1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

Transkript

1 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá + ula - začíme - kladá - (=N), ezáporá - kladá + ula 3. obor racioálích čísel p - jsou všecha čísla, která lze apsat ve tvaru zlomku q, p, q, který je v základím tvaru, to jest p,q jsou esoudělá - začíme - jsou-li apsáa ve tvaru desetiých čísel => má koečý počet desetiých míst ebo je to číslo periodické 4. obor iracioálích čísel - jsou všecha čísla, která se edají zapsat zlomkem => mají eukočeý desetiý rozvoj (perioda se evyskytuje) - začíme 5. obor reálých čísel - všecha čísla, která se dají zobrazit a číselou osu - začíme, 6. výraz = zápis skládající se z čísel a písme (ozačujících proměé), která jsou spojováa zaky operací sčítáí, odčítáí, ásobeí, děleí, umocňováí a odmocňováí, popř. závorek, určujících pořadí operací. 7. a dělí b (a je dělitelem b), začíme a b - Nechť a,b. Říkáme, že a je dělitelem b eistuje číslo k takové, že b = a. k - Pak píšeme a b a čteme a dělí b. 8. ejvětší společý dělitel - Největší společý dělitel čísel a 1,a 2 je ejvětší číslo, kterým jsou čísla a 1,a 2 dělitelá beze zbytku. 9. ejmeší společý ásobek - Nejmeší společý ásobek čísel a 1,a 2 je ejmeší přirozeé číslo takové, že je dělitelé čísly a 1,a 2 beze zbytku. 1. prvočíslo = je číslo, které má právě 2 růzé dělitele. 11. číslo složeé = je číslo, které má aspoň 3 růzé dělitele.

2 2. Možiy, výroková logika 1. možia = souhr (skupia) ějakých prvků či objektů, o kterých se dá rozhodout, zda do daé možiy patří či ikoliv 2. sjedoceí moži A B A B je možia prvků, které leží aspoň v jedé z moži A,B. 3. průik A B A B je možia prvků, které leží zároveň v obou možiách A,B. 4. doplěk B A možiy B v možiě A Je-li B A, pak doplěk B A možiy B v možiě A tvoří všechy body možiy A, které v možiě B eleží. 5. rozdíl A B, A \ B Rozdíl moži A B je možia všech prvků možiy A, které epatří do B. 6. výrok = každé sděleí, o ěmž se dá říci, zda je pravdivé či epravdivé. 7. kojukce X Y = je výroková operace, která říká, že platí každý z výroků X, Y 8. disjukce X Y = výroková operace, která říká, že platí aspoň 1 z výroků X, Y 9. implikace X Y = výroková operace, která říká, že pokud platí výrok X, platí i výrok Y, s tím, že platost výroku X eí zaručea 1. ekvivalece X Y = výroková operace, která říká, že výroky X, Y mají stejou pravdivostí hodotu (budˇ oba platí ebo oba eplatí). 11. kartézský souči moži A B Kartézským součiem A B moži A, B azýváme možiu všech uspořádaých dvojic, y takových, že A, y B. Tedy A B =, y, A y B 12. relace =možia R A B, tedy libovolá podmožia kartézského součiu moži A, B. Relaci tvoří ty uspořádaé dvojice kartézského součiu A B, které jsou v ějakém vztahu. 13. zobrazeí Zobrazeím možiy A do možiy B azýváme každou možiu uspořádaých dvojic, y takových, pro které platí, že každému prvku z možiy A ( A) přiřadíme právě jedo y B.

3 3. Fukce 1. ukce = zobrazeí z možiy A do číselé možiy, takže zobrazeí A B je ukcí, jestliže B. Reálá ukce reálé proměé je předpis, který každému prvku A přiřadí právě jedo y. 2. deiičí obor = možia všech, k imž lze ajít hodotu y = () ( tj. v zobrazeí možia A). se azývá ezávisle proměá ukce ebo proměá ebo argumet ukce. 3. obor hodot = možia všech y, ke kterým eistuje aspoň jedo z deiičího oboru ukce tak, že y = (). y se azývá závisle proměá ebo ukčí hodota ebo hodota ukce. 4. absolutí hodota reálého čísla Je li a, pak a a, je li a, pak a a. Absolutí hodota každého reálého čísla je rova vzdáleosti obrazu tohoto čísla a číselé ose od počátku 5. druhá odmocia Druhá odmocia z ezáporého reálého čísla a je takové ezáporé číslo, pro které 2 platí a. K jeho ozačeí používáme symbol a. 6. třetí odmocia Třetí odmocia z ezáporého čísla a je takové ezáporé číslo, pro ěž platí K jeho ozačeí používáme symbol 3 a. 3 a. 7. -tá odmocia Pro každé je -tá odmocia z ezáporého čísla a takové ezáporé číslo b, pro ěž platí b a. Zapisujeme b a. Pokud upustíme od požadavku, že -tou odmociu zavádíme je pro ezáporá čísla, můžeme pro lichá rozšířit deiici -té odmociy takto: Pro každé liché přirozeé číslo je -tá odmocia z reálého čísla a takové reálé číslo b, pro ěž platí b a. 8. přirozeá mocia tj. kde Pro všecha je celá mocia Pro všecha tj.,, spec. je 1., kde

4 1. racioálí mocia Pro všecha je p q p q q p. 11.lieárí ukce = ukce a možiě, která je dáa předpisem y = a + b, kde, y, a, b. 12. mohočle (polyom) 1 Algebraický výraz a a 1... a1 a, kde, a i pro všecha i 1, 2,...,, a, azýváme mohočleem -tého stupě s proměou a koeiciety a i z oboru reálých čísel. 13. lieárí lomeá ukce a b = ukce deiovaá předpisem y, c d kde a, b, c, d, c, ad bc. 14. kvadratická ukce = ukce deiovaá předpisem 2 y a b c a,. 15. epoeciálí ukce = ukce deiovaá předpisem y a, kde a > se azývá základ epoeciálí ukce,. 16. logaritmická ukce y = ukce iverzí k ukci epoeciálí, tedy deiovaá předpisem y log a, kde a ;1 1; je základ logaritmu. Deiičí obor ukce jsou kladá reálá čísla. 17. goiometrické ukce a) sius: Nechť je libovolé reálé číslo,, M y je bod jedotkové kružice sestrojeé v kartézské soustavě souřadic, který leží a kocovém ramei orietovaého úhlu.( vrchol orietovaého úhlu je v počátku soustavy souřadic a počátečí rameo splývá s kladou poloosou osy ). Pak ukcí sius se azývá ukce, ve které je každému přiřazea souřadice y bodu M M. M, y je bod jedotkové kružice sestrojeé v b) kosius: Nechť je libovolé reálé číslo, kartézské soustavě souřadic, který leží a kocovém ramei orietovaého úhlu (vrchol orietovaého úhlu je v počátku soustavy souřadic a počátečí rameo splývá s kladou poloosou osy ). Pak ukcí kosius se azývá ukce, ve které je každému přiřazea souřadice M bodu M. si c) tages: je ukce daá rovicí y cos cos d) kotages: je ukce daá rovicí y si M M M M a 18. ukce iverzí Nechť ukce y = () je prostá v D(). Iverzí ukce k ukci je ukce 1. D 1 H 1, pro kterou platí:

5 2. Každému y D 1 je přiřazeo právě to D, pro které je y. Platí D() = H( -1 ), H() = D( -1 ). Gray obou ukcí jsou souměré podle přímky y =. 19. cyklometrické ukce a) arkussius je ukce iverzí k ukci si. D (arcsi ) = 1;1 ; 2 2 b) arkuskosius je ukce iverzí k ukci cos. D(arccos ) = 1;1 )=,., H(arcsi )=, H(arccos c) arkustages je ukce iverzí k ukci tg. D(arctg ) =;, H(arctg )=, 2 2. d) arkuskotages je ukce iverzí k ukci cotg. D (arccotg ) = ; )=;.,H(arccotg 2.ukce prostá Fukce y = () se azývá ukce prostá, jestliže pro všecha 1, 2 D(), pro ěž 1 2, platí ( 1 ) (2 ). 21. ukce sudá D : D 22. ukce lichá D : D 23. ukce periodická eistuje číslo p takové, že pro všecha D() platí p D p 24. ukce omezeá a) shora a možiě M D(), když h takové, že pro b) zdola a možiě M D(), když d takové, že pro c) a možiě M D(), když d, h 25. ukce rostoucí a možiě M, M : = M : h M : d takové, že pro : M d h 26. ukce klesající a možiě M, M : = ukce eklesající a možiě M =, M : ukce erostoucí a možiě M, M : =

6 4. Rovice, erovice 1. rovice = zápis rovosti dvou výrazů, v ěmž je třeba určit hodotu proměé tak, abychom po dosazeí vypočítaé hodoty za proměou dostali pravdivý výrok. 2. řešeí rovice = hodota proměé v rovici, která daou rovici splňuje, tj. která po dosazeí změí rovici v rovost 3. erovice = zápis erovosti dvou výrazů, v ěmž je třeba určit hodotu proměé tak, abychom po dosazeí vypočítaé hodoty za proměou dostali pravdivý výrok 4. řešeí erovice = hodota proměé, která po dosazeí změí erovici v erovost. 5. rovice s parametrem = možia rovic pro jedotlivé hodoty parametru 6. řešeí rovice s parametrem Řešit rovici s parametrem p zameá určit možiy všech řešeí rovice odpovídající jedotlivým hodotám parametru p. 7. rovice biomická je rovice tvaru = a, kde, a,. 8. rovice reciproká 1 je rovice tvaru a a... a a =, kde a k =a -k, ebo a k = - a -k rovice iracioálí obsahuje ezámou v základu odmociy

7 5. Plaimetrie 1. shodé zobrazeí přiřazuje každému bodu X roviy (azývaému vzor) právě jede bod X (azývaý obraz) tak, že každá úsečka XY se zobrazí a úsečku s í shodou. Shodá zobrazeí jsou: idetita, středová souměrost, osová souměrost, rotace a posuutí 2. podobé zobrazeí přiřazuje každému útvaru roviy útvar s ím podobý, tj. pro každý obraz X'Y' úsečky XY platí, že X'Y' = k.xy, kde reálé číslo k je koeiciet podobosti. 3. středová souměrost S ( S ) Je jedozačě určea středem souměrosti S. Je to shodé zobrazeí, které každému bodu X S roviy přiřadí právě jede bod X roviy tak, že platí: a) S SX / b) SX SX Bod S je samodružý bod. 4. osová souměrost O (o) Je jedozačě určea osou souměrosti o. Je to shodé zobrazeí, které každému bodu X o roviy přiřazuje právě jede bod X roviy tak, že platí: a) XX o b) Xo X o Body a ose souměrosti o jsou samodružými body. 5. rotace R (S; ) Je jedozačě určea středem rotace (otočeí) S a orietovaým úhlem otočeí. Je to shodé zobrazeí, které každému bodu X S roviy přiřadí právě jede bod X roviy takový, že platí: a) SX SX b) XSX Bod S je samodružým bodem. 6. Orietovaá úsečka AB je úsečka, jejíž krají body mají staoveé pořadí A počátečí, B kocový. 7. traslace (posuutí) T AB Je jedozačě určeo orietovaou úsečkou AB. Je to shodé zobrazeí, které každému bodu X roviy přiřadí právě jede bod X roviy takový, že platí: a) XX je souhlasě rovoběžá s AB b) XX AB

8 Posuutí emá samodružé body. 8. stejolehlost H (S;) se středem S a koeicietem ( ) je zobrazeí, které bodu S přiřazuje bod S a bodu X S přiřazuje bod X tak, že SX SX, přičemž bod X leží a polopřímce SX, je-li >, a bod X leží a polopřímce opačé k SX, je-li <. 9. úhel část roviy, kterou získáme jako průik dvou polorovi s hraičími přímkami a, b, jež jsou růzoběžé. 1. koveí mohoúhelík je takový, který s každými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku AB. 11. Ortocetrum je průsečík výšek v trojúhelíku. 12. Těžiště trojúhelíka je průsečík těžic, kde těžice je úsečka spojující vrchol se středem protější stray. 13. Střed kružice opsaé trojúhelíku je průsečík os jeho stra. 14. Střed kružice vepsaé trojúhelíku je průsečík os jeho úhlů. 15. Tětivový čtyřúhelík ABCD je takový čtyřúhelík, kterému lze opsat kružici (platí v ěm 16.Tečový čtyřúhelík ABCD je takový, kterému se dá vepsat kružice (platí v ěm a+c=b+d). 16. Středový úhel příslušý tětivě AB je úhel ASB, kde S je střed kružice, která má tětivu AB. 18.Obvodový úhel příslušý tětivě AB je úhel AVB, kde V je bod ležící a kružici, která má tětivu AB. ). 7. Matice 1. matice (m ) je tabulka čísel uspořádaých do m řádků a sloupců. 2. Determiat čtvercové matice je číslo vytvořeé z této matice ásledujícím postupem: je to součet všech možých tzv. čleů determiatu, přičemž čle determiatu je souči čísel vybraých po jedom z každého řádku a každého sloupce matice, jemuž je ještě přiřazeo zaméko podle zaméka permutace řádkových a sloupcových ideů těchto čísel. Obsahuje-li tato permutace sudý počet traspozic, tj. v řádku

9 sloupcových ideů stojí větší číslo před meším v sudém počtu případů, má tato permutace zaméko kladé. V opačém případě má zaméko záporé. 3. Hodost matice je maimálí počet jejích lieárě ezávislých řádků (sloupců). 4. Trojúhelíková matice je matice, která má pod hlaví diagoálou samé uly. 8. Vektory 1. Vektor je možia všech stejě velkých a souhlasě orietovaých úseček. Umístěím vektoru pak rozumíme libovolou z těchto orietovaých úseček. 2. Kolieárí body (vektory) body A,B,C (vektory u, v ) jsou kolieárí, jestliže leží v jedé přímce. 3. Komplaárí body A,B,C,D (vektory u, v, w) jsou komplaárí, jestliže leží v jedé roviě. 4. Skalárí souči geometrická deiice: u. v u. v. cos, kde v u, jsou velikosti vektorů u, v, cos je úhel, který spolu vektory u, v svírají algebraická deiice: Je-li u u1, u2, u3, vv1, v2, v3, pak u. v u1. v1 u 2. v2 u3. v3 5. Vektorový souči geometrická deiice: u v je vektor z těchto vlastostí: a) Má směr kolmý a roviu určeou vektory u, v b) Má orietaci podle pravidla pravé ruky c) Jeho velikost je rova obsahu rovoběžíku určeého vektory u, v algebraická deiice: u v u 2. v3 u3. v3, u3. v1 u1. v3, u1. v2 u2. v1 6. Smíšeý souči vektorů u v, w, je souči skalárí a vektorový, tedy u. v w 7. Lieárí kombiace vektorů u, v je libovolý vektor k u k v z Lieárí závislost (ezávislost) vektorů vektory u, v azýváme lieárě závislými, jestliže eistuje k R takové, že v k. u

10 11. Diereciálí a itegrálí počet 1. Limita ukce v bodě A a A a ) ( ( lim 2. derivace ukce v bodě je speciálí případ limity, totiž y lim ) ( ) ( lim. Jejím geometrickým výzamem je směrice tečy ke grau ukce y=() v bodě, takže rovice této tečy je ). ( ' y y. Fyzikálí výzam derivace je okamžitá rychlost.