Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením

Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením J. Machalová, P. Ženčák, R. Kučera Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky PřF UP Olomouc Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava Červen 2008 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 1 / 34

Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 2 / 34

Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními 2. IPM v úloze lineární elasticity s daným třením PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 2 / 34

Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními 2. IPM v úloze lineární elasticity s daným třením 3. Numerické testy iterační metody PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 2 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Úloha Formulace optimalizační úlohy Nechť jsou m i N, i = 1, 2, 3 takové, že m 2 = m 3 a N i = {1, 2,..., m i } pro i {1, 2}. Hledáme řešení úlohy: minimalizovat 1 2 xt Ax x T b 3 i=1 m i = m. Označme (1a) 2 2 za podmínek x 2i + x 3i gi 2 pro i N 2 (1b) x 1i l i pro i N 1 (1c) kde vektor x R m je tvaru x = ( ) T x T 1, x T 2, x T 3 přičemž x i = (x i 1, x i 2,..., x i mi ) T pro i {1, 2, 3}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 3 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 4 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. Symbol značí Hadamardův součin, tj. je-li u R m, v R m, pak w = u v, w R m a w i = u i v i pro i {1,..., m}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 4 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. Symbol značí Hadamardův součin, tj. je-li u R m, v R m, pak w = u v, w R m a w i = u i v i pro i {1,..., m}. Dále nechť A = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 b = kde A i,j R m i m j a b i R m i pro i, j {1, 2, 3}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 4 / 34 b 1 b 2 b 3

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními KKT podmínky Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky Jelikož se jedná o úlohu konvexního programování, tak nutnými a postačujícími podmínkami jsou KKT podmínky, které lze zapsat ve tvaru A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 b 1 λ = 0 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 b 2 + 2µ x 2 = 0 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 b 3 + 2µ x 3 = 0 l x 1 0 λ (l x 1 ) = 0 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g 0 µ (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) = 0 µ 0 λ 0 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 5 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Označení matic Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky K podmínkám přípustnosti primární úlohy přidáme do KKT podmínek doplňkové proměnné označené d = (d 1, d 2,..., d m2 ) T s = (s 1, s 2,..., s m1 ) T PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 6 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Označení matic Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky K podmínkám přípustnosti primární úlohy přidáme do KKT podmínek doplňkové proměnné označené Předtím ještě označme d = (d 1, d 2,..., d m2 ) T s = (s 1, s 2,..., s m1 ) T e i = (1, 1,..., 1) T R m i pro i = 1, 2 Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ m1 ) M = diag(µ 1, µ 2,..., µ m2 ) S = diag(s 1, s 2,..., s m1 ) D = diag(d 1, d 2,..., d m2 ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 6 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 7 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) kde F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 λ b 1 A 21 x 1 + (A 22 + 2M)x 2 + A 23 x 3 b 2 A 31 x 1 + A 32 x 2 + (A 33 + 2M)x 3 b 3 x 1 + s + l ΛSe 1 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g + d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 7 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) kde F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 λ b 1 A 21 x 1 + (A 22 + 2M)x 2 + A 23 x 3 b 2 A 31 x 1 + A 32 x 2 + (A 33 + 2M)x 3 b 3 x 1 + s + l ΛSe 1 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g + d MDe 2 Základem metod vnitřních bodů je řešení soustavy (3) upravenou Newtonovou metodou zachovávající podmínky nezápornosti. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 7 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jakobián funkce F Jiný přepis KKT podmínek Označme X i = diag(x T i ) pro i {1, 2, 3}, pak Jakobián funkce F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) má tvar J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 A 12 A 13 I 0 0 0 A 21 A 22 + 2M A 23 0 0 2X 2 0 A 31 A 32 A 33 + 2M 0 0 2X 3 0 = I 0 0 0 I 0 0 0 0 0 S Λ 0 0 0 2X 2 2X 3 0 0 0 I 0 0 0 0 0 D M PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 8 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Řešení KKT Newtonovou metodou Jiný přepis KKT podmínek Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 9 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Řešení KKT Newtonovou metodou Jiný přepis KKT podmínek Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 Plný krok ve vypočítaném směru není obvykle možný, neboť délka kroku δ (0, 1] je určena tak, aby platily podmínky nezápornosti. Bohužel je často délka kroku v této metodě velmi malá a zlepšení směrem k optimálnímu řešení je tak velmi pomalé. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 9 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Centrální cesta Metoda sledování cesty Centrální cesta C je množina bodů (x τ 1, xτ 2, xτ 3, λτ, s τ, µ τ, d τ ) řešících pro každou hodnotu parametru τ = (τ l, τ k ) T, τ l > 0, τ k > 0 následující úlohu, která vznikne drobnou změnou KKT podmínek: PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 10 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Centrální cesta Metoda sledování cesty Centrální cesta C je množina bodů (x τ 1, xτ 2, xτ 3, λτ, s τ, µ τ, d τ ) řešících pro každou hodnotu parametru τ = (τ l, τ k ) T, τ l > 0, τ k > 0 následující úlohu, která vznikne drobnou změnou KKT podmínek: Najít řešení nelineární soustavy F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 0 0 0 τ l e 1 0 τ k e 2 (4a) za podmínek λ > 0 s > 0 µ > 0 d > 0 (4b) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 10 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 11 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 S jejich pomocí a s pomocí centrujícího parametru σ l pro lineární podmínky a centrujícího parametru σ k pro kvadratické podmínky, přičemž volíme σ l [0, 1] σ k [0, 1] PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 11 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 S jejich pomocí a s pomocí centrujícího parametru σ l pro lineární podmínky a centrujícího parametru σ k pro kvadratické podmínky, přičemž volíme σ l [0, 1] σ k [0, 1] pak parametry centrující cesty píšeme jako τ l = σ l α τ k = σ k β PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 11 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 12 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. V klasické bariérové metodě s logaritmickou bariérou se hledají přímo body na centrální cestě. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 12 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. V klasické bariérové metodě s logaritmickou bariérou se hledají přímo body na centrální cestě. V metodě sledování cesty hledáme body, jejichž trajektorie H je blízká centrální cestě, směr hledání je tedy kompromisem mezi Newtonovým směrem a tzv. centrujícím směrem. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 12 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 13 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} Pak rovnici (4) řešíme modifikovanou Newtonovou metodou zachovávající omezení, tj. novou iteraci ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) počítáme podle vzorce ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) =(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d)+ + δ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 13 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} Pak rovnici (4) řešíme modifikovanou Newtonovou metodou zachovávající omezení, tj. novou iteraci ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) počítáme podle vzorce ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) =(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d)+ + δ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) kde krok δ určíme tak, aby platilo ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) F 0 N. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 13 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Soustava v metodě sledování cesty Metoda sledování cesty Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 + σ k βe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 14 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Výpočet centrujících parametrů podle pravidla LOQO Volbu centrujících parametrů provádíme podle pravidla užitého v softwaru LOQO, které velikost centrujícího parametru počítá na základě odchylky individuálních podmínek komplementarity od jejich průměru (tj. míry duality). PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 15 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Výpočet centrujících parametrů podle pravidla LOQO Volbu centrujících parametrů provádíme podle pravidla užitého v softwaru LOQO, které velikost centrujícího parametru počítá na základě odchylky individuálních podmínek komplementarity od jejich průměru (tj. míry duality). Počítáme tedy ( { σ l = 0.1 min 0.05 1 ξ }) 3 ( { l, 2 a σ k = 0.1 min 0.05 1 ξ }) 3 k, 2 ξ l ξ k kde ξ l = min i N 1 α λ i s i a ξ k = min i N 2 µ i d i β PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 15 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 16 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 16 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie chybu této lineární aproximace trajektorie použijeme ke korekci, která využije i kvadratickou informaci PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 16 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie chybu této lineární aproximace trajektorie použijeme ke korekci, která využije i kvadratickou informaci v každé iteraci musíme vypočítat řešení dvou soustav lineárních rovnic PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 16 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Prediktor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor ( x aff lineárních rovnic 1, xaff 2, xaff J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) 3, λaff, s aff, µ aff, d aff ) je řešením soustavy x aff 1 x aff 2 x aff 3 λ aff s aff µ aff d aff = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 17 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Prediktor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor ( x aff lineárních rovnic 1, xaff 2, xaff J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) 3, λaff, s aff, µ aff, d aff ) je řešením soustavy x aff 1 x aff 2 x aff 3 λ aff s aff µ aff d aff a krok δ aff určíme tak, aby platilo = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 (x aff 1, x aff 2, x aff 3, λ aff, s aff, µ aff, d aff ) F 0 N PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 17 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Výpočet parametrů pro korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vypočítáme, jak by vypadala míra duality, pokud bychom provedli krok ve směru vypočítaném v prediktoru: α aff = ( λ + δ aff λ aff ) T (s + δ aff s aff ) m 1 β aff = ( µ + δ aff µ aff ) T (d + δ aff d aff ) m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 18 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Výpočet parametrů pro korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vypočítáme, jak by vypadala míra duality, pokud bychom provedli krok ve směru vypočítaném v prediktoru: α aff = β aff = ( λ + δ aff λ aff ) T (s + δ aff s aff ) m 1 ( µ + δ aff µ aff ) T (d + δ aff d aff ) Předpovězenou a současnou míru duality použijeme pro odhad centrujícího parametru: ( αaff ) ( ) 3 3 βaff σ l =, σk = α β m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 18 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 λ aff s aff + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 µ aff d aff + σ k βe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 19 / 34

IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 λ aff s aff + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 µ aff d aff + σ k βe 2 a krok δ určíme tak, aby platilo ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) F 0 N. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 19 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Úloha lineární elasticity s daným třením Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Je dálo elastické těleso: Ω R 3, δω = Γ u Γ p Γ c kde na Γ u je předepsáno nulové posunutí, na Γ p je dáno plošné zatížení, na Γ c je jednostranná podpora s počáteční vzdáleností d L (Γ c ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 20 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Diskretizace úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Úlohou je najít u K takové, že kde a Symbol Tv vect je definován jako J (u) = min v K J (v) J (v) = 1 2 vt Kv v T f + g T Tv vect K = {v R n N v d} Tv vect := ( (Tv) 1 R 2, (Tv) 2 R 2,..., (Tv) m2 R 2) T R m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 21 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Duální úloha Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Duální úloha vede na minimalizaci funkcionálu D(x) = 1 2 xt Ax x T b na množině {x = (x T 1, x T 2, x T 3 ) T R m x 1 0, (x 2i, x 3i ) 2 g i, i = 1,..., m 2 } kde N NK 1 d A = BK 1 B T, B = T 1, b = T 1 K 1 T 2 T 2 K 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 22 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Řešení duální úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Předchozí postup vychází z článků Haslinger J, Dostál Z., Kučera R.: An algorithm for the numerical realization of 3D contact problems with Coulomb frictions, Journal of Computational and Applied Mathematics, 164-165, 2004, pp. 387-408 Kučera R.: Convergence rate of an optimal algorithm for minimizing quadratic functions with separable convex constraints, 2007 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 23 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Řešení duální úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Předchozí postup vychází z článků Haslinger J, Dostál Z., Kučera R.: An algorithm for the numerical realization of 3D contact problems with Coulomb frictions, Journal of Computational and Applied Mathematics, 164-165, 2004, pp. 387-408 Kučera R.: Convergence rate of an optimal algorithm for minimizing quadratic functions with separable convex constraints, 2007 V článcích je také uveden algoritmus nazvaný QPC pro řešení problému, založený na metodě aktivní množniny projekci gradientu metodě konjugovaných gradientů PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 23 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 24 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 24 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T Najdeme řešení m soustav rovnic s horní trojúhelníkovou matici L T Z = Y PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 24 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T Najdeme řešení m soustav rovnic s horní trojúhelníkovou matici L T Z = Y Nakonec vypočítáme A = BZ PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 24 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % 162 54 0.29 203 0.07 0.03 45 0.12 0.03 26 900 180 2.08 311 0.68 0.34 50 1.07 0.34 31 2646 378 12.91 347 5.85 3.46 59 7.00 3.26 47 5832 648 53.4 384 27.1 18.1 67 27.0 15.8 59 10890 990 126.2 408 79.7 58.5 73 90.0 60.5 67 18252 1404 361.9 493 246.2 192.5 78 274.0 184 67 28350 1890 809.4 478 620.5 493.0 79 677.6 493.5 73 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 25 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % 162 54 0.29 203 0.07 0.03 45 0.12 0.03 26 900 180 2.08 311 0.68 0.34 50 1.07 0.34 31 2646 378 12.91 347 5.85 3.46 59 7.00 3.26 47 5832 648 53.4 384 27.1 18.1 67 27.0 15.8 59 10890 990 126.2 408 79.7 58.5 73 90.0 60.5 67 18252 1404 361.9 493 246.2 192.5 78 274.0 184 67 28350 1890 809.4 478 620.5 493.0 79 677.6 493.5 73 Co plyne z tabulky PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 25 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % 162 54 0.29 203 0.07 0.03 45 0.12 0.03 26 900 180 2.08 311 0.68 0.34 50 1.07 0.34 31 2646 378 12.91 347 5.85 3.46 59 7.00 3.26 47 5832 648 53.4 384 27.1 18.1 67 27.0 15.8 59 10890 990 126.2 408 79.7 58.5 73 90.0 60.5 67 18252 1404 361.9 493 246.2 192.5 78 274.0 184 67 28350 1890 809.4 478 620.5 493.0 79 677.6 493.5 73 Co plyne z tabulky IPM jsou ve všech případech rychlejší než QPC, ale výpočet matice A v IPM vyžaduje řešit m soustav lineárních rovnic s maticí K, kdežto QPC jich pro větší úlohy vyžaduje mnohem méně PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 25 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % 162 54 0.29 203 0.07 0.03 45 0.12 0.03 26 900 180 2.08 311 0.68 0.34 50 1.07 0.34 31 2646 378 12.91 347 5.85 3.46 59 7.00 3.26 47 5832 648 53.4 384 27.1 18.1 67 27.0 15.8 59 10890 990 126.2 408 79.7 58.5 73 90.0 60.5 67 18252 1404 361.9 493 246.2 192.5 78 274.0 184 67 28350 1890 809.4 478 620.5 493.0 79 677.6 493.5 73 Co plyne z tabulky IPM jsou ve všech případech rychlejší než QPC, ale výpočet matice A v IPM vyžaduje řešit m soustav lineárních rovnic s maticí K, kdežto QPC jich pro větší úlohy vyžaduje mnohem méně z podílu času potřebného pro výpočet A na celkovém času je zřejmé, že IPM nejsou tak dobře škálovatelné jako QPC PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 25 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A 22 + 2M A 23 0 2X 2 A 31 A 32 A 33 + 2M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 26 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A 22 + 2M A 23 0 2X 2 A 31 A 32 A 33 + 2M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D Tuto matici blokově píšeme následovně ( AR B R = R B T R D R ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 26 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A 22 + 2M A 23 0 2X 2 A 31 A 32 A 33 + 2M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D Tuto matici blokově píšeme následovně ( AR B R = R B T R D R ) Řešením soustavy pak vypočítáme x 1, x 2, x 3, λ, µ, zbylé přírůstky s a d pak dopočítáme z eliminovaných rovnic. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 26 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 27 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 27 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 27 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace 3 oba výsledky sečteme PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 27 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace 3 oba výsledky sečteme Iterační metody bez předpodmínění fungují pro matice produkované IPM velmi špatně a pomalu, proto je nutné použít dobré a zároveň výpočetně jednoduché a rychlé předpodmínění. V našem případě budeme k předpodmínění používat matici R R 1. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 27 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro R 1 Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pokud vyjdeme z blokového zápisu ( AR B R = R B T R D R ) tak můžeme matici R 1 užitím Schurova komplementu podmatice A R vyjádřit následovně ( R 1 1 AR A 1 = R B R F A 1 R B R H 1 ) F H 1 kde H = D R B T R A 1 R B R a F = H 1 B T R A 1 R. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 28 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro R 1 Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pokud vyjdeme z blokového zápisu ( AR B R = R B T R D R ) tak můžeme matici R 1 užitím Schurova komplementu podmatice A R vyjádřit následovně ( R 1 1 AR A 1 = R B R F A 1 R B R H 1 ) F H 1 kde H = D R B R T A R 1 B R a F = H 1 B R T A R 1. Při výpočtu IPM nemáme přímo k dispozici matici A a tím ani matici A R. Proto budeme počítat pouze s jejich aproximacemi (resp. s aproximacemi jejich inverzí). PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 28 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici Ã A 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 29 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici Ã A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + Ã (A R A)) ÃR = Ã (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 29 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici Ã A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + Ã (A R A)) ÃR = Ã (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. 3 V každé iteraci IPM vypočítáme také matici H = D R B R T Ã R B R PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 29 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici Ã A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + Ã (A R A)) ÃR = Ã (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. 3 V každé iteraci IPM vypočítáme také matici H = D R B R T Ã R B R 4 V každé iteraci iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic (tj. vnitřní iterace) provádíme předpodmínění maticí R danou předpisem kde F = H 1 B R T Ã R. (ÃR R = ÃRB R F F ) ÃRB R H 1 H 1 (6) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 29 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 30 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. Matici P T KP pak rozdělíme na bloky označené takto ( ) K11 K 12 K 21 K 22 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 30 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. Matici P T KP pak rozdělíme na bloky označené takto ( ) K11 K 12 K 21 K 22 Užitím Schurova komplementu podmatice K 22 dostáváme ze vztahu A = BK 1 B T vyjádření A = B 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) 1 B T 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 30 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet Ã A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 31 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet Ã A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) Pro výpočet Ã A 1 pak použijeme jeden ze vzorců Ã = B 1 1 (K 11 K 12 (diag K 22 ) 1 K 21 ) B T 1 (8a) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 31 / 34

IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet Ã A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) Pro výpočet Ã A 1 pak použijeme jeden ze vzorců Ã = B 1 1 (K 11 K 12 (diag K 22 ) 1 K 21 ) B T 1 (8a) Ã = B 1 ( 1 (K 11 K 12 U11 Ū 12 V 1 ) 1 Ū 21 K 21 ) B T 1 (8b) kde platí V = V 11 V 12 (diag V 22 ) 1 V 21 a kde P 1 resp. P 2 je permutační matice taková ( ) že K 12 P 1 = ( K 12, 0) a P T U11 U 1 K 22 P 1 = 12 U 21 U 22 ( ) resp. U 12 P 2 = (Ū 12, 0) a P T V11 V 2 U 22 P 2 = 12 V 21 V 22 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 31 / 34

Numerické testy iterační metody Nastavení v numerických testech Nastavení v numerických testech Pro numerické testy byly použity úlohy o rozměrech n 162 900 2646 5832 10890 18252 28350 m 54 180 378 648 990 1404 1890 Tolerance pro vnější řešič je nastavena 10 14 pro velikosti residuí KKT a 10 17 pro podmínky komplementarity. Jako vnitřní řešič byla použita metoda předpodmíněných konjugovaných gradientů. Všechny testy byly provedeny na počítači s procesorem P4, 2.8 GHz a s 1GB paměti. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 32 / 34

Numerické testy iterační metody Podíl částí výpočtů na celkovém čase Náročnost jednotlivých částí výpočtu PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 33 / 34

Numerické testy iterační metody Srovnání IPM s iteračním řešičem a QPC Srovnání IPM s iteračním řešičem a QPC PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen 2008 34 / 34