eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 Eponenciální ovnice teoie - ovnice, ve kteých e neznámá vykytuje v eponentu Řešíme je v záviloti n typu ovnice několik zákldními metodmi. A. metod převedení n tejný zákld používá e v ovnicích, kde e levá i pvá tn ovnice dá upvit n mocninu e tejným zákldem. Pk lze využít věty: Vět: Pltí-li u v u v. (Rovnjí-li e zákldy, ovnjí e i eponenty.) Při použití této metody využíváme pvidl po počítání mocninmi. Připomeňme i t nejpoužívnější: + ( ) b b B. metod vytýkání - používáme v ovnicích, kde e objevují oučty nebo ozdíly mocnin e tejnými zákldy, u nichž eponenty při pohledu n neznámou tejně zčínjí, po vytknutí e dá ovnice vydělit čílem v závoce vznikne typ A. C. metod ubtituční - používáme v ovnicích, kde e objevují mocniny e tejným zákldem, le eponenty jou typu p, p, tedy jeden je dvojnáobkem duhého. Po ubtituci obvykle vede n kvdtickou ovnici. D. metod logitmická - používáme v ovnicích typu b. Tuto metodu můžeme použít ž po zvládnutí logitmů, vátíme e k ní tedy později. Eponenciální ovnice ukázkové úlohy Připomeňme ještě jednou: A. metod převedení n tejný zákld používá e v ovnicích, kde e levá i pvá tn ovnice dá upvit n mocninu e tejným zákldem. Pk lze využít věty: Vět: Pltí-li u Příkld. Řešte ovnici + 3 8 Obě tny ovnice lze vyjádřit mocninou o zákldu. + 3 3 Použijeme větu zíkáme poovnáním eponentů + 3 3 0 v u v. (Rovnjí-li e zákldy, ovnjí e i eponenty.)
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 Příkld. + 0,8 Deetinné čílo vyjádříme zlomkem zkátíme. Poté použijeme větu. + + 8 0 + Příkld 3. + 7 3 0 Převedeme n mocniny e zákldem použijeme větu. ( 3 ) + 7 0 B. metod vytýkání - používáme v ovnicích, kde e objevují oučty nebo ozdíly mocnin e tejnými zákldy, u nichž eponenty při pohledu n neznámou tejně zčínjí, po vytknutí e dá ovnice vydělit čílem v závoce vznikne typ A. Příkld. Řešte ovnici + 8 3 V ovnici e vykytují oučty mocnin eponent zčíná u tejným koeficientem. Použijeme vytýkání mocniny nejnižším eponentem tj.. ( 8) 3 V závoce e objevilo čílo, kteým je ovnice dělitelná, vydělíme ovnici omi tím ji převedeme n typ A. C. metod ubtituční - používáme v ovnicích, kde e objevují mocniny e tejným zákldem, le jou typu p, p, tedy jeden je dvojnáobkem duhého. Po ubtituci obvykle vede n kvdtickou ovnici. Příkld. 3 0 Eponent zčíná ůzným koeficientem u. Použijeme ubtituci z Volíme novou poměnnou. Tedy u. Rovnici lze zpt ve tvu ( ) 3 ( ) 0 0. Po ubtituci u 3u 0 0 jme zíkli kvdtickou ovnici. Učíme její kořeny nezpomeneme e vátit k ubtituci. (Pozo n fomální pávnot při oznčení počítných kořenů.)
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 D b c ( 3) ( 0) 9 b ± D 3 ± 7 kořeny u, tedy u u Po návtu k ubtituci 0, nemá řešení Eponenciální ovnice úlohy k řešení (metod A) ) ) 0, + 3) 9 7 8 3 + ) 0 3 3
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 ) 0 3 0, 0 6) 7 6 8 9 + 6 Eponenciální ovnice úlohy k řešení (metod B) ) Řešte v R 3 3 3 3 3 + ( ) 3 vytkneme mocninu nejnižším eponentem tj. zkontolujte vytknutí pokčujte v řešení 3 ) Řešte v R + + + 0 mocniny převedeme n jednu tnu vytkneme ( )0 zíkli jte v závoce čílo? Pozn. Pokud by někomu metod vytýkání činil potíže, lze ji nhdit ubtituční metodou tk, že jednotlivé mocniny ozepíšeme n oučin mocnin podle eponentu zvedeme z opkující e mocninu novou neznámou. Po vyřešení této neznámé e k ubtituci vátíme. Ukázk: + 0 zvedeme novou poměnnou 0 u 6u u + 0 u 6 tedy 6 3 u
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 3) Řešte v R 3 + 3 3 3 Eponenciální ovnice úlohy k řešení (metod C) ) Řešte v R 0 ( ) 0 0 vyjádříme mocninmi e zákldem, vidíme, že eponent zčíná, tedy jeden koeficient je dvojnáobkem duhého, poto zvolíme ubtituci z u po ubtituci zíkáme ovnici. vyřešíme kořeny kvdtické ovnice D b c. b ± D u, u u. vátíme e k ubtituci.. dořešte ovnice Rovnice má tedy.. řešení.. ) Řešte v R + ( ) + 0 zvolíme ubtituci u zíkáme
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 3) Řešte v R 7 8 + 8 Eponenciální ovnice úlohy k řešení (dlší typy) ) Učete ouřdnice půečíků dných dvou funkcí, kteé jou zdány ovnicemi. f : y 7 + 9 g : y 7 + 3 Učit půečík dvou funkcí znmená njít bod, jehož ouřdnice [ ; y] vyhovují oběm ovnicím oučně. Nlezneme je tedy řešením outvy dvou ovnic o dvou neznámých. Použijeme dozovcí metodu zíkáme 7 + 9 7 + 3 7 7 ( ) 7 7 Dozením do kteékoliv ovnice v outvě dopočteme y 30. P ;30 Půečík má tedy ouřdnice [ ] ) Učete ouřdnice půečíků dných dvou funkcí, kteé jou zdány ovnicemi. f : y + g : y 3 + 6
eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 3) Učete půečíky gfu funkce omi ouřdnic. 3+ f : y 3 Učit půečík gfu funkce oou znmená njít bod P [ ;0]. Učit půečík gfu funkce oou y znmená njít bod P y [ 0; y]. Tedy do dné ovnice dodíme z poměnné potupně 0 y 0 ) V obou eálných číel řešte outvu ovnic + y 8 3 y 3 Upvíme pvní ovnici + y 7 + y 7 + y 7 výhodou vyjádříme y y 7 dodíme do duhé ovnice zíkáme 7