Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení. 4. Jsou dány 2 náhodné veličiny X,Y. Definujte jejich kovarianci a koeficient korelace. 5. Definujte oblastní výběr. Kdy je rovnoměrný? 6. Uved'te de-morganovy vztahy. Aspoň jeden z nich dokažte. 7. Jestliže pro nekonečnou neklesající posloupnost množin Ai, An An+1, platí:, pak platí pro nerostoucí posloupnost množin Ai, An An+1: 8. Napište, co je věrohodnostní rovnice. Metodou maximální věrohodnosti určete parametry μ,σ 2 náhodného výběru velikosti n s rozdělením N(μ;σ 2 ). 9. Mějme nekonečnou posloupnost nezávislých pokusů. Pravděpodobnost úspěchu pokusu je rovna Ө, neúspěchu 1 Ө. Necht' Yn značí počet úspěchů v prvních n pokusech. Dokažte, že:, kde značí konvergenci podle pravděpodobnosti. Varianta II 1. Horní limita postupnosti 2. Podmíněná pravděpodobnost 3. Nakreslit distribuční funkci alternativního rozdělení 4. Multinomické rozdělení pravděpodobnostní funkce 5. Nutná a postačující podmínka existence střední hodnoty náhodné veličiny Y=h(X) a čemu sa střední hodnota rovná 6. Dokázat vlastnosti kovariancie a korelačního koeficientu (v), (vi), (vii) 7. Dokázat Moivreovu Laplaceovu integrální větu (věta 14.3) 8. Co je to statistika a podmínka pro nestranný odhad. 9. Dokázat větu 19.2
Varianta III -B 1. Co je to jevové pole. 2. Dokažte: 3. Dokažte: 4. Popište beta rozdělení s parametry a,b, jakou má souvislost s gama funkcí? 5. Popište rozdělení. 6. Napište kvantilovou funkci. Co je α-kvantil náhodné veličiny? 7. Napište a dokažte zákon velkých čísel. 8. Jaká je střední hodnota a rozptyl výběrového průměru? 9. Napište asymptotické vlastnosti maximálně věrohodního odhadu. Varianta IV 1. Co je to dolní limita posloupnosti množin? Jak se značí? Jak jí říkáme? Kdy nastane tento jev? 2. Kdy má náodná veličina Binomické rozdělení? 3. Máme odhad T = (T1,.,Tn) jednorozměrného parametru θ, co je středněkvadratická odchylka? 4. Dokažte: R(X,Y) = 1 <=> existuj konstanty a,b > 0 tak, že P(Y = a + bx) = 1. 5. Jaká je nutná a postačující podmíka existence střední hodnoty diskrétní veličiny Y = g(x) (g je borelovsky měřitelná), jak ji spočítáme? 6. Dokažte, že PB (PB(A) = P(A B)) je pravděpodobnost. (P je pravděpodobnost, P(B) > 0). 7. X1,.Xn ~ N(μ,σ2). Jaké rozdělení má výběrový průměr? Jaké rozdělení má výběrový rozptyl násobený (n-1)/ σ2 (nevim jestli přesně timhle). 8. Uveďte nějaké vlastnosti hustoty náhodného vektoru. 9. Co je statistický soubor, jednotka, znak? Rozdělení znaků. Kvantitativní a kvalitativní znaky? Soubor hodnot? Tabulka početností?
Varianta V 1. Dokaž cauchyho kombinatorický vzorec. 2. Nutná a postačující podmínka pro sdruženou nezávislost vektoru 3. Dokázat spojitost shora. 4. Nezávislost po dvou a sdružená. 5. Míry šikmosti. 6. Definuj regulární systém hustot. 7. Vypočítej střední hodnotu v N~(μ;σ 2 ). 8. Dokaž 19.2 9. Příklad 11.2 Varianta VI 1. (lim sup An) = lim inf (An)... to co je v zavorkách je komplement (doplněk) nebo-li "s pruhem" 2. Máme úplný systém An, platí P(An)>0 pro všechna n Dokažte, že pak platí: P(B)= [P(B Ai)*P(Ai)]. 3. Kdy má náhodná veličina X negativně binomické rozdělení pravděpodobnosti NeBi(r,p)? Jakou situaci tím modelujeme? 4. Kdy jsou náhodné veličiny X 1, X 2,..., X n sdruženě nezávislé? 5. Máme náhodnou veličinu X s pravděpodobností (x i,p i ), i J. Napište nutnou a postačující podmínku existence střední hodnoty a napište, jak se počítá. 6. Jaký je vztah mezi počátečními momenty μ 1,μ 2,μ 3,..., μ N a charakteristickou funkcí X? 7. Definujte p-tý výběrový kvantil, horní a dolní kvartil a modus. Spočtěte a) p=0.12, n=24 b) p=0.4, n=50 8. Definujte konzistentní odhad jednorozměrného parametru. 9. X 1, X 2,..., X n ~ N(μ;σ 2 ). T=[("X s pruhem" - μ)/s]* n má jaké rozdělení? Dokažte to.
Varianta VII 1. Co je to borelovská -algebra? Jak se nazývají její prvky? 2. Pokud jsou A1, A2 nezávislé, jsou nezávislé i A1, A2-doplněk a A1-doplněk, A2-doplněk. 3) Napište nějaké vlastnosti absolutně spojité funkce. 4. Uspořádaný výběr X(i) má distribuční funkci 5. Máme náhodnou veličinu X. Definujte n-tý počáteční moment; n-tý centrální moment; n-tý absolutní moment. 6. Náhodná veličina X má charakteristickou funkci x(t). Jakou charakteristickou funkci má Y=a+bX? 7. Popište krabicový diagram. Nakreslete krabicový diagram pro hodnoty: 21,24,24,25,25,25,25,25,26,26,27,27. 8. Dokažte, že {f(x,): 1/ (2) exp(-(x-)2/2)} je regulární systém hustot. 9. Máme náhodný výběr X1,,Xnx Xi~N(x,x 2 ) a Sx 2 jeho výběrový rozptyl a náhodný výběr Y1,,Yny,Yi~N(y,y 2 ) a Sy 2 jeho výběrový rozptyl. Jaké rozdělení pravděpodobnosti má statistika F= Sx 2 *x 2 / Sy 2 *y 2 a dokažte to. Varianta VIII 1.Kdy má posloupnost An limitu. Popsat ji. 2. Dokázat 1.Bayesův vzorec. 3.Konzistentní odhad. 4. Distribuční fce alternativního rozdělení. 5. Geometrické rozdělení a co s ním počítáme. 6. Všechny míry variability - byly vypsane, jen napsat vzorce. 7. Nutná a postačující podmínka nezávislosti sdružení. 8. Kdy existuje střední hodnota g(x) a jak ji spočítáme. 9. Napsat interval spolehlivosti pro neznámé η.
Varianta IX 1. Dokázat vzorce 1.6 2. Formulace a důkaz Borelova-Cantelliho lema. 3. Definice pravděpodobnostní funkce. 4. Ljapunova centrální limitní věta. 5. Bodový a intervalový odhad vektorového parametru. 6. Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. 7. Pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru. 8. Definice a vlastnosti střední hodnoty náhodné veličiny. 9. Důkaz některách vlastností kovariance a korelačního koeficientu - i, ii, viii Varianta X 1. Klasicka! definice pravděpodobnosti. (P(A)= A / Ω ) 2. Některé vlastnosti hustoty. 3. Dokázat D(a1+a2X)=a2^2D(X), X1,X2 nezávislé, pak D(X1+X2)=D(X1)+D(X2) 4. Napsat a dokázat Neymanovo-Pearsonovo lemma. 5. dlouhé zadáni a měl se napsat vzorec (9.1) (str.40) 6. Regulárni odhad. 7. Populační průměr a rozptyl. 8. Vztah mezi E(X j ) a E(X j X k ) a charakteristickou funkcí náhodného vektoru X. 9. Definice náhodné veličiny.
Varianta XI Verze T 1) napište geometrickou definici pravděpodobnosti. 2) co je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X? 3) kdy má náhodná veličina rovnoměrné rozdělení na (a,b)? 4) popište náhodný výběr bez vracení. 5) co je P-hodnota testu? 6) X~Po(X), ε(x) =λ, spočítejte rozptyl. 7) Mějme posloupnost náhodných veličin X 1, X 2, a náhodnou veličinu X. Všechny veličiny jsou definované na stejném pravděpodobnostním prostoru, kdy řekneme, že: a) X n konverguje k X skoro iste? b) X n konverguje k X podle pravděpodobnosti? 8) X je náhodná veličina s hustotou f X, náhodná veličina Y, Y=a+bX, kde a,b jsou prvky reálných čísel, b je různé od nuly. Napište hustotu f Y. 9) Co platí pro rozptyl každého regulárního nestranného odhadu T parametru θ? Varianta XII 1. a) Dk, že P(prázdné množ)=0 b) Dk, že míra je monotonní c) Dk, že pro všechna A z Omegy (velká omega) : O =< P(A) =< 1 2. Dk, že distribuční fce je neklesající a spojitá zleva 3. X1 ~ Po(lambda1), X2 ~ Po(lambda2), X1+X2 ~?, pokud X1 a X2 nezávislé 4. Kdy má veličina rozdělení N(mi, sigma^2), co a kdy stand. norm. rozděl. 5. Co je to náhod. výběr velikosti n a jeho realizace 6. Co je to medián 7. Nutná a postačující podm. pro char. fce, aby Xn kopnvergovalo v distribuci pro n- >nekonečno k X 8. X1,...Xn náhod. výběr z N(théta, 1), théta leží v R, T=1/n *suma(i=1...n)xi Dk, že T je nestranný, regulární a eficientný odhad théta 9. Co je to jednoduchá hypotéza, hladina významnosti testu, silofunkce a operační charakteristika Varianta XIII skupina R 30.6.2008 1) definice 1.5 2) veta 3.7, co a důkaz 3) definice 17.6., co je hustota exponenciálního typu 4) /nevím, asi něco s hustotou pravděpodobnosti náhodné veličiny??? 5) příklad 8.2 b) 6) veta 10.2 i, ii, iii, co a důkaz 7) definice 11.2, co a vlastnosti 8) definice maticového diagramu 9) hypotéza - známe H0 a H1, známe mi1, mi2, sigma^2, použij testovací satatistiku, cosi kritická oblast, hladina významnosti / má tu být napsaná ta závorka alfa=..., viz strana 96 dole Varianta XIV - verze U 1. Dokazat vlastnosti pravdepodobnosti (i), (ii), (iii), (iv) (str. 6) 2. Definice distribucni fce (str. 17) 3. exponencialni rozdeleni - pouziti, modelovy priklad, hustota, distribucni fce (str. 28) 4. 5. X~N(mi, sigma^2), E(X)=mi, D(X)=? (str. 52)
6. Popiste nahodny vyber s vracenim (str. 74) 7. Definice hustoty transformovane nahodne veliciny (str. 40) 8. Eficience (myslim, ze tam bylo vic, nez jen definice) (str. 84) 9. Priklad 20.1 (+ bylo v zadani jeste, ze mame pouzit Varianta XV - verze C 1.elementarni jev a nahodny jev, zda je to stejny 2.dukaz 1.3. 3.nahodny vektor 4.veta a dukaz Cebyseovy nerovnosti 5. asi je pocet skoku je pocitelny pocet 6. tedy vety 9.8. bylo zadano napiste hustotu chi kvadratu a odvodte, ze to tak je dukaz chi kvadratu 7. 13.2. Chinova veta 8.napiste cemu se rovna stredni hodnota vyberoveho rozptylu a odvodte bud veta 16.1 nebo 16.2., spis 16.2. 9. priklad 18.1. mejme nahodny vyber X=(X1,X2, X3,...) z binomickeho rozdeleni s parametry m a pi. Parametr pi odhadujeme metodou maximalni verohodnosti. Varianta XVI 1. dokažte: pro A1,, An z množiny A platí: lim sup n An = průnik sjednocení Ak 2. dokažte: a) P(A Ω) = P(A) b) P( sjednocení 1 i n Ai) = P(A1)*P(A2 A1)*P(A3 A2 A1)* *P(An A1 A2 An-1) 3. Kdy má náhodná veličina poissonovo rozdělení Po(λ) 4. Napište hustotu regulárního n-rozměrného normálního rozdělení. 5. příklad 10.5 strana 55 6. Jakým způsobem lze graficky vyjádřit tabulku četnosti? 7. Náhodná veličina X má hustotu f a g je borelovská funkce. Napište nutnou a postačující podmínku existence střední hodnoty náhodné veličiny Y=g(x) a jak ji vypočítáme. 8. Náhodné veličiny X1,,Xn mají normální rozdělení N(μ,σ²). Máme výběrový průměr X s pruhem = 1/n Σ Xi. Jaký je vztah mezi tímto výběrovým průměrem a výběrovým rozptylem. Své tvrzení dokažte. 9. Vychýlení odhadu (myslím, že tak nějak to bylo) Varianta XVII 1. Dokázat Větu 1.3 2. Napsat 2. Bayesův vzorec 3. Kdy má náhodná veličina X hypergeometrické rozdělení? Jaký experiment tím modelujeme? 4. Nechť náhodný vektor X = (X 1,,X n ) má diskrétní distribuční funkci F a pravděpodobnostní funkci (x m,p m ) mєj. Napište nutnou a postačující podmínku sdružené nezávislosti náhodných veličin X 1, X n. 5. Určete střední hodnostu náhodné veličiny X s Poissonovým rozdělením s parametrem lambda. 6. Spočítejte charakteristickou funkci náhodné veličiny X s binomickým rozdělením, X ~ (n,p). 7. Míry variability pro nominální a ordinální znaky (měla se tam napsat entropie) 8. Příklad 17.4 9. Nechť X 1,,X n je náhodný výběr s rozdělením N(μ,σ 2 ). Napište a odvoďte 100(1 α)%ní interval spolehlivosti pro μ, jestliže neznáme σ 2.
Varianta XVIII 1. Nechť (Ω, A) je jevové pole. Napiště axiomatickou definici pravděpodobnosti. 2. Borelovo lema. Umíte ho dokázat? 3. Hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. 4. Příklad 8. 2., (b).nechť náhodný vektor (X,Y) má rovnoměrné rozdělení G R 2, G = (x,y) R 2 ; 0 x<1, 0 y 1, x+y 1. Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X,Y nezávislé. 5. Věta 10. 4., (i) (iii). Nechť X je náhodná veličina definovaná na (Ω, A,P) s konečným druhým momentem a R. Potom a. D(X) 0, b. D(X) = E(X 2 ) E 2 (X), c. Ak P(X = a) = 1, tak D(X) = 0, 6. charakteristická funkce náhodného vektoru X, některé vlastnosti 7. Určete hustotu exponenciálního rozdělení 8. co je maticový diagram 9. testování hypotéz Bohužel si pořádně nepamatuji, jak zněly otázky 6 9, tak je berte s rezervou Varianta XIX 1. Věta 10.3: čemu se rovná ε( ), dokažte vaše tvrzení 2. Definice 6.1: Kdy je funkce F(.) absolutně spojitá na R 3. Definice 1.4 4. Uspořádaný náhodný výběr 5. Fisherova informace o parametru θ 6. O jaké rozdělení se jedná, důkaz a bylo tam studentovo rozdělení Věta 19.7 (ii) 7. Míry špičatosti 8. Stvořit stejný příklad jako je 3.3, abyste dokázali, že když jsou náhodné jevy nezávislé po dvou nemusí být sdruženě nezávislé 9. Příklad 11.3 Varianta XX 1. Boorelovská sigma algebra veta 1.5. 2. důkaz vety 3.6. 3. def. X je absolutně spojitá 4. příklad 8.2. a) 5. definice rozptylu 6. důkaz vety 11.5. 7. rozptylový diagram
8. Rao Cramerova věta a její důkaz 9. testování hypotéz