Aplikovaná matematika 1

Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn upravil. Tomá² Sala 2 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS 2017-18 1 / 51

Návod k pouºití Co je p edná²ka cvi ení konzultace Kontakt: T.S., Matematický ústav UK Sokolovská 83 (metro "B", K iºíkova), 3. patro, MÚ salac@karlin.m.cuni.cz, 22191 3209 Podmínky poºadavky pro ud lení zápo tu ze cvi ení stanoví cvi ící zápo et je nutnou podmínkou k p ipu²t ní ke zkou²ce, poºadavky ke zkouºce stanoví p edná²ející Tomá² Sala 3 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS 2017-18 2 / 51

Sylabus Sylabus = obsah (plán) p edná²ky 1 Úvod: zopakování elementárních pojm, zavedení reálných ísel, posloupnosti 2 Funkce jedné reálné prom nné 3 Derivace funkce jedné reálné prom nné 4 Neur itý integrál a primitivní funkce 5 Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi 6 Ur itý (Riemann v) integrál a jeho výpo et, aplikace - viz web p edná²ejícího http://www.karlin.m.cuni.cz/ salac Tomá² Sala 4 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS 2017-18 3 / 51

Literatura Literatura 1 J. Kopá ek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II.. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 2 J. Kopá ek a kol.: P íklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. 4 I. ƒerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia, Praha, 2002. 5 B. P. D midovi : Sbírka úloh a cvi ení z matematické analýzy. Fragment, Praha, 2003. 6 J. Be vá : Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, 2002. 7... web p edná²ejícího Tomá² Sala 5 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS 2017-18 4 / 51

Aplikovaná matematika 1, NMAF071 Úvod: opakování elementárních pojm, zavedení reálných ísel, posloupnosti Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 5 / elemen 51

1.1.1 Úvod do logiky Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o n mº má smysl íci, ºe platí (je pravdivé (T), má pravdivostní hodnotu 1) nebo ºe neplatí (je nepravdivé (F), má pravdivostní hodnotu 0). Intuitivn (bez p esné denice) budeme p ijímat pojmy mnoºina jako soubor objekt, "x je prvkem mnoºiny M" zapisujeme: x M a "x není prvkem mnoºiny M" zapisujeme: x / M. Ozna ení Budeme pouºívat následující zna ení: 1 N... mnoºina p irozených ísel. 2 Z... mnoºina celých ísel. 3 Q... mnoºina racionálních ísel. 4 R... mnoºina realných ísel. 5 C... mnoºina komplexních ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 6 / elemen 51

1.1.1 Logické spojky (a) Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, ºe platí A. (b) Konjunkcí A B výrok A a B nazveme výrok: Platí A i B. (c) Disjunkcí A B výrok A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. (d) Implikací A B nazýváme výrok: Jestliºe platí výrok A, potom platí výrok B. (e) Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, kdyº platí výrok B. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 7 / elemen 51

1.1.1 Pravdivostní tabulky A B A A B A B A B A B 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Výroku A v implikaci A B se íká premisa nebo téº p edpoklad, výrok B se nazývá záv r. Pokud je výrok A B pravdivý, pak íkáme, ºe "A je posta ující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A". Pokud je výrok A B pravdivý, pak íkáme, ze A je nutnou a posta ující podmínkou (platnosti výroku) B. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 8 / elemen 51

1.1.1 Tvrzení 1.1 a) A B B A (nep ímý d kaz) b) (A B) A B (d kaz sporem) c) A B (A B) (B A) d) (A B) ( A) ( B) e) (A B) ( A) ( B) f) (A B) (A B) (B A) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 9 / elemen 51

1.1.1 Predikáty Výrokovou funkcí (predikátem) budeme nazývat výraz A(x 1, x 2,..., x m ), z n hoº po dosazení prvk x 1 M 1,..., x m M m z mnoºin M 1,..., M m vznikne výrok. P íklad 1.1 1 Predikát S(x) : x N je sudé íslo". Tedy S(1) není pravdivý výrok a S(2) je pravdivý výrok. 2 A(x, y) = (x < y) je predikát "x je men²í neº y ". Pak A(1, 2) je pravda, zatímco A(3, 2) je nepravda. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 10 / elemen 51

1.1.1 Kvantikátory Nech A(x) je predikát. Výrok: "Pro v²echna x M platí A(x)" zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantikátorem. Výrok: "Existuje x M, pro které platí A(x)" zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme existen ním (malým) kvantikátorem. Pro obrat "Existuje práv jeden... " pouºíváme symbol! Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 11 / elemen 51

1.1.1 Tvrzení 1.2 a) ( x M : A(x)) x M : A(x) b) ( x M : A(x)) x M : A(x) Cvi ení Negujte následující výroky a rozhodn te, zda jsou pravdivé: 1 x R, n N : x < n. 2 n N, x R : x < n. 3 x R, y R : x < y. 4 x R, y R : x y. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 12 / elemen 51

1.1.2 Mnoºiny ekneme, ºe mnoºina A je podmnoºinou mnoºiny B, jestliºe kaºdý prvek mnoºiny A je rovn º prvkem mnoºiny B. Tomuto vztahu íkáme inkluze a zna íme A B. Dv mnoºiny A, B jsou si rovny (A = B), jestliºe A B a sou asn B A. Mnoºinu, která neobsahuje ºádný prvek, nazýváme prázdnou mnoºinou a zna íme ji. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 13 / elemen 51

1.1.2 Operace s mnoºinami 1 Rozdílem mnoºin A a B (zna íme A \ B) nazveme mnoºinu t ch prvk, které pat í do mnoºiny A a nepat í do mnoºiny B. Sjednocení mnoºin A a B (zna íme A B) je mnoºina t ch prvk, které pat í do A anebo do B. Pr nik mnoºin A a B (zna íme A B) je mnoºina t ch prvk, které pat í do A a sou asn do B. Mají-li dv mnoºiny prázdný pr nik, pak je nazýváme disjunktní. 2 Obecn ji: nech I je neprázdná mnoºina index a A α bu pro kaºdé α I mnoºina. Pak denujeme: sjednocení A α := {x : α I, x A α } (1) α I pr nik α I A α := {x : α I, x A α }. (2) 3 Kartézským sou inem mnoºin A 1,..., A n nazveme mnoºinu v²ech uspo ádaných n-tic A 1 A 2 A n = {[a 1, a 2,..., a n ]; a 1 A 1,..., a n A n }. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 14 / elemen 51

1.1.2 De Morganovy vzorce Tvrzení 1.3 (de Morganovy vzorce) Nech X je mnoºina, nech I je neprázdná mnoºina index a nech A α je pro kaºdé α I mnoºina. Pak platí X \ α I A α = α I(X \ A α ) (3) a X \ α I A α = α I(X \ A α ). (4) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 15 / elemen 51

1.1.3 Zobrazení Denice 1.1 Nech X a Y jsou mnoºiny. Je-li kaºdému prvku x X p i azen práv jeden prvek y Y, ekneme, ºe je denováno zobrazení z X do Y. Pí²eme f : X Y a f (x) = y, p ípadn f : x y. Mnoºinu X nazýváme deni ním oborem zobrazení f a zna íme ji téº D f. Obrazem mnoºiny A X rozumíme mnoºinu f (A) := {f (x) : x A}. Mnoºinu f (X ) nazýváme oborem hodnot zobrazení f. (Zna íme téº R f nebo H f.) Vzorem mnoºiny B Y nazveme mnoºinu f 1 (B) := {x X : f (x) B}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 16 / elemen 51

1.1.3 Cvi ení Bu A X, B Y. Rozhodn te, zda platí: 1 f 1 (f (A)) A. 2 A f 1 (f (A)). 3 B = f (f 1 (B)). Denice 1.2 Nech X, Y jsou mnoºiny, f : X Y bu zobrazení a nech A X. Zobrazení f nazveme prosté (injektivní) na A, jestliºe x 1, x 2 A : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). (5) na (surjektivní), jestliºe R f = Y. bijekcí A na Y, jestliºe f je prosté na A a f (A) = Y. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 17 / elemen 51

1.1.3 Konstrukce nových zobrazeních Denice 1.3 Nech X, Y, Z jsou mnoºiny a f : X Y, g : Y Z bu te zobrazení a nech A X. 1 Zobrazení f A : A Y denované f A (x) = f (x), x A nazýváme zúºením zobrazení f na mnoºinu A. 2 Je-li f prosté na A, pak pro kaºdé y f (A) existuje práv jedno x A takové, ºe f (x) = y. Poloºme B := f (A). Pak zobrazení f 1 : B A, f 1 (y) = x nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f na A. 3 Symbolem g f ozna íme zobrazení X Z denované p edpisem (g f )(x) = g(f (x)), x X. Takto denované zobrazení se nazývá sloºeným zobrazením zobrazení f a g, p i emº f je vnit ní zobrazení a g je vn j²í zobrazení. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 18 / elemen 51

1.1.3 Ozna ení Identické zobrazení na X zna íme symbolem Id X. Tvrzení 1.4 Nech f : X Y a g : Y Z jsou prostá zobrazení na svých deni ních oborech. Potom f g je prosté zobrazení. Je-li f prosté zobrazení na svém deni ním oboru D f, potom f f 1 = Id Hf a f 1 f = Id Df. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 19 / elemen 51

1.1.3 Mohutnost mnoºin ekneme, ºe mnoºiny A, B mají stejnou mohutnost (pí²eme A B), jestliºe existuje bijekce A na B. Mnoºina A má mohutnost men²í nebo rovnou mohutnosti mnoºiny B (pí²eme A B), jestliºe existuje prosté zobrazení z A do B. Symbol A B zna í situaci, kdy A B a neplatí A B. Denition 1 ekneme, ºe mnoºina A je kone ná, jestliºe A = nebo existuje n N takové, ºe platí A {1,..., n}. spo etná, jestliºe platí A N. nespo etná, jestliºe A není ani kone ná ani spo etná. Mnoºiny kone né nebo spo etné nazýváme nejvý²e spo etné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 20 / elemen 51

1.1.3 Mohutnost mnoºin Tvrzení 1.5 Mnoºiny Z a Q jsou spo etné. Tvrzení 1.6 Mnoºiny R a C jsou nespo etné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 21 / elemen 51

1.2.1 Zavedení reálných ísel Vybudování íselných mnoºin: N = {1, 2,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1,... } { } p Q = q : p Z, q N R = {a i a i 1... a 0, a 1 a 2 : a j {0, 1,..., 9}; j = i, i 1,... } C = {x + iy : x, y R}. ekneme si, ºe mnoºina reálných ísel R tvo í úspo adané t leso, kde kaºdá shora omezená podmnoºina ma supremum a ºe R vznikne z Q p idáním suprem v²ech shora omezených podmnoºin. To pak umoºnuje zavést na R operace s ítání a násobení, které roz²i ují obvyklé operace +, na Q. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 22 / elemen 51

1.2.1 ƒáste né uspo ádání Denice 1.4 ƒáste ným (neostrým) uspo ádáním ( ) na mnoºin X rozumíme relaci, která pro kaºdé x, y, z X spl uje: 1 reexivitu: x x, 2 tranzitivnost: x y y z = x z, 3 (slabou) antisymetrii: x y y x = x = y. Je-li tato relace denována pro v²echna x, y X, mluvíme o (neostrém) úplném uspo ádání. Pod x < y rozumíme x y a x y. P íklad 1.2 (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) jsou neostrá úplná uspo ádání. Je-li Y dvou prvková mnoºina, pak relace inkluze je áste né neostré uspo ádání na mnoºina v²ech podmnoºin Y, které není úplné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 23 / elemen 51

1.2.1 Supremum Denice 1.5 Nech je úplné uspo ádání na X a nech B je shora omezená podmnoºina X, tj. a X, x B: x a. Prvek s X nazýváme supremem B (zna íme s = sup B), jestliºe s je horní závora B, tj. x B: x s, a sou asn s je nejmen²í horní závora, tj. y X, y < s x B: y < x. Prvek, který je horní závoru mnoºiny B a sou asn pat í do B, nazýváme maximem mnoºiny B a zna íme jej max B. Cvi ení 1) Ukaºte, ºe maximum existuje nejvý²e jedno. 2) Ukaºte, ºe pokud maximum existuje, pak se rovná supremu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 24 / elemen 51

1.2.1 Supremum v R a Q P íklad 1.3 (a) Interval (0, 1) nemá maximum. Maximum intervalu (0, 1 je 1. (b) 1 = sup(0, 1). (c) Mnoºina M := {x Q : x 2 < 2} je shora omezená podmnoºina Q. Jelikoº 2 Q, není obtíºné ukázat, ºe M nemá v Q supremum! (d) Mnoºina N := {x R : x 2 < 2} je shora omezená podmnoºina R. Je p ímo aré ov it, ºe 2 = sup N. (e) π = sup{3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415;... } (f) Nech a R. Pak a = sup{r Q : r a}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 25 / elemen 51

1.2.1 Inmum Denice 1.6 Nech je úplné uspo ádání na X. Nech B je zdola omezená podmnoºina X, tj. b X, x B: b x. Potom prvek i X nazýváme inmem B (zna íme i = inf B), jestliºe i je dolní závora B, tj. x B: i x, a sou asn i je nejv t²í dolní závora, tj. y X, i < y x B: x < y. Prvek, který je dolní závoru mnoºiny B a sou asn pat í do B, nazýváme minimem mnoºiny B a zna íme jej min B. Cvi ení 1) Ukaºte, ºe minimum existuje nejvý²e jedno. 2) Ukaºte, ºe pokud minimum existuje, pak se rovná inmu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 26 / elemen 51

1.2.1 T leso Denice 1.7 T leso je p tice (T, +,, 0, 1), kde T je mnoºina, +, jsou binární operace na T a 0, 1 jsou r zné prvky T, která spl uje (A1) x, y, z T : x + (y + z) = (x + y) + z s ítání) (A2) x, y T : x + y = y + x (A3) x T : 0 + x = x (asociativita (komutativita s ítání) (0 je nulový prvek) (A4) x T z T : x + z = 0 (z je tzv. opa né íslo k íslu x, je ur eno jednozna n a zna íme ho x) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 27 / elemen 51

1.2.1 T leso Denice 1.8 (P1) x, y, z T : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení) (P2) x, y T : x y = y x (komutativita násobení) (P3) x T : 1 x = x (1 je jednotkový prvek) (P4) x T \ {0} y T : x y = 1 (y je tzv. inverzní íslo k x, je ur eno jednozna n a zna íme ho x 1 nebo 1 x ) (D1) x, y, z T : (x + y) z = x z + y z (distributivita). P íklad 1.4 Q s obvyklými operacemi je t leso. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 28 / elemen 51

1.2.1 Uspo ádané t leso Denice 1.9 Bu (T, +,, 0, 1) t leso a nech je neostré úplné uspo ádání na T. Pak ²estici (T, +,, 0, 1, ) nazýváme uspo ádané t leso, pokud (O1) x, y, z T : x y x + z y + z (O2) x, y T : (0 x 0 y) 0 x y Denice 1.10 (axiom suprema) ekneme, ºe uspo ádané t leso (T, +,, 0, 1, ) spl uje axiom suprema, pokud kaºdá shora omezená podmnoºina T má v T supremum. P íklad 1.5 Q s obvyklými operacemi je uspo ádané t leso. Z P íkladu 1.3(c) plyne, ºe Q nespl uje axiom suprema. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 29 / elemen 51

1.2.1 T leso reálných ísel V ta 1.1 Existuje (aº na isomorsmus) práv jedno uspo ádané t leso, které spl uje axiom suprema. Toto t leso budeme nazývat t lesem reálných ísel a zna it jej R. Poznámka Dá se ukázat, ºe kaºdé uspo ádané t leso obsahuje Q. Z p edchozí v ty plyne, ºe R vznikne z Q p idáním suprem v²ech shora omezených podmnoºin v Q. Tedy kaºdé reálné íslo je supremem n jaké shora omezené podmnoºiny Q. Reálná ísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální. P íklad 1.6 1 2 = sup{x Q : x 2 < 2}. 2 Obecn : pro a R máme a = sup{q Q : q a}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 30 / elemen 51

1.2.1 S ítání a násobení v R Poznámka Zavedení s ítání a násobení na R. Nech a, a R a poloºme M := {q Q : q a}, M := {q Q : q a }. Pak M, M, M + M := {m + m : m M, m M } a M.M := {m.m : m M, m M } jsou shora omezené podmnoºiny Q (rozmyslete si pro ). Pak denujeme a + a := sup(m + M ) a a.a := sup(m.m ). Je ale zapot ebí ov it, ºe tyto operace spl ují v²echny vý²e uvedené axiomy a ºe roz²i ují obvyklé operace na Q. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 31 / elemen 51

1.2.2 N která tvrzení o R Tvrzení 1.7 Nech M R je neprázdná zdola omezená mnoºina. Pak existuje inmum mnoºiny M. Tvrzení 1.8 a) Nech x R je libovolné. Potom n N: n > x. (Tj. mnoºina N je neomezená shora.) b) Nech y R a ε > 0. Potom n N: n ε > y. (Archiméd v princip.) Tvrzení 1.9 Nech a, b R. Nech ε > 0: a < b + ε. Potom a b. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 32 / elemen 51

1.2.2 Tvrzení 1.10 Nech x, y R, x < y. Potom r Q: x < r < y. P esn ji, mezi dv ma libovolnými r znými reálnými ísly existuje nekone n mnoho (tj. více neº libovolný kone ný po et) racionálních (a tedy i reálných) ísel. Tvrzení 1.11 Mezi kaºdými dv ma reálnými ísly existuje alespo jedno iracionální íslo. D sledek 1.1 Mezi kaºdými dv ma reálnými ísly existuje nekone n mnoho iracionálných ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 33 / elemen 51

1.2.2 Trojúhelníkové nerovnosti Ozna ení Pro x R denujeme absolutní hodnotu { x, x 0 x = x, x < 0 Tvrzení 1.12 (Trojúhelníkové nerovnosti) Nech x, y, z R. Potom platí: a) x + y x + y b) x y x y c) x y x z + z y Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 34 / elemen 51

1.2.2 Dal²í nerovnosti Tvrzení 1.13 (CauchySchwartzova nerovnost) Nech a 1,..., a n, b 1,..., b n R. Potom n n n ( a k b k ) 2 ( a 2 )( k b 2 ). k k=1 Tvrzení 1.14 (AG nerovnost) k=1 k=1 Nech a 1,..., a n jsou nezáporná reálná ísla. Potom n a1 a 2 a n a 1 + + a n. n Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 35 / elemen 51

1.2.3 Komplexní ísla Denice 1.11 Mnoºinu komplexních ísel C denujeme jako mnoºinu v²ech uspo ádaných dvojic (a, b), kde a, b R. Pí²eme a + ib := (a, b). Na C denujeme operace s ítání a násobení takto: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib).(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). P tice (C, +,, 0, 1) tvo í t leso. V²imn te si, ºe i 2 = 1. N kdy se téº pí²e i = 1. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 36 / elemen 51

1.2.3 Nech x = a + ib C, a, b R. Prvek a nazýváme reálnou ástí x, prvek b nazýváme imaginární ástí x. Komplexn sdruºeným íslem k x = a + bi rozumíme íslo x = a bi. Absolutní hodnotu (velikost) komplexního ísla x denujeme x := x. x = a 2 + b 2. V²imn te si, ºe a + ib c + id (a + ib)(c id) (ac + bd) + i(bc ad) = =, (c + id)(c id) c 2 + d 2 (6) pokud c + di 0. Tedy vhodným roz²í ením lze zlomek komplexních ísel p evézt na zlomek s kladným jmenovatelem. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 37 / elemen 51

1.3.1 Posloupnosti a jejich limity Denice 1.12 Nech A je neprázdná mnoºina. Zobrazení p i azující kaºdému p irozenému íslu n prvek a n z mnoºiny A nazýváme posloupnost prvk mnoºiny A. Prvek a n nazveme n-tým lenem této posloupnosti. Zna íme {a n } n=1. Poznámka Nebude-li e eno jinak, pak posloupností budeme rozum t posloupnost reálných ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 38 / elemen 51

1.3.1 Denice 1.13 ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je shora omezená, jestliºe mnoºina v²ech len této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliºe z mnoºina v²ech len této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliºe mnoºina v²ech len této posloupnosti je omezená (tj. je omezená shora i zdola). Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 39 / elemen 51

1.3.1 Denice 1.14 ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je neklesající, je-li a n a n+1 pro kaºdé n N, rostoucí, je-li a n < a n+1 pro kaºdé n N, nerostoucí, je-li a n a n+1 pro kaºdé n N, klesající, je-li a n > a n+1 pro kaºdé n N. Posloupnost {a n } + n=1 je monotónní, pokud spl uje n kterou z vý²e uvedených podmínek. Posloupnost {a n } + n=1 je ryze monotónní, pokud je rostoucí i klesající. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 40 / elemen 51

1.3.1 Vlastní Limita Denice 1.15 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má vlastní limitu rovnou reálnému íslu A, jestliºe platí Pí²eme Example 2 ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < ε. lim a n = A. n + 1 Nech a R. Limita konstantní posloupnosti a n = a pro kaºdé n N je a. 2 Nech r R a r i... r 0, r 1 r 2... bu desetinný rozvoj ísla r. Pro n N poloºme a n := r i... r 0, r 1... r n. Pak n Q : a n Q a r = lim a n. n + Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 41 / elemen 51

1.3.1 Nevlastní Limita Denice 1.16 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má nevlastní limitu +, jestliºe L R n 0 N n N, n n 0 : a n L. ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má nevlastní limitu, jestliºe K R n 0 N n N, n n 0 : a n K. P íklad 1.7 lim n =, n + lim n =. n + Denice 1.17 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je konvergentní, pokud má vlastní limitu. Posloupnost, která není konvergentní, nazýváme divergentní. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 42 / elemen 51

1.3.1 Komplexní posloupnosti Poznámka (Komplexní limita) Nech {a n } + n=1 je posloupnost komplexních ísel. Nech x n, resp. y n je reálná, resp. imaginární ást a n. Pak {x n } + n=1, {y n} + n=1 jsou reálné posloupnosti. Jsou-li tyto posloupnosti konvergentní s limitami x = lim x n, y = lim y n, pak denujeme lim a n := x + iy. n + n + n + Pro komplexní posloupnost nedenujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. ekneme, ºe komplexní posloupnost {a n } + n=1 je omezená, pokud existuje K > 0 taková, ºe a n K pro v²echna p irozená n. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 43 / elemen 51

1.3.1 Základní tvrzení o limitách V ta 1.2 (jednozna nost limity) Kaºdá posloupnost má nejvý²e jednu limitu. V ta 1.3 Kaºdá konvergentní posloupnost je omezená. V ta 1.4 (limita monotónní posloupnosti) Kaºdá monotónní posloupnost má (vlastní nebo nevlastní) limitu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 44 / elemen 51

1.3.1 Vybraná podposloupnost Denice 1.18 Nech {a n } n=1 je posloupnost reálných ísel. Jestliºe {n k} k=1 je rostoucí posloupnost p irozených ísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z {a n } n=1. Denice 1.19 Nech {a n } n=1 je posloupnost reálných ísel. Pak A R nazýváme hromadným bodem posloupnosti {a n } n=1, jestliºe existuje vybraná posloupnost {a nk } k=1 taková, ºe lim a n k = A. k Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 45 / elemen 51

1.3.2 Roz²í ená reálná osa Roz²í enou reálnou osu R denujeme jako R { } {+ } spolu s operacemi Uspo ádání: a R: < a < +, Absolutní hodnota: = + = + S ítání: a R: ± + a = a + (± ) = ±, ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + Násobení a d lení: a R, a > 0: a (± ) = (± ) a = ±, a R, a < 0: a (± ) = (± ) a =, a a R : + = a = 0 NEDEFINUJEME: ± (± ) + ( ), 0 (± ), ±, cokoli 0 Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 46 / elemen 51

1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.5 (limita vybrané podposloupnosti) Nech {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {a n} n=1. Jestliºe lim a n = A R, pak také lim a n n k = A. k V ta 1.6 (aritmetika limit) Nech (i) (ii) (iii) lim a n = A R a lim b n = B R. Potom platí: n + n + lim (a n ± b n ) = A ± B, pokud je pravá strana denována, n + lim (a n b n ) = A B, pokud je pravá strana denována, n + lim a n/b n = A/B, pokud je pravá strana denována. n + Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 47 / elemen 51

1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.7 (limita typ "0.omezená") Nech lim a n = 0 a nech posloupnost {b n } je omezená. Potom n + lim a nb n = 0. n + V ta 1.8 Nech {a n } + n=1 je posloupnost. Pak lim a n = 0 tehdy a jen tehdy, kdyº n + lim a n = 0. n + V ta 1.9 (limita typ "0 + / + ") Nech lim a n = A R, A > 0, lim b n = 0 a existuje n 0 N, ºe pro n + n + a kaºdé n N, n n 0, platí b n > 0. Pak lim n n + b n =. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 48 / elemen 51

1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.10 (limita a uspo ádání) Nech lim a n = A R a lim b n = B R. n + n + (i) Nech existuje n 0 N takové, ºe pro kaºdé p irozené n n 0 je a n b n. Potom A B. (ii) Nech A < B. Potom existuje n 0 N takové, ºe pro kaºdé p irozené n n 0 je a n < b n. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 49 / elemen 51

1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.11 (o dvou stráºnících) Nech {a n } + n=1, {b n} + n=1, {c n} + n=1 jsou posloupnosti spl ující: (i) n 0 N n N, n n 0 : a n c n b n, (ii) existují Potom existuje Poznámka lim a n, n + lim b n, a navíc n + lim c n a platí n + lim c n = n + lim a n = n + lim a n. n + lim b n. n + Pokud lim a n =, není nutné uvaºovat ºádnou posloupnost {b n } a n + tvrzení v ty z stává v platnosti. Podobn je tomu v p ípad lim b n =, kdy "nepot ebujeme" posloupnost {a n } + n + n=1. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 50 / elemen 51

1.3.4 Hlub²í v ty o limitách V ta 1.12 (Bolzano-Weierstrassova v ta) Z kaºdé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. V ta 1.13 Posloupnost {a n } n=1 má vlastní limitu práv tehdy, kdyº spl uje Bolzano-Cauchyovu podmínku, tj. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 m N, m n 0 : a n a m < ε. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 51 / elemen 51