Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24
Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický ástroj ve zpracováí digitálích obrazů detekce hra a segmetace obrazu úprava kvality obrazu rekostrukce obrazu komprese obrazu (formát.jpg) detekce objektů atd. M. Mudrová, 24 2
Matematické miimum = převod mezi časovou x(t) a frekvečí X(f) oblastí x( t) X ( f ) t...časová (prostorová oblast) f...frekvečí oblast Základí defiice: přímá spojitá FT: zpětá spojitá FT: X + i πtf = x( t ) e 2 dt + i πtf ( f ) x( t) = X ( f ) e 2 df + Požadavky a f(t) : po částech spojitá itegrovatelá x ( t) dt < M. Mudrová, 24 3
Příklad spojité FT Jak vypadá FT periodických fukcí? x ( t ) si(2 π f t ) = X ( f ) = ( δ ( f f) δ ( f + f) ) Def. FT: X ( f ) + i πtf = x( t) e 2 dt 2 i ± i Eulerovy vzorce: 2 πf t e = cos( 2πf t) ± i si(2πf t ) d(f) Diracova fukce f f Časová (prostorová) oblast x(t) Spektrum X(f) (amplitudová fr. charakt.) x(t) X(f) T=/f 2T 3T t -f f f M. Mudrová, 24 4
Od spojité k diskrétí FT Co je diskrétí FT? Diskretizace v čase: ty t Y + Diskretizace ve frekveci: f Y f k Y k Přímá diskrétí FT: X ( k) = N N = x( ) e k i 2π N Diskrétí Fourierova trasformace x( ) X ( k) Zpětá diskrétí FT: x( ) = N k = X ( k ) e k + i 2π N x() - 2 4 6 X(k) 5.57.25 3 3.4.5 63 k...idex ω k...kruhová frekvece f ormalizovaá frekv. M. Mudrová, 24 5
Omezeí vzorové fukce v čase (prostoru) Fukce s koečou délkou... = váhováí = apodizace Periodický sigál a jeho spektrum 4 3 x() X(ω) 2-2 3 4 5 6.5.5 2 2.5 3 ω od do π.5 Obdelikové oko a jeho spektrum 4 x() X(ω) 3 2.5 2 3 4 5 6.5.5 2 2.5 3 ω od do π Omezeý sigál a jeho spektrum 4 3 x() X(ω) 2 -.5.5 2 2.5 3 ω od do π M. Mudrová, 24 6
Do dvou dimezí X ( k, l) = MN x() Přímá 2D DFT: N M = m= - 2 3 4 5 6 x(, m) e -> [, m] k-> [k, l] 2D DFT k lm i 2π ( + ) N M X(k) 3 5 x(, m) X ( k, l) k x(, m) = N M k = l= 63 Zpětá 2D DFT: X ( k, l) e k ml + i 2π ( + ) N M x(,m ) x(,m ) X(f k,f l ) 64 m 64 64 m 64 f l - - f k M. Mudrová, 24 7
Příklad 2D DFT reálého obrazu x(,m) m Symetrie 27 366 - - M. Mudrová, 24 8
Pricip číslicové filtrace Co se stae při úpravě spektra? prostorová oblast x() spektrum X(k). periodická fukce 2. áhodý šum 3. =.+2. 4. po úpravě spektra M. Mudrová, 24 9
2D filtrace M. Mudrová, 24
Pricip diskrétí kovoluce Co se při úpravě spektra děje v prostorové oblasti? Spektrálí oblast: Y ( k) = X( k). H( k) pro k Souči Prostorová oblast: y( ) = x( ) * h( ) = j = x( j) h( j) Kovoluce M. Mudrová, 24 Kde: y() žádaý tvar fukce x()...daý (poškozeý) tvar fukce h()...číslicový filtr
Příklad diskrétí kovoluce Jaký má výzam kovoluce? Příklad: x() = ; 2; 3; 4; 5 h() =,5;,5 (Klouzavý průměr) y( ) = x( )* h( ) = x( j) h( j= j) = j= f().h().,5 5 y()= 5 = j= f().h(-).,5 5 j= f().h(-) 2.,5 y()=5+ = 5 =2 j= f().h(2-) edef. j= f().h(2-) 2.,5 j=2 f(2).h(2-2) 3.,5 5 y(2)=+5= 25 =3 j= f().h(3-) edef. j= f().h(3-) edef. j=2 f(2).h(3-2) 3.,5 5 j=3 f(3).h(3-3) 4.,5 2 y(3)=5+2= 35 =4 j=,,2 edef. j=3 f(4).h(4-3) 4.,5 2 j=4 f(4).h(4-4) 5.,5 25 y(4)=25+2= 45 M. Mudrová, 24 y() = 5; 5; 25; 35; 45 2
2D diskrétí kovoluce Jak vypadá 2D kovoluce? y(, m) = x(, m)* h(, m) = m j = j = 2 x( j, j 2 ) h( j, m j 2 ) matice filtru h(,m) Prvek počítaý a pozici(,m) -4 matice obrázku x(,m) M. Mudrová, 24 3
Aplikace I detekce hra Úloha detekce hra (=>segmetace obrazu) Hraa = áhlá změa obrazové fukce Pricip: Aplikace hraových detektorů = horopropustých filtrů Příklad matice filtru h(,m) (filtr Prewittové) Příklad spektra filtru H(k,l) Origiálí obraz Obraz po detekci hra M. Mudrová, 24 4
Aplikace II potlačeí šumu Úprava obrazu Pricip: Potlačeí vysokofrekvečích složek aplikací dolopropustého filtru Origiálí obraz Spektrum filtru H(k,l) Obraz po úpravě M. Mudrová, 24 5
Aplikace III ostřeí Úloha rekostrukce poškozeého obrazu Pricip: Iverzí filtrace Wieerova filtrace Poškozeý obraz Typ poškozeí: Rozostřeí pohybem objektu (objektivu) Špaté zaostřeí objektivu Turbulece atmosféry atd. Obraz po rekostrukci M. Mudrová, 24 6
Aplikace IV detekce objektů Úloha detekce polohy objektu Pricip: Výpočet korelačí fukce = kovoluce v prostor. oblasti Zrychleí výpočtu aplikací algoritmu FFT ve 2D -> souči ve frekvečí oblasti M. Mudrová, 24 Filtr h(,m) Obraz x(,m) Korelačí fukce h(,m) 7
Pokročilejší metody zpracováí obrazů Short-time Fourier trasform = krátká FT - Kompromis mezi časovým (prostorovým) a frekvečím rozlišeím Wavelet trasformace = vlková trasformace - používá časová (prostorová) okéka s promělivou délkou (wavelet fukce) - Aplikace v aalýze obrazu, potlačeí šumu, kompresi dat, Radoova trasformace (p. Rado české árodosti) - koverze z cylidrických souřadic - aplikace především v biomedicíě (PET, SPECT, CT, ) M. Mudrová, 24 8