20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude v dalším výkladu začit těleso reálých čísel Naším cílem bude studium tzv metrických vlastostí tj vzdáleostí úhlů apod což je umožěo právě přítomostí skalárího součiu a uitárím prostoru 201 Defiice Afií prostor A(( V g)) ad -rozměrým uitárím prostorem ( V g) azýváme -rozměrým eukleidovským prostorem a začíme E ebo E( V ) Ve smyslu pozámky 1413 budeme v dalším výkladu zpravidla předpokládat že skalárí souči g a prostoru V je pevě dá a tedy budeme místo g( uv ) psát je uv 202 Defiice Soustava souřadic S { a u1u2 u } eukleidovského prostoru E( V ) kde { u1u2 u } je ortoormálí báze uitárího prostoru V se azývá kartézská soustava souřadic Úhlem dvou eulových vektorů rozumíme ostrý úhel takový že uv V cos uv u v Vzdáleostí dvou bodů ab EV ( ) rozumíme číslo a b a b tj ormu vektoru 203 Pozámka Abychom si co ejvíce zjedodušili zápis učiíme úmluvu že místo u V budeme prostě psát u E Z kotextu je totiž vždy zcela zřejmé kdy jde o body a kdy o vektory Uvědomme si že podle Cauchyovy erovosti 1414 (a) je vždy cos 1 takže každé dva eulové vektory svírají ějaký ostrý úhel Nakoec pozameejme že je-li S ějaká kartézská soustava souřadic v E a bc E jsou dva body o souřadicích {} b S ( x1x 2 x)
Eukleidovský prostor 207 {} c ( y y y ) vzhledem k soustavě S je podle věty 1911 S 1 2 { bc} ( x y x y x y ) a tedy vzdáleost b c bodů b a c je S 1 1 2 2 podle pozámky 1419 rova ( ) 2 x i 1 i y i 204 Defiice Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uv E3 dva vektory Jestliže { u } S ( x1x2x3) { v } S ( y1y2y3) pak vektor w E3 takový že { w } S ( x2y3 x3y2x3y1 x1y3x1y2 x2y1) azýváme vektorovým součiem vektorů uv (v tomto pořadí!) a začíme uv 205 Pozámka Vektorový souči vektorů v eukleidovském prostoru E 3 jsme defiovali pomocí jeho souřadic vzhledem k předem daé kartézské soustavě souřadic S Aby takto zavedeý pojem měl vůbec ějaký praktický výzam je zapotřebí aby se choval rozumě při přechodu od daé soustavy S k jié kartézské soustavě souřadic V ásledující části si předě ukážeme že vektorový souči se sice při změě kartézské soustavy souřadic změí ale tak že ejvýše změí zaméko o tedy v podstatě zameá že předchozí defiicí je jedozačě urče směr uv vektorového součiu vektorů uv a jeho velikost Nicméě je teto pojem v praxi velmi důležitý eboť jak brzy uvidíme vektor uv je buď vektor ulový ebo je kolmý k oběma vektorům u a v Přitom uv 0 právě když u v takže pro lieárě ezávislé vektory u v je uv ortogoálí doplěk podprostoru uv ve V 3 206 Pozámka Vraťme se ještě jedou k defiici vektorového součiu 204 a podívejme se jak si lze sado výraz pro souřadice vektorového součiu zapamatovat Buď a ( a a a ) R vektor a vyšetřujme 3 determiat 1 2 3 x x x 1 2 3 { u} S{ v} Sa y1 y2 y3 a a a 1 2 3 Bezprostředě je patré že i-tá souřadice w i i 123 vektorového součiu uv je rova algebraickému doplňku i-tého prvku třetího řádku Odtud pak u v a plyou dvě skutečosti Předě determiat {} S {} S aw 1 1 aw 2 2 aw 3 3
208 Eukleidovský prostor a{ uv } S je rove skalárímu součiu vektorů a a { uv } S v uitárím prostoru ( R ) (viz pozámku 142) Dále zvolíme-li za a postupě jedotkové 3 vektory e1e2e 3 je uvedeý determiat postupě rove složkám w 1 w 2 w 3 souřadic vektorového součiu { uv } S Jiými slovy wi { u} S{ v} Se i i 123 207 Defiice Buďte S { au 1u2 u } a S { au1u2 u } dvě (kartézské) soustavy souřadic v eukleidovském prostoru E Maticí přechodu od soustavy S k soustavě S rozumíme matici přechodu od báze { u1u2 u } k bázi { uu u } 1 2 208 Defiice Čtvercová matice A ( aij ) R se azývá ortogoálí jestliže její řádkové vektory tvoří ortoormálí bázi uitárího prostoru ( R ) 209 Pozámka Připomeňme si že v pozámce 142 jsme ověřili že zobrazeí defiovaé pro u ( x1x 2 x ) a v ( y1y 2 y ) z R předpisem ( uv ) x y je skalárí souči a aritmetickém vektorovém prostoru i1 i i R Ortogoálost matice A ve smyslu předchozí defiice ezameá tedy ic jiého ež že její řádkové vektory jsou avzájem kolmé a mají ormu 1 v uitárím prostoru ( R ) Jak uvidíme ortogoálí matice jsou právě matice pře- chodu mezi ortoormálími bázemi uitárího prostoru Zároveň ukážeme že sloupce ortogoálí matice tvoří rověž ortoormálí bázi prostoru ( R ) tj že matice traspoovaá A je rověž ortogoálí a rová se A 1 2010 Věta Buď A R ortogoálí čtvercová matice stupě Pak 1 det A 1 matice A je regulárí A A a matice A je ortogoálí aa ij ( ) 1 ik kj 1 ik jk k k i j ij Důkaz Ozačíme-li C( c ij ) AA je c a a a a kde a1a2 a jsou řádkové vektory matice A Vidíme tedy že C E je 1 jedotková matice Podle důsledku 85 je matice A regulárí a A A Dále podle věty 73 a podle věty o ásobeí determiatů 721 máme 1 dete det det (det ) 2 A A A takže det 1 A Nakoec z rovosti AA E
Eukleidovský prostor 209 dostáváme ortogoálí což zameá že matice A je ij a 1 ika k kj a k 1 kia kj 2011 Věta Buď ( V g) uitárí prostor a M M buďte dvě ortoormálí báze tohoto prostoru Pak matice přechodu od báze M k bázi M je ortogoálí Obráceě je-li M { u1u2 u } ortoormálí báze uitárího prostoru ( V g) a A ( ) je ortogoálí matice pak možia M 1 2 a ij i a j 1 ji j { u u u } kde u u i 12 je ortoormálí báze prostoru ( V g) Důkaz Je-li M { u1u2 u } a M { u1 u2 u } pak Dále je g ( ) ui u j = g a 1 ki k a k l1 lj l aa k1 l1 ki lj kl = u u = aa ( ) k 1 ki kj b ib j kde b 1 b 2 i a k 1 ki k u u a ( ) 1 1 kia k l lj g u k u l = b jsou sloupcové vektory matice A Je-li yí M ortoormálí báze ve ( V g) je g( uiu j) ( bib j) ij a matice A a tedy podle předchozí věty i matice A jsou ortogoálí Obráceě je-li matice A ortogoálí je ortogoálí i traspoovaá matice A takže ( bibj) g( uiu j) ij a M je ortoormálí báze uitárího prostoru ( V g) 2012 Pozámka Ve větě 410 a pozámce 411 jsme ukázali že ásobit matici B maticí A zleva zameá totéž jako provádět lieárí kombiace a řádky matice B a to tak že i-tý řádek součiu AB dostaeme jako lieárí kombiaci řádků matice B s koeficiety v i-tém řádku matice A Vzhledem k tomu že této skutečosti použijeme dvakrát v ásledujícím důkazu proveďme tuto úvahu poěkud podroběji Buď tedy A ( a ij ) matice typu ( m ) s řádkovými vektory a i i 12 m a B ( b ij ) matice typu ( k ) s řádkovými vektory b j j 12 Pak CAB ( ) je matice typu ( mk ) s řádkovými vektory c i c ij a i jako a matici typu i 12 m Pohlížíme-li jako obvykle a vektor (1 ) je souči matic aib rove i-tému řádku c i matice C AB Jiými slovy matice AB má řádky a1b a2b amb Speciálě jsou-li A B čtvercové matice
210 Eukleidovský prostor stupě můžeme větu o ásobeí determiatů 721 iterpretovat také takto: det C=c1c2 ca1ba2b ab = a1 a2 a detb det AdetB 2013 Věta Buďte S { au 1u2u 3} a S { au1u2u 3} dvě kartézské soustavy souřadic v eukleidovském prostoru E 3 uv E3 buďte dva vektory Ozačíme-li w vektorový souči vektorů u v vzhledem k soustavě S a w jejich vektorový souči vzhledem k S pak w wdetb kde B je matice přechodu od soustavy S k soustavě S Důkaz Ozačíme-li { w } S ( w1w2w3) a { w } S ( w1w2w3) a uvědomíme-li si že { u } e i 12 3 dostaeme podle pozámky 206 že w i = i S i { u} S{ v} Se i = { } S{ } S{ i} S u v u Použitím věty 1014 (a) předchozí pozámky věty o ásobeí determiatů 721 a věty 73 postupě máme wi { u} S{ v} S{ u i} S= { u} SB { v} SB { ui} SB = { u} S{ v} S{ ui} SdetB {} u S{} v S{ ui} S detb Nyí podle vět 1014 (b) a 2010 je B matice přechodu od soustavy souřadic S k soustavě S a tedy { u i} S ( b1ib2ib3i) ( bi1bi2 bi3) odkud podle pozámky 206 plye wi ( bi1w1bi2w2bi3w3)detb eboli { w} S { w} SB detb podle předchozí pozámky Na druhé straě věta 1014 (a) dává { w} S { w} SB odkud porováím a vyásobeím zprava maticí B iverzí k B podle věty 2010 dostaeme { w} S { w} SdetB { wdet B } S Protože podle věty 102 (b) je zobrazeí w { w } S izomorfismus je w wdetb 2014 Věta Buď S { au1u2u 3} kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uv E3 dva vektory Ozačíme-li uv vektorový souči těchto vektorů vzhledem k soustavě S platí: a) uv ( vu) ( v) u v( u ); b) uv 0 právě když jsou vektory u a v lieárě závislé; c) ( uv) u ( uv) v ; d) uv u v si kde je úhel vektorů u a v pokud u a v jsou eulové; { u} { v} { uv } 0 přičemž rovost astává právě když uv 0 e) S S S tj právě když vektory u a v jsou lieárě závislé
Eukleidovský prostor 211 Důkaz Nechť { u } S ( x1x2x3) { v } S ( y1y2y3) a { uv } S ( w1w2w3) 3 a) Podle pozámky 206 wi { u} S{ v} Se i kde e i R je jedotkový vektor i 12 3 Ozačíme-li { } S ( w1 w2w3) w { v} { u} e = v u je i S S i { u} S{ v} Se i = wi podle věty 76 a zbytek tvrzeí je zřejmý b) Jsou-li vektory u v lieárě závislé jsou lieárě závislé i vektory { u } S { v } S a wi { u} S{ v} Se i 0 pro každé i 12 3 podle věty 718 Předpokládejme tedy aopak že uv 0 a ukažme že vektory u v jsou lieárě závislé Zvolme libovolě vektor zuv Podle pozámky 206 je {} u S{} v S{} z S {} z S { uv } S 0 takže vektory { u } S { v } S a { z } S jsou lieárě závislé podle věty 718 Protože zobrazeí u { u } S je podle věty 102 (b) izomorfismus jsou vektory u v z lieárě závislé podle věty 920 takže existuje etriviálí lieárí kombiace ru sv tz 0 Pro t 0 dostáváme r s z u t v t u v což jest spor s volbou vektoru z Je tedy utě t 0 lieárí kombiace rusv 0 je etriviálí a vektory u v jsou tudíž lieárě závislé c) Podle pozámky 206 a věty 78 je { u} S { uv} S { u} S{ v} S{ u } S 0 a { v} S { uv} S { u} S{ v} S{ v } S 0 Podle věty 1418 je zobrazeí ( u ) { u } S uitárí takže uu ( v) vu ( v ) 0 d) Podle pozámky 1419 je x y ) ( x y x y ) = u v 2 2 1 3 1 2 2 1 2x2xyy 3 2 3 = u v ( uv ) = 2 w1 w2 w3 2 u v = ( x y x y ) ( x y 2 3 3 2 3 1 2 2 x1 y1 x2y2 x3y3 2x1x2y1y2 2x1x3y1y3 u 2 2 v 2 ( uv) 1 u v 2 2 = u v (1 cos ) = u v si a tedy uv u v si { u} { v} { uv } = { uv} { uv } e) Podle pozámek 206 a 1419 je S S S 2 uv = w w w a jsme hotovi 1 2 3 S S 2015 Pozámka Přihlédeme-li k pozámce 206 můžeme pojem vektorového součiu rozšířit a eukleidovské prostory E pro 2 Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E Jsou-li u 1 u 2 u 1 vektory
212 Eukleidovský prostor z E pak rozvojem determiatu { 1} S{ 2} S { 1} S u u u a kde a ( a1a 2 a ) R podle posledího řádku dostaeme číslo aw i1 i i Vektor w takový že { w } ( w1w 2 w ) se azývá vější souči vektorů 1 2 1 S u u u Aalogicky jako u vektorového součiu čteář sado sám ověří že platí: a) při změě kartézské soustavy souřadic změí vější souči ejvýše zaméko; b) je-li S 1 libovolá permutace pak vější souči vektorů u (1) u (2) u ( 1) dostaeme z vějšího součiu vektorů u1u2 u 1 vyásobeím číslem z ; c) vější souči je rove ulovému vektoru právě když jsou vektory u1u2 u 1 lieárě závislé; d) vější souči je kolmý ke všem vektorům u1u2 u 1; e) { u1} S{ u2} S { u 1} S{ w } S 0 přičemž rovost astae právě když vější souči w je rove ulovému vektoru 2016 Věta Buď S kartézská soustava souřadic v eukleidovském prostoru E 3 a buďte uvu v čtyři vektory z E 3 Pak platí: uu vu ( uv)( uv) ( uu)( vv) ( vu)( uv) uv vv Důkaz Jsou-li vektory u v lieárě závislé v ru pak podle věty 2014 (b) je uu ruu uv 0 takže ( uu) r( uv) r( uu)( uv) 0 uv ruv Nechť tedy vektory u v jsou lieárě ezávislé Z věty 148 plye že můžeme zvolit kartézskou soustavu souřadic S { au1u2u 3} tak aby uu 1 a vu1 u 2 Přitom vhodou volbou zaméka u vektoru u 3 můžeme dosáhout toho aby determiat matice přechodu od soustavy S k soustavě S byl rove jedé Podle věty 2013 jsou pak vektorové součiy uv a uv vzhledem k oběma soustavám souřadic S a S stejé Přitom { u } ( x100) S
Eukleidovský prostor 213 {} v S ( y1y20) { u } S ( x1 x2 x3) { v } S ( y1 y2 y3) { uv } S (00 x1y 2) a tedy ( uv)( uv ) x1y2( x1y2 x2y1) Na druhé straě máme uu x1x 1 vv yy 1 y2y2 uv x1 y1 vu yx 1 1 yx 2 2 odkud dostáváme ( uu)( vv ) ( vu)( uv ) xx 1 1( yy 1 1 y2 y2) xy 1 1( yx 1 1 yx 2 2) x1 y2( x1 y2 x2 y1) a jsme hotovi 2017 Defiice Buď aw adrovia eukleidovského prostoru E Podle věty 147 je ortogoálí doplěk podprostoru W ve V jedorozměrým podprostorem u ve V Směr u (ebo pro jedoduchost stručě každý eulový vektor z u ) azýváme směrem ormály adroviy Každou přímku v o směru u azýváme ormálou adroviy E 2018 Věta Buď ax i 1 i i b rovice adroviy eukleidovského prostoru E vzhledem k ějaké kartézské soustavě souřadic S (viz věta 1915) Pak směr u kde { u } ( a1a 2 a ) je směrem ormály adroviy S Důkaz Buď v libovolý vektor z adroviy a a buď libovolý bod Položme cav a echť {} a S ( x1x 2 x) {} c S ( y1y 2 y) Podle věty 1911 je { v } { ca} ( y1x1y2 x 2 y x ) Přitom podle věty 1915 je ax i 1 i i b S S i1 ay i i b takže i1 a ( y x ) 0 o však zameá že i i i uv 0 vektor u je kolmý ke každému vektoru adroviy a u je tedy vektor ormály této adroviy Ve zbytku tohoto odstavce se budeme věovat jedak úhlům jedak dvěma hlediskům vzdáleosti v eukleidovském prostoru Předě probereme vzdáleost dvou rovoběžých podprostorů a poté se budeme zabývat vzdáleostí dvou mimoběžek Připomeňme že studium těchto pojmů je umožěo díky skalárímu součiu a že ěco podobého elze provádět v prostoru afiím 2019 Lemma Buď úhel dvou eulových vektorů u a v v eukleidovském prostoru E Jestliže u ru a v sv kde rs 0 pak úhel vektorů u a v je rověž rove Důkaz Ozačíme-li úhel vektorů u a v pak podle defiice 202 je
214 Eukleidovský prostor uv ( ru)( sv) rsuv cos cos u v ru sv rs u v takže vzhledem k tomu že úhly a jsou ostré 2020 Defiice Úhlem směrů u v eukleidovského prostoru úhel vektorů u v Úhel dvou přímek a u a b v v E rozumíme E je úhel směrů u a v Úhel přímky a u a adroviy v E je doplěk úhlu směru u a směru ormály adroviy (připomeňme že úhel je doplňkem úhlu jestliže ) Koečě úhlem dvou adrovi rozumíme úhel směrů jejich 2 ormál 2021 Věta Nechť a W b W W W jsou dva rovoběžé podprostory euklidovského prostoru E Pak platí: a) pro každý bod cb W se podprostory c W a a W protíají v jediém bodě; b) ozačíme-li F() c průsečík podprostorů z tvrzeí (a) je F izometrické afií zobrazeí podprostoru b W a podprostor F( b) W prostoru a W vytvořeé idetickým automorfismem 1 W vektorového prostoru W ; c) pro každé dva body b1b2b W je b1 F( b1) b2 F( b2) ; d) je-li cf( b) W libovolý bod pak c b F( b) b přičemž rovost platí právě když c F( b) Důkaz a) Podle věty 147 (a) je W W V takže acw W a podprostory c W a a W jsou růzoběžé podle věty 1919 Přitom se tyto podprostory protíají v jediém bodě eboť v opačém případě by existovala přímka d u ( cw ) ( aw) což by vedlo ke sporu 0 u W W 0 b) Podle (a) existují vektory u 1 W a u 2 W takové že Fb ( ) bu 1 a u 2 Pro každé u W pak je Fb ( ) u bu1 u au2 u (( bu ) W ) ( aw) a tudíž Fb ( u) Fb ( ) u Vidíme tedy že F je afií zobrazeí vytvořeé idetickým automorfismem prostoru W a zbývá ukázat že F je izometrie Jsou-li b 1 b v 1 b2 b v 2 dva body z b W je
Eukleidovský prostor 215 F( b ) F( b) v bu v i 12 a podle lemmatu 196 máme i i 1 i F( b2) F( b1) ( bu1 v2) ( bu1 v1) ( bv2) ( bv 1) b2 b1 c) Při stejém ozačeí jako v předchozí části je b1 F( b1) ( bv1) ( bu1 v1) u 1 a b2 F( b2) ( bv2) ( bu1 v2) u 1 d) Buď cf() b u bu1 u kde u 1 W a u W W Protože u u 1 je Fb ( ) 1 1 b u u u u = (( u u) u)(( u u) u) u u 2 1 1 1 u u u = u1 u u u1 u cb Přitom rovost astae právě když u 0 tj právě když c F( b) 2 2022 Defiice Nechť a W b W W W jsou dva rovoběžé podprostory eukleidovského prostoru E Vzdáleostí těchto podprostorů rozumíme číslo b F( b) kde F je zobrazeí z předchozí věty 2023 Věta Buď r cw příčka mimoběžek p a u a q b v v eukleidovském prostoru E 3 Pak r je ejkratší příčka mimoběžek p a q právě když w u a w v tj právě když uv w Důkaz Bez újmy a obecosti můžeme předpokládat že r p a rq b Buď w u w v Protože uv je uv w podle věty 147 (b) takže příčka r cw mimoběžek p a q ve směru w existuje podle věty 1926 Abychom dokázali že tato příčka je ejkratší potřebujeme zjevě ověřit že pro každou příčku rcw mimoběžek p q takovou že p r a qr b je ab a b přičemž rovost astává právě když a a a b b Protože a p b q je a a u a b b v pro ějaká reálá čísla Dále vektor a b leží ve w tedy a b w odkud vzhledem k tomu že wu w v pomocí lemmatu 196 dostáváme 2 ab ( a u ) 2 2 ( b v) w u v = w uv ab Přitom rovost zřejmě platí právě když uv 0 tj právě když 0 vzhledem k tomu že vektory u v jsou lieárě ezávislé o je však ekvivaletí s tím že a a a b b
216 Eukleidovský prostor 2024 Defiice Buďte pau a q bv dvě mimoběžky v eukleidovském prostoru E 3 Je-li r cw ejkratší příčka mimoběžek p a q taková že r p a a r q b pak číslo a b se azývá vzdáleost mimoběžek p a q 2025 Příklady 1 V eukleidovském prostoru příčku a spočtěme vzdáleost mimoběžek E alezěme ejkratší 3 3 ER ( ) x 1 y 8 z 11 8 3 13 a x y z p q 2 3 6 6 1 12 Ř e š e í: Podle pozámky 1912 je p a a (18 11) u (236) b (83 13) a v (6112) vektory a b u a q b v kde Sado se ověří že u v jsou lieárě ezávislé takže přímky p a q jsou skutečě mimoběžé podle důsledku 1920 Směr w kolmý k oběma vektorům u v můžeme podle věty 2014 (c) alézt pomocí vektorového součiu w uv (3060 20) Musíme tedy ejprve alézt příčku mimoběžek p a q o směru w (362) Podobě jako v odstavci 1928 proložíme roviu přímkou p a směrem w Směr ormály roviy je urče vektorovým součiem uw ( 4214 21) takže rovia má podle věty 2018 rovici 6x 2y3z k kde pravou strau k spočteme dosazeím složek bodu a k 23 Dále průsečík c přímky q b tv s roviou spočteme opět dosazeím Máme 6(8 6 t) 2(3 t) 3(13 12 t) 23 48 36t6 2t39 36t23 0 odkud t 1 a c (24 1) Hledaá příčka tedy je r cw (241) (362) Ke staoveí vzdáleosti mimoběžek p a q potřebujeme ještě spočítat průsečík d r p a poté vzdáleost c d Pro průsečík d musí platit (1811) t(236) (241) s(36 2) při vhodých hodotách parametrů ts Po rozepsáí do složek dostaeme soustavu tří rovic která jak se sado zjistí má řešeí t 2 s 1 edy d (52 1) a c d ( 362) 9364 7 což je vzdáleost mimoběžek p a q 4 2 V eukleidovském prostoru E4 ER ( ) určeme vzdáleost rovoběžých rovi (1 201) (411 1) (4221) a (6734) (8 1 1 2) (0 1 1 0)
Eukleidovský prostor 217 Ř e š e í : Nejprve ověřme že roviy a jsou skutečě rovoběžé tj že při ašem obvyklém začeí je W W Protože zřejmě dimw dimw 2 stačí ám ukázat že dim ( W W) 2 Jest 4 1 1 1 4 1 1 1 4 2 2 1 0 3 3 0 8 1 1 2 0 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 odkud je již rovoběžost rovi a zřejmá Podle věty 2021 yí potřebujeme alézt ortogoálí doplěk W a spočítat průsečík Fb ( ) ( bw ) ( a W) Uvědomíme-li si že W W tvoří posledí dva řádky matice vlevo matici homogeí soustavy rovic jejíž řešeí je W Vidíme tedy ihed že W (1004) (0110) Z rovosti (6734) (10 04) (0110) (12 01) (411 1) (422 1) dostaeme ehomogeí soustavu lieárích rovic a máme 10 4 4 5 10 4 4 5 0 1 1 2 5 0 1 1 2 5 0 1 1 2 3 0 0 2 4 2 4 0 1 1 3 0 0 17 17 17 1 0 4 4 5 0 1 1 2 5 0 0 1 2 1 0 0 0 3 0 edy 0 1 4 1 a Fb ( ) (531 0) Nakoec spočteme vzdáleost rovi a Jest b F( b) (14 44) 1161616 7 3 Určeme úhel přímky p daé soustavou rovic x y3z 0 x yz 0 s roviou daou rovicí 2x y z 1 Ř ešeí: Řešeím soustavy rovic které určují přímku p dostaeme že p má směr u kde u (12 1) a prochází bodem (00 0) Podle věty 2018 je vektor v (211) vektorem ormály roviy Pro úhel vektorů uv platí 221 1 cos takže 6 6 2 o 30 o 60 a hledaý úhel je podle defiice 2020
218 Eukleidovský prostor Metodami popsaými v tomto odstavci můžeme řešit ejrůzější další geometrické úlohy Pro ilustraci uvedeme ásledující příklad 4 Bodem b ( 11 1) veďme v roviě o rovici x y z 1 přímku kolmou k přímce p daé soustavou rovic y z 1 x 2y 0 Ř e š e í: Dosazeím složek bodu b do rovice roviy sado ověříme že bod b v roviě leží a úloha má tedy smysl Hledaá přímka q bu musí procházet daým bodem b a vektor u musí být kolmý ke směrovému vektoru v přímky p a protože přímka q má ležet v roviě musí být vektor u kolmý k vektoru ormály w roviy Řešeím soustavy rovic pro p dostaeme p (001) ( 211) takže v ( 2 1 1) a w (111) podle věty 2018 Vektor u kolmý jak k v tak k w dostaeme jako vektorový souči u = vw (033) Hledaá přímka tedy je q ( 1 1 1) (0 1 1) ebo parametricky x 1 y1 z1 0 1 1