Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 2. výpočet deformačních a silových veličin na tenké desce metodou sítí 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) 1
Kirchhoffova teorie technická teorie ohybu tenkých desek jednotlivé vrstvy desky na sebe netlačí σ z = 0 normálová napětí ve střednicové rovině jsou nulová body ve střednicové rovině se mohou přemist ovat pouze ve směru osy z normály střednicové roviny zůstávají i po deformaci přímé a kolmé k této rovině h z u ϕ w(x,y) 2
Vnitřní síly na desce (1) Posunutí a pootočení : w, ϕ x, ϕ y [m] Napětí: σ x, σ y, τ xy, τ xz, τ yz [P a] Poměrné deformace: ε x, ε y, γ xy [ ] Měrné vnitřní síly: Měrné momenty: m x, m y (ohybové), m xy (krouticí) [ N m m ], [N] Měrné posouvající síly: q x, q y [ N m ] 3
Vnitřní síly na desce (2) x τ xy τ xz τ yz y τ yx z σ y σ x m x m xy q x m yx m y q y 4
Deformace a poměrné deformace h z u = z w x, w v = z y (1) u ϕ w(x,y) ε x ε y γ xy = u x = z 2 w x 2 (2) = u y = z 2 w y 2 (3) = u x + v y = 2 z x y (4) 5
Fyzikální rovnice na desce (Hookeův zákon) σ x = σ y = E 1 µ 2 (ε x + µ ε y ) = E 1 µ 2 E 1 µ 2 (ε y + µ ε x ) = E 1 µ 2 τ xy = G γ = E 2 (1 + µ) 2 z 2 w x y 2 w x 2 + µ 2 w y 2 (5) 2 w y 2 + µ 2 w x 2 (6) (7) 6
Vnitřní síly na desce m x = m y = m xy = t/2 t/2 σ x z dx = D t/2 t/2 σ y z dx = D 2 w x 2 + µ 2 w y 2, (8) µ 2 w x 2 + 2 w y 2, (9) t/2 t/2 τ xy z dx = D (1 µ) 2 w x y, (10) kde D je desková tuhost: D = q x = t/2 t/2 τ xzdz = D E t3 12(1 µ 2 ) 3 w x 3 + 3 w x y 2 (11) q y = t/2 t/2 τ yzdz = D 3 w x 3 + 3 w x 2 y (12) 7
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (1) x Neznámé parametry defor- w4 4 w3 3 mace: w, ϕ x, ϕ y v každém uzlu. 1 2 w1 w2 y Tj. celkem dvanáct neznámých uzlových parametrů: r = {w 1, ϕ x,1, ϕ y,1, w 2, ϕ x,2, ϕ y,2, w 3, ϕ x,3, ϕ y,3 } T, ϕ x,i = w i x, ϕ y,i = w i y. 8
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (2) Geometrické rovnice: ε x = 2 w x 2, ε y = 2 w y 2, τ xy = 2 2 w x y. (13) Maticově (ε = T u): ε x ε y γ xy = 2 x 2 y 2 2 x y { w } (14) 9
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (3) Fyzikální rovnice (bez q x, q y!): m x = m y = m xy = Maticově (σ = D ε): m x m y m xy = E h 3 12(1 µ 2 ) E h 3 12(1 µ 2 ) (ε x + µ ε y ) (15) E h 3 12(1 µ 2 ) (ε y + µ ε x ) (16) E h 3 24(1 + µ 2 ) γ xy (17) 1 µ 0 µ 1 0 0 0 1 2 (1 µ) ε x ε y γ xy (18) 10
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (4) Neznámá uzlová posunutí: w w ϕ x = w x (19) ϕ y w y 11
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (5) Aproximace neznámých uzlových posunutí: w = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2 (20) + a 7 x 3 + a 8 x 2 y + a 9 xy 2 + a 10 y 3 + a 11 x 3 y + a 12 xy 3 ϕ x = a 2 + 2a 4 x + a 5 y + 3a 7 x 2 + 2a 8 xy + a 9 y + 3a 11 x 2 y + a 12 y 3 ϕ y = a 3 a 5 x 2a 6 y a 8 x 2 2a 9 xy 3a 10 y 2 a 11 x 3 3a 12 xy 2 12
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (6) Maticově (u = U a): {w, ϕ x, ϕ y } T = 1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 y xy 3 0 1 0 2x y 0 3x 2 xy y 0 3x 2 y 3y 3 0 0 1 0 x 2y 0 x 2 xy 3y 2 x 3 3xy 2 (21) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 13
Odvození konečného prvku (7) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech 1, 2, 3, 4 (r = S a): {w 1, ϕ x,1, ϕ y,1, w 2, ϕ x,2, ϕ y,2, w 3, ϕ x,3, ϕ y,3, w 4, ϕ x,4, ϕ y,4 } T = 1 x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y 2 1 x 3 1 x 2 1 y 1 x 1 y 2 1 y 3 1 x 3 1 y 1 x 1 y 3 1 0 1 0 2x 1 y 1 0 3x 2 1 x 1 y 1 y 1 0 3x 2 1 y 1 3y 3 1 0 0 1 0 x 1 2y 1 0 x 2 1 x 1 y 1 3y 2 1 x 3 1 3x 1 y 2 1 1 x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y 2 2 x 3 2 x 2 2 y 2 x 2 y 2 2 y 3 2 x 3 2 y 2 x 2 y 3 2 0 1 0 2x 2 y 2 0 3x 2 2 x 2 y 2 y 2 0 3x 2 2 y 2 3y 3 2 0 0 1 0 x 2 2y 2 0 x 2 2 x 2 y 2 3y 2 2 x 3 2 3x 2 y 2 2 1 x 3 y 3 x 2 3 x 3 y 3 y 2 3 x 3 3 x 2 3 y 3 x 3 y 2 3 y 3 3 x 3 3 y 3 x 3 y 3 3 0 1 0 2x 3 y 3 0 3x 2 3 x 3 y 3 y 3 0 3x 2 3 y 3 3y 3 3 0 0 1 0 x 3 2y 3 0 x 2 3 x 3 y 3 3y 2 3 x 3 3 3x 3 y 2 3 1 x 4 y 4 x 2 4 x 4 y 4 y 2 4 x 3 4 x 2 4 y 4 x 4 y 2 4 y 3 4 x 3 4 y 4 x 4 y 3 4 0 1 0 2x 4 y 4 0 3x 2 4 x 4 y 4 y 4 0 3x 2 4 y 4 3y 3 4 0 0 1 0 x 4 2y 4 0 x 2 4 x 4 y 4 3y 2 4 x 3 4 3x 4 y 2 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 (22) 14
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (8) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U. Z r = S a plyne: a = S 1 r a ε = B S 1 r. Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 V εt σ d V = 1 2 V εt D ε d V (23) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (24) 15
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (9) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. (25) Po dosazení za ε a vytknutí r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r T V XT d V r S pt d S r. (26) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (27) 16
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (10) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (27): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (28) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (29) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (30) 17
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (11) Pro studovaný konečný prvek je vhodné použít numerickou integraci ve 2D, protože matice B obsahuje proměnné x, y a její obecné vyčíslení je pracné. K = t A S 1T B T D B S 1 d A, (31) kde t... tloušt ka konečného prvku. F = X + p. (32) 18
Odvození konečného prvku pro tenkou desku (12) Problémy při integraci: K = t A S 1T B T D B S 1 d A, Nutno integrovat numericky: A S 1T B T D B S 1 d A i j S ij 1T B ij T D ij B ij S ij 1 Např. Gaussova metoda, ale při obecných mezích 19
Podstatně jednodušší jednodušší je integrovat na jednotkovém prvku (viz izoparametrické prvky)
Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustavy rovnic: K r = F. (33) 20
Výpočet výsledků (vnitřních sil a deformací) na konečných prvcích 1. z vektoru r celé konstrukce sestavíme vektory r e jednotliných konečných prvků 2. pro každý prvek stanovíme poměrné deformace: ε e = B S 1 r e 3. pro každý prvek stanovíme napětí: σ e = D ε e nebo σ e = D B S 1 r e 21