných spojitých funkcí. Ukažte, že:. W a W jsou podprostory CR,. CR = W W. Řešení. W i W jsou lineární podprostory CR: konstantně nulová funkce je sudá i lichá, součet sudých funkcí je sudá funkce, součet lichých funkcí je lichá funkce, násobek sudé funkce je sudá funkce, násobek liché funkce je lichá funkce. Každou reálnou funkci R R lze zapsat právě jedním způsobem jako součet sudé a liché funkce: kde sx = fx+f x a lx = fx f x. fx = lx + sx, 9