42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v úvahu a naopak Jestliže něčemu nerozumíte, zeptejte se Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet Výsledek bez uvedení jakéhokoliv postup či výpočtu není akceptován Abyste uspěli v testu, potřebujete získat alespoň 5 bodů () (0 bodů) V krabicije 9 novýcha6použitýchtenisových míčkůproprvní hru se náhodněvyberou míčky, které se po skončení hry zase vrátí do krabice Pro druhou hru se znovu náhodně vyberou opět míčky Určete pravděpodobnost toho, že všechny tři míčky, použité při druhé hře, jsou nové Pro i = 0,,2, si označme jevy: A i = pro první hru bylo vybráno i nových a i použitých míčku, B = pro druhou hru byly vybrány nové míčky Víme, že A 0, A, A 2 a A je úplný disjunktní systém jevů Z věty o úplné pravděpodobnosti máme P(B) = P(B A i ) P(A i ) Zbývá určit potřebné pravděpodobnosti: ) 6 ) P(B A i ) = ) a P(A i ) = i) ( i ( 5 Takže P(B A 0 ) P(A 0 ) = 0) ( 8 P(B A ) P(A ) = ) 2) ( 7 P(B A 2 ) P(A 2 ) = 2) ) P(B A ) P(A ) = 0) Nebo také lze postupovat takto: i ( 5 i= ( 5 ) 2 = 9! ( )! 6! 6!!!! 2 = 9! 5 4! ( 5 ) 2 = 8! ( )! 5! 9 6! 2! 4!! 2 = 9! 5 4 4 ( 5 ) 2 = 7! ( )! 4! 9! 2! 7! 6! 2 = 9! 5 4 4 ( 5 ) 2 = 6! ( )!! 9!! 6!! 2 = 9! 5 4! i = 0: Z 5 míčků (9 nových, 6 starých) vybíráme postupně staré, tedy P(A 0 ) = 6 9+6 5 9+5 4 9+4 = 6 5 4 5 4 = 00496 (5 4 2 (5 4 2 (5 4 2 (5 4 2 a podobně pravděpodobnost P(B A 0 ) určíme tak, že následně z 5 míčků (stále 9 nových, 6 starých) vybíráme P(B A 0 ) = 9 9+6 8 8+6 7 7+6 = 9 8 7 = 08462 5 4 i = : Podobně z 5 míčků (9 nových, 6 starých) vybíráme postupně nový a 2 staré Tedy možnosti jsou (starý, nový, nový) nebo (nový, starý, nový) nebo (nový, nový, starý) Všechny tyto možnosti mají stejnou pravděpodobnost, takže P(A ) = 9 6 5 5 4 = 02967
a podobně pravděpodobnost P(B A ) určíme tak, že následně z 5 míčků (nyní 8 nových, 7 starých) vybíráme P(B A ) = 8 7 6 = 0208 5 4 i = 2: Z 5 míčků (9 nových, 6 starých) vybíráme postupně 2 nové a starý Tedy možnosti jsou (nový, starý, starý) nebo (starý, nový, starý) nebo (starý, starý, nový) Všechny tyto možnosti mají stejnou pravděpodobnost, takže 9 8 6 P(A 2 ) = = 04747 5 4 a podobně pravděpodobnost P(B A ) určíme tak, že následně z 5 míčků (nyní 7 nových, 8 starých) vybíráme P(B A ) = 7 6 5 = 007692 5 4 i = : Z 5 míčků (9 nových, 6 starých) vybíráme postupně nové Takže P(A ) = 9 8 7 = 08462 5 4 a podobně pravděpodobnost P(B A ) určíme tak, že následně z 5 míčků (nyní 6 nových, 9 starých) vybíráme P(B A ) = 6 5 4 = 00496 5 4 a Speciálně vidíme, že Takže po dosazení: P(B A 0 ) P(A 0 ) = P(B A ) P(A ) P(B A ) P(A ) = P(B A 2 ) P(A 2 ) P(B) = 9! ( P(B A i ) P(A i ) = 2 (5 4 2 6 + ) = 4 i= = 8 2 5 7 2 = 528 = 008926 595 Pravděpodobnost je tak asi 8926% (2) (0 bodů) Distribuční funkce spojite náhodné veličiny X má tvar: 0, t < F X (t) = a+b arcsin(t), t,, t > (i) Určete konstanty a, b tak, aby F X byla skutečně distribuční funkcí a načrtněte její graf Dále určete E(X) a P ( 2 X < (ii) Určete distribuční funkci F Y veličiny Y = X 2 (i) Ze spojitosti F X musí být 0 = a+b arcsin( ) = a π 2 b
= a+b arcsin() = a+ π 2 b takže a = 2 a b = π Distibuční funkce pak má tvar 0, t < F X (t) = 2 + π arcsin(t), t,, t > s grafem F X (t) + t Protože hustota veličiny, tj derivace { f X (t) = F X (t) = π t, t (,) 2 0, jinak je sudá funkce (nebo také proto, že F X je středově souměrná podle středu ( 0, 2) ), je střední hodnota (pokud existuje) nutně nulová Existence je ovšem vidět ihned z předpisů distribuční funkce - X je omezená (přesněji, hodnoty X, co padnou mimo interval, nejsou podstatné) Tedy skutečně je E(X) = 0 Názornější zdůvodnění je i to, že střední hodnota představuje příslušné (žluté) plochy, které jsou vymezené grafem funkce F X Tyto plochy jsou jsou shodné (omezené) a při výpočtu se berou s opačnými znaménky Střední hodnotu lze ovšem snadno spočítat i přímo pomocí hustoty pravděpodobnosti E(X) = t f X (t) dt = t π dt = [ ] t= t 2 t 2 π = 0 t= A konečně, díky sudosti hustoty (případně díky zmíněné středové symetričnosti F X ) je ( ) ( ) ( P 2 X < = 2 P 2 X < ( ) ) = 2 F X ( F X /2 = ( = 2 2 π arcsin( /2 )) ( = 2 2 π π ) 6 (ii) Pro distribuční funkci F Y máme F Y (s) = P(Y s) = P(X 2 s) = P(X 2 s+) = 2 Pro s+ < 0 je tedy zřejmě F Y (s) = 0 Pro s+ 0 pak můžeme dále pokračovat ( ) ( F Y (s) = = P X 2 s+ = P X ) ( s+ = P s+ X ) s+ = ( s+ ) = F X F X ( ) ( s+ ) s+ = 2 F X
Poslednírovnostplyne z toho, žepokud je F X středověsymetrickápodle (0,/2)(neboli funkce F X 2 je lichá), pak pro všechna t R platí F X( t) + F X (t) = (stejná vlastnost se používá často u normovaného normálního rozdělení) Ted už stačí jen dosadit do předpisu F X, čímž dostaneme 0, s < 2 F Y (s) = π arcsin( s+), s,0, s > 0 ( (0 bodů) Dvě diskrétní náhodné veličiny X, Y mají pravděpodobnostní funkce dané tabulkou Odhadněte koeficient c směsi Z = Mix c (X,Y) z četností jejích realizací uvedených v tabulce hodnota 2 4 p X 0 02 02 05 p Y 05 02 02 0 četnost 0 20 5 5 Z definice směsi máme pro parametr c nutnou podmínku 0 c Metoda momentů: Z definice směsi Z = Mix c (X,Y) dostaneme Pro střední hodnoty X a Y máme Takže dostaneme Hodnota realizace výběrového průměru je Jejich srovnáním dostáváme takže výsledek je E(Z) = c E(X)+( c) E(Y) E(X) = 0+2 02+ 02+4 05 = E(Y) = 05+2 02+ 02+4 0 = 9 E(Z) = c E(X)+( c) E(Y) = 9+2 c z = 0+2 20+ 5+4 5 00 9+2 c = E(Z) = z = 255 c = = 0547 24 = 5 20 = 255 Metoda maximální věrohodnosti: Z definice Z = Mix c (X,Y) pro pravděpodobnostní funkci dostaneme p Z = c p X +( c) p Y hodnota 2 4 p Z 05 04c 02 02 0+04c
Pro funkci věrohodnosti pak máme L(c) = (05 04 c) 0 02 20+5 (0+04 c) 5 Funkce L je nezáporná a spojitá na uzavřené množině 0,, takže zde nabývá maxima To odpovídá hledání maxima funkce Derivace je nulová ve stacionárním bodě l(c) = lnl(c) = 0 ln ( 05 04c ) +5 ln02+5 ln ( 0+04c ) 0 = l (c) = 0 04 05 04c + 5 04 0+04c = 58 04c (05 04c)(0+04c) c = 29 = 05577 52 V intervalu ( 0, 52) 29 je l evidentně kladná (o znaménku rozhoduje jen výraz v čitateli, výraz ve jmenovateli je kladný) a v intervalu ( 29 52,) je l zase záporná Takže v bodě c = 29 52 = 05577 je skutečně věrohodnost maximální