NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

Transkript

1 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů Získáno [5]. Spočtěte itu n + n sin arctann n. Počítejme n sin arctann n + n = n + n n sin arctann arctann arctann arctan n nyní vše závisí na tom zda se nám podaří spočíst itu n +. To ale není těžké n arctann n + = y n y tan y = y sin y = y cosy z 0+ = z 0+ z cos sin z n z z cos cosz + sin sinz sin z = z z 0+ sinz sin z = celkem proto n sin arctann n + n =.

2 [7]. Spočtěte + d Pečlivě popište definiční obor integrandu a definiční obor nalezené primitivní funkce určete na jakém množině platí vztah F = f. Kvůli odmocnině musíme nutně uvažovat [3 + výraz ve jmenovateli je rovný nule pouze když = definiční obor integrandu je tedy [3 +. Počítejme mysleme si že výpočet probíhá na jednom z daných intervalů Jest + + d = d = + = d + d = u = du = +3 d = = u 3 u u 3 u u 3 u + u 3 du u u 3 u u = u + u 6 u u = u + můžeme proto snadno spočíst zbývající integrál jest u u 3 u u d = u u + 9 u celkem tedy = u + 9 u u d u u du du = u u ln u + 9 ln u + d = ln 9 + ln = ln 8 ln + C přičemž konstanta C je jiná na každém z intervalů. Primitivní funkce je definována na množině [3 + vztah F = f platí na intervalu 3 a na intervalu +..

3 [0] 3. Vyšetřete průběh následujících funkce definiční obor obor hodnot prostá sudá nebo lichá spojitost body nespojitosti ity v bodech nespojitosti diferencovatelnost spojitost derivace ity derivace v bodech nespojitosti derivace monotonie konvení konkávní lokální a globální etrémy inflení body tečny v infleních bodech asymptoty graf. f = ln 3 3 ln. Vlastnosti funkce je nutné jasně odůvodnit výpočtem vyčíst vlastnosti rostoucí klesající konvení konkávní a podobně z grafu funkce nestačí a za takovéto odůvodnění nebudou přiděleny body. Funkce je definována pro R \ {0} a je zjevně sudá není periodická. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou Můžeme si povšimnout že f = 0. f = + ± f =. 0± Zabývejme se pouze kladnou reálnou poloosou vlastnosti funkce na záporné reálné polose získáme díky symetrii funkce. Spočtěme první derivaci jest d ln 3 3 ln = 3 ln d 3 = 3 ln derivace neeistuje v bodě = 0 ity jednostranných derivací v bodě = 0 jsou f = ± 0± derivace je nulová v bodech ln = ± tedy = e a = e. Z průběhu první derivace lze vyčíst klesající e rostoucí e e klesající f je e 0 rostoucí 0 e klesající e e rostoucí e +. Hodnota funkce v bodech kde je derivace nulová je f e = f e =. Spočtěme druhou derivaci pracujme opět pouze s kladnými čísly d d ln 3 3 ln = 3 ln ln = 3 ln + ln +. Druhá derivace neeistuje v bodě = 0 a je nulová v bodech které jsou řešením rovnice neboli ln + ln + = 0 y + y + = 0 kde jsme označili y = ln řešením výše uvedené rovnice jsou zřejmě body y = ± 8 = ± v proměnné proto 3 = e ±. Hodnota funkce v těchto bodech je f e ± = ± 3 3 ± = ±. Z průběhu druhé derivace je zřejmé že konkávní e + konvení e + e konkávní e 0 f je konkávní 0 e konvení e e + konkávní e + +.

4 Rovnice tečen v infleních bodech jsou zřejmě y = f 0 + f 0 0 kde 0 = e ±. Pro kreslení grafu funkce je důležité že e < e < < e < e +. Graf funkce je na Obrázku z grafu vyčteme zbývající informace. Funkce nabývá lokálního maima v bodě = e funkce nabývá lokálního minima v bodě = e. Funkce není prostá. Obor hodnot je R.

5 [8]. Napiště obecný tvar Taylorova rozvoje s Lagrangeovým tvarem zbytku pro funkci f v bodě z 0. Najděte Taylorův rozvoj funkce fz = tanz z do řádu o v bodě z 0 =. Užitím Taylorových rozvojů vhodných funkcí spočtěte itu ln tan sin cos. Obecný tvar Taylorova rozvoje je: kde ξ 0. Dosazením do vzorce dostaneme tan z = tanz z= + cos z f = z= n k=0 f k 0 k! z +! 0 k + fn+ ξ n +! sinz cos 3 z K výpočtu ity použijeme následujících Taylorových rozvojů z= 0 n+ cos = + z = + z z sin = ln + z = z z. Celkem ln tan sin cos ln + + = = ln z z = + z + z z. + = = = 8.

6 Obrázek : Graf funkce ln 3 3 ln.