p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti stačí znát složky obecných napětí ve třech vzájemně kolmých řezech, které lze vhodným způsobem sestavit do tenzoru napětí T σ. Ten lze zapsat ve formě čtvercové matice T σ = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Vzhledem k symetrii tenzoru napětí, která plyne z předpokladu malých deformací a věty o sdruženosti smykových napětí (τ ij = τ ji ) je pouze šest složek tenzoru napětí nezávislých tři napětí normálová (σ x, σ y, σ z ) a tři smyková (τ xy, τ xz, τ yz ). napjatost sdruženost τ 16.1. Hlavní souřadnicový systém Významnou vlastností všech tenzorů je existence hlavního souřadnicového systému, v němž jsou mimodiagonální souřadnice tenzoru nulové. Souřadnicové plochy hlavního souřadnicového systému nazýváme hlavními rovinami. V hlavních rovinách tenzoru napětí nepůsobí tedy smyková napětí (τ ij = 0), ale jen napětí normálová. Nazýváme je hlavní napětí a zavádíme pro ně značení číslicemi podle konvence σ 1 σ σ 3. hlavní s.s. OBSAH další
p16 Tenzor napětí T σ v hlavním souřadnicovém systému má tvar T σ = σ 1 0 0 0 σ 0 0 0 σ 3 Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v níž jsou smyková napětí rovna nule (tj. obecné napětí v řezu je kolmé k tomuto řezu ( f ρ = σ ρ )). Hlavní napětí σ i (i = (1,, 3)) lze vypočítat ze známých hodnot tenzoru T σ v jakémkoliv obecném souřadnicovém systému. Určíme je řešením charakteristické rovnice tenzoru napětí [1]: obecné napětí σ 3 i I 1 σ i + I σ i I 3 = 0, kde I 1, I a I 3 jsou invarianty tenzoru napětí dané vztahy I 1 = σ x + σ y + σ z, I = σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z τxy τyz τxz, I 3 = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z 16.. Určení napětí v obecné rovině
p16 3 Potřebujeme-li ze známých hlavních napětí určit napětí f ρ, σ ρ a τ ρ, je vhodné uvolnit elementární čtyřstěn se třemi stěnami v hlavních rovinách. V hlavních rovinách působí hlavní napětí σ 1, σ, σ 3. Řez ρ je určen jednotkovým vektorem normály e ρ, který má v hlavním souřadnicovém systému složky α 1, α, α 3 (α i směrové kosiny normály roviny ρ). Při zanedbání objemových sil dostaneme z rovnic statické rovnováhy elementu vztahy pro složky obecného napětí v řezu ρ f ρ1 = σ 1 α 1, f ρ = σ α, f ρ3 = σ 3 α 3 nebo zjednodušeně v maticové podobě f ρ1 f ρ = T σ α, f ρ f ρ3 = σ 1 0 0 0 σ 0 0 0 σ 3 Velikost obecného napětí určíme ze vztahu pro velikost vektoru f ρ = fρ 1 + fρ + fρ 3 = σ1α 1 + σα + σ3α 3 Pro posouzení mezních stavů je často důležité znát normálovou ( σ ρ ) a smykovou ( τ ρ ) složku obecného napětí f ρ. Velikost normálového napětí určíme jako průmět f ρ do směru normály k ρ: σ ρ = f ρ e ρ = σ 1 α 1 + σ α + σ 3 α 3 α 1 α α 3
p16 4 Určit smykové napětí je mnohem složitější, protože neznáme směr jeho působení v rovině ρ. U izotropních materiálů není nutné při vyšetřování mezních stavů znát tento směr. Proto můžeme určit jen jeho velikost z Pythagorovy věty (viz obr.) τ ρ = f ρ σ ρ, do níž dosadíme vypočtené hodnoty velikostí f ρ a σ ρ. 16.3. Napětí v oktaedrické rovině V množině rovinných řezů ρ v bodě tělesa je z hlediska mezního stavu pružnosti významná tzv. oktaedrická rovina, jejíž normála svírá s hlavními osami 1,, 3 stejné úhly α o, tedy i směrové kosiny α o jsou stejné: α 1 = α = α 3 = α o, α 1 + α + α 3 = 3α o = 1, α o = 1 3 Smykové napětí v této rovině je základem podmínky plasticity HMH. Velikost obecného, normálového a smykového napětí v oktaedrické rovině lze určit dosazením směrových kosinů oktaedrické roviny do uvedených vztahů pro napětí v obecném řezu ρ: 1 f o = 3 (σ 1 + σ + σ3) σ o = 1 3 (σ 1 + σ + σ 3 ) τ o = fo σo = 1 (σ 1 σ ) 3 + (σ σ 3 ) + (σ 1 σ 3 ) HMH napětí v řezu ρ
p16 5 16.4. Grafické znázornění napjatosti Další vlastností tenzorů je možnost jejich grafického znázornění v Mohrově rovině, ve které na vodorovnou osu vynášíme diagonální souřadnice tenzoru (tj. souřadnice na hlavní diagonále čtvercové matice v případě tenzoru napětí normálová napětí) a na svislou osu mimodiagonální souřadnice tenzoru (v případě tenzoru napětí smyková napětí). V kapitole prostý tah jsme takto graficky znázornili jednoosou napjatost a u prostého krutu napjatost smykovou. Jak ukazuje obrázek, průvodič bodu v Mohrově rovině napjatosti určuje obecné napětí f ρ v daném řezu ρ, dané složkami σ ρ a τ ρ. V literatuře [1] je dokázáno: Při napjatosti v bodě tělesa, určené hlavními napětími σ 1, σ a σ 3, leží body odpovídající obecným napětím f ρ (ρ je libovolná rovina procházející tímto bodem) ve vyšrafované oblasti Mohrovy roviny mezi Mohrovými kružnicemi včetně hranice. tah krut
p16 6 Vyšrafovaná oblast zahrnující i všechny tři hraniční kružnice tedy znázorňuje napjatost v bodě tělesa. Hlavní napětí σ 1 a σ 3 jsou extrémní normálová napětí v bodě tělesa, extrémní smyková napětí jsou τ max = σ 1 σ 3 = τ min a působí v řezech, kde je normálové napětí σ ρτmax = σ 1 + σ 3 napjatost 16.5. Zvláštní typy napjatosti Zatím jsme se zabývali obecnou napjatostí v bodě tělesa, při níž hlavní napětí jsou vzájemně různá a nenulová, tj. σ 1 σ σ 3 0. Často se však setkáváme s případy, kdy některá hlavní napětí jsou nulová nebo shodná. Mohrovo zobrazení nám dává rychlou a názornou představu o napjatosti, včetně extrémních hodnot složek napětí.
p16 7 16.5.1. Trojosá (prostorová) napjatost 1) obecná σ 1 σ σ 3 0 ) polorovnoměrná a) σ 1 = σ 0, σ 3 0 b) σ = σ 3 0, σ 1 0 3) rovnoměrná (hydrostatická) σ 1 = σ = σ 3 = σ Při rovnoměrné trojosé napjatosti nepůsobí v žádném řezu smykové napětí. Proto nemůže nastat mezní stav pružnosti, jak plyne z podmínek plasticity, u nichž je vždy rozhodující veličinou nějaké smykové napětí. podmínky plasticity
p16 8 16.5.. Dvojosá (rovinná) napjatost jedno hlavní napětí je nulové 1) obecná a) σ 3 = 0, σ 1 σ 0 b) σ = 0, σ 1 σ 3 0 c) σ 1 = 0, σ σ 3 0 ) rovnoměrná a) σ 3 = 0, σ 1 = σ 0 b) σ 1 = 0, σ = σ 3 0
p16 9 3) prutová S touto napjatostí se setkáváme u prutů, proto jí věnujeme podrobnější rozbor. Je dána normálovou a smykovou složkou napětí v příčném průřezu prutu předpoklady napjatostní σ x = σ 0, τ xy = τ 0, přičemž všechna ostatní napětí jsou nulová. Dosadíme do charakteristické rovnice, abychom určili hlavní napětí, která budeme potřebovat při hodnocení mezních stavů: σ 3 i I 1 σ i + I σ i I 3 = 0 I 1 = σ x + σ y + σ z = σ I = σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z τxy τyz τxz = τ σ x τ xy τ xz σ τ 0 I 3 = τ yx σ y τ yz = τ 0 0 = 0 τ zx τ zy σ z 0 0 0 σ 3 I 1 σ + I σ I 3 = 0 σ(σ I 1 σ + I ) = 0 σ I = 0, σ II,III = I 1 ± po dosazení za I 1 = σ a I = τ dostaneme σ 1 = σ + (σ ) + τ, σ = 0, σ 3 = σ (σ ) + τ. (I1 ) I Protože odmocnina, vyjadřující poloměr největší Mohrovy kružnice, je vždy kladné číslo, platí σ 1 0 a σ 3 0, takže vypočítaná napětí vyhovují relaci σ 1 σ σ 3.
p16 10 4) smyková je zvláštním případem prutové napjatosti pro σ = 0. Pak pro hlavní napětí platí krut σ 1 = σ 3 = τ, σ = 0. Tato napjatost se vyskytuje např. u prostého krutu 16.5.3. Jednoosá (přímková) napjatost dvě hlavní napětí jsou nulová a) tahová σ 1 > 0, σ = σ 3 = 0 b) tlaková σ 3 < 0, σ 1 = σ = 0 16.5.4. Nulová napjatost σ 1 = σ = σ 3 = 0 předchozí OBSAH následující kapitola