Skládání (interference) vlnění

Skládání (interference) vlnění Protože vlnění je ve své podstatě kitání (sostavy) hotných bodů, neůže nás překvapit, že existje jev skládání vlnění od (několika) různých zdrojů - který neznaená nic jiného, než že v každé bodě sostavy se skládají kity vyvolané těito zdroji, Podle princip sperpozice echanických pohybů se například dvě okažité výchylky hotného bod v dané ístě od dvo vlnění (tyto výchylky jso rčeny rovnicei vlnění) sečto v nejobecnější případě vektorově - do výsledné výchylky hotného bod - a tí vytvoří rovnici výsledného vlnění : ( x, y,z,t) ( x, y,z,t) + ( x, y,z,t) Je zřejé, že i jen z důvod obecných sěrů vektorů výchylek ůžee dostat při jejich sčítání dosti koplikované výsledky. Nejjednodšší bde jistě interference dvo stejně lineárně polarizovaných rovinných vln stejné vlnové délky. Pak totiž sčítáe poze skaláry, a protože rovinné vlny se popisjí stejnýi rovnicei jako bodové řady, ůžee tento problé převést na interferenci vlnění v bodové řadě. ) Uvaže nejprve, že obě vlnění postpjí ve stejné sěr osy x : Předpokládeje, že v bodové řadě existjí na dvo ístech (O a O ) dva zdroje vlnění, které kitají se stejno periodo, ají stejný sěr kitání a stejné fáze (nebo alespoň konstantní fázový rozdíl) to jso tzv. koherentní zdroje : ( O ) A sinω t ( O ) A sinω t nebo A sin( ω t + ϕ ) o

y x c O O c x x V kladné sěr osy x se poto šíří dvě stejně lineárně polarizovaná vlnění stejné vlnové délky. Fázová zpoždění obo vlnění v libovolné bodě, daná proběhntýi drahai obo vlnění ( x, x ), pak rčjí rovnice obo vlnění, tj. okažité výchylky v toto bodě : ( x,t) A sin( ω t k x ) ( x,t) A sin( ω t k x ) Výsledná výchylka bod je pak jejich jednodchý skalární sočte : ( x,t) ( x,t) + ( x,t) A sin( ω t k x ) + A sin( ω t k ) x Ve sledované bodě, tj. pro zadané hodnoty x a x tato rovnice znaená obyčejné skládání dvo rovnoběžných kitů stejné frekvence s různýi aplitdai (A, A ) a s různýi fázovýi konstantai : ϕ ϕ k x k x A ůžee tak v plné íře aplikovat naše dřívější poznatky o skládání rovnoběžných kitů : Výsledné kity (vlnění) jso opět haronické, stejné frekvence (vlnové délky). s výsledno aplitdo a fázovo konstanto, které se rčí např. graficko etodo poocí koplexních aplitd. Veli často zajíají fyziky i techniky - stejně jako při skládání kitů - extréní výsledky : a) Víe, že pro axi interference platí podínka na fázový rozdíl kitů : ϕ ϕ ± n π, n 0,,... Jestliže dosadíe za fázové konstanty a úhlový vlnočet : k k x ( k x ) ( x x ) ± π ± n π n π ( x x ) ± n π Pak po vynásobení vlnovo délko (a vykrácení) dostanee :

x x nebo : ± n x n n podínka axia interference x Výraz na levé straně je rozdíl vykonaných drah dráhový rozdíl vlnění a pro dosažení axiální výchylky (rovné sočt obo aplitd) sí být roven celočíselné násobk vlnové délky (sdé násobk poloviny vlnové délky) - vlny jso pak ve fázi. b) Pro interferenční ini pak z obecné podínky na fázový rozdíl kitů platí : ϕ ( n + ) π, n 0,,... ϕ ± Dostanee analogicky : π ( x x ) ± ( n + ) π a nakonec : x x podínka inia interference ( n + ) Dráhový rozdíl vlnění se tedy v případě inia sí rovnat liché násobk poloviny vlnové délky vlny jso pak v protifázi.. ) Předpokládeje další ožno sitaci - že dvě rovinné vlny (stejně lineárně polarizované a stejné vlnové délky) postpjí navzáje opačnýi sěry, například opět na ose x. Tato ožnost připadá v úvah v prostor ezi dvěa koherentníi zdroji, veli často se však realizje po odraz postpného vlnění od jediného zdroje na nějaké překážce (rozhranní dvo prostředí). Předpokládeje ještě pro axiální jednodchost příčné vlnění tj. výchylky v ose y, nlové fázové konstanty a stejné aplitdy : y y ( x,t) A sin( ω t k x) ( x,t) A sin( ω t + k x) Výsledná výchylka libovolného bod v ístě x je pak jejich skalární sočte : ( x,t) y ( x,t) + y ( x,t) A sin( ω t k x) + A sin( ω t + k x) y 3

Stejné aplitdy ůžee lehce vytknot : ( x,t) y ( x,t) + y ( x,t) A ( sin( ω t k x) + sin( ω t + k x) ) y A požijee znáý sočtový vzorec : y ( x,t) A sin( ω t) cos( k x) Tato rovnice je opět rovnicí nějakého vlnění (v bodové řadě, či rovinného), neboť popisje kitavý stav (výchylk) libovolného bod v libovolné čase, rozhodně se ovše nejedná o postpné vlnění (není to fnkce zpožděného čas) jso to tzv. stojaté vlny : y A cosk x sinω t stojaté vlnění U postpného vlnění totiž kitají všechny body se stejno aplitdo - ale s odlišno fází (která se v prostor šíří fázovo rychlostí). Ze získaného vztah však jasně vidíe, že v případě tohoto stojatého vlnění kitají všechny body se stejno fází - ale aplitdy jejich kitů jdo různé : A A cos k x aplitda stojatého vlnění Pozn. : podle této definice je tedy aplitda veličina kladná i záporná, na rozdíl od haronických kitů hotného bod, kdy je aplitda chápána jako kladné číslo nepřináší to však žádné ateatické potíže stále jde o axiální výchylk hotného bod, v kladné nebo záporné sěr. Prakticky to znaená, že všechny hotné body v bodové řadě se například v počáteční čase začínají sočasně vychylovat ze svých klidových hodnot a za stejno dob (rovno čtvrtině periody kit) všechny sočasně dosáhno svých axiálních hodnot tj. aplitdy A (viz obrázek níže). y A A cos kx x / / kitna kitna 4

Obrázek ná dobře kazje prostorové rozložení kitů na bodové řadě. Vidíe také, že ateaticky nijak nevadí, když je aplitda na některých ístech záporná znaená to poze, že hotné body se pohybjí v opačné sysl, než hotné body v ístech kladné aplitdy (přesně vzato jso tedy jejich kity v protifázi). Výchylky kitů (aplitda) je největší v ístech, která se nazývají kitny. Platí pro ně : cos k x ± Tedy v ístech, kde je : k x 0, ± π, ± π, ± 3π, Jestliže pro úhlový vlnočet požijee znáý vztah : π x 0, ± π, ± π, ± 3 π, Dostanee pro poloh kiten jednodcho podínk : x ± 3 0, ±, ±,, kitny stojatého vlnění Vzdálenost každých dvo sosedních kiten je tedy rovna polovině vlnové délky. Jak vidíe z obrázk, ezi kitnai jso ísta tzv. zly - ve kterých jso hotné body trvale v klid, tj. ají nlovo výchylk : cos k x 0 Tedy v ístech, kde je : k x ± π, ± 3π, ± 5π, Jestliže opět pro úhlový vlnočet požijee znáý vztah : π x ± π, ± 3π, 5π ±, Dostanee pro poloh zlů jednodcho podínk : x 3 ± 5 4 4 4 0, ±, ±,, zly stojatého vlnění Tedy i vzdálenost každých dvo sosedních zlů je rovna polovině vlnové délky a ezi zle a kitno je vždy čtvrtina vlnové délky. Jak ž bylo řečeno, je stojaté vlnění důležité lineárních útvarů (tělesa, kterých převažje jeden rozěr nad drhýi dvěa), po odraz postpného vlnění na konci (pevné nebo volné). Takový způsobe tedy kitají různé tyče, strny a vzdchové slopce je tedy zřejá aplikace například v akstice hdebních nástrojů. 5

3) Již kitů hotného bod jse zjistili, že prakticky nelze rozně složit kity různé frekvence, kroě případ blízkých frekvencí. Prozkoeje proto, jaký výsledek bde ít interference dvo stejně lineárně polarizovaných haronických vlnění (v bodové řadě či rovinných) šířících se stejný sěre, jejichž úhlové frekvence, vlnové délky a úhlové vlnočty se od sebe veli álo odlišjí, tedy : ω ω,, k k Předpokládeje opět pro axiální jednodchost, že vlny ají stejné aplitdy a nlové fázové konstanty, tedy : ( x,t) A sin( ω t k x) ( x,t) A sin( ω t k x) Výsledné vlnění, vzniklé složení těchto vln, pak bde popsáno rovnicí : ( x,t) ( x,t) + ( x,t) A sin( ω t k x) + A sin( ω t k x) Po vytkntí aplitdy ůžee aplikovat znáý vzorec pro sočet sinů : α + β sin α + sin β sin cos Dostanee tak : ( x,t) α β ω t k x t k x A sin + ω ( ω ) t ( k k ) x A sin + ω + cos cos ω t k x ω t + k x ( ω ω ) t ( k k ) x Jestliže označíe : ω + ω k ω + k k ω ω k k Pak lze výsledek zapsat jednodšeji : ( t k x) cos ( t x) A sin ω interference vlnění blízkých frekvencí 6

Protože jso všechny úhlové frekvence a všechny úhlové vlnočty zřejě prakticky stejné : ω ω ω k k k A tedy vzájené odchylky těchto veličin jso veli alé : ω 0 0 Můžee proto takové vlnění považovat za skoro haronické postpné vlnění s úhlovo frekvencí a úhlový vlnočte prakticky stejný s výchozíi vlnai : A sin( ω t k x ) Ale s aplitdo, která se velni poal ění s íste i čase : A A cos ( t x ) Uvaže konkrétně, co tyto zěny znaenají : ) Jestliže bycho sledovali časový průběh kitů rčitého hotného bod v bodové řadě, tedy se zvoleno konstantní sořadnicí : x konst Poto ve fázích sin a kosin vznikno konstantní členy: A sin A sin ( ω t k x) cos ( t x) ( ω t + ϕ ) cos ( t + ψ ) o Pro počátek osy - tedy bod s nlovo sořadnicí jso tyto konstanty ovše nlové a rovnice kitů bde ít nejjednodšší tvar : o ( t) ω cos ( t ) ( x 0, t ) ( t ) A ω sin Vidíe, že vznikly kvaziharonické kity s frekvencí přibližně stejno jako výchozí kity (vlny) a s veli poal proěnno aplitdo (protože ω 0 ) - to jso ale znáé kity, které vznikají při skládání rovnoběžných kitů blízké frekvence - tzv. rázy. Je zřejé, že hotné body v jiných ístech kitají v princip stejně, jen s fázovýi posvy, které způsobjí výše vedené konstanty. ) Uvaže dále, jak vypadá průběh vlnění na celé bodové řadě v nějaké rčité, zvolené čase, tedy za podínky : t konst 7

Poto ve fázích sin a kosin opět vznikno konstantní členy : A sin A sin ( ω t k x) cos ( t x) ( α k x) cos ( β x) V nlové čase pak bdo konstanty také nlové a rovnice bde ít nejjednodšší tvar : ( x, t ( k x) cos ( x ) 0 ) ( x ) A sin A A cos ( ω t x ) A sin ( ω t k x ) x { { { Protože je 0, ůžee vzniklé vlny považovat za kvaziharonické, s vlnovo délko stejno jako výchozí vlnění, jejichž aplitda se veli poal a periodicky ění (je odlovaná) vzniká tak obalová křivka ve tvar sinsové vlny s dloho vlnovo délko aplitdové odlace). (vlnová délka Toto vlnění ůžee popsat jako prostorovo řad skpin vln tzv. vlnové grpy (balíky, klbka). (Graficky se vlnové grpy podobají rázů ale ta byl proěnno čas - nyní jde o prostorové útvary jse přece na ose x!! ) 8

Vlnovo délk odlace lehce rčíe jako nejenší vzdálenost na ose x, po které se opakje průběh aplitdy. Protože fnkce kosins á period π bde platit : ( t x) ( t ( x + )) π Vyřešení dostanee : π π 4π Z obrázk je vidět, že šířka grpy vln je rovna právě polovině vlnové délky, tedy : x π x π Nalezli jse tak podivno sovislost ezi rozdíle vlnočtů požitých vln a šířko vlnového klbka čí větší bde rozdíl vlnočtů (tedy i rozdíl vlnových délek), tí enší vlnové klbko vznikne. Aplikací tohoto vztah při stdi pohyb ikročástice pak vznikla jedna z nejdůležitějších rovnic oderní kvantové fyziky tzv. Heisenbergovy relace nerčitosti. K veli zajíavý výsledků dále dojdee, jestliže bdee přeýšlet o to, co vlastně grpy vln v prostor dělají? - Jde o postpné vlnění, tedy zřejě postpjí pohybjí se - ve sěr osy x. Ano, a pohybjí se fázovo rychlostí? Zopakje si, co to vlastně je fázová rychlost? - Je to rychlost postp íst (ploch) stejné fáze vlnění, tj. fáze (argent) fnkce sins. Pro tato ísta tedy platí : ω t k x konst. Rovnici diferencjee : ω d t k d x 0 Pak podíl diferenciálů dráhy a čas je jistě rychlost postp těchto íst : c d x ω fázová rychlost vlnění dt k 9

Rychlost pohyb vlnového klbka bycho pak ohli rčit jako rychlost například jeho vrchol, nebo obecně jakéhokoliv ísta rčité aplitdy ůžee tto rychlost tedy definovat jako rychlost postp (pohyb) íst stejné aplitdy. V naší rovnici vlnění je aplitda dána vztahe: A A cos ( t x ) A tedy pro ísta stejné konstantní - aplitdy sí platit, že je konstantní argent (fáze) fnkce kosins : t x konst. Rovnici diferencjee : dt d x 0 A podíl diferenciálů dráhy a čas pak opět bde rychlost postp těchto íst íst stejné aplitdy, a celého klbka (při napohled zřejé předpoklad, že klbko neění tvar) : c gr d x dt Vidíe, výraz pro tto rychlost nazývá se grpová rychlost - je principiálně jiný, než pro rychlost fázovo. V liitě pro vlny veli blízké frekvence ůžee požít diferenciály : c gr dω dk grpová rychlost vlnění Dospěli jse tak k závažné poznatk : Vlnové balíky se pohybjí v prostor grpovo rychlostí, která je obecně odlišná od rychlosti fázové!! Další úvahy pak zásadně zesílí praktický i teoretický význa vlnových grp a jejich rychlosti. Rovnice onochroatického postpného vlnění (jedné frekvence a vlnové délky) : ( x,t) A sin ( ω t k x) popisje vlastně jen teoretický jev stav kitů prostředí který je v libovolné čase vždy rozprostřen od íns do pls nekonečna!! Sktečné zdroje (elektroagnetických) vln vysílače - ovše generjí bď neonochroatické vlnění (viz výše aplitdově odlovano vln ta vznikla sice jen z vln dvo frekvencí ale například při reálné přenos celého hdebního zvkového pása (0 Hz 0 khz) sí být složen celý takový interval nekonečného počt vln přito opět vznikají vlnové grpy), 0

nebo vysílače generjí přío časově ohraničené vlny plzy a ty lze ateaticky vždy vyjádřit jako složení (sočet) nekonečného počt vlnění z rčitého interval (ateatická Forierova analýza) a výsledke je opět grpa vln. V každé případě á tedy reálné vlnění for vlnových grp a tyto grpy přenášejí vysílano energii (a vysílané inforace). K toto závěr lze také dojít, když vážíe, že vlnová klbka obsahjí všechna axia vln (kitů) - a axia vždy rčjí celkovo energii kitavého pohyb (viz vzorec pro energii netlených i tlených kitů). Tedy celke : Energie vlnění (a přenášené inforace) se prostore šíří grpovo rychlostí. Proto je stanovení grpové rychlosti veli důležité a věnjee v následjících řádcích troch pozornosti : Víe, že pro výpočet grpové rychlosti síe derivovat úhlovo rychlost podle úhlového vlnočt (vlnového čísla). Znáe také obecný vztah (plyne také z předchozích vztahů pro fázovo rychlost) : c ω π f π c k Vidíe, že síe derivovat sočin dvo veličin - výsledek derivace bde proto principiálně záviset na to, jestli je fázová rychlost konstanta nebo fnkce. Tedy rozlišíe : ) Fázová rychlost vlnění v dané prostředí je konstantní, nezávisí na úhlové vlnočt tedy nezávisí ani na vlnové délce. Říkáe, že takové prostředí neá disperzi příklade je vak. Jestliže tedy platí : c konst. Pak je derivace úhlové rychlosti jednodchá : dω d c gr ( c k ) c dk dk Grpová rychlost v bezdisperzní prostředí je rovná fázové rychlosti. ) Drho ožností pak je, že fázová rychlost závisí na vlnové délce. Pak onochroatické vlny různých vlnových délek ají v dané prostředí různé fázové rychlosti prostředí á disperzi takové je běžné látkové prostředí, například sklo. (disperze rozptyl, rozklad vlnění na jednotlivé onochroatické vlny - každá se ve společné svazk šíří jino rychlostí a při vhodné experientální spořádání je lze od sebe i oddělit lo světla hranole).

V toto případě je tedy fázová rychlost fnkcí : c c ( ) c ( k ) Úhlová rychlost je pak koplikovanější fnkcí vlnočt než bezdisperzního prostředí : ω ( k ) c k c ( k ) k disperzní vztah (relace) A grpovo rychlost vypočítáe : c gr dω dk d dk ( c k ) c + k dc dk V toto případě se již grpová rychlost bde lišit od rychlost i fázové a je zřejé, že podle znaénka derivace ůže být větší i enší než fázová rychlost. Rozlišíe tedy dále : c a) Jestliže bde tato derivace záporná, tj. když fázová rychlost klesá s úhlový vlnočte (a tedy roste s vlnovo délko), pak grpová rychlost vždy vychází enší než fázová rychlost : dc c gr c + k < c dk To je případ tzv. norální disperze, ke které dochází například při šíření světelného vlnění skle. S rostocí vlnovo délko tedy ve skle roste fázová rychlost světla a klesá index lo skla (který je definován jako poěr rychlosti světla ve vak a v látce). Proto se na skleněné hranol nejéně láe světlo s největší vlnovo délko červené (760 n) a nejvíce se láe světlo s nejkratší vlnovo délko fialové (360 n). skleněný hranol stínítko bílé světlo

b) Jestliže fázová rychlost bde ít kladno derivaci, tj. když fázová rychlost roste s úhlový vlnočte (a tedy klesá s vlnovo délko), pak grpová rychlost vždy vychází větší než fázová rychlost : dc c gr c + k > c dk To je případ tzv. anoální disperze, ktero pozorjee látkových prostředí výrazně éně často ( některých látek a jen v okolí vlnových délek, které tyto látky silně absorbjí) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- konec kapitoly K. Rsňák, verze 05/00 3