. Potom (2) B pro danou periodickou funkci f ( ) x se nazývá Fourierova analýza.
|
|
- Jaromír Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce nhronické periodické vlny Fourierov nlýz Fourierův teoré: Funkce f ( x ) s prostorovou periodou ůže být rozvinut do řdy hronických funkcí s vlnovýi délki,, 3,,... etc. C + Ccos x+ ε + Ccos x+ ε + C3cos x+ ε () kde veličiny C i jsou konstnty. Je vhodné uprvit () poocí trigonoetrické identity ( + ε ) ( ) + ( ) C cos kx cos kx B sin kx kde k, C cosε B C sinε. Poto f x kx B kx () ( ) + cos( ) + sin ( ) kde jse první člen npsli jko z důvodů, které budou zřejé později. Proces určování koeficientů, B pro dnou periodickou funkci f ( ) x se nzývá Fourierov nlýz. Odvoďe nyní výrzy pro tyto koeficienty. Integruje nejprve obě strny vzthu () n libovolné intervlu rovnéu, npříkld od do nebo od do + nebo obecně od x do x +. Protože n tkovéto intervlu bude ( kx) dx ( ) sin. cos kx. dx pouze jeden člen bude nenulový, to tedy. dx. dx. dx bycho nlezli sin kx cos bkx. dx cos kx cos bkx. dx δ B, budee uset použít ortogonlity sinusodiálních funkcí, tj. b sin kx sin bkx. dx δ b
2 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce kde b jsou nenulová celá kldná čísl δ b je Kronekerovo delt, které je rovno nule pokud b rovno pokud b. bycho určili, vynásobe nyní obě strny vzthu () coslkx, kde l je kldné celé číslo, poto integruje přes prostorovou periodu. Pouze jeden člen bude nenulový, to člen z první suy, který odpovídá l levá strn: ( ) prvá strn: f x cos lkxdx. cos lkx. dx + cos kx.cos lkx. dx + B sin kx.cos lkx. dx δ l l Tedy cos kxdx.. Podobně vynásobíe-li vzth () sin lkx prointegrujee, dostnee B sin kxdx. Periodickou funkci f(x) s periodou lze tedy rozvést do Fourierovy řdy + coskx + B sin kx () kde k (vlnové číslo, prostorová frekvence) kde jsou koeficienty rozvoje, B definovány vzthy.cos kx. dx (3) B.sin kx. dx () dx. (5) Je zřejé, že bude-li f(x) sudá funkce, tj. f(-x) f(x), poto B Fourierův rozvoj bude obshovt pouze kosinové členy.
3 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Bude-li nopk f(x) lichá funkce, tj. f(-x) - f(x), poto, Fourierův rozvoj bude obshovt pouze sinové členy. Příkld : Rozvoj liché funkce x definovné n intervlu <,) s periodou ( k ) f ( x + ) f(x) Fourierův rozvoj - prvních 5 členů Fourierův rozvoj - prvních členů Fourierův rozvoj - prvních členů f(x) x Obr.. Funkce x, definovná n intervlu <,), s periodou, f ( x + ), její rozvoj do prvních pěti, deseti st členů Fourierovy řdy. x ( ) ( ) x dx x ( x)cosx. dx cosx. dx x.cosx. dx sin x cosx ( + x.sin x ) B ( x)sin x. dx sin x. dx x.sin x. dx cosx sin x ( + x.cosx ) 3
4 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce sin sin3 sin čili ( ) x x x f x sin x (sin x ) 3 Příkld : Rozvoj sudé funkce definovné n intervlu, pro x kde je kldné celé číslo pro x < s periodický rozšíření f ( x + ) dx dx x B coskx. dx coskx. dx sin x sin sin x sin kx. dx sin kx. dx cos cos cos Čili + kde koeficienty rozvoje jsou sin( ) sin( ).cos kx Konkrétně npříkld pro, (c) bude k rozvoj nbude tvru (viz. obr. ) + cos kx cos3kx + cos5kx
5 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce. f(x) koeficinety Fourierov rozvoje / / Α 3 Α 7 Α Α Α 5 Α 9 c k -. k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k Obr.. Obdélníkový puls jko liitní přípd,, (c). pro 8, (c) bude k rozvoj nbude tvru (viz. obr. b) + cos kx + cos kx + cos3kx cos5kx cos6kx cos7kx + cos9kx f(x) koeficinety Fourierov rozvoje Α Α Α Α 3 /8 /8 Α 5 Α 6 Α 7 Α 9 8 c Α Α Α 3 k -. k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k Obr. b. Obdélníkový puls jko liitní přípd, 8, (c). 5
6 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce.5 f(x) koeficinety Fourierov rozvoje Α Α Α 3 Α 7 6 c /6 /6 Α 9 Α Α Α Α 3 Α Α 5 Α Α Α 5 Α 6 k / Α 7 Α k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k k k 3k k 5k 6k 7k 8k 9k k Obr. c. Obdélníkový puls jko liitní přípd, 6, (c). Fourierov řd v koplexní tvru: + coskx + B sin kx + ikx e + e ikx + B e ikx e i ikx ( ib ). e ( ib ). e ikx Poto ( ) ikx ikx f x e (6) kde ( ib ) pro > (7) Zřejě (8) * ( + ib ) pro < (9) ( pro < je koplexně sdružené k pro > ), proto je f(x) vždy reálné. Koeficienty rozvoje řdy funkce f(x) nzýváe spektru funkce f(x). 6
7 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Zobecnění: S rostoucí periodou se hustot koponent podél osy k n Obr. zvyšuje, ztíco tvr obálkové funkce se neění. S rostoucí periodou se vzdálenost jednotlivých koponent (k) zenšuje, ž při přestnou být jednotlivé koponenty rozlišitelné. Jk se s rostoucí zenšuje k, usí růst i, by hodnot k nbývl zntelných hodnot. Jestliže k nhrdíe k (nbývjící diskrétních hodnot), jež se v liitě trnsforuje n k (tj. spojitou distribuci frekvencí). V liitě se tedy (k ) stne obálkovou funkcí uvedenou n Obr.. Vzrůst periody nde všechny eze prkticky znená, že nše funkce f(x) předstvuje jediný obdélníkový puls je tedy neperiodická. Integrál je vlstně liitní přípde součtu nekonečného počtu infiniteziálních eleentů. V liitní přípdě periody rostoucí nde všechny eze tedy usí být Fourierov řd nhrzen Fourierový integrále ( k)coskxdk + B( k)sin kxdk z předpokldu že () ( k) coskxdx B( k) sin kxdx () Podobnost s Fourierovou řdou je zřejá. Veličiny (k) B(k) jsou interpretovány jko kosinové sinové příspěvky s prostorovou frekvencí ezi k k+dk. Obecně hovoříe o Fourierově sinové či kosinové trnsforci. V přípdě obdélníkového pulsu ukážee, že je to kosinová trnsforce že (k) odpovídá obálkové funkci z obr.. Měje obdélníkový puls popsný funkcí f ( x) E pro x < L pro x > L Protože f ( x ) je sudá funkce, sinová trnsforce, B ( k ) bude nulová ( ) ( ) L L cos cos sin sin k L L k E E kl k f x kxdx E kxdx kx po vynásobení čittele i jenovtele L dostáváe sin kl k ( ) EL kl 7
8 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce E f(x) -L/ L/ x (k) E L 3 5 kl/ Obr. 3. Obdélníkový puls jeho trnsforce. Dosďe () do rovnice () Protože ( ) ( k)cos kxdk B( k)sinkxdk + cos kx f ( x ) cos kx dx dk sin kx f ( x ) sin kx dx dk + cos k x x cos kx cos kx+ sin kx sin kx ůžee vzth () uprvit do tvru () f ( x ) cos k ( x x) dx dk (3) Veličin v hrnté závorce je sudou funkcí k, proto zěn integrčních ezí vnějšího integrálu vede n f ( x ) cos k ( x x) dx dk Zřejě pltí (integrujee lichou funkci k ) i () f ( x ) sin k( x x) dx dk (5) 8
9 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce proto ůžee vzth () s uvážení (5) Eulerov vzorce vyjádřit jko koplexní tvr Fourierov integrálu Poto ikx ikx f ( x ) e dx e dk (6) ikx F( k) e dk (7) kde (při náhrdě integrční proěnné x x ) F k f x e dx (8) ( ) ( ) ikx O funkci F( k ) říkáe, že je Fourierovou trnsforcí (obrze) funkce f ( ) sybolicky vyjdřuje vzthe ( ) { ( )} x, což se F k F f x (9) Všiněte si, že ( k ) je reálnou částí F ( k ) B ( k ) její iginární částí, tedy F( k) ( k) + ib( k) () Koplexní veličinu F( k ) ůžee tké vyjádřit ve tvru ( ) ( ) F k ( k) i F k e φ () kde F( k ) je tzv. spektru reálných plitud (plitudové spektru) ( k ) (fázové spektru). Jko je F( k ) příou Fourierovou trnsforcí f ( x ), je f ( ) trnsforcí F( k ), což lze sybolicky vyjádřit jko - { F( k) } - { } { } φ reálná fáze x inverzní Fourierovou F F F () o funkcích f ( x ) F( k ) hovoříe jko o funkcích fourierovsky sdružených (Fourierův pár). Je-li funkce f funkcí čsu nísto prostorové souřdnice, poto ve vztzích výše zěníe x z t k, prostorovou frekvenci ( k x) z ω, úhlovou frekvenci. Poto bude iωt f () t F( ω) e dω (3) ( ) ( ) i ω ω t F f t e dt () 9
10 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Je dobré poznent, že pokud funkci f ( x ) ůžee vyjádřit jko součet funkcí, její Fourierov trnsforce (8) bude součte trnsforcí jednotlivých složek (jko ilustrci viz obr. ). Je-li tedy f( x) + f( x) poto F ( k) F{ } F{ f( x) } + F { f( x) } F( k) + F( k) f (x) f (x) f 3 (x)f (x)+f (x) x x x F (k) 8 6 F (k) 8 6 F 3 (k)f (k)+f (k) 8 6 k k k Obr.. Fourierov trnsforce součtu funkcí. Dvojdienzionální Fourierov trnsforce Dosud jse se oezili pouze n jednodienzionální funkce (funkce jedné proěnné), le v optice se čsto zbýváe dvojdienzionálníi funkcei popisujícíi npříkld rozložení pole n
11 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce pertuře nebo rozložení hustoty toku energie (intenzity) n stínítku. Fourierovský pár ůže být zobecněn pro dvojdienzionální funkce tkto ikx ( x + kyy) f x, y F k, k e dk dk (5) ( ) ( ) ( ) ikx (, ) (, ) ( ) x + kyy x y x y x y F k k f x y e dx dy (6) Zbýveje se ještě funkcí popisující čsově oezenou onochrotickou vlnu (puls trvání τ ) o frekvenci ω () E t Ee iωt pro t pro t τ > τ (7) Vlnu ůžee vyjádřit poocí (3) jko kde iωt E() t F( ω) e dω ( ) ( ) i ω ω t F f t e dt je rozdělovcí funkce plitud onochrotických složek podle frekvence ω. Poto ( ω ) po úprvě Funkce τ τ i( ωω) t i( ωω) τ i( ωω) τ i( ωω ) t e e e F E e dt E E E F F ( ) ( ) i( ωω) i τ ( ω ω) ω ω ( ω) ( ω) ( ) ( ) sin ω ω τ Eτ ω ω τ ( ) ( ) sin ω ω τ ω ω τ τ E určuje spektrální rozdělení energie vlnění neboli výkonové spektru (viz obr. 5). Funkce ( ) ( ) sin ω ω τ ω ω τ ( ) τ nbývá hlvního xi pro ω ω ini pro ω ω τ,,3... sin ω ω τ (8) (9)
12 Učební text k přednášce UFY Fourierov nlýz, Fourierov trnsforce Hlvní xiu je ohrničeno první inus první inie, tedy á pološířku ( ) ( ) ν ν ν ω ω τ ν ν τ (3) τ Vidíe tedy, že pološířk centrálního xi je nepřío úěrná délce pulsu. Čí je puls delší, tí je jeho výkonové spektru užší tí éně se puls liší od onochrotické vlny. Čsově ohrničený puls již tedy nelze povžovt z onochrotickou (hronickou) vlnu, le z kvzionochrotický "blík" vln o spektrální pološířce nepřío úěrné době trvání pulsu. Z (3) je zřejé, že součin délky trvání pulsu t τ frekvenční šířky ν je konstntní ν. t (3) F(ν) ν ν /τ ν ν +/τ ν ν Obr. 5. Spektrální rozdělení energie pulsu délky τ.
3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceVlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VícePoznámky k Fourierově transformaci
Poznámky k Fourierově transformaci V těchto poznámkách jsou uvedeny základní vlastnosti jednorozměrné Fourierovy transformace a její aplikace na jednoduché modelové případy. Pro určitost jsou sdružené
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceOhýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
VíceZákladní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku
Zákldní principy fyziky seestrální projekt Studiu dyniky kldky, závží vozíku Petr Luzr I/4 008/009 Zákldní principy fyziky Seestrální projekt Projekt zdl: Projekt vyprcovl: prof. In. rntišek Schuer, DrSc.
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE SPOJITÉ
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Více25 Měrný náboj elektronu
5 Měrný náboj elektronu ÚKOL Stnovte ěrný náboj elektronu e výsledek porovnejte s tbulkovou hodnotou. TEORIE Poěr náboje elektronu e hotnosti elektronu nzýváe ěrný náboj elektronu. Jednou z ožných etod
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Více1. Pohyby nabitých částic
1. Pohyby nabitých částic 16 Pohyby nabitých částic V celé první kapitole budee počítat pohyby částic ve vnějších přede znáých (zadaných) polích. Předpokládáe že 1. částice vzájeně neinteragují. vlastní
Více9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu
6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické
VíceNeurčité výrazy
.. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceSignál v čase a jeho spektrum
Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
Více7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 1. 7 Konvoluce a Fourierova transformace konvoluce. Korelace, autokorelace
7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 7 Konvoluce Fourierov trnsformce onvoluce. Korelce, utoorelce 7. Definice onvoluce Konvolucí f( f ( f ( dvou funcí f (, f (, E N, se rozumí integrál f( f ( f ( f (
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
VíceZáklady elektrotechniky
Základy elektrotechniky 3. přednáška Řešení obvodů napájených haronický napětí v ustálené stavu ZÁKADNÍ POJMY Časový průběh haronického napětí: kde: U u U. sin( t ϕ ) - axiální hodnota [V] - úhlový kitočet
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce
Více3.1.2 Harmonický pohyb
3.1.2 Haronický pohyb Předpoklady: 3101 Graf závislosti výchylky koštěte na čase: Poloha na čase 200 10 100 poloha [c] 0 0 0 10 20 30 40 0 60 70 80 90 100-0 -100-10 -200 čas [s] U některých periodických
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
VícePružnost a plasticita II
Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník
VíceZvuk. 1. základní kmitání. 2. šíření zvuku
Zvuk 1. základní kmitání - vzduchem se šíří tlakové vzruchy (vzruchová vlna), zvuk je systémem zhuštěnin a zředěnin - podstatou zvuku je kmitání zdroje zvuku a tím způsobené podélné vlnění elastického
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
Více3.1.3 Vzájemná poloha přímek
3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
Více= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako
Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium - 018 Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles,
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
Více