IAJCE Přednáška č. 12

Transkript

1 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích dat přiřazuje počet operací při výpočtu podle staoveého algoritmu o čas se měří počtem utě provedeých operací (doba provedeí operace ezávisí a rozsahu vstupích dat) o bývá často podceňováa o často zrychleí úlohy řešeo rychlejším HW, ebo o dílčím zrychleím programátorský trik (viz. zarážka u tříděí) přepis části kódu do assembleru apod. o vhodější zkusit ajít rychlejší algoritmus pokud existuje paměťová složitost závislost paměťových ároků a vstupích datech Přesé zjištěí složitosti staoveí časové složitosti v závislosti a: o kokrétích datech o rozsahu dat mohem častější obecě aalýzou algoritmu ( často velmi složité) u triviálích algoritmů lze detailí aalýzou programu příklad č. 1 součet prvků pole static it SoucetPrvku(it[] pole) it suma = 0; // prirazei p1 for(it i = 0; // prirazei p2 i < pole.legth; // porovai c1 i++) // soucet a prirazei s1+p3 (i = i+1) suma += pole[i]; // soucet a prirazei s2+p4 // (Suma = Suma + Pole[i]) retur suma; o časová složitost pro prvků pole (pole.legth = ): C() = p1 + p2 + ( + 1) * c1 + * (s1 + p3) + * (s2 + p4) 1

2 o zjedodušeí stejě složité p, c, s uiverzálí akce a: C() = a + a + ( + 1) * a + a * (a + a) + * (a + a) = a * (3 + 5 * ) o pokud akce a bude trvat jedotku času C() = příklad č. 2 součet prvků čtvercové matice static it SoucetMatice(it[,] matice) it suma = 0; // prirazei p1 for(it i = 0; // prirazei p2 i < matice.getlegh(0); // porovai c1 i++) // soucet a prirazei s1+p3 for(it j = 0; // prirazei p4 j < matice.getlegh(1); // porovai c2 j++) // soucet a prirazei s2+p5 suma += matice[i][j]; // soucet a prirazei s3+p6 retur suma; o časová složitost pro čtvercovou matici řádu (Rad = ): C() = p1 + p2 + ( + 1) * c1 + * (s1 + p3) + + * ( p4 + ( + 1) * c2 + * (s2 + p5) + * (s3 + p6)) 1) po převedeí a akce: C() = a + a + ( + 1) * a + * (a + a) + + * ( a + ( + 1) * a + * (a + a) + * (a + a)) = = 3a + 5a + (3a + 5a) = = 3a + 5a + 3a +5a 2 = = 3a + 8a + 5a 2 2) pokud akce a bude trvat jedotku času C() = Vypočteé délky trváí fukcí pro oba příklady pro a = 1 ms Odhad složitosti pole matice přesé vyjádřeí pro růzé ás obvykle ezajímá používá se pouze tedece růstu počtu operací pro zvětšující se pak lze výrazy pro C() zjedodušit zaedbáím: 1) aditivích kostat (u matice 3) 2) multiplikativích kostat (u matice 5 a 8) 2

3 3) všechy složky s ižším řádem růstu ež ejvyšším (u matice ) u pole je C() = složitost je lieárí u matice je C() = 2 složitost je kvadratická Vypočteé délky trváí fukcí po zjedodušeí Asymptotická složitost pole matice asymptotické chováí fukce = chováí pro velká uvažme dvě fukce t() a g(): 1) ezáporé fukce defiovaé a oboru přirozeých čísel 2) t() výpočetí čas algoritmu (obvykle vychází z C()) 3) g() jedoduchá fukce použitá pro porováí s t() o t() a g() můžeme říci: t roste ejvýše tak rychle jako g O(g()) 0 1) tedy existuje přirozeé číslo K: t ( ) K g( ) pro součet matice výše je K = 6 2) t ( ) O( g( )), O(g()) je asymptotická složitost v tomto způsobu zápisu: 1) součet pole jede cyklus složitost O() 2) součet matice dva cykly složitost O( 2 ) Hrubý odhad složitosti pro triviálí algoritmy jedoduché každý vořeý cyklus zvyšuje mociu složitosti o jedu 3

4 všechy prezetovaé jedoduché třídící algoritmy mají složitost O( 2 ) zkracováí vitřích cyklů zaedbáváme pozor: složitost je odvozea od algoritmu, ikoli od dat! algoritmy tříděí pracovaly ad jedoduchým polem, ale dva vořeé cykly Třídy složitosti Kostatí O(1) o ideálí případ o pouze jedoduché matematické operace Lieárí O() o jede cyklus v algoritmu o apř. sekvečí vyhledáváí, ásobeí vektoru skalárem, Kvadratická O( 2 ) o algoritmy se dvěma cykly (vořeými!!!) o apř. základí třídící algoritmy, sčítáí matic Logaritmická O(log ) o biárí vyhledáváí o v každém kroku se rozsah dat sižuje a poloviu , kroků půleí itervalů je h 2 4 tedy 2 h h log 2 o místo log obvykle pouze log 2 Loglieárí O( log ) o ebo také liearitmická, supralieárí o pro algoritmy rozděl a pauj o apř. algoritmus tříděí quick sort, FFT (Fast Fourier Trasform rychlá fourierova trasformace) existují i další třídy složitosti Praktický výzam složitosti doby výpočtu růzých tříd složitosti pro růzá data; podmíka: akce a trvá 1 s (CPU ~ 1ky GHz) O(log ) 3,3 s 6,6 s 10 s 13,3 s 16,6 s O() 10 s 100 s 1 s 10 s 100 s O( log ) 33 s 660 s 10 s 133 s 1,66 ms O( 2 ) 100 s 10 s 1 ms 100 ms 10 s Efektivita algoritmů a data většia algoritmů růzý počet operací pro růzá data 4

5 ejlepší, ejhorší a průměrý případ Nejhorší případ Nejlepší případ ohraičuje výpočetí čas shora ohraičuje výpočetí čas zdola Průměrý případ o iformace o chováí algoritmu a typickém ebo áhodém vstupu o eí to průměr ejhoršího a ejlepšího případu!!! o velmi důležité ěkteré algoritmy mají průměrou efektivitu o moho lepší ež ejhorší případ Příklad: sekvečí vyhledáváí static it SeqSearch(it[] pole, it prvek) it idex; for(it i=0;i<pole.legth;i++) if (pole[i] == prvek) idex = i; retur idex; retur -1; o ejhorší případ o ejlepší případ o průměrý případ prvek eí aleze (pole.legth operací) hledaý prvek a prví pozici (1 operace) složitější (statistika) Dodatky k výrazům Priorita a asociativita operátorů (precedece ad associativity) Pořadí operací ve výrazech dáo o Závorkami o Prioritou operátorů o Asociativitou operátorů Priorita který operátor ovliví operady jako prví * vyšší priorita ež + x + y *z totéž jako x + (y * z) o Asociativitou operátorů směr vyhodoceí operátorů se stejou prioritou x + y + z se vyhodocuje jako (x + y) + z + asociativí zleva 5

6 Category Operators associativity Primary x.y f(x) a[x] x++ x-- ew typeof checked uchecked Nejvyšší priorita Uary + -! ~ ++x --x (Přetypováí)x Multiplicative * / % Additive + - Shift << >> Relatioal ad type testig < > <= >= is as Equality ==!= Logical AND Logical XOR & ^ Logical OR Coditioal AND && Coditioal OR Coditioal?: R L Assigmet = *= /= %= += -= <<= >>= &= ^= = R L Nejižší priorita většia operátorů zleva doprava (L R), kromě ozačeých R L doporučeí příklady: závorkovat!!! if (A > B && A < C) totéž co if ((A > B) && (A < C)) x = A/B*C; (asociativita) totéž co x = (A/B)*C; x = y = 10*C; totéž co x = (y = 10*C); Zkráceeé vyhodocováí logických výrazů využívá se asociativity log operátorů zleva it a = 5; it b = 0; if ((b!= 0) && (a / b > 2)) Cosole.Write("ahoj"); o problém pokud b = 0 a / b = pád programu o zkráceé vyhodoceí > 2) ikdy edojde Podmíěý (terárí) operátor?: sytaxe: bvyraz? vyraz1 : vyraz2; sématika pokud (b!= 0) == false, k vyhodoceí (a / b 6

7 if (bvyraz) vyraz1; else vyraz2; je to výraz!!! typické použití: vyraz1 i vyraz2 přiřazují do stejé proměé o Př.: převod čísla a absolutí hodotu it prom = 10; prom = (prom >= 0)? prom : -prom; rozdíl oproti if a příkladu: pokud je a > b pak Cos(a), jiak Cos(b) o if je příkaz double x; if (a > b) x = Math.Cos(a); else x = Math.Cos(b); o? : je výraz další příklady: double x = Math.Cos(a > b? a : b); it a,b,c; a = (b == 2)? 1 : 3; c = (a > b)? a : b; 7