Pružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018

Transkript

1 Pružost a pevost 9. předáška, 11. prosice ) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí

2 Rovoměré krouceí kruhové tyče y z při rovoměrém krouceí: L

3 Rovoměré krouceí kruhové tyče původí poloha: y rcos y y z rsi z r z

4 Rovoměré krouceí kruhové tyče z původí poloha: y z rcos rsi ová poloha po pootočeí průřezu: y v r cos posuy: z w rsi v r cos r cos r si z w rsi rsi r cos y (pokud 1 ) y z w y v z

5 Rovoměré krouceí kruhové tyče pole posuů: v, y, z z w, y, z y pole deformací: d y, y, z z d d,, z y z y d, y, z 0 yz y z yz u y u z v z v w w y

6 Rovoměré krouceí kruhové tyče pole posuů: v, y, z z w, y, z y pole deformací: d y, y, z z z d L d,, z y z y y d L, y, z 0 yz při rovoměrém krouceí: L poměré zkrouceí

7 Rovoměré krouceí kruhové tyče pole posuů: v, y, z z w, y, z y pole deformací: d y, y, z z z z d L d,, z y z y y y d L, y, z 0 yz při rovoměrém krouceí: L

8 Rovoměré krouceí kruhové tyče pole posuů: v, y, z z w, y, z y pole deformací: y z, y, z, y, z z y při rovoměrém krouceí: pole apětí: y z, y, z, y, z L Gz Gy G G y y z z

9 Rovoměré krouceí kruhové tyče R r y z Gz Gy y G R G r z

10 Rovoměré krouceí kruhové tyče y z Gz Gy ma y GR z

11 Rovoměré krouceí kruhové tyče y z Gz Gy ma y y ma GR z z

12 Rovoměré krouceí kruhové tyče R z y r z y G r y z y r složky smykového apětí v obecém bodě o souřadicích y,z: G r z G z G r si y G y G r cos z

13 Rovoměré krouceí kruhové tyče ma y z Gz Gy y y ma z z

14 Vztah apětí a vitřích sil a prutu y z y da z d A da vitří síly jsou výsledice apětí v průřezu

15 Vztah apětí a vitřích sil a prutu y z da z da da y da

16 Vztah apětí a vitřích sil a prutu y z y da y z da y da

17 Vztah apětí a vitřích sil a prutu y z da z z y da z da

18 Vztah apětí a vitřích sil a prutu V y y d A A posouvající síly V ormálová síla N A z z d A A da

19 Vztah apětí a vitřích sil a prutu krouticí momet M y A z da M A z y y z da M ohybové momety z A y da

20 Rovoměré krouceí kruhové tyče Neulové složky apětí: y z Gz Gy y y da z da Krouticí momet: d 2 2 M y z A G y G z da z y A A 2 2d G y z A G I I G I A z z y p

21 Rovoměré krouceí kruhové tyče I p A y 2 z 2 da r 2 da A polárí momet setrvačosti průřezu (k těžišti) Výsledý vztah pro krouticí momet: M GI p tuhost kruhového průřezu v krouceí (torzí tuhost) deformačí veličia charakterizující zkrouceí elemetárího segmetu prutu

22 Základí veličiy a rovice přemístěí vější síly geometrické statické přetvořeí materiálové vitří síly

23 Základí rovice krouceý prut kruhového průřezu d d GI p d d m 0 m d d dm d m 0 M GI p M

24 Rovoměré krouceí d d GI p d d m 0 GI p d 2 d 2 0 kost. 0 lieárí d d kostatí p M GI kostatí

25 Rovoměré krouceí - příklad O jaký úhel se pootočí pravý kocový průřez kruhové tyče, jestliže je levý koec tyče uput a a pravý koec působí osamělý momet otáčející kolem osy prutu? Jaké apětí přitom v prutu vzike? M 8 knm 2R 0,2 m I p R 2 L 2m G 80 GPa ,110 m GI p 12,57 10 Nm

26 Rovoměré krouceí - příklad 3 M 810 Nm 0, m 6 2 GI 12,57 10 Nm p L 3 1, ,273 mrad 3 1 ma GR Nm 0, m 0,1 m = 6 2 = 5,09 10 Nm 5,09 MPa ma 3 2M 2810 Nm ma 3 3 5,09 MPa R 0,1m ma

27 Rovoměré krouceí - příklad L M 2R M M ML GI p 2ML G R 4

28 Pružost a pevost 9. předáška, 11. prosice ) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí

29 Deplaace průřezu Při krouceí obecě průřezy ztrácejí roviost, s výjimkou rotačě symetrických průřezů, tedy kruhu a mezikruží. ztráta roviosti průřezu = deplaace Zatím jsme popsali pouze krouceí průřezů bez deplaace.

30 Volé krouceí obecého průřezu Pole posuutí s uvážeím deplaace:, y z y z u,, poměré zkrouceí d d deplaačí fukce (zatím ezámá)

31 Volé krouceí obecého průřezu Pole posuutí s uvážeím deplaace: poměré zkrouceí,, y, z u y z d d rovoměré krouceí kost.

32 Volé krouceí obecého průřezu Pole posuutí s uvážeím deplaace:,, y, z u y z Pro deplaačí fukci lze odvodit difereciálí rovici 2 y, z 2 y, z y 2 z 2 0 Laplaceova rovice Laplaceovu rovici je třeba řešit s okrajovou podmíkou, která vyjadřuje skutečost, že a okraji průřezu má výsledé smykové apětí působit ve směru tečém k okraji.

33 Odvozeí Laplaceovy rovice pole posuů: u, y, z y, z v, y, z z w, y, z y pole deformací: yz,,, y y z z y yz,,, z y z y z, y, z 0 yz rovoměré krouceí: d kost. d y z yz u y u z v z v w w y

34 Odvozeí Laplaceovy rovice pole deformací: y z z y, y, z z pole apětí: y z G z y G y z y y z G G y z

35 Odvozeí Laplaceovy rovice Cauchyho rovice rovováhy: y z X 0 y z G y z y z Laplaceova rovice

36 Odvozeí okrajové podmíky a okraji průřezu musí smykové apětí působit ve směru tečy: 0 jedotková y y z z ormála smykové apětí

37 Odvozeí okrajové podmíky a okraji průřezu musí smykové apětí působit ve směru tečy: y y z z 0 y G z z G y y z y z yz z y y z z y y z a hraici je tedy předepsáa ormálová derivace deplaačí fukce

38 Volé krouceí obecého průřezu Je-li z Laplaceovy rovice vypočtea deplaačí fukce, je možo vyjádřit složky apětí yz, y, y, z G y, y, z G z y M yz, z, y, z G z, y, z G y z a krouticí momet A A z y 2 2 z y yz da G y z y z da M GI k I k momet tuhosti ve volém krouceí

39 Základí rovice rovoměrě krouceý prut obecého průřezu GI k d 2 d 2 0 m 0 d d d M d 0 M GI k M

40 Volé krouceí obdélík deplaačí fukce velikost apětí + - ma 0 složka apětí y složka apětí z

41 Volé krouceí masiví L deplaačí fukce velikost apětí + - ma 0

42 Volé krouceí trojúhelík deplaačí fukce + - velikost apětí ma 0

43 Volé krouceí šestiúhelík + deplaačí fukce velikost apětí ma - 0

44 Volé krouceí tekostěé L deplaačí fukce + - velikost apětí ma 0 složka apětí y složka apětí z

45 Volé krouceí tekostěé L složka apětí y + -

46 Volé krouceí tekostěé L složka apětí z + -

47 Volé krouceí tekostěé L velikost apětí ma 0

48 Volé krouceí masivího průřezu Přibližý vzorec pro momet tuhosti v krouceí masivího průřezu obecého tvaru: I k A 4 40I p Přesý vzorec pro průřez tvaru obdélíka: h I k 3 b h 192 b 1 h 1 tah h 1,3,5... 2b b

49 Volé krouceí úzkého obdélíka Přibližý vzorec pro momet tuhosti v krouceí úzkého obdélíka: I k b h 10,63 b h Smykové apětí je ve směru kratšího rozměru rozložeo zhruba lieárě: ma z M I k b ma z b h

50 Volé krouceí otevřeého tekostěého průřezu otevřeý tekostěý průřez středice průřezu 1 h h 2 h 3 4 h 4

51 Volé krouceí otevřeého tekostěého průřezu Momet tuhosti v krouceí je součtem mometů tuhosti jedotlivých větví: 1 I 3 h k 3 Maimálí smykové apětí v -té větvi: ma M Největší apětí vziká v ejtlustší větvi! I k

52 relativí chyba [%] Volé krouceí přibližé vzorce momet tuhosti ve volém krouceí průřezu L I k 4 A 40I p (17) (18) (19) 1 I 3 k h ,2 0,4 0,6 0,8 1 relativí velikost výřezu

53 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu uzavřeý tekostěý průřez středice průřezu s s

54 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Smykové apětí je po tloušťce rozděleo rovoměrě a smykový tok je podél středice průřezu kostatí: s t s kost. s Největší apětí tedy vziká v ejtečí části! s s

55 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Příspěvek přímé části číslo ke krouticímu mometu: F h t h s s T F t s h t s F h

56 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Příspěvek přímé části číslo ke krouticímu mometu: F h t h s s T F t s h t s h / 2 h 2 plocha trojúhelíka h

57 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Celkový krouticí momet: M F t s t s 3 / 2 4 / 2 2 / 2 1 / 2

58 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Celkový krouticí momet: M F t s t s / 2 2 plocha ohraičeá středicí průřezu

59 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Pro obecý tvar průřezu: M t s sds t sds t s s / 2 2 s ds plocha ohraičeá středicí průřezu

60 Volé krouceí uzavřeého tekostěého průřezu Vztah mezi smykovým tokem a relativím úhlem zkrouceí: Vztah mezi krouticím mometem a relativím úhlem zkrouceí: momet tuhosti v krouceí I k M 2 ds s t s t s G G 2 s d s ds s GI k

61 Příklad volé rovoměré krouceí 0,8 3 knm L 2m 3 knm G 15 GPa Prut o kostatím průřezu je amáhá kostatím krouticím mometem. Určete vzájemé pootočeí kocových průřezů a maimálí apětí pro tři růzé typy průřezu. 0,2 0,04 0,29 0,05 0,2 0,29

62 Příklad volé rovoměré krouceí 0,2 3 knm 0,2 vzorce platé pro čtverec 3 knm L 2m G 15 GPa bh 0,2 m I k ma 0,1406 b m L GIk ML 1,78 mrad M 0,6755 b 1,81 MPa I k

63 Příklad volé rovoměré krouceí 3 knm L 2m 3 knm G 15 GPa 0,05 0,8 vzorce platé pro úzký obdélík b0,05 m, h 0,8 m 1 b Ik b h 10, m 3 h ML L 12,5 mrad GI ma M b I k k 4,7 MPa

64 Příklad volé rovoměré krouceí 3 knm 0,04 0,29 0,29 vzorce platé pro uzavřeý tekostěý průřez 3 knm L 2m G 15 GPa 2 0,25 m 0,25 m 0,125 m I k ds s s 0,25 m ,04 m m ds s L GIk s t s ML M 6 4 0,64 mrad s s 2 0,6 MPa

65 Příklad volé rovoměré krouceí 2 A m -6 4 Ik 10 m 0,04 0,04 0, mrad 1,78 12,5 0,64 ma MPa 1,8 4,7 0,6

66 Příklad volé rovoměré krouceí ejvětší tuhost v krouceí ejmeší smykové apětí od volého krouceí ejmeší tuhost v krouceí ejvětší smykové apětí od volého krouceí

67 Pružost a pevost 1) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí

68 Ohybové (vázaé) krouceí K ohybovému krouceí dochází, pokud průřezy emohou volě deplaovat. Možé příčiy omezeí deplaace: vetkutí kocového průřezu změa průřezu (proměá tuhost po délce prutu) změa krouticího mometu (proměý momet) Důsledky omezeé deplaace: vzik ormálového apětí od krouceí vzik druhotého smykového apětí Tato apětí jsou výzamá pro tekostěé průřezy, zejméa pro otevřeé.