Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o úhel ϑ. (b) O jaký úhel ϑ musíme v rovině xy otočit souřadnicové osy abychom dostali normály k hlavním rovinám? [řešení: (a) σ xx = σ xx cos 2 ϑ + σ yy sin 2 ϑ + 2τ xy sin ϑ cos ϑ σ yy = σ xx sin 2 ϑ + σ yy cos 2 ϑ 2τ xy sin ϑ cos ϑ τ xy = (σ yy σ xx ) sin ϑ cos ϑ + τ xy (cos 2 ϑ sin 2 ϑ) (b) ϑ = 1 2 arctg 2τxy σ xx σ yy 2. Na těleso působí v rovině xy napětí podle obrázku. Najděte hlavní roviny a maximální a minimální hodnotu napětí. yy =-2 MPa yx =3 MPa xx =5 MPa y x [řešení: Normály k hlavním rovinám jsou navájem kolmé vektory pootočené v rovině xy vzhledem k osám x a y o úhel 20.3 o, tj. vektory o souřadnicích (0.94, 0.35) a (-0.35, 0.94) Maximální hodnota napětí je σ 1 = 6.1 MPa, minimální hodnota je σ 2 = 3.1 MPa 3. Izotropní materiál s Youngovým modulem pružnosti E a Poissnovým pomě- 1
rem ν je ve stavu napjatosti popsaném tenzorem napětí σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz. τ zx τ zy σ zz Vypočítejte tenzor malých deformací. [řešení: ε xx = 1 E [σ xx ν(σ yy + σ zz ) ε yy = 1 E [σ yy ν(σ xx + σ zz ) ε zz = 1 E [σ zz ν(σ xx + σ yy ) ε xy = 1+ν E τ xy ε xz = 1+ν E τ xz ε yz = 1+ν E τ yz 4. Na izotropní materiál s Youngovým modulem pružnosti E a Poissonovým poměrem ν působí tahové napětí podle obrázku. Jakým napětím σ yy musíme působit aby deformace ve směru osy x byla nulová? Jaká bude v takovém případě deformace ve směru osy y a z? [řešení: σ yy = 1 ν σ xx, ε yy = 1 E 1 ν 2 ν σ xx, ε zz = 1 E (1 + ν)σ xx 5. Ukažte, že modul pružnosti ve smyku je G = E 2(1+ν). 2
6. Izotropní materiál je charakterizován Youngovým modulem pružnosti E a Poissnovým poměrem ν. Když vložíme tento materiál do atmosféry vodíku o určitém tlaku, tak se jisté množství vodíku absorbuje a materiál izotropně expanduje jak je znázorněno na obrázku (a). Z tohoto materiálu napaříme tenkou vrstvu na substrát, který neabsorbuje vodík, viz obrázek (b). Substrát zabraňuje expanzi materiálu v rovině xy. Co se stane, když nyní vložíme tenkou vrstvu se substrátem do atmosféry vodíku? [řešení: V rovině xy vzniknou kompresní napětí σ xx, σ yy která kompenzují expanzi a tenká vrstva bude expadovat jen kolmo na rovinu substrátu. Velikost deformace bude ε zz = 1 ν 1+ν ε 0 napětí: σ xx = σ yy = ε0νe 1 ν, ostatní složky tenzoru napětí jsou nulové. 7. Do U-trubice nalijeme vodu ( ϱ v = 1000 kgm 3 ) a rtuť ( ϱ Hg = 13500 kgm 3 ) tak, že sloupec vody je vysoký 10 cm. Jaký bude rozdíl výšky hladin v obou ramenech U-trubice? [řešení: 9.3 cm 8. Čerpadlo načerpá za 1 minutu 300 l vody. Přívodní potrubí má průměr 80 mm, výtokovým potrubím proudí voda rychlostí 8 ms 1. Určete rychlost vody v 1 v přívodním potrubí a průměr d 2 výtokového potrubí. [řešení: v 1 = 0.995 ms 1, d 2 = 28.2 mm 9. Předmět o hustotě ϱ p je vyvážen na rovnoramenných vahách mosazným závažím o hmotnosti m z. Stanovte skutečnou hmotnost předmětu. Hustota mosazi je ϱ z a hustota vzduchu v okamžiku vážení je ϱ v. [řešení: m = m z 1 ϱ v/ϱ z 1 ϱ v/ϱ p 3
10. V sudu o vodorovném průřezu S je ideální kapalina hustoty ϱ. Kapalina vytéká malým otvorem o průřezu s v hloubce h. (a) Jakou rychlostí kapalina z nádoby vytéká? (b) Jak dlouho to bude trvat něž kapalina ze sudu vyteče? [řešení: (a) v = 2gh/[(1 (s/s) 2, (b) t = [(S/s) 2 1h/2g 11. Stanovte dobu výtoku ideální kapaliny z kulové nádoby o poloměru R, která je naplněna do poloviny (tj. výška hladiny na počátku je R). Voda vytéká tenkou trubkou o poloměru r R, [řešení: t = 14 R 5/2 15 r 2 (2g) 1/2 12. V jezeře s vodou položíme na hladinu vody hliníkovou kuličku o poloměru r = 1 mm a pustíme. Najděte časovou závislost dráhy, kterou kulička urazí, a 4
časovou závislost rychlosti kuličky. Od jaké hloubky lze rychlost kuličky pokládat za konstatní? Hustota hliníku je ϱ = 2.7 gcm 3. [řešení: Označíme A = 9 η 2 r 2 ϱ a B = ϱ ϱv ϱ g, kde ϱ v je hustota vody a η je dynamická viskozita vody. Časová závislost dráhy: x = B A t ( 1 A (1 e At ) ), časová závislost rychlosti kuličky: v = B A (1 e At ). Za 1.8 s, lze rychlost kuličky pokládat zhruba za konstantní, kulička se za tu dobu dostane do hloubky 4.56 m Základní vztahy a údaje Transformační matice pro otočení v rovině o úhel ϑ: ( ) cos ϑ sin ϑ A =. sin ϑ cos ϑ Transformace tenzoru 2. řádu: T = ATA T Hookův zákon pro izotropní prostředí: ε = 1 E [(1 + ν)σ νtr(σ)e Bernoulliova rovnice: 1 2 ϱv2 + p + ϱgh = konst. Rovnice kontinuity: S 1 v 1 = S 2 v 2 Hagen-Poiseuillův zákon: Q = π p 8η l R4 Stokesova odporová síla: F S = 6πηRv 5