Analytická geometrie
|
|
- Veronika Pospíšilová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí : : VV V TV V součet vektorů souči čísl vektoru Řekeme že V je vektorový prostor d tělesem T s vektorovými opercemi právě když pltí iomy vektorového prostoru : S) Komuttiví záko pro vektorové sčítáí : V bv b b S) Asocitiví záko pro vektorové sčítáí : V bv cv ( bc) ( b) c
2 7..06 Vektorový prostor S) Eistece ulového vektoru : θ θ V V S) Eistece opčého vektoru : θ b b V V Opčý vektor k vektoru zčíme obvykle uárím míus tj. = -b. N) Asocitiví záko pro ásobeí vektoru číslem: N) Násobeí jedičkou : ) ( ) ( V T T V Vektorový prostor T Buď T číselé těleso přirozeé číslo moži V pk moži -tic ve tvru: kde α ž α jsou čísl z těles T. Defiujme operce jko b Jelikož všechy operce se provádějí jko stdrdí po složkách složky jsou čísl iomy vektorového prostoru jsou splěy (čísl je evidetě splňují). Speciálě pro těles R ebo C zčíme prostory R ebo C. N středí škole se studeti setkávjí s vektorovými prostory R ebo R.
3 7..06 Vektorový prostor šipek Buď T = R reálé číselé těleso moži V moži všech geometrických orietových úseček. Její prvky jsou tedy jkési šipky. Defiujme operce tkto: b součet defiujeme pomocí rovoběžíkového prvidl ásobeí defiujeme jko γ-ásobé prodloužeí Pltí v tkto defiovém prostoru iomy? Bezesporu o. Stejě se dá defiovt prostor šipek i v D. Prostor šipek je vhodý zejmé při vizulizci. Lieárí kombice Buď V vektorový prostor d tělesem T. Souborem vektorů délky rozumíme uspořádou -tici (tj. závisí pořdí): Říkáme že vektor je lieárí kombicí souboru ( ) právě když eistuje tková -tice ( α α ) čísel z těles T tk že i i i Čísl α i zýváme koeficiety lieárí kombice. Jsou-li všech ulová říkáme tkové kombici triviálí výsledek je ulový vektor.
4 Lieárí obl Nechť je soubor vektorů z V. Možiu všech lieárích kombicí tohoto souboru zýváme jeho lieárím oblem zčíme Lieárí obl ) ) ) Proházíme-li vektory v souboru jeho lieárí obl se ezměí. 4) Nechť je soubor vektorů z V. Pltí: θ y y y y T Poz. Lieárí obl souboru vektorů je rověž vektorovým prostorem. Předchozí vět ukzuje že operce ěm jsou uzvřeé pltí-li iomy celém prostoru tím spíše pltí jeho podmožiě (což lieárí obl je).
5 7..06 Báze dimeze Nechť je soubor vektorů z V. Pokud pltí ) ) Soubor je lieárě ezávislý V říkáme že prostor V má koečou bázi soubor zýváme bází prostoru V. Nechť V je vektorový prostor. Pokud eistuje tkové přirozeé číslo že eistuje - čleý LN soubor vektorů z V libovolý + prvkový soubor vektorů z V je lieárě závislý říkáme že prostor V má koečou dimezi defiujeme dim V =. Pokud tkové číslo eeistuje tj. lze jít LN soubor vektorů o zcel libovolém počtu prvků říkáme že prostor V má ekoečou dimezi defiujeme dim V =. Buď V vektorový prostor. Pltí dim V N Ve V eistuje -čleá báze. Báze dimeze prostoru T Tvrdíme že dim T =. K tomu je třeb lézt ějkou bázi o čleech. Soubor vektorů e e e e e e e e ve tvru je tzv. stdrdí bází T. Soubor je LN zcel zjevě -čleý je tké kždý vektor lze pomocí ěj vyjádřit jko i ei i 5
6 7..06 Souřdice Zvolíme-li bázi pk se ám operce s jkýmkoliv vektorovým prostorem redukují operce s -ticemi číslic souřdicemi. To zmeá že všechy vektorové prostory o shodé koečé dimezi s tělesem T jsou v lgebře ekvivletí s prostorem T (4) (66) (4) Vět zjišťuje že můžeme používt 9 0 podobé 4ákresy 5 jko teto. Předpokládáme při ich utomticky že souřdice v obou prostorech jsou ve stdrdích bázích. Sklárí souči vektorů.b výsledkem je reálé číslo (sklár) v roviě: v prostoru dim : ( ; ) ( ; ;...; ) b ( b ; b ) b ( b; b;...; b ). b b. b.. b. b. b.... b odchylk vektorů cos. b. b 6
7 7..06 Vektorový souči b - je defiová je v prostoru dim (e v roviě) - výsledkem je vektor w b w (. b. b;. b b ;. b. b ) - pro výsledý vektor w pltí w w b Obsh S rovoběžíku určeého vektory b je velikost vektorového součiu b S GeoGebr Vectory v R A = () B = () u = A v = B w = B A w = u + v dotprod = u*v m u = Legth[u] Velikost (orm )vektoru je urče sklárím součiem. Velikost vektorového součiu ( sg) crossprod = u w 7
8 7..06 R. Descrtes: Geometrie 67 (český překld ) Geometrie předstvuje prví revoluci v geometrii od tiky spočívjící v řešeí geometrických problémů lgebrickými prostředky. Poprvé se zde objeví še ezámá rovice křivek v deší podobě. N rozdíl od tické ázoré geometrie která prcuje s obrzy bodů přímek roviých útvrů lytická geometrie řeší úlohy početě. Tk lze zkoumt i složitější křivky řešeí jsou libovolě přesá lze je hledt v prostorech o více dimezích. Afií prostor Eukleidovský prostor Jedozčé určeím bodu v prostoru pomocí souřdic uspořádé -tice reálých čísel.. A ( ; ;...; ) B ( b ; b ;...; b ) AB b i Všechy úlohy geometrie lze sdo převést tkové k jejichž řešeí stčí zát pouze délky ěkterých úseček. R. Descrtes: Géométrie kih I s i 0 b y z D D D y 8
9 7..06 Eukleidovský prostor "A ffie spce is othig more th vector spce whose origi we try to forget bout by ddig trsltios to the lier mps Mrcel Berger V Vektorový prostor (změřeí) eprázdá moži bodů P P V; v B A Eistuje bod O pro který je zobrzeí P V : A O vzájemě jedozčé. A ( ; ;...; ) B ( b ; b ;...; b ) AB b i i Eukleidovský podprostor Uvžujme eukleidovský prostor s možiou bodů P změřeím V. Podprostor je moži bodů z P tvru O w; ww kde O je bod z P d W je vektorový podprostor V. Podprostor je jedozčě urče svým změřeím jedím bodem. Dimeze eukleidovského prostoru = dimeze změřeí. 9
10 7..06 Prmetrická rovice přímky Přímk je dá bodem A směrovým vektorem u..u X u X X = A + u X = A +.u X X = A +.u A Prmetrická rovice přímky Všechy body X = A + t.u kde t je z R leží přímce. Všechy body této přímky lze tkovým způsobem vyjádřit. X p u X X = A + u X = A +.u X 5 X 6 A X X 4 X p X A t u ; t R X = A +.u X 4 = A + /. u X 5 = A + (-). u X 6 = A + (- /). u 0
11 7..06 Dělící poměr AC BC ; je kldé pro bod C ležící vě ůsečky AB je záporé pro bod C ležící uvitř ůsečky AB. Číslo které jedozčě udává polohu bodu přímce vzhledem ke dvěm pevě dým bodů. Defiice: Nechť A B C jsou tři kolieárí body. Potom číslo φ defiové vzthem C A ( C B) Nzýváme dělícím poměrem bodu C vzhledem k bodům AB. Pozámk: Pro libovolý bod C = A + t (B - A) přímce eistuje vzájemě jedozčý vzth mezi hodotou prmetru t dělícím poměrem. t t Brycetrické souřdice Vyjdřují polohu vzhledem k dým bodům ezávisle soustvě souřdic. C A ( C B) C( ) A B C A B C A t( B A) X ( t) A tb Bod C leží přímce AB právě tehdy když eistují dvě čísl b b tková že pltí: C b A b B Čísl b b zýváme brycetrickými souřdicemi vzhledem k bodům A B.
12 7..06 Příkld GeoGebr-primk.ggb Lieárí kombice Nechť V je vektorový prostor d R. Vektor V je dá uspořádou -ticí. Vektor je lieárí combicí vektorů e e právě tehdy když eistuje uspořádá -tice ( α α ) reálých čísel pro ěž e e e e i i i Afií kombice bodů (brycetrické souřdice) Pro lib. bod A v fiím (eukleidovském) prostoru (O <e e e >) A O O e ; kde e E O i i i i i A O E O E O E O A E E... E O i i
13 7..06 Afií kombice bodů O E E Libovolý bod A v fiím prostoru (O<e e e >) můžeme vyjádřit jko lieárí kombici bodů A E E... E O i A E E... E O kde 0 i i0 i Koveí kombice bodů O E E (SIMPLEX) - Afií kombice bodů pro ezáporé koeficiety e E O i i A E E... E O where 0 d 0 i i i0 Koveí kombice bodů O E E 4 A E E E 4E4 0Oi kde i 0 i0
14 7..06 Prmetrická rovice roviy X X v u + v v A u u X X = A + u X = A + v X = A + u + v RNDr. Jiří Kocourek Prmetrická rovice roviy v Všechy body X = A + t u + s v kde ts jsou libovolá reálá čísl leží v jedé roviě. Všechy body této roviy lze vyjádřit tkovým způsobem. A u X X A t u sv; t s R RNDr. Jiří Kocourek Vektorový souči 4
15 7..06 Obecá rovice přímky X p by c 0 p ( ; b) ( X P) X[ ; y] X p P[ p ; p] X P (pokud X P) X P 0 p y p b 0 by p bp 0 P... pevě zvoleý bod přímce p X... libovolý bod přímky p... kolmý (ormálový) vektor k přímce p (v roviě ž ásobek urče jedozčě) (pltí i pro X=P) p bp c ozčíme: Obecá rovice roviy ( b c) X by cz d 0 ( X P) P[ p p p] X X P (pokud X P) X P 0 (pltí i pro X=P) p y p b z p c 0 by cz p bp cp 0 ozčíme: p bp cp d X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor) 5
16 7..06 X by cz d 0 Obecá rovice roviy v prostoru b c d R; 0b 0 c 0 ( b c) P[ p p p] ( X P) X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor k roviě (v prostoru ž ásobek urče jedozčě) Pozámk: p P X Pro přímku v prostoru epltí: X p X P V prostoru elze vyjádřit přímku obecou rovicí! Npříkld rovice y 5 0 je v prostoru rovicí roviy ikoli přímky. 6
17 Příkzy v GeoGebře GeoGebr Rovi ve D A = () B = (0) O = (000) u = A v = B w = u + v = Ple[ABO] = NormlovyVektor[] dotprod = *u 7
18 7..06 Průsečice rovi : y z 0 (CFH) : y z 0 (BDG) r t; t; t R 8
Analytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
VíceM a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e
M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceGEOMETRIE I. Pavel Burda
GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceSTŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA
STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceMATEMATIKA PRO EKONOMY
VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více7.2.4 Násobení vektoru číslem
7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
Více20. Eukleidovský prostor
20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceAnalytická geometrie
MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceVerze z 17. května 2018.
Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
VícePRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceAritmetická posloupnost
/65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
VíceAnalytická geometrie
ATEATICKÝ ÚSTAV Slezsá iverzi N Rybíč, 746 0 v DENNÍ STUDIU Alyicá geomerie Tém : Afií rosor Defiice Bdiž dá erázdá moži A, veorový rosor V d omivím ělesem T chrerisiy l oečě zobrzeí - : A A V řiřzjící
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceÚlohy domácího kola kategorie A
5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí
Vícea q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)
..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +
VíceMatematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána
Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VícePředmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE
Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více