Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005

Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg. Za obsah produktu odpovídá výlučně autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komse a Evropská komse neodpovídá za použtí nformací, jež jsou obsahem produktu. Ths project was realzed wth fnancal support of European Unon n terms of program SOCRATES Grundtvg. Author s exclusvely responsble for content of product, product does not represent opnons of European Unon and European Commsson s not responsble for any uses of nformatons, whch are content of product Recenzoval: prof. Ing. Jří Dvořák, DrSc. Fnanční matematka Vydala Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Vydání první Brno, 2005 c Frantšek Čámský, 2005 ISBN 80-210-3479-3

Identfkace modulu Znak KFFIMA Název Fnanční matematka Určení Pro studenty 3. semestru kombnovaného studa oboru Peněžnctví, studjního směru Pojšt ovnctví, Bankovnctví, Bc., oboru Management kombnovaného studjního programu a programu CŽV. Garant Ing. Frantšek Kalouda, CSc., M.B.A. Autor Cíl RNDr. Frantšek Čámský Vymezení cíle Mlí student, cílem kurzu Fnanční matematka je seznámt se s početním operacem ve fnanční matematce, kde předpokládané předcházející znalost nepřekračují středoškolskou úroveň studentů. Struktura textu je členěna do jednotlvých kaptol, které vždy končí ukázkovým příklady pro lehčí pochopení závěrečných vztahů odvozených v těchto kaptolách. První část pojednává o jednoduchém úročení at předlhůtním nebo polhůtním, výpočty jednotlvých hodnot, jako počátečního kaptálu, velkost úrokové sazby, konečného kaptálu př známé úrokové sazbě a taktéž doby vkladu. V této část s vysvětlíme důležtý pojem v ekonomce, dskontní faktor, využívaný zvláště u řešení problémů dluhopsů a dervátů fnančních trhů. Další část je vymezena složenému úrokování kde je postup výkladu metodcky obdobný jako u jednoduchého úročení. Tato část je zakončena kombnací jednoduchého a složeného úročení, v prax velm používané metody př výpočtech jednotlvých hodnot. Jelkož se v běžné prax v ekonomckých teorích setkáváme s pojmy nomnální, reálná a efektvní úroková sazba, jsou tyto pojmy podrobněj vysvětleny stejně jako úroková ntenzta př úročení spojtém. Praxe, at jž v bankovnctví nebo pojšt ovnctví je založena na spoření klentů, a z těchto důvodů s v další část vysvětlíme problémy spoření jak krátkodobého tak dlouhodobého př spoření ročním, pololetním, čtvrtletním a měsíčním. Z odvozených výrazů můžeme vypočítat jednotlvé hodnoty, které jsou potřebné pro dosažení cílové částky spoření př známé úrokové sazbě fnančních ústavů. V dalším pokračování studjní opory zaměříme svoj pozornost na otázku důchodů, dnes velm dskutované problematky. V návaznost na to s vysvětlíme problematku placení velkost výplat důchodů dožvotních a také dočasných. V této kaptole se též seznámíme s otázkou důchodů věčných. Navazujícím problémem důchodů je pak otázka úvěrů a jednotlvé výpočty potřebných hodnot. Závěrem se pak v krátkost seznámíme s některým

příklady využtí fnanční matematky v prax za použtí různých metod, hlavně př vedení běžných účtů a taktéž vedení kontokorentních úvěrů. Velm krátce se zmíníme o cenných papírech s výpočtem kurzu akcí. Otázka dluhopsů je pak probíraná v kurzu Analýza dluhopsů a není proto v tomto studjním textu uvedena. Dovednost a znalost Po prostudování textu bychom měl být schopn řešt úlohy z jednoduchého a složeného úročení a tyto způsoby umět jednoduchým způsobem vysvětlt. Zvláště je třeba znát způsoby dskontování a z toho dovést vypočítat počáteční současnou) hodnotu kaptálu. Stejně je nutno porozumět a praktcky spočítat úlohy kaptoly spoření, nebot klenty bude vždy zajímat úroková sazba, konečný kaptál, který naspoří a doba spoření. Vzhledem k reformě důchodového systému se budou klent zajímat o možnost zabezpečení důchodu, nebo-l navýšení důchodu ze státního důchodového fondu vlastním spořením se státním příspěvkem. Řešením praktckých úloh a jejch vysvětlení klentům je předpokladem, že je dokážete na konkrétních příkladech pro takovouto formu spoření přesvědčt. Úročení na běžných účtech a kontokorentních úvěrech je předpokladem dobrého pracovníka fnančních ústavů a zárukou, že v prax budete umět tyto problémy samostatně řešt a také je klentům vysvětlt. Řešením úloh, které jsou uvedeny vždy na závěr každé kaptoly porozumíte studované problematce a pozděj umožní teor spolehlvě nterpretovat. Úlohy pro samostatné zpracování po vás požadované, budou vždy vybrány z úloh, které jsou uvedeny za každou kaptolou této studjní pomůcky. Časový plán Jelkož se jedná o kurz, kde je nutno umět řešt úlohy na základě studované problematky a také závěry z řešení vysvětlt, je studum značně náročné na čas, nebot zahrnuje právě ono řešení úloh z jednotlvých kaptol předloženého textu. Text této publkace je nutno studovat po částech a k některým kaptolám se vracet, nebot následující kaptoly svým obsahem navazují na předešlé. Vhodné je také používat jné prameny a zdroje pro pochopení a doplnění znalostí, které jsou potřebné pro běžnou prax ve fnanční sféře. Rozdělení studa je konstruováno na část prezenční a samostatné studum takto: Časová náročnost prezenční část 6 hodn samostudum 78 hodn POT 6 hodn 2 POT vždy na konc větších celků) Celkový sudjní čas 90 hodn

Harmonogram Říjen: 1. 2. týden samostudum seznámení se studjní pomůckou, jejím obsahem a jednotlvým kaptolam) 3. týden tutorál úvodní konzultace k prvním kaptolám kurzu Fnanční matematka a seznámení s požadavky, zadání témat a zdrojů pro samostudum, zadání POT1) 2 hodny Lstopad: 1. týden samostudum kaptola 1) 9 hodn 2. týden samostudum kaptola 2) 12 hodn 3. týden samostudum kaptola 3) 6 hodn vypracování POT1 3 hodny 4. týden tutorál odevzdání POT1, konzultace k problémovým tématům, úvod do dalších kaptol, zadání POT2) 2 hodny Prosnec: 1. týden samostudum kaptola 4) 12 hodn 2. týden samostudum kaptola 5) 10 hodn 3. týden samostudum kaptola 6) 9 hodn vypracování POT2 3 hodny 4. týden tutorál odevzdání POT2, konzultace k problémovým tématům, požadavky ke zkoušce) 2 hodny Leden: 1. týden samostudum kaptola 7) 8 hodn 2. týden samostudum kaptola 8) 6 hodn 3. týden samostudum kaptola 9) 6 hodn Únor březen: Písemná zkouška kapesní kalkulátor nebo na PC) Způsob studa Studum musí být zaměřeno nejen na pochopení jednotlvých kaptol studjního textu, ale též na zvládnutí praktckých úloh, které jsou uvedeny na konc každé kaptoly této studjní pomůcky. Vyřešení těchto úloh nám navíc umožní pochopt použtí teore v prax a tím získat potřebné znalost z jednotlvých kaptol. U všech úloh je vždy uveden výsledek pro snadnější kontrolu úspěšnost jejch řešení. Je velm vhodné aby jste propočítal ukázkové příklady, na kterých s uvědomíte pochopení nebo nepochopení studované problematky. Je navíc velm vhodné se meztím vracet k těm tématům, které jsou nezbytně nutné pro pochopení dalších kaptol a tím s neustále upevňovat znalost, které budou potřebné v závěrečném testu a zhodnocení studjní úspěšnost z fnanční matematky. U této studjní pomůcky nejde pouze o pochopení teoretckých základů, ale o jejch užtí v běžné prax bankovního nebo pojšt ovacího pracovníka ve svém zařazení a také pochopení, že bez dobré znalost a řešení problémů fnanční matematky se ztrácí na

důvěryhodnost ze strany klentů. V dalším máte uvedenou povnnou a doporučenou lteraturu pro další prohloubení znalostí ze studované problematky. Jedná se o rozšíření a také jné pohledy na problémy fnanční matematky její užtí v prax. POT1 bude ndvduálně zadán v prvním tutorálu a POT2 ve druhém tutorálu. Budou obsahovat nejen teoretcké stude, ale řešení vybraných úloh z uvedených otázek k zamyšlení. Studjní pomůcky Vybavení Povnná lteratura Čámský, F.: Fnanční matematka. 1. vydání, Brno, MU ESF 1997, ISBN 80-210-1509-8 Cpra, T.: Fnanční matematka v prax. Edce HZ, Praha 1995 Cpra, T.: Praktcký průvodce fnanční a pojstnou matematkou. Edce HZ, Praha 1995 Radová, J., Dvořák, P.: Fnanční matematka pro každého. Grada, Praha 1993 Smékalová, D.: Fnanční a pojstná matematka. Montanex, Ostrava Vítkovce 1996 Doporučená lteratura Echler, B.: Úvod do fnanční matematky. Septma, Praha 1993 Macháček, O.: Fnanční a pojstná matematka. Prospektrum, Praha 1995 Walter, J.: Fnanční a pojstná matematka. VŠE, Praha 1992 PC přpojené k nternetu vybavené programem MS EXCEL s fnančním, matematckým a statstckým funkcem ve verz 97 a vyšší) Návod práce se studjním texty Text nestudujte jako beletr. Je potřebné se nejdříve seznámt s obsahem kaptoly jejím přečtením a potom podrobněj prostudovat. Doporučoval bych studovat tento kurz s papírem a tužkou v ruce. Až pochopíte teor, přepočítejte s některý z ukázkových příkladů a potom s vyřešte některou úlohu z řady úkolů k zamyšlení za každou kaptolou. Čím více úloh vypočítáte, tím lépe pochopíte studovanou problematku a budete znalost z jednotlvých kaptol umět použít nejen na teoretcké úrovn, ale řešt konkrétní úlohy, s kterým se setkáte v běžné fnanční prax. Vhodným prostředkem pro rychlejší a spolehlvé řešení uvedených příkladů je softwarový produkt program MS Excel), kde jsou uvedeny nejen funkce matematcké, statstcké, ale fnanční. V uvedeném textu s dělejte vysvětlující poznámky, pokud pochopíte jednotlvé vztahy, a také poznámky z jné povnné nebo doporučené lteratury, čímž s umožníte studovat některé problémy více podrobněj a upevníte tak svoje znalost. V závěru tohoto studjního textu jsou v příloze uvedeny základní a odvozené výrazy z jednotlvých kaptol a mohou sloužt k jejch využtí v běžné prax. Tyto výrazy je možno doplňovat a vytvářet s báz použtelných mo-

dfkovaných upravených) vzorců pro vlastní potřebu, takových, které se v běžné prax nevyskytují často. Každý poznatek a přpomínka k tomuto studjnímu textu budou vítány, nebot poslouží k zdokonalení výkladu a metod pro chápání obsahu dalším studentům.

Obsah

Obsah Stručný obsah Kaptola 1 Potřebné základy z matematky Jelkož se objevují určté nedostatky z matematky, jsou v této úvodní kaptole vysvětleny a uvedeny potřebné znalost z matematky pro studum dalších kaptol této studjní opory. Pojednává hlavně o procentovém počtu, vysvětluje základní pojmy funkcí a uvádí pouze ty funkce, které jsou důležté pro pochopení jednoduchého a složeného úročení. Též vysvětluje základní pojmy z posloupností a číselných řad, pomocí kterých se odvozují důležté vztahy v kaptolách složeného úročení, spoření a důchodů. Kaptola 2 Jednoduché úročení Zde s vysvětlíme základní pojmy jednotlvých typů úročení, hlavně jednoduchého úročení předlhůtního a polhůtního, výpočet úrokového čísla a úrokového děltele, důležtých pojmů pro úročení běžných účtů a kontokorentních úvěrů, uvedeme s základní rovnce pro jednoduché úročení, vysvětlíme s důležtý pojem dskont a výpočty jednotlvých hodnot ze základních vztahů. Kaptola 3 Složené úročení V této kaptole se zaměříme na odvození základních vztahů pro složené úročení, kombnac složeného a jednoduchého úročení odvození výpočtů jednotlvých hodnot ze základních vztahů. Na závěr s porovnáme jednoduché a složené úročení, přčemž s uvedeme jejch jednotlvé výhody a nevýhody. Kaptola 4 Nomnální a reálná úroková sazba V běžném žvotě prax nelze počítat s nomnálním úrokovým sazbam, nebot jsou ovlvňovány jak mkroekonomckým, tak makroekonomckým podmínkam. Z tohoto důvodu s vysvětlíme vztahy mez nomnální a reálnou úrokovou sazbou. Dále s vysvětlíme pojem efektvní úroková sazba a též pojem úroková ntenzta její vztah s efektvní úrokovou mírou. Stejně s uvedeme vztah mez nomnální a reálnou úrokovou sazbou a jejch použtí v prax. Kaptola 5 Spoření Nejdůležtější pro prax pracovníků fnanční sféry je pochopení základů spoření, nebot se jedná o produkt, který fnanční ústavy nabízí klentům. Zde s uvedeme základní pojmy ze spoření krátkodobého předlhůtního a polhůtního. Odvodíme s výpočet hodnot z těchto základních vztahů a také vysvětlíme výpočty konečného kaptálu v závslost na vkladu a době dlouhodobého spoření. S těmto pojmy se určtě setkáváte v běžné prax a často musíte odpovídat jakým způsobem spořt, abychom v určtém časovém horzontu př dané úrokové sazbě, naspořl nám požadovanou částku. Kaptola 6 Důchody Tato kaptola nepostrádá aktuálnost v současné době, a proto výpočtům spoření s na důchod pravdelným měsíčním, čtvrtletním, pololetním a ročním splátkam př požadované výplatě důchodu jako zlepšení důchodu starobního se budeme věnovat podrobněj. Je zřejmé, že možností je daleko

více, ale o tuto problematku se budeme zajímat také u pojstné matematky. Seznámíme se též okrajově s důchody věčným. Kaptola 7 Umořování dluhů V této kaptole se seznámíme se základním pojmy a prncpy úvěrů, kde s ukážeme jak vypočítat počet anut př jejch konstantním zvyšováním každým rokem, jakým způsobem vypočítáme zbytek úvěru a také způsob konstrukce splátkového kalendáře jako nejvíce používaného způsobu př splácení úvěru. Kaptola 8 Běžné účty V této kaptole s vysvětlíme použtí úrokového čísla a úrokového děltele př vedení běžných účtů. K tomu budeme využívat metody, které používají jednotlvé fnanční ústavy př vedení těchto účtů. Kaptola 9 Kontokorentní úvěry Vysvětlení pojmu Kontokorentní úvěr, úročení kontokorentních úvěrů a ukázková řešení hypotetckých úloh. Kaptola 10 Aktva Seznámení se základním pojmy z problematky aktv jako: hmotná aktva, fnanční aktva a jejch členění. Výpočet kurzu akce, výnosnost akce, výplata dvdend, řešení hypotetcké úlohy.

Obsah Úplný obsah 1. Potřebné základy z matematky.................................................... 17 1.1. Procentový počet 18 1.2. Funkce 19 Pojem funkce 19 Lneární funkce 20 Exponencální funkce 20 Logartmcká funkce 21 1.3. Posloupnost a řady 23 Artmetcká posloupnost 23 Geometrcká posloupnost 25 1.4. Průměry 26 Artmetcký průměr 26 Geometrcký průměr 27 Harmoncký průměr 27 2. Jednoduché úročení............................................................... 29 2.1. Základní pojmy 30 2.2. Typy úročení 30 Jednoduché úročení polhůtní 31 Základní rovnce pro jednoduché úročení 33 Dskont 34 Jednoduché úročení předlhůtní 36 3. Složené úročení.................................................................... 41 3.1. Základní vztahy pro složené úročení 42 3.2. Kombnace jednoduchého a složeného úročení 44 3.3. Výpočet doby splatnost př složeném úročení 46 3.4. Výpočet současné hodnoty 48 3.5. Výpočet úrokové sazby 50 3.6. Výpočet úroku př složeném úročení 52 3.7. Srovnání jednoduchého a složeného úročení 54 4. Nomnální a reálná úroková sazba................................................. 57 4.1. Efektvní úroková sazba 58 4.2. Úroková ntenzta 59 4.3. Nomnální a reálná úroková sazba 60 5. Spoření............................................................................. 63 5.1. Spoření krátkodobé 64

Spoření krátkodobé předlhůtní 64 Spoření krátkodobé polhůtní 66 5.2. Spoření dlouhodobé 68 Spoření dlouhodobé předlhůtní 68 Spoření dlouhodobé polhůtní 69 5.3. Kombnace krátkodobého a dlouhodobého spoření 70 Kombnované spoření předlhůtní 71 Kombnované spoření polhůtní 72 6. Důchody............................................................................ 75 6.1. Problematka důchodů 76 6.2. Důchod bezprostřední 77 Důchod bezprostřední předlhůtní 77 Důchod bezprostřední polhůtní 78 Důchody vyplácené m-krát ročně 79 6.3. Důchod odložený 80 Důchod odložený předlhůtní 80 Důchod odložený polhůtní 81 6.4. Důchod věčný 82 Důchod věčný předlhůtní 82 Důchod věčný polhůtní 83 7. Umořování dluhů................................................................... 87 7.1. Umořování dluhu nestejným splátkam 89 7.2. Umořování dluhu stejným anutam 90 7.3. Určování počtu anut 92 8. Běžné účty..........................................................................95 8.1. Metody výpočtu úroků 96 Zůstatková metoda 96 Zpětná metoda 97 Postupná metoda 98 9. Kontokorentní úvěry............................................................... 99 9.1. Úročení kontokorentních úvěrů 100 10. Aktva..............................................................................105 10.1. Hmotná aktva 106 10.2. Fnanční aktva 107 10.3. Akce 110 Příloha.................................................................................. 115

Obsah

Úvod

Úvod Studjní pomůcka slouží jako samostatná učebnce početních operací fnanční matematky. Obsahuje vedle výkladů výpočetních postupů ukázkové příklady pro pochopení odvozených vztahů v této publkac. Předpokládané znalost z matematky nepřekračují středoškolskou úroveň. Každodenně se setkáváme s otázkam, jakou výš úroku obdržíme od banky za náš vklad, nebo jak dlouho musíme spořt, abychom naspořl nám stanovenou fnanční částku, nebo kolk zaplatíme na úrocích př splácení úvěru a jak dlouho jej budeme splácet. S těmto a s řadou dalších podobných otázek se setkáváme každodenně. Pro studenty kombnovaného a dstančního studa jsou znalost z fnanční matematky o to důležtější, nebot vztahy odvozené v tomto studjním textu používají ve své každodenní prax. Nejde pouze o používání vzorců, ale také porozumění vzájemných vztahů vysvětlení, nejen pro potřeby kolegů, ale klentů. Předložený text obsahuje nejen odvození jednotlvých vztahů pro výpočet žádaných hodnot, ale řadu ukázkových příkladů, které je nutno také spočítat, abyste pochopl praktcké výpočty nutné pro běžnou prax. Může se stát, že některým výrazům, odvozením a vztahům neporozumíte. Proto je velm vhodné s dělat průběžné poznámky a vaše přpomínky k zdokonalení těchto textů budou vždy vítané a zlepší nejen metodku, ale obsah této studjní pomůcky. Na závěr je uvedeno shrnutí jednotlvých vzorců pro potřeby studentů a také pro rychlou orentac v dané problematce.

Procentový počet Funkce Posloupnost a řady Průměry 1 Potřebné základy z matematky

1. Potřebné základy z matematky Cíl kaptoly Cílem této kaptoly je seznámt se a zopakovat potřebné početní operace a pojmy z matematky pro lepší pochopení studovaných problémů. Tato kaptola je pro studenty, kteří jsou jž určtou dobu v prax a na řadu základních poznatků z matematky jž zčást pozapomněl. V této část nebudou uvedeny příklady pro cvčení, nebot bude sloužt pouze pro pochopení vztahů v příštích kaptolách a vždy se k ní můžete vracet a aplkovat tyto poznatky př studu fnanční matematky. Jsou vždy za každou kaptolou uvedené ukázkové příklady, které postačují pro zopakování jž zapomenutého. Časová zátěž Časová zátěž není uváděná a an nutná, nebot se k této kaptole budete vracet pokud neporozumíte studovaným problémům fnanční matematky. Někdo se k této kaptole nebude muset vracet vůbec, nebot má ještě v dobré pamět jednotlvé vztahy a pojmy ze střední školy. 1.1 Procentový počet Procento vyjadřuje jednu setnu celku. Pro jedno procento platí: 1 % = 1 = 0,01 ze základu 100 100 % = jeden celek = celý základ V jednoduchých úlohách s procenty se setkáváme s těmto velčnam. a) základ označujeme jej z b) počet procent označujeme jej p c) procentová část označujeme jí x Obecně př řešení jednoduchých úloh většnou známe dvě hodnoty a chceme vypočítat třetí, kterou neznáme a podle toho rozlšujeme tř základní typy úloh: a) výpočet procentové část: x = z p 100 b) výpočet základu: z = x 100 p c) výpočet počtu procent: p = x 100 z K výpočtům bez použtí uvedených vzorců můžeme použít úměru nebo trojčlenku. Příklad 1.1. Prodejna měla sjednaný podíl na zsku ve výš 10 % s prodejní ceny výrobku. Kolk je to procent z výrobní ceny výrobku, jestlže prodejní cena byla 115 % výrobní ceny? 18

Řešení. Máme tedy zjstt, jak velkou část ční zsk ve výš 10 % z prodejní ceny vzhledem k výrobní ceně. z = 115, p = 10 %, x =? x = z p 100 Zsk čnl 11,50 % z výrobní ceny. Příklad 1.2. = 115 10 100 = 11,50 Daň z příjmu čnla př daňové sazbě 25,5 % částku 1250 Kč. Jak vysoký byl příjem? Řešení. x = 1250 Kč, p = 25,5 %, z =? z = x 100 p = 1250 100 25,5 Tuto úlohu můžeme vypočítat též pomocí úměry: = 4901,9608 Kč 25,5 %... odpovídá... 1250 Kč 100 %... odpovídá... z Zapíšeme: z : 1250 = 100 : 25,5 Hrubý příjem čnl 4901,9608 Kč 1.2 Funkce nebo z 1250 = 100 25,5 Pro pochopení závslostí ve fnanční matematce s zopakujeme některé funkce, na které se budeme př vysvětlování fnanční matematky odvolávat. 1.2.1 Pojem funkce Funkcí rozumíme předps, kterým každému číslu x z určté množny D přřazujeme právě jedno číslo y z množny M. Velčnu x nazýváme nezávsle proměnnou. Velčnu y nazýváme závsle proměnnou závsí na volbě hodnoty x). Množnu D všech čísel x, pro něž je funkce defnovaná, nazýváme defnčním oborem funkce f. Množnu M všech čísel y, kterých daná funkce nabývá pro x D, nazýváme oborem funkce oborem funkčních hodnot nebo závslým oborem) dané funkce f. Poznámka. Říkáme, že dvě velčny jsou přímo úměrné, jestlže podíl každých dvou odpovídajících s hodnot x, y je roven konstantě. Tedy: y 1 = y 2 = = y n = k. x 1 x 2 x n 19

1. Potřebné základy z matematky Zapsujeme: Příklad 1.3. y = fx) Cena za 1 kg pomerančů je 23 Kč. Jaká bude cena za 3 kg pomerančů? Cena za 3 kg pomerančů je závsle proměnná, počet klogramů závsí na naší volbě hodnota nezávsle proměnná. Potom zapíšeme: y = 23 x = 23 3 = 69 Kč. V matematce jste jstě probíral řadu funkcí jak na základní tak na střední škole. Pro naš potřebu ve fnanční matematce s vysvětlíme pouze ty funkce, které budeme potřebovat pro vysvětlení některých funkčních závslostí a vytvořl s potřebné předpoklady jejch pochopení. 1.2.2 Lneární funkce V ekonomckých úvahách se často setkáme se závslostí, kterou nazýváme přímá úměrnost. Tato přímá úměrnost je znázorněna právě lneární funkcí. Lneární funkc zapsujeme: y = k x + q, x R 1.1) Tato lneární funkce představuje přímku v rovně, kde jsou k, q konstanty k udává směrnc přímky a můžeme jí vyjádřt jako tg ϕ = k, kde ϕ je úhel, který svírá přímka s osou x. x je nezávsle proměnná, y je závsle proměnná. y y = kx + q q ϕ 0 x Obrázek 1.1: Graf lneární funkce 1.2.3 Exponencální funkce Pod pojmem exponencální funkce rozumíme takovou funkc, která má nezávsle proměnnou exponentu. Exponencální funkc zapsujeme: y = a x, 1.2) 20

kde defnční obor funkce je: Df) =, ) Hf) = 0, ) Pro a > 1 je funkce rostoucí. Pro 0 < a < 1 je funkce klesající. Pro x = 0 je y = 1 u každé exponencální funkce necht je a základ) jakékolv reálné číslo. Funkční hodnoty exponencální funkce jsou pro lbovolné hodnoty nezávsle proměnné x vždy kladné. Specálním případem je exponencální funkce: y = e x, 1.3) jejímž základem je Eulerovo číslo e = 2,71828, a je rostoucí pro všechna x, ). Exponencální funkcí můžeme znázornt složené úročení, jestlže nezávsle proměnou je čas t a závsle proměnnou je velkost zúročeného kaptálu K t, př zvolené úrokové sazbě. y y = e x y = a x 1 0 x Obrázek 1.2: Graf exponencální funkce 1.2.4 Logartmcká funkce Ze střední školy je známo, že logartmcká funkce je nverzní funkcí k funkc exponencální. Defnční obor exponencální funkce je oborem funkčních hodnot funkce logartmcké a obor funkčních hodnot exponencální funkce je defnčním oborem funkce logartmcké. Tedy: Df) = 0, ) Hf) =, ) Logartmckou funkc zapsujeme: y = log a x, kde x 0, ). 1.4) 21

1. Potřebné základy z matematky Platí též: a y = x Číslo x určíme, jestlže umocníme základ logartmu na logartmus čísla x. y y = log a x 0 1 x Obrázek 1.3: Graf logartmcké funkce Příklad 1.4. Určete číslo x jestlže platí: log 2 x = 3. Řešení. 2 3 = 8, x = 8 Tedy: log 2 8 = 3 Pro početní úkony s logartmy platí tato pravdla: Jestlže x a y jsou lbovolná čísla pak platí: a) log a x y) = log a x + log a y b) log a x y) = loga x log a y c) log a x n = n log a x d) log a n x m = m n log a x Příklad 1.5. log x = log 134,678 28,984) = log 134,678 + log 28,984 log x = 2,1292967 + 1,4621583 = 3,591455 x = 3903,5075 Příklad 1.6. log x = log 134,678/28,984) = log 134,678 log 28,984 log x = 2,1292967 1,4621583 = 0,6671384 x = 4,646633 Příklad 1.7. log x = log 100 0,05 = 0,05 log 100 = 0,05 2 = 0,1 log x = 0,1 x = 1,25893 22

Příklad 1.8. log x = log 0,24 45 3,4 = 3,4/0,24 log 45 = 14,166667 1,6532125 = 23,420511 log x = 23,420511 x = 2,6333656 2 3 Hodnoty logartmů čísel nalezneme v logartmckých tabulkách, nebo je určíme pomocí kapesního kalkulátoru. 1.3 Posloupnost a řady Ve fnanční matematce, pojstné matematce a ekonomckých výpočtech se často setkáváme s aplkacem posloupností a řad. Základní pojmy: Jestlže přřadíme každému přrozenému číslu n určté číslo a n, potom čísla: a 1,a 2,a 3,...,a k,... nazýváme posloupnost. Výraz součet členů posloupnost): a 1 + a 2 + a 3 + + a k +... nazýváme řadou a čísla a 1,a 2,a 3,...,a k,... členy řady. Jestlže má řada konečný počet členů, nazývá se konečnou řadou. Jestlže má řada nekonečný počet členů, nazývá se nekonečnou řadou. 1.3.1 Artmetcká posloupnost Posloupnost, u které rozdíl dference) dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, se nazývá artmetcká posloupnost. a k+1 a k = k = d, kde k je konstanta. Odvození: a 1 = a 1 a 2 = a 1 + d Takže n-tý člen vypočítáme: a 3 = a 2 + d = a 1 + d +d = a } {{ } 1 + 2 d a 2. a n = a 1 + n 1) d a n = a 1 + n 1) d a 1 je první člen řady a n je poslední člen řady n je počet členů d je dference artmetcké řady 23

1. Potřebné základy z matematky Pro artmetckou řadu platí, že každý její člen je artmetckým průměrem svých sousedních členů. a k = 1 2 a k 1 + a k+1 ) Pro součet n členů artmetcké řady platí: S n = 1 2 a 1 + a n ) Dosadíme-l do našeho výrazu za a n = a 1 +n 1) d, můžeme součet n členů vyjádřt: S n = n ) 2 a + n 1) d 2 Ze vzorce vyplývá, že můžeme zpárovat vždy dva členy řady první a poslední, druhý a předposlední atd., přčemž součty těchto dvojc jsou konstantní. Takových dvojc můžeme sestavt polovnu z celkového počtu členů řady n. 2 Příklad 1.9. Artmetcká posloupnost má dferenc d = 12 a n-tý člen a n = 15. Kolk prvních členů posloupnost má součet S n = 456? Kterému číslu se rovnán první člen? Vycházíme ze součtu artmetcké řady a výrazu pro výpočet n-tého členu: 456 = n 2a1 + n 1) 12) ) 2 15 = a 1 + n 1) 12) Po úpravě budeme řešt jako soustavu dvou rovnc o dvou neznámých. 912 = n2a 1 12n + 12) 15 = a 1 12n + 12 = a 1 = 12n + 3 Dosadíme do rovnce 912 = n 212n + 3) 12n + 12 ) a obdržíme: 912 = n24n + 6 12n + 12) = n12n + 18) = 12n 2 + 18n 152 = 2n 2 + 3n 2n 2 + 3n 152 = 0 Řešíme jako kvadratckou rovnc: n 1,2 = 3 ± 9 + 4 2 152 2 2 = 3 ± 1225 4 8 = 38 8 Počet členů artmetcké řady je n = 8. Nyní dosadíme do výrazu: a 1 = 12n + 3 = a 1 = 12 8 + 3 = 99 První člen artmetcké řady se rovná číslu 99. 24

Příklad 1.10. Máme vypočítat n-tý částečný součet, jestlže je a 1 = 3, d = 1. Použjeme výraz pro výpočet součtu řady: S n = n 2 2 a1 + n 1) d ) S n = n ) n 2 3 + n 1) 1) = 6 n + 1) = 2 2 = n 7 n) 2 S n = n 7 n) 2 1.3.2 Geometrcká posloupnost Posloupnost, u níž podíl kterýchkolv dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, se nazývá geometrcká posloupnost. Podíl těchto dvou členů nazýváme kvocentem a značíme jej písmenem q. Odvození: a 1 = a 1 a 2 = a 1 q Takže n-tý člen vypočítáme: Je-l q > 1, Je-l q 0, 1), Je-l q < 0, Je-l q = 1, a 3 = a 2 q = a 1 q q = a 1 q 2. a n = a 1 q n 1 a n = a 1 q n 1 je řada rostoucí je řada klesající je řada alternující střídavá) řada obsahuje stejné členy Pro součet n členů geometrcké řady pro q 1 platí: S n = a 1 qn 1 q 1 pro q > 1, S n = a 1 1 qn 1 q pro q 0,1). Každý člen geometrcké řady je geometrckým průměrem z jeho dvou sousedních členů: a k = a k 1 a k+1 Příklad 1.11. V geometrcké posloupnost je součet prvních dvou členů 4 a součet jejch druhých mocnn 10. Máme určt tuto posloupnost. a 1 + a 2 = 4 a 2 1 + a 2 2 = 10 25

1. Potřebné základy z matematky Řešení. Z první rovnce s vyjádříme a 2 a dosadíme do druhé rovnce, z níž vypočítáme kvocent a 1. a 2 = 4 a 1 Tento výraz dosadíme za a 2 do druhé rovnce a vypočítáme první člen a 1. a 2 1 + 4 a 1 ) 2 = 10 a 2 1 + 16 8a 1 + a 2 1 = 10 2a 2 1 8a 1 + 6 = 0 a 2 1 4a 1 + 3 = 0 a 1,2 = 4 ± 16 12 2 = 3 1 = { 3 1 a 1 = 3 nebo a 1 = 1, a 2 = 4 3 = 1, a 2 = 4 1 = 3 = q = a 2 a 1 = 1 3 nebo q = 3 1 = 3. Příklad 1.12. Máme vypočítat součet geometrcké řady kde n = 5, q = 1 + r, r = 3 a a 1 = 2000. S n = 2000 1 + 3)5 1 1 + 3) 1 = 1 200045 4 1 = 20001023 3 S n = 682000 = 682000 1.4 Průměry 1.4.1 Artmetcký průměr Artmetcký průměr x a je pro n čísel a 1,a 2,...,a n defnován jako součet těchto čísel dělený jejch počtem. Tedy: x a = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a. =1 Jestlže jsou mez daným čísly a stejná čísla, potom můžeme výpočet artmetckého průměru zjednodušt. Mějme počet n 1 čísel a 1, n 2 čísel a 2,...n r čísel a r. Potom kde n = n 1 + n 2 + + n r. x av = n 1 a 1 + n 2 a 2 + + n r a r n 1 + n 2 + + n r, V tomto případě mluvíme o váženém artmetckém průměru, kde čísla n 1, n 2,..., n r jsou váhy čísel a 1, a 2,..., a r. 26

S artmetckým průměrem se setkáváme př výpočtu například střední doby splatnost více pohledávek, očekávané výnosnost cenných papírů atd. 1.4.2 Geometrcký průměr Druhým druhem průměru je geometrcký průměr x g. Mějme n kladných čísel a 1, a 2,..., a n ; potom je geometrcký průměr defnován jako n-tá odmocnna součnu n čísel. x g = a 1 a 2 a 3...a n Jsou-l mez daným čísly některá čísla stejná, můžeme stejně jako u artmetckého průměru defnovat vážený geometrcký průměr. x gv = a n 1 1 a n 2 2 a n 3 3...a n k k 1.4.3 Harmoncký průměr Třetím druhem průměru je harmoncký průměr x h, který je opět pro n čísel dán výrazem: x h = 1 n 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n ). Stejně jako v předchozích případech, jsou-l mez daným čísly a některá čísla stejná, můžeme defnovat vážený harmoncký průměr vztahem: x hv = 1 n n 1 a 1 + n 2 a 2 + + n k a k ). Vztah mez artmetckým, geometrckým a harmonckým průměrem Mez artmetckým, geometrckým a harmonckým průměrem exstuje vzájemný vztah. Pro všechna a a j, kde,j = 1,2,...,n vždy platí: x a < x g < x h 27

1. Potřebné základy z matematky 28

Základní pojmy Typy úročení 2 Jednoduché úročení

2. Jednoduché úročení Cíl kaptoly Cílem této první kaptoly je pochopt problémy jednoduchého úročení předlhůtního polhůtního. Naučt se na základě odvozených výrazů vypočítat jednotlvé hodnoty a umět je v běžné prax použít.velm důležtou částí je pojem úrokového čísla a úrokového děltele, která slouží v prax k výpočtu úroků př různé hodnotě vkladu a v odlšném čase. Dalším důležtým pojmem je dskontní faktor, který se v ekonomcké prax vyskytuje velm často v pojmech současná hodnota, cena dluhopsu do doby splatnost, cena dluhopsu atd. Této část je nutno věnovat patřčnou pozornost, spočítat ukázkové příklady a postup jejch řešení spočítat příklady uvedené za touto kaptolou. Jedně umění praktcky používat odvozené výrazy budou svědčt o pochopení této kaptoly. Časová zátěž Prostudování a pochopení vztahů této kaptoly vyžaduje 9 hod. 2.1 Základní pojmy Úrok: je to odměna za dočasné užívání peněžté částky kaptálu). Z pohledu vkladatele věřtele) je úrok odměnou, kterou dostává za to, že poskytl svůj kaptál dočasně někomu jnému. Naopak z pohledu dlužníka je úrok cena, kterou platí dlužník za získání kaptálu úvěru). Úrok se řídí procentním poměrem k užívané částce a dobou užívání této částky. Vyjádříme-l úrok v procentech z hodnoty kaptálu, obdržíme úrokovou sazbu úrokovou míru). Úrokové období: je to doba, za kterou se úroky pravdelně přpsují. Úrokové období bývá zpravdla: roční a značí se p. a. per annum) pololetní a značí se p. s. per semestre) čtvrtletní a značí se p. q. per quartalae) měsíční a značí se p. m. per mensem) týdenní a značí se p. sept. per septmanam) denní a značí se p. d. per dem) Pro vyjádření délky úrokového období se vychází z různých zvyklostí, z nchž se nejčastěj užívá Anglcká metoda: je založena na skutečném počtu dnů úrokového období a délce roku 365 dní, v přestupném roce pak 366 dní. Francouzská metoda: je založena na skutečném počtu dnů úrokovacího období a délce roku 360 dní, meznárodní). Německá metoda: je založena na kombnac započítávání celých měsíců jako 30 dní a délky roku pak 360 dní, obchodní). V běžné prax se můžeme setkat se všem metodam. V našch úvahách a řešených příkladech pro jednoduchost budeme nejčastěj používat německou metodu. 30

2.2 Typy úročení Rozlšujeme dva základní typy úročení: a) Jednoduché úročení: úroky se počítají stále z původního kaptálu K 0. b) Složené úročení: úroky se přpsují k původnímu kaptálu peněžní částce) a spolu s ním se dále úročí. Úročení dělíme též podle toho, kdy dochází k placení úroku. Jestlže se úroky platí na konc úrokového období, mluvíme o úrokování polhůtním dekurzvním. Jestlže dochází k placení úroků na začátku úrokovacího období, mluvíme o úrokování předlhůtním antcpatvním. 2.2.1 Jednoduché úročení polhůtní U jednoduchého úročení, jak bylo řečeno dříve, se úročí stále pouze základní kaptál peněžní částka). Vyplácené úroky se k ní nepřčítají, nevznká tedy úrok z úroků. Protože uvažujeme o úrokování polhůtním, úroky budou vypláceny vždy po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují. Označme s u úrok v Kč, K kaptál, peněžní částka v Kč, p úroková sazba v procentech, d doba splatnost kaptálu ve dnech. Potom úrok vypočítáme ze vztahu u = K p d 100 360. Jestlže vyjádříme p 100 = a d 360 = t, potom obdržíme úrokovou sazbu jako desetnné číslo a splatnost v letech a úrok vypočítáme u = K t, kde: úroková sazba vyjádřená v setnách. Je to úrok z 1 Kč za 1 rok. t doba splatnost vyjádřená v letech. Z grafu na obrázku 2.1 je vdět, že konečný kaptál př stálé úrokové sazbě je lneární funkcí času lneární funkce). Jestlže se bude měnt výše ukládaného kaptálu př stejné úrokové sazbě během úrokovacího období, potom pro výpočet úroků používáme tzv. úrokových čísel a úrokových děltelů. a) Úrokové číslo UC UC = K d 100, 31

2. Jednoduché úročení kaptál úrok = 20 % = 10 % počáteční kaptál K úrok t čas Obrázek 2.1: Graf závslost výše kaptálu na čase a výšce úrokové sazby kde d je splatnost ve dnech a K kaptál. b) Úrokový děltel UD Úrokový děltel vyjadřuje počet dní, za které získáme úrok 1 Kč ze 100 Kč kde p je úroková sazba v %. Potom úrok vypočítáme Příklad 2.1. UD = 360 p, u = UC UD. Jestlže částka K 1 je uložena a tedy úročena d 1 dní, částka K 2 je uložena a úročena d 2 dní,..., částka K n, d n dní a přtom všechny př stejné úrokové sazbě p, potom úroková čísla budou UC 1 = K 1 d 1 100, UC 2 = K 2 d 2 100,..., UC n = K n d n 100. Protože se nemění úrokový děltel, můžeme jej vytknout před závorku a úrok vypočítat u = 1 UD UC 1 + UC 2 + + UC n ) nebo n UC j j=1 u = UD. Tohoto způsobu se nejvíce využívá př výpočtu úroků na běžných účtech. Příklad 2.2. Podnkatel s postupně vypůjčl: 16.1. částku 60000 Kč, 21.2. částku 40000 Kč, 8.3. částku 30000 Kč. 32

Roční úroková sazba u všech půjček je 12%. Chceme zjstt, kolk zaplatí koncem roku na úrocích. Řešení. K 1 = 60000 Kč, d 1 = 16.1. 30.12. K 2 = 40000 Kč, d 2 = 21.2. 30.12. K 3 = 30000 Kč, d 3 = 8.3. 30.12. d 1 = 12 1) 30 + 30 16) = 344 dní, d 2 = 12 2) 30 + 30 12) = 309 dní, d 3 = 12 3) 30 + 30 8) = 292 dní. u = 1 UD UC 1 + UC 2 + UC 3 ) = p K1 d 1 + K 2 d 2 360 100 100 = 12 ) 60000 344 40000 309 30000 292 + + = 360 100 100 100 206400 + 123600 + 87600 = = 13920. 30 Podnkatel koncem roku zaplatí 13920 Kč. 2.2.2 Základní rovnce pro jednoduché úročení + K ) 3 d 3 = 100 V předcházející kaptole jsme se seznáml, jakým způsobem vypočítáme výš úroku za určté období. V prax nás však zajímá výše zúročeného kaptálu včetně úroků) po určtém období. Konečnou výš kaptálu K t ) za období t obdržíme jako součet počátečního kaptálu a úroků za toto období. Tedy K t = K 0 + u, dosadíme-l do tohoto výrazu za u = K 0 t, obdržíme kde K t = K 0 + K 0 t = K 0 1 + t), K 0 počáteční hodnota kaptálu základní peněžní částka, základní kaptál), K t konečný kaptál za dobu t stav kaptálu po zúročení za dobu t), roční úroková sazba v setnách, t doba splatnost kaptálu v letech. Jestlže vyjádříme v našem výrazu splatnost ve dnech a úrokovou sazbu v procentech, obdržíme K t = K 0 1 + p d ). 100 360 Jestlže zvolíme K 0 = 1 Kč a t = 1, bude K t = 1 +. Výraz 1 + se nazývá úrokovací faktor úročtel). Udává, na kolk vzroste 1 Kč za 1 rok př úrokové sazbě. 33

2. Jednoduché úročení Ze základní rovnce můžeme vypočítat další důležté hodnoty: K 0, t,. a) Výpočet počáteční hodnoty K 0 K 0 = K t 1 + t = u t. Odvození: víme, že K t = K 0 1 + t). Tento výraz roznásobíme a dostaneme K 0 + K 0 t = K t K 0 t = K t K 0 = u. Potom K 0 = u t. b) Výpočet doby splatnost doby úročení) t c) Výpočet úrokové sazby t = K t K 0 K 0 = K t K 0 K 0 t = u K 0. = u K 0 t. 2.2.3 Dskont Často ve fnanční a ekonomcké prax se setkáváme s tím, že potřebujeme porovnat hodnoty kaptálu v čase. Kaptál v čase má různou hodnotu: čím dříve kaptál budeme mít, tím dříve jej můžeme nvestovat a za dobu t se nám zúročí ponese nám úrok. Abychom mohl porovnávat kaptál v čase, potřebujeme znát pojem současná hodnota. Současnou hodnotou kaptálu rozumíme kaptál, který po zúročení v časovém období dosáhne budoucí hodnotu. Jestlže označíme současnou hodnotu K 0 a budoucí hodnotu K t, potom současnou hodnotu vypočítáme K 0 = K t 1 + t. Výpočet současné hodnoty se nazývá též dskontování. Jestlže je K t = 1 Kč a úroková sazba v setnách a t = 1 rok, potom K 0 udává současnou hodnotu 1 Kč splatné za rok př úrokové sazbě. Potom výraz 1 nazýváme dskontním faktorem a udává současnou hodnotu 1 Kč splatné za 1 rok př úrokové sazbě 1+. Příklad 2.3. Co je výhodnější př koup daru? Zaplatt za něj nyní v hotovost 8000 Kč nebo s na něj vypůjčt a zaplatt za rok s úrokem 8300 Kč, když banka nabízí úrokovou sazbu 7% p.a.? 34

Řešení. K 0 = K 0 = K t Porovnání obou způsobů: a) platba v hotovost 8000 Kč b) platba na půjčku 7757 Kč c) 8 000 Kč > 7757 Kč 1 + t, 8300 1 + 0,07 1 = 8300 1,07 = 7757,0094 = 7757. V tomto případě je výhodnější zažádat o půjčku, nebot současná hodnota 8300 Kč, které máme zaplatt za rok, je právě dnes 7757 Kč. Tedy, zaplatímel za rok 8300 Kč, je to, jako bychom dnes zaplatl 7757 Kč. Hotovostní způsob placení je méně výhodný. Dskont je tedy úrok ode dne výplaty do dne splatnost. Dskont můžeme počítat z budoucí hodnoty K t nebo ze současné hodnoty K 0. Podle způsobu výpočtu rozeznáváme: a) Dskont obchodní D ob výpočet dskontu z budoucí hodnoty. b) Dskont matematcký D mat výpočet dskontu ze současné hodnoty. a) Dskont obchodní kde D je dskontní sazba v setnách. D ob = K t D t, Označme K ob obchodní kaptál částka, kterou banka vyplatí), potom K ob = K t D ob = K t K t D t = K t 1 D t). Př zaplacení pohledávky banka nevyplatí věřtel klentov) celou nomnální hodnotu budoucí hodnotu), ale hodnotu kaptálu sníženou o obchodní dskont D ob. Příklad 2.4. Máme vypočítat, kolk dostane vyplaceno klent, jemuž banka eskontuje zaplatí dříve) směnku o nomnální hodnotě 20 000 Kč 35 dní před dobou splatnost př dskontní sazbě 0,09 p. a. Předpokládáme, že banka neúčtuje další provze. Řešení. Tedy K ob =?, K t = 20000 Kč, D = 0,09, t = 35 dní = 0,0972 roků. K ob = K t 1 D t) = 20000 1 0,09 0,0972) = 20000 0,9913 = 19826 Kč. Klent dostane peníze od banky o 35 dní dříve, ale místo 20000 Kč pouze 19826 Kč, nebot banka s započítala obchodní dskont. 35

2. Jednoduché úročení b) Dskont matematcký Matematcký dskont vypočítáme jako úrok ze současné hodnoty. Tedy D mat = K 0 D t. Jestlže do daného výrazu dosadíme za K 0 = D mat = K t D t 1 + D t. Kt, obdržíme 1+ D t Z obchodního dskontu víme, že D ob = K t D t. Dosadíme-l tento vztah do čtatele z předcházejícího výrazu, obdržíme vztah mez matematckým a obchodním dskontem. D mat = D ob 1 + D t D ob > D mat. 2.2.4 Jednoduché úročení předlhůtní Někdy se setkáváme s úročením předlhůtním antcpatvním), kdy je úrok placen na začátku úrokovacího období. Příjemce kaptálu nedostává celou částku K t, ale kaptál snížený o úrok, což je vlastně obchodní dskont. Předpokládejme, že doba splatnost kaptálu bude jeden rok, a proto zaplatíme úrok za tento jeden rok. Jestlže označíme K 1 kaptál splatný za jeden rok, I úroková sazba v setnách p.a., K 0 vyplacený kaptál hodnota dluhu na počátku), potom K 0 = K 1 K 1 I = K 1 1 I) K 1 = K 0 1 I. Jestlže chceme vyjádřt hodnotu kaptálu K t v čase t, kde t 0,1, tedy v lbovolném čase mez dobou výplaty a dobou splatnost př předlhůtním antcpatvním) úročení, bude platt K t = K 0 + K 1 I t. Jestlže do naší rovnce dosadíme za K 1 = K 0, získáme základní rovnc pro 1 I jednoduché předlhůtní úročení ve tvaru K t = K 0 + K 0 1 I I t = K 0 1 + I ) 1 I t. Porovnání jednoduchého polhůtního a předlhůtního úročení dekurzvního a antcpatvního): Jednoduché polhůtní K t = K 0 1 + t) Rovnce pro zúročený kaptál Jednoduché předlhůtní K t = K 0 1 + I t) nebo 1 I K t = K 1 [1 + I t 1)] 36

Z uvedených rovnc je vdět, že závslost konečného kaptálu resp. úroku je u obou rovnc lneární. K 0 počáteční kaptál, který je K 0 kaptál, který obdrží s časem t úročen klent a který se s časem t úroková sazba polhůtní dekurzvní) úročí a platí = = I 1 I I 1 I Platí vztah K 0 = K 1 1 I) I úroková sazba předlhůtní antcpatvní) nebo I = 1 + Závěr: Jestlže úročíme tentýž kaptál K 0 předlhůtně nebo polhůtně s odpovídající úrokovou sazbou), výsledný zúročený kaptál je shodný. Úrokování se lší pouze způsobem přpsování úroků. Příklad 2.5. K t =?, K 0 = 100 Kč, = 0,08, I = 1 +, t = 9 měsíců. Řešení. Polhůtně dekurzvně) Předlhůtně antcpatvně) K t = K 0 1 + t) K t = K 0 1 + I t) 1 I K t = 100 1 + 0,08 0,75) = 106 K t = 100 1 + )= 0,074074 0,75 1 0,074074 K t = 106 Kč = 105,9999 K t = 105,99 Kč Příklad 2.6. Předpokládejme úvěr ve výš 100 Kč, splatný najednou za 1 rok př úrokové sazbě 10% p.a. Jaký je rozdíl mez polhůtním a předlhůtním úročením? Řešení. Polhůtní: Předlhůtní: K 0 = 100, = 0,1, t = 1, K t =? K t = 100, I = 0,1, t = 1, K 0 =? K 1 = K 0 1 + t) = 100 1,1= K 0 = K 1 1 I) = 100 0,9 = = 110 Kč = 90 Kč Na konc roku je nutno zaplatt celkem 110 Kč, to znamená ve výš 100 Kč obdržíme pouze Př předlhůtním úročení z úvěru 100 Kč úvěru plus 10 Kč úroku. 90 Kč 100 Kč mnus úrok) a po roce musíme zaplatt celých 100 Kč. Příklad 2.7. Kolk dostane vyplaceno klent, který s vypůjčl od banky 120 000 Kč př 15% předlhůtní úrokové sazbě na dobu 1 roku? Kolk zaplatí bance, jestlže se rozhodne dluh vrátt jž za 8 měsíců? 37

2. Jednoduché úročení Řešení. Vyplacená částka úvěru bankou bude čnt K 0 = K 1 1 I) = 120000 1 0,15) = 120000 0,85 = 102000 Kč. Hodnota úvěru po 8 měsících bude K t = K 1 [1 + t 1) I] = 120000 [1 + 8/12 1) 0,15] = = 120000 1 1/3 0,15) = 114000 Kč. Klent dostane vyplaceno 102000 Kč a po 8 měsících zaplatí 114000 Kč. Poznámka. Hodnota dluhu se dá také vypočítat tak, že od nomnální hodnoty dluhu odečteme obchodní dskont za 4 měsíce. D ob = K t D t = 120000 0,15 4/12 = 120000 0,15 1/3 = 6000 Kč. Klent zaplatí za 8 měsíců 120 000 6 000 = 114 000 Kč. Otázky k zamyšlení 1. Klent měl od 8.3.2000 do 5.5.2000 uloženo ve spořtelně 15 000,00 Kč na 8% úrokovou sazbu p.a. Kolk Kč čnl úrok za tuto dobu? [193,33 Kč] 2. Vypočítejte úrokový výnos a konečnou hodnotu př vkladu K 0 = 3000 Kč př 4% p.a. za 2 roky. [u = 240 Kč, K t = 3 240 Kč] 3. Na jakou dobu musíme nvestovat 800 Kč př př úrokové sazbě 5% p.a., abychom získal na úrocích 120 Kč? [t = 3 roky] 4. Jaká byla roční úroková míra př vkladu 700 Kč, abychom na úroku získal 42 Kč za 3 roky? [ = 3 %] 5. Vypočítejte současnou hodnotu K 0, jestlže za 2 roky př 6% p.a. byla hodnota vkladu 784 Kč. [K 0 = 700 Kč] 6. Pan Vozáblo s vypůjčl 7500 Kč př úrokové sazbě 7% p.a. dne 10. dubna. 10. května splatl polovnu dluhu a celou částku úroku dlužnou k 10. květnu. Kolk celkem zaplatl bance? [3 794 Kč] 7. Vypočítejte úrok pomocí UC, UD, jestlže klent uložl do banky 4.1. částku 8000 Kč, dne 18.2. částku 4500 Kč a 14.4. částku 2400 Kč. Úroková sazba byla 6% p.a. Kolk Kč získal klent za tuto dobu na úrocích? [u = 811,066 Kč] 8. Na jakou hodnotu se zúročl vklad 120 000 Kč za 2 roky, 8 měsíců a 21 dní, je-l úročen v bance př úrokové sazbě 6% p.a.? [K t = 140 697,20 Kč] 9. Podnkatel prodá bance směnku v nomnální hodnotě 200 000 Kč, která je splatná za 2 roky. Podle stavu nabídky a poptávky po cenných papírech na burze jí banka kupuje s dskontní sazbou 15% p.a. Kolk Kč obdrží podnkatel za směnku? [140 000 Kč] 38

10. Dlužník vystavl dlužní úps na 20000 Kč, splatných s úrokem za 8 měsíců př 8% p.a. Za měsíc po vystavení dlužního úpsu jej věřtel prodal jné osobě, která dskontuje dlužní úpsy 9% p.a. Kolk dostane věřtel za dlužní úps? [20 015,84 Kč] 39

2. Jednoduché úročení 40

Základní vztahy pro složené úročení Kombnace jednoduchého a složeného úročení Výpočet doby splatnost př složeném úročení Výpočet současné hodnoty Výpočet úrokové sazby Výpočet úroku př složeném úročení Srovnání jednoduchého a složeného úročení 3 Složené úročení

3. Složené úročení Cíl kaptoly V první kaptole jsme mluvl o jednoduchém úročení, kde se úroky počítal vždy z počátečního uloženého kaptálu. V následující kaptole se seznámíme s výpočtem úroků, kdy se tento úrok počítá jž z úročeného kaptálu. To znamená, že koncem úrokovacího období se k vloženému kaptálu přpočítá úrok a z takto jž zúročeného kaptálu na konc dalšího úrokovacího období se vypočítá úrok nový. Cílem je tedy pochopt tento způsob úročení a uvědomění s, že lze roční úrokovací období rozdělt na období kratší než jeden rok a dokonce zavést spojté úrokovací období, v teor nejen fnanční matematky, ale pojstné matematky používané. Důležtou částí této kaptoly je z uvedených výrazů vypočítat pro nás potřebné hodnoty a v prax je použít. Dalším důležtým pojmem je kombnace jednoduchého a složeného úročení a z odvozených výrazů výpočet jednotlvých hodnot, které jsou pro běžnou prax potřebné. Časová zátěž Úvod Prostudování a pochopení vztahů této kaptoly vyžaduje 12 hod. Doposud jsme vycházel z toho, že se úroky počítají stále ze stejného základu úroky rostly lneárně. Složené úročení vychází z toho, že se úroky přpočítávají k původnímu kaptálu a v následujícím období se tento zúročený kaptál bere jako základ pro další úročení. Úročí se tedy zúročený kaptál. Složené úročení je možno rozdělt na úročení předlhůtní a polhůtní. 3.1 Základní vztahy pro složené úročení Označme K 0 původní počáteční) kaptál, úroková sazba v setnách, t doba splatnost kaptálu v letech, K t výše kaptálu v době t = 1,2,3,... Rok Stav kaptálu na konc roku 1 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 1 + ) = K 0.1 + ) 2 K 2 = K 1 + K 1 = K 1 1 + ) = K 0 1 + )1 + ) = K 0 1 + ) 2 3 K 3 = K 2 + K 2 = K 2 1 + ) = K 0 1 + ) 2 1 + ) = K 0 1 + ) 3... t K t = K t 1 + K t 1 = K 0 1 + ) t 1 1 + ) = K 0 1 + ) t Z naší tabulky vdíme, že na konc jednotlvých let stavy kaptálu tvoří geometrckou posloupnost, kde se kvocent rovná úrokovacímu faktoru 1 +. 42

Tedy a 1 = K 0 a q = 1 +. Přrozené mocnny úrokovacího faktoru se nazývají úročtelé a udávají, jak vzroste vklad 1 Kč za dobu t př úrokové sazbě za předpokladu, že K 0 = 1 Kč. Celkový úrokový výnos neroste jako u jednoduchého úročení lneárně, ale exponencálně. kaptál úrok = 20 % = 10 % K 0 úrok t čas Obrázek 3.1: Závslost úroku a výše kaptálu na době splatnost Základní rovnce pro složené úročení tedy bude K t = K 0 1 + ) t. Tato rovnce platí za předpokladu, že t je celé kladné číslo a úročení probíhá koncem každého roku. Příklad 3.1. Uložl jsme částku 12000 Kč. Jaká bude výše kaptálu za 3 roky př složeném úročení, jestlže úroková sazba bude 5 % p.a.? Řešení. K t = K 0 1 + ) t, K t = 12000 1 + 0,05) 3 = 12000 1,157625 = 13891,50 Kč. Konečná hodnota kaptálu bude 13891,50 Kč. Předpokládejme, že t je celé kladné číslo, ale úrokovací období je kratší než jeden rok. Úrokování probíhá m-krát za rok. Označme opět K 0 původní počáteční) kaptál, roční úroková sazba v setnách, úroková sazba za jednu m-tnu roku, m K m stav kaptálu na konc m-té část roku. 43

3. Složené úročení Část roku Stav kaptálu na konc m-té část roku 1 K 1 = K 0 + K 0 m = K 01 + m ) = K 01 + m ) 2 K 2 = K 1 + K 1 m = K 11 + m ) = K 01 + m )1 + m ) = K 01 + m )2 3 K 3 = K 2 + K 2 m = K 21 + m ) = K 01 + m )2 1 + m ) = K 01 + m )3. m.. K m = K m 1 + K m 1 m = K m 11 + m )m 1 1 + m ) = K 01 + m )m Stav kaptálu úročený m-krát za rok bude na konc roku K m = K 0 1 + ) m m a za t let bude K t = K 0 [ 1 + m) m ] t = K 0 1 + m) m t. Příklad 3.2. Jako v předcházejícím příkladu jsme s uložl 12000 Kč. Jaká bude výše kaptálu za 3 roky př složeném úročení polhůtním, jestlže úrokovací období bude čtvrtletní a úroková sazba ční 5 % p.a.? Řešení. K t = K 0 1 + m) m t, K t = 12000 1 + 0,05 ) 4 3 = 12000 1,0125 12 = 12000 1,1607545 = 4 = 13 929,054 Kč. Konečná hodnota kaptálu př stanovených podmínkách bude 13 929,054 Kč. 3.2 Kombnace jednoduchého a složeného úročení Ke kombnac jednoduchého a složeného úročení dochází tehdy, jestlže jsou úroky přpsovány po určtou dobu k počátečnímu vkladu a s ním dále úročeny složené úročení), ale na konc je nutno vypočítat úrok za dobu kratší než je úrokovací období kratší než jeden rok jednoduché úročení). Necht platí podmínka t kladné celé číslo, t = n + R, kde n je číslo, které udává počet celých ukončených let a R < 1 je číslo menší než 1), je číslo, které udává neukončené úrokovací období část roku). Počáteční kaptál K 0 nejprve úročíme složeným úročením po celou dobu n let K n = K 0 1 + ) n. 44

Tento kaptál K n pak úročíme jednoduchým úročením po dobu R, tedy po dobu posledního neukončeného roku po zbytek splatnost, část roku). K t = K n 1 + R ), K t = K 0 1 + ) n 1 + R ). Dosadíme-l za K n předcházející výraz, obdržíme hodnotu kaptálu na konc úrokovacího období t = n + R. Jestlže se úroky přpsují m-krát do roka a doba t není celé číslo, potom můžeme dobu t opět zapsat t = n + R. Konečnou hodnotu kaptálu za dobu t pak určíme podobným způsobem jako v předcházejícím vztahu. K n = K 0 1 + m) n. Konečnou hodnotu kaptálu K t pak vypočítáme jednoduchým úročením zúročené výše kaptálu K n K t = K n 1 + R ). Jestlže dosadíme za K n předcházející výraz, dostaneme konečný vztah pro výpočet kaptálu K t K t = K 0 1 + m) n 1 + R ). Jestlže úrokové období nebude roční, bude číslo n vyjadřovat počet ukončených úrokových období a číslo R pouze část úrokového období. Potom je nutno dělt roční úrokovou sazbu počtem úrokových období za rok. Příklad 3.3. Na kolk vzroste vklad 15000 Kč uložený na 3 roky a 2 měsíce př úrokové sazbě 5 % p.a.? Řešení. K t =?, K = 15000, = 0,05, t = 3 roky a 2 měsíce = 3,16666 roku, n = 3 roky, R = 0,1666 roku. K t = K 0 1 + ) n 1 + R ), K t = 15000 1 + 0,05) 3 1 + 0,16666 0,05) = 15000 1,05 3 1,008333 K t = 17 509,072, = 17509,072 Kč. Poznámka. Pokud bychom řešl tento příklad podle výrazu K t = K 0 1+) t, byl by výsledek následující K t = 15000 1 + 0,05) 3,16666 = 15000 1,05 3,16666 = 17506,147 Kč. 45