Trisekce úhlu a duplicita krychle pomocí speciálních křivek. Jan Kozubek

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Trisekce úhlu a duplicita krychle pomocí speciálních křivek Jan Kozubek Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Ph.D. Studijní program: Specializace v pedagogice Studijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání 2014

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval pod vedením vedoucího bakalářské práce samostatně za použití v práci uvedených materiálů a literatury. Dále prohlašuji, že tato bakalářská práce nebyla využita k získání jiného nebo stejného titulu. V... dne... Podpis autora

Poděkování Rád bych na tomto místě poděkoval Prof. RNDr. Ladislavu Kvaszovi, Ph.D. za jeho vstřícnost, ochotu, cenné rady a pomoc při hledání vhodných zdrojů a literatury.

Název práce: Trisekce úhlu a duplicita krychle pomocí speciálních křivek Autor: Jan Kozubek Katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce Prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Ph.D. Abstrakt: Tato bakalářská práce se zabývá základními pravidly eukleidovských konstrukcí, třemi klasickými problémy antické matematiky a speciálními křivkami (Nikomedova konchoida, Dioklova cissoida, Hippiova kvadratrix, Archimedova spirála). V práci jsou popsány základní geometrické vlastnosti těchto křivek a jejich využití antickými autory při řešení trisekce úhlu a duplicity krychle. Popis speciálních křivek je doplněn o jejich vlastnosti z pohledu moderní matematiky. Klíčová slova: Nikomedova konchoida, Dioklova cissoida, Hippiova kvadratrix, Archimedova spirála

Title: Trisection of an angle and duplicity of the cube by means of special curves Author: Jan Kozubek Department: Department of Mathematics and Mathematical Education Supervisor: Prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Ph.D. Abstract: This bachelor s thesis deals with cardinal rules of compass-and-straightedge constructions, three famous problems in classical Greek mathematics and special curves (the conchoid of Nicomedes, the cisssoid of Diocles, the quadratrix of Hippias, the spiral of Archimedes). In the thesis are described basic geometrical attributes of these curves and their application in the process of solving of trisection of an angle and duplicity of the cube. The special curves are also described by means of the methods of modern mathematics. Keywords: the conchoid of Nicomedes, the cisssoid of Diocles, the quadratrix of Hippias, the spiral of Archimedes

Obsah Úvod 3 1 Pravidla Eukleidovských konstrukcí 4 1.1 Eukleidovská geometrie....................... 4 1.2 Konstruovatelné objekty...................... 5 2 Tři klasické problémy antické matematiky 10 2.1 Trisekce úhlu............................ 10 2.2 Duplicita krychle.......................... 12 2.3 Kvadratura kruhu.......................... 13 3 Speciální křivky 14 3.1 Hippiova kvadratrix......................... 15 3.1.1 Zavedení a vlastnosti.................... 15 3.1.2 Využití............................ 17 3.2 Kuželosečky............................. 20 3.2.1 První řešení......................... 21 3.2.2 Druhé řešení......................... 23 3.2.3 Nekonstruovatelnost průsečíku kuželoseček........ 24 3.3 Archimedova spirála........................ 26 3.3.1 Zavedení a vlastnosti.................... 27 3.3.2 Využití............................ 28 3.4 Dioklova cissoida.......................... 33 3.4.1 Zavedení a vlastnosti.................... 33 1

3.4.2 Využití............................ 37 3.5 Nikomedova konchoida....................... 39 3.5.1 Zavedení a vlastnosti.................... 39 3.5.2 Využití............................ 43 Závěr 47 Seznam použité literatury 48 Seznam obrázků převzatých z internetu 49 2

Úvod Pro svou bakalářskou práci jsem si vybral téma trisekce úhlu a duplicita krychle pomocí speciálních křivek proto, že jde o zajímavou část vývoje matematiky trisekce úhlu a duplicita krychle se spolu s kvadraturou kruhu souhrnně nazývají Tři klasické problémy antické matematiky a jde o úlohy, které čekaly na své vyřešení až do 19. století. Až v této době bylo pomocí algebry dokázáno, že ani jedna z těchto úloh nejde řešit pomocí eukleidovských metod. Přesto pokusy o jejich vyřešení v období antiky vedly nejen ke studiu speciálních křivek (Hippiova kvadratrix, Archimedova spirála, Dioklova cissoida, Nikomedova konchoida), kterými se budu v této práci zabývat především, ale i ke studiu kuželoseček, které s danou problematikou také souvisejí. Cílem této práce je v první řadě srozumitelně seznámit čtenáře s přístupem starořeckých matematiků k řešení výše zmíněných úloh a jazykem dnešní matematiky popsat vybrané metody, které se na ně snažili aplikovat. Dále tato práce může sloužit také jako motivace ke studiu historie matematiky a také ke studiu dalších neobvyklých křivek, kterým při výuce matematiky není dáván tak velký prostor jako jiným. 3

Kapitola 1 Pravidla Eukleidovských konstrukcí K úplnému pochopení zde probírané problematiky je nutné si zopakovat základní pravidla eukleidovské geometrie a podmínky konstruovatelnosti geometrických objektů. Poté nebude těžké ukázat, že trisekce úhlu ani kvadratura kruhu opravdu nejsou eukleidovsky řešitelné. A také díky tomu čtenář lépe pochopí některé základní vlastnosti speciálních křivek. Nebudu zde předvedená pravidla exaktně dokazovat, jen zjednodušeně nastíním základní principy dané problematiky. Podrobněji je problematika konstruovatelných čísel rozebrána např. v publikaci (Courant a Robbins 1942, s. 127 134). 1.1 Eukleidovská geometrie Již na základní škole se žáci setkávají v geometrii s konstrukčními úlohami, které mají řešit pouze pomocí pravítka a kružítka. Možnost použití pouze těchto dvou pomůcek vychází z postulátů, které sestavil řecký matematik Eukleides 1 ve svém slavném díle Základy, 2 podle kterého se geometrie vyučovala více než dva tisíce let. Na těchto postulátech, ale i dalších definicích a axi- 1 V literatuře se můžeme setkat také se jmény Euklid nebo Euklides. 2 Celé Základy se skládají ze třinácti knih, kde se Eukleides zabývá kromě geometrie také například teorií čísel. 4

omech pak stojí celá eukleidovská geometrie. Pro úplnost uvádím všech pět postulátů, ale v tuto chvíli se stačí soustředit na první tři, které nám říkají, jakým způsobem je možné provádět eukleidovskou konstrukci. Cituji pět postulátů z Eukleidových Základů: Úkoly prvotné: 3 1. Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. 2. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. 3. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. 4. A že všecky pravé úhly sobě rovny jsou. 5. A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně vnitřní (přilehlé) úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. (Eukleides 300 př. n. l., s. 2). První dva postuláty nám tedy říkají, že mohu libovolné dva body spojit a tím vytvořit úsečku, kterou pak mohu libovolně prodlužovat. To mi povoluje používat pravítko (ovšem nepovoluje mi ho používat k měření). Třetí postulát mi umožňuje použít kružítko k narýsování kružnice s libovolným středem o poloměru, který je daný úsečkou nebo vzdáleností zvoleného středu a bodu, který má ležet na kružnici. 1.2 Konstruovatelné objekty Na základě výše uvedených postulátů jsou postaveny tyto základní jednoduché konstrukce, jejichž opakováním mohu řešit geometrické úlohy. Sám Eukleides tyto konstrukce ve svých Základech nepopsal, považoval je za samozřejmé. Vystihují ale jeho přístup k řešení úloh. Je nutné ještě dodat, že k vyřešení 3 V překladu od Františka Servíta je pro postuláty použitý tento termín. 5

určité úlohy musí být možno aplikovat konečný počet kroků. Tyto základní konstrukce jsou: spojení dvou bodů přímkou (respektive její částí), narýsování kružnice se středem v jednom bodě a s poloměrem daným nějakou známou úsečkou, vytvoření bodu jako průsečíku dvou přímek, vytvoření bodu jako průsečíku přímky a kružnice, vytvoření bodu jako průsečíku dvou kružnic. Aby bylo možné začít s nějakou konstrukcí, tak je tedy nutné znát jeden bod v rovině a základní délku 4 (jednotku). Pomocí těchto dvou elementů už mohu konstruovat další přímky, kružnice a body. K ukázání toho, které body je možné eukleidovsky sestrojit, je nutné převést problém do řeči algebry a analytické geometrie zavedením pravoúhlé soustavy souřadnic. Je zadaný bod O a základní délka. Bodem O prochází libovolná přímka (osa x) a k ní je poté v tom samém bodě sestrojena kolmice (osa y). Zadaná základní délka tvoří měřítko na obou osách. Označme množinu všech konstruovatelných čísel K. V této možnině jsou obsaženy délky všech úseček, které je možné eukleidovsky sestrojit z jednotkové délky. Množina K je evidentně podmnožinou množiny reálných čísel R. Nyní je třeba ukázat, která čísla z množiny R do množiny K patří. Narýsováním známých úseček vedle sebe získáme novou úsečku o délce součtu původních. Dále můžeme úsečku rozdělit na libovolný počet stejných částí. Můžeme i pomocí tzv. redukčního úhlu mezi sebou délky násobit a dělit. 5 Tyto konstrukce ukazují, že množina K je uzavřená na sčítání, násobení a dělení (s výjimkou dělení nulou). Je ale také možné sestrojit úsečku, jejíž délka je rozdílem délek dvou zadaných úseček. Aby byla množina K uzavřená i na 4 Respektive dva body v rovině, jejichž vzdálenost určuje základní délku. 5 Tyto konstrukce jsou popsány například v (Boček a Zhouf 2009, s. 48 50). 6

odčítání, tak je nutné ji rozšířit o opačná čísla k číslům již obsaženým. 6 Po tomto rozšíření je množina K uzavřená na racionální operace a tvoří tedy těleso. Následuje definice této algebraické struktury: Definice 1. Množina T je těleso s operacemi + : T T T a : T T T s následujícími vlastnostmi: 1. T s operací + tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem 0. 2. T s operací je komutativní grupa 7 s jednotkovým prvkem 1. 3. Operace + a splňují pro všechna a, b, c T distributivní zákon: a (b + c) = a b + a c. (Olšák 2007, s. 22). Příkladem tělesa je množina racionálních čísel Q. Vzhledem k tomu, že můžeme konstruovat nová čísla pomocí racionálních operací, tak množina Q je jistě podmnožinou množiny K. Je však na první pohled jasné, že množina Q nestačí. Například číslo 2 do množiny Q nepatří, ale zkonstruovat ho jde jako úhlopříčku čtverce o straně délky 1. Podle Pythagorovy věty platí, že lze zkonstruovat každé číslo a + 1, a Q, které je úhlopříčkou v obdélníku o stranách 1 a a. Na tuto větu je potřeba vzpomenout především proto, že se používá k výpočtu vzdálenosti dvou bodů v soustavě souřadnic, kterou jsem výše zavedl. Získal jsem tedy další konstruovatelná čísla, která ovšem nepatří do Q. Zavedu tedy množinu K 1, která vznikne rozšířením množiny Q o množinu čísel ve tvaru a, a Q. Platí tedy Q K 1 K a všechna a K 1 mají tvar p + q r, kde p, q, r Q. Je jednoduché ukázat, že tato množina tvoří těleso a je tedy uzavřená na racionální operace. Ale množina K 1 stále ještě není množina všech konstruovatelných čísel. Také z těchto čísel mohu pomocí Pythagorovy věty generovat čísla další. Za- 6 Podotýkám, že délky jsou vždy kladná čísla. Pokud tedy bude v následujícím textu označeno nějaké číslo jako délka, tak předpokládám, že je kladná. Je však výhodné množinu K rozšířit i o záporná čísla, aby tato množina tvořila těleso. Další důvod rošíření je ten, že tato čísla nemusí vyjadřovat pouze délky, ale také souřadnice bodů, resp. složky vektorů. 7 Olšák v poznámce k této definici uvádí, že ne vždy je komutativita vzhledem k násobení vyžadována; pokud je splněna, tak se označuje jako komutativní těleso. (Olšák 2007, s. 22). 7

vedu tedy další rozšířenou množinu K 2, pro kterou platí Q K 1 K 2 K a všechna a K 2 mají tvar p + q r, kde p, q, r K 1. Tato množina opět tvoří těleso. Postupně mohu získané množiny stále rozšiřovat o odmocniny z čísel, která jsem byl schopen zkonstruovat už dříve. Platí tedy, že mohu postupně konstruovat čísla z množin K 1, K 2,..., K i,... K n, pro které platí: a K i a = p + q r, kde p, q, r K i 1 a K i K. Nyní je potřeba si uvědomit následující skutečnost. Vzhledem k tomu, že ke každému rozšíření množin K i došlo pouze pomocí racionálních operací a druhé odmocniny, tak platí, že všechna a K i+1 lze získat jako kořeny rovnice druhého řádu ve tvaru: ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c K i. 8 To samé vyplývá i z toho, že každý bod vzniká jako průsečík kružnice nebo přímky. Každá kružnice se středem S[s 1, s 2 ] a poloměrem r je dána obecnou rovnicí ve tvaru (x s 1 ) 2 + (y s 2 ) 2 = r 2 a každá přímka daná dvěma různými body A[a 1, a 2 ] a B[b 1, b 2 ] má rovnici y a 2 = b 2 a 2 b 1 a 1 (x a 1 ). Pokud existuje průsečík dvou takto zadaných rovinných útvarů, tak výpočet jeho souřadnic povede na rovnici nejvýše druhého řádu. A protože čísla a 1, a 2, b 1, b 2, s 1, s 2 K, tak kořeny této rovnice budou také náležet množině K. Ze způsobu, jakým jsou konstruovatelná čísla zavedena (každé takové číslo vzniká z racionálních čísel pomocí konečného počtu racionálních operací a konečného počtu aplikací druhé odmocniny), vyplývá zajímavá a také zásadní vlastnost těchto čísel všechna konstruovatelná čísla jsou algebraická. 9 To znamená, že každé takové číslo je kořenem polynomu s racionálními koeficienty. Čísla z množiny K i jsou kořeny polynomu stupně 2 i. (Courant a Robbins 1942, s. 133). Poslední důležitý poznatek, který bude nutný k pochopení některých faktů v následující kapitole, se týká kubických rovnic. Jak se dále ukáže, řešení ně- 8 Kořeny takové rovnice budou mít tvar: x 1,2 = b± b 2 4ac 2a. 9 Naopak čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. 8

kterých geometrických problémů k těmto rovnicím může vést. Zásadní je následující věta: 10 Věta 1. Pokud kubická rovnice s racionálními koeficienty nemá ani jeden racionální kořen, pak žádný z jeho kořenů není konstruovatelný. V této větě je sice popsána vlastnost rovnice s racionálními koeficienty, ale po vynásobení rovnice nejmenším společným násobkem jmenovatelů těchto koeficientů vznikne rovnice, na kterou je možné aplikovat větu následující. Ta ukazuje, jakým způsobem se dají hledat racionální kořeny polynomu. Věta 2. Je dán polynom p ve tvaru a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, kde a n, a n 1,..., a 1 a 0 Z. Je-li α = c (c, d Z a jsou nesoudělná) racionální d kořen polynomu p, pak d dělí a n a c dělí a 0. (Olšák 2007, s. 174). Tyto dvě věty umožňují dokázat, že úlohy popsané v příští kapitole opravdu nejsou eukleidovsky řešitelné. 10 V publikaci (Courant a Robbins 1942, s. 127 134) je celá problematika velmi důkladně a přehledně rozvedena, samozřejmě nechybí důkaz uvedené věty. 9

Kapitola 2 Tři klasické problémy antické matematiky S rozvojem geometrie v antice se objevily úlohy, se kterými si tehdejší učenci nedokázali poradit. Tři nejznámější z těchto úloh jsou: trisekce úhlu, duplicita (zdvojení) krychle a kvadratura kruhu. První známé geometrické pokusy o řešení těchto úloh se datují do 5. století před naším letopočtem a vedly k objevu a studiu nových křivek, kterými se budu zabývat v příští kapitole. Zadání těchto úloh se zdají na první pohled velmi jednoduchá. Ukážu však na základě informací z kapitoly 1.2, že je řešit nelze. 2.1 Trisekce úhlu Zadání: Rozdělte daný úhel na tři stejné části. Původ této úlohy zřejmě souvisí s řešením jiné úlohy, a to s konstrukcí libovolného n-úhelníku; například pravidelný devítiúhelník nikdo sestrojit nedokázal, ale kdyby šlo rozdělit úhel na tři stejné části, tak by tato konstrukce šla provést velmi snadno. (Heath 1981, s. 235). Rozdělit libovolný úhel na dvě poloviny je úkol téměř triviální, jehož postup je popsán snad v každé učebnici týkající se rovinné geometrie. Lze však každý úhel rozdělit také na tři stejné části? Nebo dokonce na libovolný počet částí? 10

Odpovědět na tyto otázky už není tak snadné. Můžeme říci, že každý úhel lze rozdělit postupným půlením úhlu na 2 k částí, kde k je přirozené číslo. Ale rozdělit úhel na počet částí vyjádřený jiným číslem než je mocnina dvojky už možné není. Analyticky to ukážu pro číslo tři, tedy pro rozdělení úhlu na tři části. Do počátku soustavy souřadnic umístím jednotkovou kružnici k se středem S, bod A leží na průsečíku kružnice a osy x a bod B je bodem na kružnici různým od A. Vznikne tak úhel α, který svírají úsečky SA a SB. Souřadnice jednotlivých bodů pak vypadají následovně: S[0, 0], A[1, 0] a B[cos α, sin α]. Hledání třetinového úhlu znamená, že hledám takový bod C, který bude mít souřadnice [cos α 3, sin α 3 ]. Protože platí, že sin α = ± 1 cos 2 α, tak stačí zkoumat, zda jde zkonstruovat první souřadnice bodu C, tedy úsečka délky cos α. Jelikož chci vyvrátit tvrzení, že každý úhel jde rozdělit na tři stejné 3 části, tak stačí uvést jeden protipříklad. Ukážu tedy, že pomocí kružítka a pravítka nelze úhel o velikosti 60 rozdělit na třetiny tedy na úhly o velikosti 20, což vede k hledání úsečky délky cos(20 ). Použiji následující vztah 1 pro goniometrické funkce: cos α = 4 cos 3 α 3 3 cos α 3. Po dosazení 60 za α, získávám: cos(60 ) = 4 cos 3 (20 ) 3 cos(20 ). Číslo cos(60 ) je známá tabulková hodnota rovna 1 2. Dále nahradím cos(20 ) neznámou x. Po úpravě získávám rovnici: 8x 3 6x 1 = 0. Na levé straně této rovnice je se nachází polynom třetího stupně. Pokud by kořenem tohoto polynomu bylo nějaké konstruovatelné číslo, tak by na základě 1 Tento vztah lze odvodit například výpočtem (cos α 3 +i sin α 3 )3 jednou závorku umocním jako dvoučlen a podruhé použiji Moivreovu větu. Pak porovnám výrazy bez imaginární jednotky a po jednoduché úpravě vyjde uvedená rovnost. 11

věty 1 na s. 9 musel mít alespoň jeden racionální kořen α ve tvaru c, kde c, d d jsou nesoudělná celá čísla. Podle věty 2 z kapitoly 1.2 pro racionální kořeny polynomu je tedy nutné, aby existoval takový kořen, že číslo 8 bylo dělitelné číslem d a zároveň aby číslo c bylo dělitelem čísla 1. Jedinými možnými racionálními kořeny jsou tedy čísla ±1, ± 1, ± 1 a ± 1. Po dosazení každého z těchto 2 4 8 čísel do polynomu ale rovnost neplatí, tudíž žádné z nich není kořenem daného polynomu. Z toho plyne, že tento polynom nemá žádný racionální kořen a tím pádem nemá ani žádný konstruovatelný kořen. Tímto je dokázáno, že libovolný úhel nejde rozdělit na tři stejné části, a tedy trisekce úhlu není eukleidovsky řešitelná. 2.2 Duplicita krychle Zadání: K dané krychli najděte krychli o dvojnásobném objemu. K této úloze se váže legenda, díky které se někdy nazývá také jako délský problém. Počátky řešení této úlohy sahají do doby, kdy na ostrově Délos propukl mor. Délané šli tedy do věštírny, kde jim bylo řečeno, že je bohové moru zbaví, pokud postaví ve svém chrámu nový oltář, který bude mít dvakrát větší objem než ten současný. Jejich řemeslníci si ale s problémem nedokázali poradit, a tak požádali o radu Platóna, který jim ale řekl, že věštec tím nemyslel, že bohové chtěji oltář o dvojnásobném objemu, ale přejí si zadáním tohoto úkolu zostudit Řeky za jejich zanedbávání matematiky a za jejich pohrdání geometrií. (Heath 1981, s. 246). Geometři se pokoušeli najít způsob, jak zdvojnásobit objem libovolného tělesa, ale přitom zachovat jeho tvar. A první těleso, se kterým to zkoušeli byla krychle, díky čemuž získala tato úloha svůj název. Veškeré snahy o vyřešení této úlohy po dlouhá léta nevedla k žádnému uspokojivému výsledku. Byl to až Hippokrates z Chiu, který jako první zjistil, že tato úloha by šla vyřešit, pokud by bylo možné vymyslet způsob nalezení tzv. dvou středních geometrických úměrných. (Heath 1981, s. 245). To znamená najít pro zadané 12

a takovou dvojici čísel x, y, pro která by platilo: a : x = x : y = y : 2a. 2 Odpověď na otázku, zda lze tuto úlohu vyřešit, podal v roce 1837 Pierre Wantzel, který dokázal, že je tato úloha neřešitelná. (Stewart 1972, s. 80). Vztah pro objemy obou krychlí vypadá takto: b 3 = 2a 3. Po odmocnění získávám vztah pro délky hran obou krychlí, který je: b = 3 2 a. Vyřešení této úlohy tedy znamená zkonstruovat úsečku délky 3 2. Toto číslo je jedním z řešení rovnice x 3 2 = 0. Stejně jako u trisekce úhlu je nutné zjistit, jestli má polynom na levé straně této rovnice nějaký racionální kořen. Kandidáty na kořeny jsou podle věty 2 z kapitoly 1.2 čísla ±1, ±2. Po dosazení uvedených čísel do polynomu rovnost neplatí, z čehož plyne, že tuto rovnici neřeší žádné racionální a tedy ani žádné konstruovatelné číslo. Proto délku 3 2 nejde eukleidovsky zkonstruovat, což dokazuje, že ani duplicita krychle není eukleidovsky řešitelná. 2.3 Kvadratura kruhu Zadání: K danému kruhu najděte čtverec se stejným obsahem. Poslední ze tří slavných antických problémů se stal v podstatě synonymem pro neřešitelné úlohy. První známé pokusy o vyřešení této úlohy se datují do druhé poloviny 5. století př. n. l. a jsou spojeny se jménem Anaxagoras; dále se toutu úlohou zabývali všichni možní učenci, kteří používali různé metody řešení; například Pythagorejci dokonce tvrdili, že tuto úlohu ve své škole vyřešili. (Heath 1981, s. 220). Porovnáním obsahu kruhu o poloměru r a čtverce o straně a s odpovídajícím obsahem lze získat následující vztah: π r 2 = a 2 ; pomocí algebraických úprav vyjádřím délku strany a v závislosti na poloměru r: a = π r. Jelikož číslo π nepatří do množiny K, 3 tak do ní nepatří ani číslo π. Z toho plyne, že délka a není konstruovatelná. 2 Obecně jde o hledání takových úseček o délkách x, y k zadaným úsečkám a, b tak, aby platilo: a : x = x : y = y : b. 3 Číslo π není algebraické, ale transcendentní, což podle dokázal v roce 1882 Ferdinand Lindemann. (Stewart 1972, s. 80). 13

Kapitola 3 Speciální křivky Neúspěšné pokusy o vyřešení zmíněných úloh pomocí eukleidovských metod nutily starověké matematiky k hledání alternativních způsobů. Jelikož si uvědomili, že jim nejspíše nepostačí pracovat s přímkami a kružnicemi, vedlo toto hledání ke zkoumání dalších křivek. Tuto skutečnost ilustruje následující citát: Závažnost těchto problémů tkví v tom, že nemohou být řešeny geometricky bez aproximace, tj. konstrukcí užívajících konečného počtu přímek a kružnic; právě proto se staly prostředkem k pronikání do nových oblastí matematiky. Vedly k objevení kuželoseček, některých kubických křivek, křivek čtvrtého řádu a jedné trancendetní křivky kvadratrix. (Struik 1948, s. 37). Je nutné podotknout, že starořečtí matematici se při zkoumání křivek uvedených v této kapitole uchylovali k nestandardním metodám konstrukce využívali pohyb objektů v rovině (viz např. Hippiova kvadratrix) nebo používali neeukleidovské pomůcky (viz např. Nikomédova konchoida). V jednotlivých částech této kapitoly se budu zabývat metodou konstrukce křivek a jejich užití z pohledu antických matematiků. Vše bude ale doplněno i o popis daných křivek z pohledu moderní matematiky. 14

3.1 Hippiova kvadratrix Název této křivky napovídá, že měla být využita hlavně ke kvadratuře kruhu. Své využití při řešení této úlohy také má, ale původně byla navržena jako prostředek k řešení trisekce úhlu. Proto se někdy nazývá také Hippiova trisektris; jde také o první známou křivku po kružnici a přímce. (Lomtatidze 2006, s. 41). V 5. století př. n. l. ji popsal Hippias z Elidy, řecký filozof (sofista) a vzdělanec, který se zabýval matematikou, astronomií, historií, gramatikou a dalšími obory. Hippias je zmíněn v Platónových dialozích Hippias minor a Hippias Major, kde je popsán jako sebestředný a arogantní muž, jehož učení má daleko k dokonalosti, ba je přímo absurdní. Toto Platónovo zobrazení Hippia ovšem není možné objektivně posoudit, protože z Hippiova díla se mnoho nedochovalo. 3.1.1 Zavedení a vlastnosti Řekové pracovali pouze s částí této křivky, která byla konstruovaná pomocí čtverce a pohybu dvou jeho stran. Následuje definice přizpůsobená dnešní terminologii: Definice 2. Je dán čtverec ABCD a dva pohyby takové, že: 1. úsečka BC se pohybuje ve směru vektoru BA, 2. úsečka AB se otáčí kolem bodu A proti směru hodinových ručiček, 3. oba pohyby jsou rovnoměrné, ve stejný moment začnou a obě úsečky také ve stejný moment splynou s úsečkou AD, pak průsečík obou pohybujících se úseček F opíše z bodu B do bodu G křivku nazývanou Hippiova kvadratrix. Na obrázku 3.1 je naznačený pohyb obou úseček. Bod E na tomto obrázku představuje krajní bod otáčející se úsečky, který na začátku pohybu splýval s bodem B. V definici je uvedeno, že F opíše křivku až do bodu G. Ale přesnou 15

Obrázek 3.1: Čtverec ABCD s několika vyznačenými body, které leží na Hippiově kvadratrix. polohu bodu G pomocí této konstrukce není možné určit, protože tento bod leží na úsečce AD, na které obě pohybující se úsečky splynou. K určení jeho souřadnic je potřeba najít analytický předpis Hippiovy kvadratrix. Umístím navzájem kolmé osy x a y tak, aby se protínaly v bodě A, bod B leží na ose x, bod D leží na ose y. Za jednotkovou vzdálenost zvolím délku strany čtverce a. Jelikož jsou pohyby obou úseček rovnoměrné a začnou i skončí ve stejnou chvíli, tak platí vztah: EAD : π 2 = x : AB, kde x je první souřadnice bodu F. Platí, že AB = a. Mohu tedy předešlý vztah upravit: EAD : π 2 = x : a Trojúhelník AHF je pravoúhlý, tak platí, že πx a tedy EAD = 2a. cotg AF H = HF : HA. Úhly EAD a AF H jsou střídavé, a tedy shodné, HA = x a HF = y. Získávám tak analytické vyjádření Hippiovy kvadratrix ve tvaru: 16

y = x cotg πx 2a. (3.1) Vyšel předpis funkce, která není v nule definovaná (x R {2ak, k Z}). Polohu bodu G lze ale dopočítat pomocí limity funkce v bodě: πx lim(x cotg x 0 2a ) = lim x x 0 tg πx 2a l H = lim Bod G má tedy souřadnice [0, 2a π ]. 1 x 0 π 2a cos 2 πx 2a 2a cos 2 πx 2a = lim x 0 π = 2a π. Obrázek 3.2: Graf funkce (3.1) pro a = 1 s vyznačeným čtvercem ABCD Jak vyplývá z předpisu funkce (3.1), tak Hippiova kvadratrix je transcendentní křivka, která má někonečně mnoho větví. 1 Z tohoto faktu ovšem také plyne, že eukleidovsky dokážeme sestrojit pouze některé body Hippiovy kvadratrix. 3.1.2 Využití Jak bylo uvedeno již na začátku této sekce, tak primární využití Hippiovy kvadratrix je k trisekci libovolného úhlu. Tato křivka přiřazuje každé části strany AB odpovídající část úhlu BAD, jak už napovídá samotná její definice. Problém dělení úhlu je tedy převeden na dělení úsečky, což je úkol jednoduchý. 1 Tento fakt byl ukázán až v roce 1650. (Lomtatidze 2006, s. 45). 17

Obrázek 3.3: Trisekce úhlu pomocí Hippiovy kvadratrix Metoda je popsána pomocí obrázku 3.3: ve čtverci ABCD je dán úhel E 1 AB. Bod F 1 je průsečík úsečky AE 1 s Hippiovou kvadratrix. Bod H 1 je kolmý průmět bodu F 1 na úsečku AB. Jak již bylo řečeno, tak Hippiova kvadratrix převádí dělení úhlu na dělení úsečky. Úsečka, kterou je třeba rozdělit, 2 je H 1 B. Rozdělením této úsečky na tři stejné části vznikají body H 2 a H 3, z nichž jsou vedeny kolmice na AB. Průsečíky těchto kolmic s Hippiovou kvadratrix jsou F 2 a F 3. Pak úhly F 1 AF 2, F 2 AF 3 a F 3 AB jsou všechny navzájem shodné a tedy úhel E 1 AB byl rozdělen na tři stejné části. Na první pohled se zdá, že takto lze rozdělit na tři stejné části pouze úhel o velikosti mezi 0 a π. Stačí si ovšem uvědomit, že rozdělit na tři stejné části 2 π úhel o velikosti znamená sestrojit úhel o velkosti π, což je možné např. 2 6 sestrojením osy vnitřního úhlu rovnostranného trojúhelníka. To znamená, že pokud je zadán úhel α > π 2, tak ho stačí rozdělit na úhly o velikosti π 2, a nějaký zbytek menší než π, který je poté možné rozdělit pomocí Hippiovy kvadratrix. 2 Pak jen ke třetině tohoto zbytkového úhlu přidáme odpovídající počet třetin odebraných pravých úhlů a tím je sestrojena třetina původního úhlu. 2 Metoda rozdělení úsečky na obrázku znázorněna není; standardně se úsečky dělí pomocí redukčního úhlu. 18

Rozdělení úhlu pomocí Hippiovy kvadratrix se samozřejmě neomezuje jen na dělení úhlu na tři části úsečku H 1 B je možné rozdělit na libovolný počet částí a tím i úhel E 1 AB. Druhé využití, které popíšu, je určeno k řešení kvadratury kruhu. V kapitole 2.3 je uvedeno, že problémem je najít úsečku c, pro kterou platí c = π r. V sekci 3.1.1 je vypočteno, že souřadnice bodu G jsou [0, 2a ], z čehož je také hned π vidět, že délka úsečky AG je 2 π (pro parametr a = 1). Nejprve je třeba získat úsečku délky π. Na obrázku 3.4 a) je znázorněn postup pomocí redukčního úhlu. Na ramena úhlu vyneseme tyto vzdálenosti: AB = 2 π, AC = 1 a AD = 2. Bodem C je vedena rovnoběžná úsečka s úsečkou BD, která protíná polopřímku AD v bodě E. Z podobnosti trojúhelníků pak vyplývá, že AB : AC = AD : AE. A tedy AE = π. Obrázek 3.4: a) Konstrukce úsečky délky π, b) konstrukce úsečky délky π r Na obrázku 3.4 b) je pak dále ukázána konstrukce úsečky délky π r, pro případ r = 1. Trojúhelník F HI je pravoúhlý, protože vrchol I leží na Thaletově kružnici nad úsečkou F H; F G = 1, GH = π. Podle Eukleidovy věty o výšce pravoúhlého trojúhelníka platí, že GI 2 = F G GH a tedy GI = F G GH = 1 π = π. Úsečka F I je hranou hledaného čtverce se stejným obsahem, jaký má jednotková kružnice. Poslední využití Hippiovy kvadratrix, které zmíním, slouží k rektifikaci kružnice. Tato úloha nepatří mezi zmíněné tři klasické problémy antické matematiky, ale úzce s nimi souvisí, konkrétně s kvadraturou kruhu. Řešit tuto úlohu znamená k dané kružnici o poloměru r najít úsečku, která bude mít 19

délku a rovnou obvodu této kružnice. Platí tedy vztah a = 2πr. Jak bylo výše v textu ukázáno, tak pomocí Hippiovy kvadratrix lze sestrojit úsečku délky π, a pak už je řešení této úlohy snadné. Staří Řekové ovšem použili jiný postup. Autorem tohoto postupu byl Deinostratos, který dokázal, že pro úsečky AG, AD a oblouk BD (jeho délku označím o 1 ) z obrázku 3.1 platí následující vztah: AG AD = AD o 1. (Lomtatidze 2006, s. 44). Dále je potřeba zkonstruovat kružnici o poloměru AG a čtvrtinu jejího obvodu označím o 2. Jelikož oblouk BD má délku čtvrtiny kružnic, tak z podobnosti kružnic plyne: AG AD = o 2 o 1. Pak jistě také platí a AD o 1 = o 2 o 1, a tedy AD = o 2. Pomocí redukčního úhlu je pak možné hledat úsečky, které odpovídají čtvrtině obvodu dalších kružnic (o poloměru r, čtvrtinu obvodu označím o 3 ), podle vztahu AG AD = r o 3. Popsané metody užití Hippiovy kvadratrix i její samotná konstrukce nebyly přijaty dalšími matematiky příliš kladně. Kritizována byla především kvůli nutnosti využití pohybu objektů v rovině; například Sporus tuto křivku nepřijal z toho důvodu, že není možné správně sesynchronizovat pohyby obou úseček. (Heath 1981, s. 229). 3.2 Kuželosečky Další zkoumané křivky po Hippiově kvadratrix byly kuželosečky. Počátek jejich zkoumání souvisí s řešením duplicity krychle. Už přibližně v 5. století př. n. l. byl tento problém převeden na hledání dvou středních geometrických úměrných; kolem roku 350 př. n. l. pak Menaichmos nalezl dva způsoby řešení. (Lomtatidze 2006, s. 45). Není úplně jisté, jak Menaichmos zjistil, že objevené křivky lze získat také jako řezy kužele. Kuželosečky obdržel jako řezy rotačního kužele rovinou kolmou k vytvořující přímce. Různé typy kuželoseček pak získal tak, že změnil vrcholový úhel kužele; proto se kuželosečky původně nazývaly jako řezy ostroúhlého, pravoúhlého a tupoúhlého kužele. Dodnes známé názvy pro kuželo- 20

sečky zavedl až Apollónios z Pergy ve svém osmidílném 3 spisu O kuželosečkách. (Lomtatidze 2006, s. 48 49). Hledání dvou středních gemoetrických úměrných znamená v tomto případě najít takové x, y, aby platilo a : x = x : y = y : 2a, kde a je hrana zadané krychle. Z daných vztahů vyplývají následující rovnice: x 2 = ay, y 2 = 2ax a xy = 2a 2. První a druhá rovnice jsou rovnice parabol a třetí je rovnice rovnoosé hyperboly. Když například z třetí rovnice vyjádřím y = 2a x a dosadím do první rovnice, tak získám vztah x 3 = 2 a 3, který odpovídá vztahu pro řešení duplicity krychle. Z toho vyplývá, že zdvojnásobit objem krychle znamená najít průsečík některých dvou výše uvedených kuželoseček. Menaichmos se pokoušel řešit úlohu dvěma způsoby ve svém prvním řešení zjistil, že úlohu řeší průsečík paraboly s hyperbolou, a v druhém průsečík obou parabol. (Heath 1981, s. 253). Dané křivky nejdou sestrojit eukleidovsky, proto není v tomto případě možné nalézt jejich průsečík, lze se k němu pouze přiblížit. 3.2.1 První řešení Menaichmovo první řešení duplicity krychle vedlo k objevení paraboly a hyperboly, jejichž průsečík P byl bod, pomocí něhož by bylo možné úlohu vyřešit. Vycházím z obrázku 3.5. V rovině jsou dány dvě navzájem kolmé přímky x a y, jejich průsečík je bod O. Pro zjednodušení budu s přímkami pracovat jako s osami kolmé soustavy souřadnic se středem v bodě O[0, 0] a jednotkovou délkou a. 4 Na ose x leží bod A[ 2, 0] a na ose y bod B[0, 1]. Bod C[x 1, 0] leží na polopřímce opačné k polopřímce OA a bod D[0, y 1 ] na polopřímce opačné k polopřímce OB tak, aby platilo: OB : OC = OC : OD a tedy OC 2 = OB OD. 3 První čtyři díly se dochovali v řečtině, tři díly pouze v arabském překladu a poslední se nedochoval vůbec. 4 Dále v textu tedy platí, že a = 1. 21

Obrázek 3.5: Menaichmovo první řešení s některými vyznačenými body ležícími na kuželosečkách Bod X 1 tvoří s body O, C, D pravoúhlý rovnoběžník. Pro různé hodnoty x 1 tedy vzniká množina bodů X 1 [x 1, y 1 ], pro jejichž souřadnice platí vztah y 1 = x 2 1. Množina bodů X 1 tedy tvoří parabolu. Další bod, se kterým budu pracovat nazvu E[0, y 2 ]. Ten leží na polopřímce opačné k polopřímce OB tak, aby platil následující vztah: OB : OC = OE : OA a tedy OE = OB OA. OC Bod X 2 tvoří s body O, C, E pravoúhlý rovnoběžník. Pro různá x 1 bodu C[x 1, 0] vzniká množina bodů X 2 [x 1, y 2 ]; pro jejich souřadnice platí vztah: y 2 = 2 x 1. Množina bodů X 2 tvoří hyperbolu. Společný bod obou křivek P vznikne ve chvíli, kdy splynou body D a E (pro jejich souřadnice tedy platí: y 1 = y 2 ). V takovém případě platí: OB : OC = OC : OD = OD : OA. Pak také platí OC = DP, OD = CP, takže: OB : DP = DP : CP = CP : OA a tedy 1 : x 1 = x 1 : y 1 = y 1 : 2. 22

Obrázek 3.6: Menaichmovo druhé řešení s některými vyznačenými body ležícími na kuželosečkách 3.2.2 Druhé řešení V druhém řešení zůstávají body C, D a množina bodů X 1 z prvního řešení (viz obrázek 3.6). Dále na polopřímce opačné k OB leží bod F [0, y 3 ] a na polopřímce opačné k OA leží bod G[x 2, 0] tak, aby platilo OG : OF = OF : OA, a tedy OF 2 = OG OA. Bod X 3 tvoří s body O, G, F pravoúhlý rovnoběžník. Pro různá x 3 tak vzniká množina bodů X 3 [x 2, y 3 ], pro jejichž souřadnice platí vztah y3 2 = 2x 2. Množina bodů X 3 tedy tvoří druhou parabolu. Průsečík objevených parabol P vznikne, když splyne dvojice bodů C a G a tím pádem i dvojice bodů D a F. V takovém případě zjevně platí OC = OG = DP a OD = OF = CP, z čehož plyne hledaný vztah: OB : DP = DP : CP = CP : OA a tedy 1 : x 1 = x 1 : y 1 = y 1 : 2. 23

3.2.3 Nekonstruovatelnost průsečíku kuželoseček O parabolách i hyperbolách je známo, že lze zkonstruovat jejich libovolný bod. Proč je tedy i přes tento fakt bod P z předchozího textu nekonstruovatelný? Odpověď vychází z toho faktu, že při konstruování libovolného bodu kuželosečky se nenápadně (ale přesto zásadně) porušuje jedno z pravidel eukleidovských konstrukcí. Obrázek 3.7: Konstrukce libovolného bodu paraboly Nejprve ukážu, jak lze synteticky zkonstruovat libovolný bod paraboly popsané v Menaichmově prvním řešení. 5 Na obrázku 3.7 je přímka p a na ní bod A. Ke každému bodu X k mohu sestrojit v polorovině nad přímkou p bod Y k takový, že úsečka X k Y k bude kolmá na přímku p. Pro délku X k Y k platí: X k Y k = AX k 2. Na obrázku 3.8 je ukázána konstrukce této vzdálenosti; je dán pravoúhlý trojúhelník ABX k s odvěsnami BX k = 1 a AX k = x, bodem A prochází přímka q kolmá na úsečku AB. Pro průsečík přímek p a q platí podle Eukleidovy věty o výšce pravoúhlého trojúhelníka: X k Y k = x 2. Podobně je možné zkonstruovat libovolný bod hyperboly z prvního Menaichmova řešení (viz obrázek 3.9). Je zadán bod A, kterým prochází přímka p. Ta je tak rozdělena na dvě polopřímky. Budu pracovat jen s jednou z nich. K libovolnému body X k mohu v polorovině nad přímkou p zkonstruovat bod Y k tak, 5 Záměrně se vyhýbám způsobu konstrukce pomocí řídící přímky a ohniska, což jsou pojmy v době objevení kuželoseček samozřejmě ještě nedefinované. 24

Obrázek 3.8: Konstrukce úsečky o délce AX k 2 že úsečka X k Y k bude kolmá na přímku p pro délku X k Y k platí: X k Y k = 2 AX k.6 Obrázek 3.9: Konstrukce libovolného bodu hyperboly Pravidlo, které je u těchto postupů porušeno, je to, že nové body eukleidovské konstrukce mohu konstruovat pouze jako průsečíky přímek a kružnic. Body X k byly však voleny bez jakýchkoliv omezení, a tedy nejsou propojeny s ostatními body žádným vztahem. Na první pohled se může zdát, že to není důležité. Důsledkem tohoto však je, že neexistuje způsob, jak přesně určit vzdálenost takto získaného bodu například od bodu A. Po převedení problému do souřadné soustavy by tak ani nebylo možné určit souřadnice bodů X k a tedy ani bodů Y k. Na druhou stranu by bylo možné si bokem konstruovat z jednotkové vzdálenosti délky, které patří do množiny K, a pomocí nich pak konstruovat 6 Postup této konstrukce pomocí redukčního úhlu je obdobný postupu uvedeném na obrázku 3.4 a) na straně 19. 25

body X k. To by ale pak již významně omezovalo termín libovolný bod. Pokud bych tedy tímto ne zcela eukleidovským způsobem chtěl konstruovat parabolu a hyperbolu v takové vzájemné poloze, jaká je uvedena v Menaichmově prvním řešení, tak by vznikly dvě množiny bodů, které by sice ležely na hledaných křivkách, ale nebylo by možné určit přesnou polohu žádného z nich. A tudíž by nebylo možné určit ani přesnou polohu jejich průsečíku, protože by u žádného z bodů nešlo rozhodnout, zda to je průsečík, nebo pouze bod z jeho blízkého okolí. 3.3 Archimedova spirála Není příliš velké překvapení, že řešením klasických problémů se zabýval i jeden z největších myslitelů starověkého Řecka, a to Archimedes ze Syrakus (287 212 př. n. l.). O životě a přínosu této osobnosti matematice i ostatním vědám již byly popsány tisíce stran, a tak zmíním jen ty nejzákladnější informace. Téměř celý svůj život strávil ve městě Syrakusy, kde se i narodil. Jediná potvrzená delší etapa jeho života, kterou strávil mimo Syrakusy, bylo jeho studium v Alexandrii, kde se údajně seznámil s Eukleidem. Po studiích se vrátil zpět do Syrakus, kde působil jako stavitel válečných strojů. Samotné využití ho ovšem tolik nezajímalo jeho hlavní zájem bylo technické řešení. K smrti Archimeda se váže zajímavá legenda. Syrakusy byly za jeho života obléhány Římany. Po dlouhém obléhání bylo město dobyto a Archimedes byl zabit jedním římských vojákem, který ho chtěl odvést. Archimedes ovšem odmítl odejít předtím, než dořeší svůj matematický problém, načež jej rozzuřený voják zabil. Ve svém díle Kvadratura paraboly popsal metodu výpočtu plochy ohraničenné parabolou a přímkou. Jeho metoda je založena na výpočtu plochy jako součtu nekonečné řady. Z geometrického hlediska je tato metoda založena na podobném principu jako výpočet určitého integrálu. Dále objevil metodu k výpočtu čísla π s libovolným stupněm přesnosti pomocí tzv. vyčerpávací metody. 26

Jeho nejslavnější přínos patří ale fyzice. Formuloval totiž jeden ze základních zákonů hydrostatiky, který se týká vztlaku, a také po něm nese jméno Archimedův zákon. S tímto objevem souvisí také známá legenda o koruně syrakuského krále, který chtěl po Archimedovi, aby ověřil, zda je koruna opravdu z ryzího zlata. Jelikož korunu nesměl nijak poškodit, musel přijít na způsob, jak zjistit její objem bez toho, aby ji přetavil do nějakého pravidelného útvaru. Poté by mohl určit hustotu koruny, kterou by porovnal s hustotou ryzího zlata. Řešení ho údajně napadlo při koupeli, když si všiml vzestupu hladiny po tom, co se do ní ponořil. Pak mělo následovat slavné a dodnes citované i parodované zvolání Heuréka. 3.3.1 Zavedení a vlastnosti Dílo, které souvisí s tématem mé práce, je Archimedův spis O spirálách, ve kterém podává definici spirály, která po něm byla také pojmenována. Definice 3. V rovině je dán pevný bod O, který je zároveň krajním bodem polopřímky. Tato polopřímka se kolem bodu O rovnoměrně otáčí. Současně se od bodu O po polopřímce rovnoměrně pohybuje bod S. Oba tyto body na začátku pohybu splývaly. Pak bod S opíše spirálu. Bod O se nazývá pólem spirály. Uvažuji spirálu v soustavě souřadnic 7 (viz obr. 3.10), kde bod O leží v počátku této soustavy. Z definice vyplývá, že vzdálenost bodu S od bodu O se lineárně zvětšuje s úhlem, o který se otočí daná polopřímka vzhledem ke kladné části osy x. V polárních souřadnicích předpis této křivky vypadá takto: r = a θ, kde r je délka průvodiče bodu S, a je kladný reálný parametr (na obr. 3.10 a = 1) a θ je úhel a o který se otočí polopřímka OS. Polopřímka OS se může otáčet ve dvou směrech. Osu x označím za počáteční rameno a pohybující se polopřímku za koncové rameno orientovaného 7 Osa x je zároveň polární osou spirály, kterou Archimedes nazýval počáteční čára pohybu. (Lomtatidze 2006, s. 56). 27

Obrázek 3.10: Některé body ležící na Archimedově spirále úhlu θ. Pak získám získám levotočivou spirálu, pokud úhel θ nabývá kladných hodnot, a pravotočivou, pokud nabývá hodnot záporných. Parametrické vyjádření spirály vypadá takto: x = r cos θ = a p cos p y = r sin θ = a p sin p, kde p je parametr takový, že pro kladná p 0 vznikne levotočivá spirála a pro p 0 pravotočivá. Vzdálenosti průsečíků spirály s osami od počátku (pólu spirály) tvoří aritmetickou posloupnost a n = a n π, kde n N. Pro výše užitý parametr a = 1 2 vypadá posloupnost takto: 0, π 2, π, 3π 2, 2π,, diference této posloupnosti je π 2 ; zjevně diference pro obecné a je: a π. Obecně jsou prvky této posloupnosti 2 samozřejmě řazeny ve směru otáčení spirály. 3.3.2 Využití Podobně jako v případě Hippiovy kvadratrix i Archimedova spirála přiřazuje určitému úhlu vzdálenost, což napovídá už předpis této křivky v polárních souřadnicích. Je proto zřejmé, že také ji lze využít k trisekci úhlu. 28

Obrázek 3.11: Trisekce úhlu pomocí Archimedovy spirály Na obrázku 3.11 je naznačena konstrukce třetinového úhlu ABC (dále v textu bude zjednodušení značen jako α). Pro délku průvodiče bodu C platí r 1 = a α. Pro třetinový úhel tedy platí vztah r 2 = a α. Z těchto dvou vztahů 3 tedy platí, že r 1 = 3r 2. Hledám tedy bod, který leží na spirále a jehož vzdálenost od bodu B je r 1 3 = BC. Sestrojím proto na úsečce BC bod D takový, 3 že dělicí poměr (BCD) = 1. Pak už stačí sestrojit kružnici se středem v 2 bodě B, která prochází bodem D, a její průsečík E se spirálou je hledaný bod, kterým je určen úhel o velikosti α 3 = ABE. Jak bylo uvedeno na začátku této kapitoly, vzdálenost průsečíků spirály s osami soustavy souřadnic od počátku tvoří pro parametr a = 1 posloupnost 0, π, π, 3π, 2π,. Tyto délky (kromě 0) lze tedy využít ke kvadratuře kruhu, 2 2 případně i k rektifikaci kružnice, podobně, jak to bylo ukázáno u Hippiovy kvadratrix. Archimedes nabídl ještě další způsob užití spirály k rektifikaci kružnice, který popíšu pomocí obrázku 3.12: Bod O je pól spirály. Přímka F T je tečnou spirály v bodě P a úsečka OT je kolmá na úsečku OP. Po sestrojení kružnice ve středem v bodě O, která prochází bodem P vznikne průsečík A s osou x. Pak je oblouk AP stejně dlouhý jako úsečka OT. (Heath 1981, s. 230 231). Délku oblouku AP, který přísluší úhlu θ, označím o. Tato délka se spočítá 29

Obrázek 3.12: Rektifikace kružnice pomocí Archimedovy spirály z (Lomtatidze 2006, s. 56) pomocí vzorce: o = r θ = ap 2. Moderními analytickými metodami ukážu, že zároveň platí: OT = ap 2. Ověření provedu pro tři možné polohy přímek OP a t vzhledem k ose y. První možnost je, že přímky OP i t jsou s osou y různoběžné. 8 Potom se směrnice k tečny t získá z parametrického vyjádření Archimedovy spirály: k = dy dx = (a p sin p) (a p cos p) = a sin p + a p cos p a cos p a p sin p Tečna v bodě P [a p cos p, a p sin p] má tedy rovnici: t : (y a p sin p) = = sin p + p cos p cos p p sin p. sin p + p cos p (x a p cos p). cos p p sin p Přímka OP má rovnici y = x tg p; přímka OT je na OP kolmá, její rovnice je tedy: OT : y = x cotg p = x cos p sin p. Bod T [x T, y T ] je průsečík přímek OT a t, dosadím tedy do rovnice tečny t za neznámou y: ( ) cos p x T a p sin p = sin p sin p + p cos p cos p p sin p (x T a p cos p). Po roznásobení pravé strany a převedení výrazů obsahujících x T na jednu stranu rovnice získávám: ( sin p + p cos p cos p p sin p + cos p ) ( ) sin p + p cos p x T = a p cos p sin p cos p p sin p sin p. 8 Z toho plyne, že výrazy sin p a (cos p a p sin p), které se vyskytují v následujícím výpočtu, jsou různé od nuly. 30

Převedu zlomky na obou stranách rovnice na společné jmenovatele a po úpravě obdržím: sin 2 p + cos 2 p (cos p p sin p) sin p x T = a p p (sin2 p + cos 2 p) cos p p sin p. Výraz sin 2 p + cos 2 p, který se vyskytuje v čitatelích zlomků na obou stranách rovnice, je roven jedné. Po vynásobení rovnice jmenovatelem zlomku na levé straně tedy získávám vztah: x T = ap 2 sin p. Po dosazení x T do rovnice přímky OT získávám druhou souřadnici bodu T : y T = cos p sin p ap2 sin p = ap 2 cos p. Ze souřadnic bodu T je možné dopočítat délku úsečky OT : OT = x 2T + y2t = a 2 p 4 sin 2 p + a 2 p 4 cos 2 p = a 2 p 4 (sin 2 p + cos 2 p) = ap 2. V tomto případě tedy Archimedovo tvrzení platí. Druhá možnost se týká případu, kdy je t rovnoběžná s osou y. Tečna t v bodě P [a p cos p, a p sin p] je tedy nyní předepsána rovnicí: t : x = a p cos p. Přímka OT má i v tomto případě rovnici: OT : y = x cos p sin p. Bod T [x T, y T ] má x-ovou souřadnici vyjádřenou výrazem a p cos p. Po dosazení do rovnice přímky OT za x dopočítám druhou souřadnici: Pro délku úsečky OT platí: OT = OT = a p y T = a p cos p cos p sin p = a p cos2 p sin p. x 2 T + y2 T = a 2 p 2 cos 2 p + a 2 p 2 cos4 p sin 2 p = a p cos 2 p cos 2 p + cos4 p sin 2 p, ( ) ( ) 1 + cos2 p 1 sin 2 = a p cos 2 p p sin 2 = a p cotg p. p 31

Protože je tečna t rovnoběžná s osou y, platí, že dx v bodě P je rovno nule: dx = a cos p a p sin p = 0, a tedy p = cotg p. Po dosazení do posledního výrazu získávám: OT = ap 2. Poslední možnost, která může nastat, je, že přímka OT bude rovnoběžná (a zároveň splývající) s osou y. Její rovnice je tedy: x = 0. Souřadnice bodu T jsou tedy [0, y T ]. Rovnice tečny t je stejně jako v prvním případě: t : (y a p sin p) = Do rovnice dosadím za x nulu: (y T a p sin p) = sin p + p cos p (x a p cos p). cos p p sin p sin p + p cos p ( a p cos p). cos p p sin p Protože pro parametr p v tomto případě platí vztah p = π + kπ, kde k Z, mohu nahradit sin p nulou: y T = p cos p cos p ( a p cos p) = ap2 cos p. Pro cos p platí, že je roven ±1; tudíž mohu předešlý výraz upravit: y T = ±ap 2. Pro úsečku OT tedy opět platí: OT = y T = ap 2. Tímto jsem ověřil, že uvedené tvrzení platí a Archimedovu spirálu lze použít k rektifikaci kružnice a následně i ke kvadratuře kruhu. 32

3.4 Dioklova cissoida Za účelem vyřešení duplicity krychle byla zavedena také Dioklova cissoida. 9 Diokles (240 180 př. n. l.) ji definoval ve své nedochované práci O zápalných zrcadlech. Z tohoto díla jsou známy jen dva fragmenty, a to díky Eutokiovi; v prvním z nich řeší pomocí kuželoseček problém rozdělení koule tak, aby objemy vzniklých částí byly v daném poměru, a ve druhém zavádí právě cissoidu, kterou užil k nalezení dvou středních geometrických úměrných. (Heath 1981, s. 264). Obrázek 3.13: List břečťanu Název cissoida pochází z řeckého ekvivalentu pro sousloví podobná břečťanu (viz obrázek 3.13). Na první pohled nemusí být smysl tohoto názvu patrný, ale jak se ukáže dále, jistá podobnost zde je tvar cissoidy je podobný tvaru spodní hrany listu břečťanu. 3.4.1 Zavedení a vlastnosti Diokles pracoval pouze s částí této křivky. Následuje její původní definice (viz obrázek 3.14): Definice 4. Je dána kružnice k se středem S a poloměrem a. V ní jsou sestrojeny dva navzájem kolmé průměry AB a CD. Na kružnici k leží body E (na oblouku CAD) a F (na oblouku CBD) tak, aby úhly ESC a F SC byly 9 V česky psané literatuře lze nalézt také pod počešťěným názvem kisoida. 33

shodné. Bod G je kolmý průmět bodu E na úsečku AB. Bod I je průsečík úseček EG a AF. Pro různé polohy bodu E (a tedy i bodu F ) vznikne množina bodů I, která tvoří Dioklovu cissoidu. Obrázek 3.14: Kružnice k s několika body ležícími na Dioklově cissoidě Jak je z definice i obrázku patrné, tak v tomto případě křivka neopustí prostor ohraničený kružnicí k. Proto se v dnešní době užívá jiná definice, která umožňuje zkoumání této křivky ve větším rozsahu (viz obrázek 3.15): Definice 5. Na průměrem AB = 2a je sestrojena kružnice k, která má v bodě B tečnu t. Na této tečně leží bod T. Bod F je průsečík polopřímky AT s kružnicí k. Bod I leží na polopřímce AT tak, aby platilo AI = F T. Pro různé polohy bodu T vznikne množina bodů, která tvoří Dioklovu cissoidu. (Lomtatidze 2006, s. 52). Z této definice vyplývá, že tečna t je asymptotou Dioklovy cissoidy. I když budu brát v úvahu body T čím dál vzdálenější od bodu B, tak polopřímka AT s přímkou t budou vždy svírat úhel větší bež 0 ; také bude vždy platit, že AF > 0 a tedy i T I > 0. Vzdálenost bodu I od přímky t se tedy bude postupně zmenšovat, ale vždy bude větší než 0. 34

Obrázek 3.15: Konstrukce Dioklovy cissoidy podle druhé definice Díky druhé definici je po zavedení souřadného systému poměrně jednoduchá cesta k odvození analytického předpisu této křivky. Bod A zvolím za počátek soustavy, přímku AB za osu x a za osu y kolmici k AB, procházející bodem A. Bod A má tedy souřadnice [0, 0], bod B[2a, 0]. Hledanému bodu I přiřadím souřadnice [x, y]. Z podobnosti trojúhelníků AGI a AHF vyplývá tento vztah: AG : AH = GI : HF. Bod G je kolmý průmět bodu I na osu x. Z toho plyne, že má stejnou x-ovou souřadnici jako bod I. Souřadnice bodu G jsou tedy [x, 0], a proto GI = y Bod H je kolmý průmět bodu F na osu x, mají tedy stejnou x-ovou souřadnici. Protože AI = F T, tak také AG = HB = x a tedy AH = 2a x. Trojúhelník SHF je pravoúhlý, pro jeho strany platí: HS = a x, SF = a. Platí tedy následující vztah: F H = a 2 (a x) 2 ; po úpravě získávám, že F H = 2ax x 2. Odtud plyne první podmínka pro x: 0 x 2a. Nyní už mohu dosadit do vztahu GI : HF = AG : AH : y 2ax x 2 = x 2a x. 35

Po vyjádření y mohu rovnici umocnit na druhou (obě strany rovnice jsou kladné a zbavím se tím odmocniny i absolutní hodnoty): y 2 = x2 (2ax x 2 ) (2a x) 2 = x3 (2a x) (2a x) 2 = x3 2a x. Z posledního výrazu plyne druhá podmínka pro x: x 2a. To lze ostatně odvodit i z toho faktu, že přímka t : x = 2a je asymptota Dioklovy cissoidy. Rovnice této křivky je tedy: y 2 = x3 2a x s podmínkou pro x: 0 x < 2a; y nijak omezené není, nabývá všech reálných čísel. Stejná rovnice by vyšla i podle první definice (viz obrázek 3.14) na základě podobnosti trojúhelníků AGI a AHF ; metoda odvození je totožná s výše uvedenou. Jediný rozdíl je v tom, že x je v tomto případě omezeno takto: 0 x a; pro y pak platí: a y a. I u této křivky je samozřejmě problém v tom, že pomocí kružítka a pravítka lze zkonstruovat jen některé její body, ale celou ji setrojit nelze. Existuje však způsob, jak ji sestrojit neeukleidovsky. Tuto metodu objevil Isaac Newton. (Brieskorn a Knörrer 1981, s. 11). Dále popsaný postup by byl při vyrobení odpovídajícího mechanického nástroje možný použít k této konstrukci. Je dána přímka a a bod A, který leží mimo tuto přímku (viz obrázek 3.16). Bod O je kolmý průmět bodu A na přímku a. Na přímce se pohybuje bod C. Pro bod B platí, že je vrcholem pravého úhlu ABC, BC = AO a přímka AB je různoběžná s přímkou a; délka úsečky AB se mění se změnou polohy bodu C. Bod I je střed úsečky BC a při uvedeném pohybu opíše Dioklovu cissoidu. (Brieskorn a Knörrer 1981, s. 12). Při změně polohy bodu I na úsečce BC tento bod při uvedeném pohybu opíše další křivky, které jsou v jistém smyslu deformacemi Dioklovy cissoidy. (Brieskorn a Knörrer 1981, s. 13). 36