Tento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy,

Úvodem ento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy, určený především (ale nejen) studentům Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze. Při sepisování textu kladu důraz především na významné aspekty probírané teorie, a to i za cenu jisté slevy z rigorozity a obecnosti. a je vyžádána hned několika důvody: jednak prerekvizitní kurzy nekladou dostatečný důraz na související teorii, zejména na součinové prostory, Radonovu-Nikodýmovu derivaci atd. Zadruhé, a to především, cílem semináře je relativně rychlé seznámení s problematikou stochastické analýzy a stochastických diferenciálních rovnic s tím, že případní zájemci si další aparát doplní bud samostudiem, nebo, v případě širšího zájmu, nějakým navazujícím, plně rigorozním kurzem. ohledem na výše zmíněné bude tento text pojednávat zejména o stochastické integraci ve vztahu k Wienerově procesu. yto poznámky, stejně jako průběh semináře, opírají se o zdařilou knihu profesora Øksendala [2003]. Její výklad však není sledován doslova. am, kde jsem uznal za vhodné, Øksendalovo pojetí rozšiřuji nebo jinak upravuji. tudent, který by si chtěl rozšířit zde probíranou problematiku, je tedy odkázán na další (většinou náročnější) literaturu, jejíž seznam je na konci. Při rozvažování, zda text pojmout Landau stylem (striktně definice věta důkaz) nebo spíše výkladovým stylem Halmosovým, přiklonil jsem se více na stranu druhou. Důvodů je opět celá řada, dominuje mezi nimi důsledek výše zmíněného ústupku z rigorozity. Není, dle mého soudu, možné, napsat Landau stylem text zmíněného charakteru. Autor bude vděčný za jakékoliv poznámky, připomínky a korektury textu, nebot ten z podstaty geneze nese nemálo nedokonalostí. Kamil Dedecius 1

1 Úvodní definice Nejprve letmo zopakujeme několik základních definic z teorie míry a pravděpodobnosti. Zájemce o širší popis a souvislosti najde zevrubný výklad teorie v libovolné učebnici pravděpodobnosti. Definice 1. ystém F podmnožin Ω nazýváme σ-algebrou na Ω, pokud (i) F, (ii) F F F C F kde F C = Ω \ F je doplněk množiny F v Ω, (iii) A 1, A 2,... F, pak i i=1 A i F. Dvojice (Ω, F) se nazývá měřitelným prostorem. Zavedeme na něm zobrazení P : F [0, 1], splňující (i) P ( ) = 0, P (Ω) = 1, (ii) pokud A 1, A 2,... F jsou po dvou disjunkní množiny, potom ( ) P A i = P (A i ). i=1 P potom nazveme pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností) na (Ω, F) a trojici (Ω, F, P ) pravděpodobnostním prostorem. ento prostor zřejmě není úplný, lze jej ovšem zúplnit doplněním všech množin G s nulovou vnější mírou, tedy i=1 P (G) := inf {P (F ); F F, G F } = 0. σ-algebra nemusí být dána a priori, k její konstrukci ovšem postačí i libovolný systém A podmnožin Ω. Píšeme potom σ(a) a mluvíme o σ-algebře generované A. Je jednoduché ukázat, že taková algebra je nejmenší ze všech σ-algeber, které A obsahují (cvičení). Vhodným příkladem nejmenší σ-algebry je borelovská σ-algebra, jež je generována všemi otevřenými (nebo ekvivalentně uzavřenými množinami) na R n. Množiny z libovolné σ-algebry nazýváme měřitelnými množinami, v pravděpodobnostním prostoru častěji jevy. Pravděpodobnost P (F ) pro F F potom kvantifikuje tvrzení, že jev F nastal. P (F ) = 1 značí pravděpodobnost skoro jistě, ve zkratce s.j. Zatím co v klasické analýze klademe důraz na původní prostor, v pravděpodobnosti se prostor (Ω, F, P ) většinou nehodí, nebot může obsahovat tak říkajíc kde co. Je tedy vhodné (až nutné) se posunout o úroveň výše, a sice prostřednictvím zobrazení a zavést náhodnou veličinu. Definice 2. Měřitelným zobrazením X : (Ω 1, F 1 ) (Ω 2, F 2 ) kde oba prostory jsou měřitelné nazýváme takové zobrazení, pro něž platí X 1 (F 2 ) F 1, t.j. X 1 (F 2 ) F 1 pro každou množinu F 2 F 2. Zobrazení X : (Ω, F) (R n, B) se nazývá náhodná veličina (pro n = 1) resp. náhodný vektor (n > 1). 2

Podstatnou vlastností měřitelných zobrazení a v našem případě zejména náhodných veličin je, že rovněž generují σ-algebry. σ-algebra F X generovaná náhodnou veličinou X je nejmenší σ-algebra na Ω obsahující všechny množiny X 1 (B) kde B B jsou otevřené. Definice 3. Bud X : (Ω, F) (R n, B) náhodná veličina. Položme pro B B borelovskou množinu µ X (B) = P (X 1 (B)). Potom množinovou funkci µ X : B R, jež je obrazem P při zobrazení X, nazýváme rozdělením (distribucí) veličiny X na (R n, B), stručně rozdělením X. Definice 4. Distribuční funkcí náhodné veličiny X nazýváme funkci F (x) = P (X x) = µ X (, x). Vlastnostmi distribucí a distribučních funkcí se nebudeme dále zabývat, nebot jsou obsahem úvodních kurzů do teorie pravděpodobnosti. Je však vhodné si uvědomit, že distribuční funkce charakterizuje distribuci. Připomeňme jen bez důkazu, že distribuční funkce je neklesající zprava spojitá funkce s limitami 0 resp. 1 v záporném resp. kladném nekonečnu. Definice 5. Hustotou náhodné veličiny X : (Ω, F ) (R n, B) s distribucí µ X vzhledem k dominující (např. Lebesgueově) míře Λ x na (R n, B), splňující µ x Λ x je funkce f = dµ x dλ x. (1) Platí tedy P (X B) = X 1 (B) dp = B fdλ x, kde B B. Existence hustoty (kdy neexistuje?) je zajištěna při splnění předpokladů Radonovou Nikodýmovou derivací. Pokud X(ω) dp (ω) <, potom zavádíme střední hodnotu veličiny X Ω jako funkcionál E[X] = X(ω)dP (ω) = xdµ X (x). (2) Ω R n Připomeňme, že střední hodnota nemusí existovat; příkladem budiž Cauchyho rozdělení. σ-algebry F 1, F 2,... nazveme nezávislými, pokud P (F i1 F in ) = P (F i1 )... P (F in ) pro všechny volby F i F i, i N a i 1,..., i n jsou různá. Náhodné veličiny X 1, X 2,... jsou nezávislé, pokud jimi generované σ-algebry σ(x 1 ), σ(x 2 ),... jsou nezávislé. Ekvivalentně E[XY ] = E[X] E[Y ], za předpokladu, že všechny tyto střední hodnoty existují a jsou konečné. Jevy F 1, F 2,... nazveme nezávislé, pokud σ-algebry {, F i, Fi C, Ω} jsou nezávislé. Analogicky, F i F pro i N jsou nezávislé, pokud P (F 1... F n ) = P (F 1 )... P (F n ). 3

Definice 6. Bud množina a (R n, B) měřitelný prostor. Náhodný proces, indexovaný a nabývající hodnot v (R n, B) je třída měřitelných zobrazení X t : (Ω, F) (E, E), kde (E, E) je měřitelný prostor. Jinými slovy, náhodný (též stochastický) proces X je posloupnost náhodných veličin {X t } t, definovaných na pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, P ). Nabývat může hodnot v libovolném měřitelném stavovém prostoru, my však budeme předpokládat pouze reálné náhodné procesy na R n. Řídící množina je obvykle totožná s intervalem [0, ) (tu budeme uvažovat, nebude-li řečeno jinak), avšak může jít i o jiné množiny, např. o intervaly typu [a, b], množiny celých kladných čísel či dokonce podmnožiny R n pro n 1. Na náhodný proces X = {X t } t můžeme nahlížet třemi způsoby: Jako na posloupnost náhodných veličin X t, jednu pro každý okamžik t. Jako na trajektorii z do R n, jednu pro každé ω Ω. Jako na funkci t X t (ω) (t, ω) X t (ω), ze součinového prostoru Ω R n. Pro lepší intuici je vhodné nahlížet na parametr t jako na čas, zatímco ω představuje částici. X t (ω) (též X(t, ω)) vyjadřuje pozici částice ω v čase t. oto pojetí bude později velmi přirozené pro Wienerův proces (též Brownův pohyb). Významnou vlastností je spojitost náhodného procesu. Definice 7. Říkáme, že náhodný proces X je spojitý s.j., pokud pro všechna ω je funkce t X t (ω) spojitá. Jak bývá v teorii pravděpodobnosti běžné, náš zájem bude především o jevy s nenulovou pravděpodobností. Proto zavedeme dvě užitečné definice, jež nám velmi ulehčí další studium zejména spojitých náhodných procesů. Definice 8. Náhodný proces X nazveme modifikací (též verzí 1 ) procesu Y, pokud má stejný pravděpodobnostní prostor, stejný stavový prostor a množinu a platí P (X t = Y t ) = 1 pro všechna t. Příklad 1. Uvažujme nezápornou náhodnou veličinu ξ se spojitým rozdělením a dva procesy X t = 0, (3) { 0 pro ξ t, Y t = (4) 1 pro ξ = t. Zřejmě Y je modifikací X, avšak jejich trajektorie jsou odlišné! 1 Pozor, např. Revuz and Yor [1999] definují verzi a modifikaci různě! 4

Definice 9. Dva náhodné procesy X a Y na stejném pravděpodobnostním prostoru, se stejným stavovým prostorem a množinou nazýváme nerozlišitelné (též ekvivalentní), pokud P (X t = Y t pro všechna t ) = 1. triktně vzato, mohli bychom uvažovat rovnost procesů X a Y, která by platila pokud X t (ω) = Y t (ω) Pro většinu účelů lze na nerozlišitelné procesy nahlížet jako na shodné (sobě rovné), což by ovšem ve striktním smyslu správně znamenalo X t (ω) = Y t (ω) pro každé ω Ω a t. Další možností, jak pohlížet na případnou shodnost dvou procesů je rovnost v distribuci. Potom X = Y v distribuci značí P (X = A) = P (Y = A) pro všechny množiny, pro něž má tento výraz smysl. V rozumných případech je rovnost v distribuci zajištěna volnější definicí rovnosti konečněrozměrných distribucí. Definice 10. Konečněrozměrná rozdělení procesu X = {X t } t µ t1,...,t k na (R n ) k, k = 1, 2,... takové, že jsou míry µ t1,...,t k (F 1 F 2 F k ) = P (X t1 F 1,..., X tk F k ), i, kde F 1,..., F k jsou borelovské množiny v R n. Není těžké nahlédnout, že je-li proces X modifikací procesu Y, potom jejich konečněrozměrná rozdělení jsou stejná. Následující věta ukáže, že konečněrozměrná rozdělení postačují ke konstrukci náhodného procesu. Věta 1 (Daniellova Kolmogorovova). Necht pro každou uspořádanou k-tici t 1,..., t k, k N jsou dány pravděpodobnostní míry ν t1,...,t k na (R n ) k, splňující následující dvě podmínky konzistence: (i) pro všechny permutace π množiny {1,..., k} a borelovské množiny F 1,..., F k platí ν tπ(1),...,t π(k) (F π(1) F π(k) ) = ν t1,...,t k (F 1 F k ), (5) (ii) ν t1,...,t k (F 1 F k ) = ν t1,...,t k+1 (F 1 F k R n ). Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, F, P ) a náhodný proces X : Ω R n takový, že ν t1,...,t k (F 1 F k ) = P (X t1 F 1,..., X tk F k ) (6) pro všechna t i, k N a F i R n borelovské. Význam podmínek konzistence je vcelku prostý. První z nich říká, že např. pro libovolnou dvojici F a jejího doplňku F C = Ω \ F platí ν 1,2 (F, F C ) = ν 2,1 (F C, F ) a toto platí pro libovolnou konečnou množinu vybranou z a libovolné množiny F i z R n. Podmínka druhá triviálně rozšiřuje pojem konečněrozměrného rozdělení na další rozměry, např. ν 1,2 (F, F C ) = ν 1,2,3 (F, F C, R n ), nebo opačně řečeno, umožňuje restrikci na méněrozměrná rozdělení. Důkaz této věty je technicky náročný, zájemce jej nalezne např. v [Billingsley, 2008, kap. 36], kde jsou k dispozici hned dvě varianty důkazu. tojí za povšimnutí, že obě podmínky konzistence je možné aplikovat na zobrazení míry v následujícím smyslu: 5

Definujme bijekci φ π : (R n ) k (R n ) k, permutující souřadnice ve smyslu Pak zřejmě φ π (x 1,..., x k ) = (x π 1 (1),..., x π 1 (k)). ν tπ(1),...,t π(k) φ 1 π (F 1 F k ) = ν t1,...,t k (F 1 F k ), a tedy ν t1,...,t k = ν tπ(1),...,t π(k) φ 1 π. Podobně můžeme definovat zobrazení φ : (R n ) k+1 (R n ) k, Potom (6) je ekvivalentní k φ(x 1,..., x k, x k+1 ) = (x 1,..., x k ). ν t1,...,t k = ν t1,...,t k+1 φ 1. Zcela přirozeně je potom pro k < m možné definovat funkci Φ : (R n ) m (R n ) k, jež je složenou funkcí φ π a φ a ν t1,...,t k = ν u1,...,u m Φ 1, kde {t 1,..., t k } {u 1,..., u m }. Funkce Φ tedy nejprve permutuje (u π 1 (1),..., u π 1 (m)) = (t 1,..., t k, t k+1,..., t m ) a následně vybere prvních k souřadnic. pojmem konečněrozměrných distribucí nutně souvisí pojem konečněrozměrných množin, zvaných válce. Uvažujme pro každé t zobrazení Z t : (R n ) R n, definované Z t (x) = x t, kde x R n je vektor v (součinovém) stavovém prostoru R n. Z t (x) tedy vybírá pro každé t souřadnici x t. Označme B = σ(z t, t ) σ-algebru generovanou všemi funkcemi Z t, tj. množinami typu {x (R n ) ; Z t (x) F } = {x (R n ) ; x t F }, kde F je prvkem borelovské σ-algebry na R n. Je-li konečná (k-rozměrná), potom je B identická s příslušnou součinovou borelovskou σ-algebrou B k. Definice 11. Bud k N, t i pro i = 1,..., k. Konečněrozměrné množiny válce jsou množiny typu A = {x (R n ) ; (Z t1 (x),..., Z tk (x) F } = {x (R n ) ; (x t1,..., x tk ) F }, F B k. (7) Je zřejmé, že válcem je taková množina, která je tvořena, až na konečně mnoho prvků, κ kopiemi R n, kde κ = card je kardinalita řídící množiny. Věta 2. ystém všech válců (označme B 0 ) je algebrou. 6

Důsledkem této věty je, že B0 generuje cylindrickou σ-algebru B. Připomeňme, že algebra se od σ-algebry liší konečnou aditivitou (ve smyslu uzavřenosti na konečná sjednocení). Důkaz. Jelikož (R n ) \ A = {x (R n ) ; (x t1,..., x tk ) (R n ) k \ A}, je systém uzavřený na doplňky. Uvažujme kromě množiny A, definované (7), množinu B = {x (R n ) ; (x s1,..., x sj ) G} kde G (R n ) j. Označme {u 1,..., u m } = {t i } i=1,...,k {s i } i=1,...,j. Zřejmě, s využitím podmínek konzistence (zvl. funkce Ψ), jsou A, B i jejich sjednocení obsaženy v nějakých množinách v B m. Konstrukce náhodného procesu X s předepsanými konečněrozměrnými marginálními rozděleními a nejvýše spočetnou je Daniellovou Kolmogorovovou větou snadno zajištěna. Uvažme (Ω, F, P ) = (X, B, P ) kde B je příslušná borelovská σ-algebra na X = R n a ztotožněme, jako výše, pro ω = x = {x t } t Ω náhodnou proměnnou X t (ω) = x t. Problém ovšem nastane pro nespočetná, například s mohutností kontinua. Jak bylo ukázáno, je proces sice charakterizován válci, jež jsou v případě cylindrické σ-algebry i měřitelné 2, avšak samotná σ-algebra je značně chudá. Kupříkladu neobsahuje množinu spojitých funkcí C([0, ), R n ) zobrazující [0, ) R n (což některé důležité procesy jsou). Pokud by totiž taková funkce (např. x C) měřitelná byla, musela by být v σ({z t } t ) pro nějakou spočetnou indexovou množinu [0, ). Jenže pak by pro y takové, že Z t (x) = Z t (y) pro všechna t muselo být i y C. ím je dosaženo sporu, nebot existují funkce y, shodné s x na libovolné spočetné množině indexů, avšak s nespojitostmi mimo tuto množinu. Problém spojitosti lze řešit bud prostřednictvím separability, což ovšem vyžaduje jistou znalost topologie a míry, nebo si lze vystačit s kritériem pro existenci spojité modifikace procesu. o zavádí následující věta. Věta 3 (Kolmogorovova věta o spojitosti). Necht náhodný proces X = {X t } t 0 splňuje následující podmínku: pro všechna t, h > 0 existují kladná čísla α, β a D taková, že E [ X t X t+h α ] D h 1+β. Potom existuje modifikace procesu X, jež je spojitá s.j. Pozorný čtenář si zajisté povšimne (nenáhodné) podobnosti s Hölderovou nerovností. Rovněž význam existence modifikace je v svouvislosti s dříve zmíněnými fakty očividný. 2 Wienerův proces Naši konstrukci Wienerova procesu B t (ω) opřeme o Daniellovu Kolmogorovovu větu. Pro pevné x R n definujme pro každé y R n a t > 0 hustotu { } p(t, x, y) = (2πt) n (x y)2 2 exp. 2t 2 Pojem měřitelnosti válců ovšem není triviální! 7

Pro 0 t 1 t 2 t k zavedeme míru ν t1,...,t k na (R n ) k ν t1,...,t k (F 1 F k ) = p(t 1, x 0, x 1 )... p(t k t k 1, x k 1, x k )dx 1... dx k, F 1 F k kde dx 1... dx k reprezentuje Lebesgueovu míru a p(0, x, y)dy = δ x (y) je Diracova míra soustředěná v bodu x. Požadujme dále platnost podmínek konzistence (viz DK věta 1) 3. Podle věty potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, F, P x ) a náhodný proces {B t } t 0 na Ω, jehož konečněrozměrná rozdělení jsou dána předpisem P x (B t1 F 1,..., B tk F k ) = p(t 1, x 0, x 1 )... p(t k t k 1, x k 1, x k )dx 1... dx k. F 1 F k akový proces je verzí Wienerova procesu začínajícího v bodě x 0. Povšimněme si, že P x (B 0 = x) = 1. Obvykle x 0 = 0, viz definice dále. Definice 12. Náhodný proces {B t } t 0 nazýváme Wienerův, pokud platí (i) B 0 = 0 s.j., (ii) zobrazení t B t (ω) je spojitá funkce t 0 pro skoro všechna ω, (iii) přírůstky (B t+h B t ) N (0, h) pro všechna t, h 0, a jsou nezávislé. Obecně platí, že proces je spojitý s.j., pokud zobrazení t X t (ω) je spojité pro skoro všechna ω. Zatímco vlastnosti (ii) a (iii) jsou základní, z vlastnosti (i) lze slevit bez újmy na obecnosti. První dvě vlastnosti totiž definují konečněrozměrné rozdělení, k nimž lze najít spojitou modifikaci, jejíž existence je zajištěna větou 3 volbou α = 4, β = 1 a D = n(n + 2). Pokud budeme požadovat platnost (i), potom mluvíme o standardním Wienerově procesu. Velmi významnou vlastností je vzájemná nezávislost Wienerova procesu v jednotlivých dimenzích. Je-li B t = (B (1) t,..., B (n) t ) R n, potom každý z procesů {Bt} i t 0, i {1,..., n} je samostatným Wienerovým procesem na R 1. Některé z významných vlastností Wienerova procesu, které jej činí obzvláště zajímavým pro studium a aplikaci, jsou: (i) Velká většina tříd zajímavých procesů obsahuje Wienerův proces. ento proces je martingal, normální proces, Markovský proces, difuze, Lévyho proces atd. (ii) Wienerův proces má dostatečně dobré vlastnosti, umožňující provádět většinu úprav relativně snadno analyticky. (iii) Přechod ke složitějším procesům je snazší a často jej lze provést posloupností transformací. 3 Uvědomme si proč platí podmínka druhá. 8

2.1 Wienerův proces je normální proces pojitý proces {X t } t s hodnotami v R je normální (gaussovský), pokud pro libovolné indexy t 1,..., t k je rozdělení vektoru (X t1,..., X tk ) k-rozměrná normální se střední hodnotou µ t = E[X t ] a kovariancí cov(x s, X t ). Obvykle předpokládáme, že µ = 0, čehož lze ale dosáhnout posunutím X t µ t. Ukázat, že {B t } t 0 je normální proces s nulovou střední hodnotou a kovariancí cov(b s, B t ) = s t je snadné (proved te!), stejně jako ukázat platnost opačného tvrzení. o může být výhodné např. pro důkazy. Na čtenáři ponecháme důkaz následujících významných vlastností Wienerova procesu, s výjimkou poslední: (symetrie) Proces { B t } t 0 je rovněž Wienerův. (posunutí) Pro libovolné a 0 je proces {B t+a B t } t 0 Wienerův. (změna měřítka) Pro libovolné c 0 je {cb t/c 2} t 0 Wienerův proces. (časová inverze) Proces { B t } t 0 s vlastnostmi B0 = 0 a B t = tb 1/t pro t > 0 je Wienerův. Důkaz. Důkaz platnosti časové inverze: Požadujeme, aby { B t } t 0 byl normální středovaný proces s cov( B s, B t ) = s t. Zcela jistě je B 1/t je normální proces s nulovou střední hodnotou (konečněrozměrná rozdělení jsou normální), tedy i tb 1/t splňuje tento požadavek. Dále platí cov( B [ ] s Bt ) = E Bs Bt = st( 1 s 1 t ) = s t. 2.2 Nepěkné vlastnosti Wienerova procesu Wienerův proces má řadu,,nepěkných vlastností, jde o příšeru reálné analýzy (angl. monster of real analysis) 4. Navzdory spojitosti nemá nikde derivaci, přesněji řečeno, každé t je bodem kde neexistuje derivace s.j. Změna měřítka potom zajišt uje,,zubatost v každém bodě, narozdíl od diferencovatelných funkcí, které se přiblížením prakticky stávají lineárními. Definice 13. Bud X t : Ω R spojitý náhodný proces a p > 0. Potom p-tou variací tohoto procesu nazýváme X, X (p) t (ω) = lim X tk +1(ω) X tk (ω) p, t k 0 t k <t kde 0 = t 1 < t 2 < < t n = t a t k = t k+1 t k. peciálními případy jsou p = 1 totální variace, 4 Autor textu bude vděčný za informaci, existuje-li jiný, běžně používaný překlad. 9

p = 2 kvadratická variace. Wienerův proces má v důsledku své nediferencovatelnosti nekonečnou totální variaci na každém netriviálním intervalu [t 0, t 1 ], tedy nelze přímo řešit Riemannovy- tieltjesovy integrály typu 0 f(t)db t. Místo toho je nutné uchýlit se ke stochastickému integrálu. Další zvláštností je rekurence Wienerova procesu vrací se do svého výchozího bodu. Množina {t 0 : B t = a} je Cantorovou množinou, tedy neprázdnou uzavřenou množinou neobsahující izolované body ani netriviální množiny. Kvadratická variace je pro Wienerův proces dobře definována, B, B (2) t (ω) = t s.j. Dokážeme si následující tvrzení: Věta 4. ( P sup B t = +, t ) inf B t = t = 1. (8) Důkaz. Označme Z = sup t B t a povšimněme si, že škálování pro libovolné c > 0 zachovává distribuci (dokažte). Platí tedy, že rozdělení veličiny Z je definováno na bodech 0 a +. Potom P (Z = 0) P (B 1 0 ( a současně B τ 0 τ 1) ) = P B 1 0 a současně sup{b 1+t B 1 } = 0 t 0. Podle dříve uvedených vlastností je proces {B 1+t B 1 } t 0 rovněž Wienerův a pro jeho supremum musí platit stejné tvrzení. Z nezávislosti {B τ } τ 1 a {B 1+t B 1 } t 0 plyne P (Z = 0) P (B 1 0) P (Z = 0) = P (Z = 0), 2 tedy P (Z = 0) = 0. Využitím Wienerovské vlastnosti procesu { B t } t 0 je tvrzení dokázáno. 3 Konstrukce stochastického integrálu Předpokládejme, že máme řešit diferenciální rovnici typu dx dt = b(t, X t) + σ(t, X t ) W t, kde b a σ jsou známé funkce a veličina W reprezentuje nedeterministický šum. Jednou z možností, jak se k problému postavit, je diskretizace na síti 0 = t 0 < t 1 < < t m = t, X tk+1 X tk = b(t, X t ) t k + σ(t, X t ) W tk t k, t k = t k+1 t k. Předpokládejme dále, že na W budeme klást následující požadavky: 10

1. W ti W tj pro i j; 2. W je stacionární proces středovaný v 0, E[W t ] = 0 pro všechna t s.j. Potom W tk t k je náhodný proces s nezávislými přírůstky s nulovou střední hodnotou a je možné ukázat, že jediným spojitým procesem s touto vlastností je proces Wienerův B. Jednoduchou úpravou dostáváme k 1 k 1 X tk = X t0 + b(t i, X i ) t i + σ(t i, X i ) B i. (9) i=0 Vrátíme-li se k integrálnímu zápisu s t i 0, vyvstává otázka, zda v nějakém smyslu existuje výraz i=0 X t = X t0 + t b(s, X s )ds + t 0 0 Zaměříme se nyní na poslední člen, tedy σ(s, X s )db s, X t = X t (ω). t 0 f(s, ω)db s, (10) kde B t (ω) je jednorozměrný Wienerův proces a f : [0, ) Ω R. Ukažme nejprve, že riemannovský přístup k integraci nevede k jednoznačnému výsledku. Příklad 2. Bud u [0, 1] a π = {0 = t 0 < t 1 < < t m = t} dělení intervalu [0, t]. Dále označme s i = (1 u)t i + ut i+1 a definujme Potom platí (π) = m 1 i=0 B si ( Bti+1 B ti ). (11) lim (π) = 1 λ(π) 0 2 B2 t 1 2 t + ut v L2 (P ), kde λ(π) = max i (t i+1 t i ) je norma dělení π. Důkaz. Využijeme identity b(a c) = a2 2 c2 2 oučet (11) (v L 2 smyslu) je tedy (a c)2 2 + (b c) 2 + (a b)(b c). (π) = 1 2 B2 t 1 (B ti+1 B ti ) 2 + (B si B ti ) 2 + (B ti+1 B si )(B si B ti ) 2 i i i = 1 2 B2 t 1 t + ut + 0, 2 kde jsme využili vlastnosti Wienerova procesu, zejména nezávislost a varianci přírůstků. 11

Za povšimnutí stojí dva mezní případy a jeden mezilehlý případ: u = 0, vedoucí na lim (π) = 1 2 B2 t 1 2 t a tedy E[lim (π)] = 1 2 t, u = 1, z kterého plyne lim (π) = 1 2 B2 t + 1 2 t a tedy E[lim (π)] = 1 2 t, u = 1 2, z kterého plyne lim (π) = 1 2 B2 t a tedy E[lim (π)] = 0. Pokus o integraci v Riemannově tieltjesově smyslu prostřednictvím součtů tedy selhává na závislosti na volbě bodů v rámci dělení. Definice 14. Filtrací na pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, P ) rozumíme neklesající systém {F t } t sub-σ-algeber F takovou, pro niž platí Dále definujeme F = σ ( t F t). F s F t F, 0 s < t <. (12) Platí, že F je rovněž v F, avšak může být striktně menší. Nejjednodušší volba filtrace je ta, kterou generuje přímo proces. Je-li X náhodný proces, potom získáváme kanonickou (též přirozenou) filtraci jako F X t = σ(x s ; 0 s t). Připomeňme, že σ-algebry je výhodné zúplnit. otéž se týká filtrací. Zúplněná filtrace { F t } obsahuje všechny podmnožiny F-měřitelných množin nulové míry. Definice 15. Říkáme, že náhodný proces X je adaptovaný na filtraci {F t } t, pokud X t je F t -měřitelná náhodná veličina pro každé t. Definice 16. Definujme třídu V = V(, ) funkcí splňujících tyto vlastnosti: f(t, ω) : [0, ) Ω R, (i) (t, ω) f(t, ω) je B F-měřitelné zobrazení a B = B([0, )) je Borelova σ-algebra; (ii) f(t, ω) je F t -adaptované zobrazení; [ ] (iii) E f(t, ω)2 dt <. 4 Itoův integrál Naše konstrukce Itoova integrálu f(t, ω)db t (ω) (tedy vzhledem k Wienerově procesu B t ) bude těsně sledovat Øksendalův postup [Øksendal, 2003]. o umožňuje se v začátcích vyhnout bohaté teorii martingalů. amotný postup je následující: nejprve zavedeme integrál pro jednoduché funkce (to je obdobné k zavedení Lebesgueova integrálu). Následně s pomocí Itoovy izometrie zobecníme na funkce omezené a spojité a konečně slevíme z požadavku spojitosti. Posléze ubereme požadavky na integrovatelnou třídu funkcí, jíž bude pro začátek V. 12

Definice 17. Funkce φ V se nazývá jednoduchou, pokud platí n φ(t, ω) = e j (ω)1 tj,t j+1 (t). (13) j=1 Z vlastnosti φ V zřejmě plyne e j V. Integrál jednoduché funkce pak má tvar n φ(t, ω)db t (ω) = e j (ω) ( ) B tj+1 B tj (ω). (14) kde t k = t (n) k = j=1 k 2 n pro k 2 n [, ], pro k 2 n <, pro k 2 n >. (15) Věta 5 (Itoova izometrie pro jednoduché funkce). Necht φ(t, ω) je jednoduchá omezená funkce. Potom platí ( ) 2 [ ] E φ(t, ω)db t (ω) = E φ(t, ω) 2 dt (16) Důkaz. Bud B j = B tj+1 B tj. Potom { 0 pro i j, E [e i e j B i B j ] = E[e 2 j ](t j+1 t j ) pro i = j. edy ( ) 2 [ ] E φ(t, ω)db t (ω) = E [e i e j B i B j ] = E φ(t, ω) 2 dt. Přechod od integrace jednoduchých funkcí k funkcím spojitým a omezeným z V je zajištěn následující větou. Věta 6. Bud g V omezená funkce spojitá pro každé ω. Potom existuje posloupnost jednoduchých funkcí φ n V takové, že pro n [ ] E (g φ n ) 2 dt 0. Důkaz. Bud θ n (t, ω) = j g(t j, ω)1 [tj,t j+1)(t). Potom φ n jsou elementární (nebot g V) a vzhledem ke spojitosti funkcí g(, ω) pro všechna ω platí (g φ n ) 2 dt 0. Konvergence ve střední hodnotě je důsledkem Lebesgueovy věty o omezené konvergenci (bounded convergence theorem). 13

Věta 7. Bud h V omezená funkce. Potom existuje posloupnost omezených funkcí g n V, spojitých v t pro všechna ω a n a splňujících [ ] E (h g n ) 2 dt 0. Důkaz. Předpokládejme, že h(t, ω) M pro všechny dvojice (t, ω). Pro každé n definujeme na R spojitou nezápornou funkci ψ n s vlastnostmi: ψ n (x) = 0 pro x / ( 1 n, 0) a ψ n (x)dx = 1. Bud dále g n (t, ω) = t 0 R ψ n (s t)h(s, ω)ds. g n (, ω) jsou tedy spojité pro všechna ω a g n (t, ω) M. Z h V plyne jejich F t -adaptovanost. Pro každé ω dále platí (h(s, ω) g n (s, ω)) 2 ds 0 pro n. (17) Omezenou konvergencí dostáváme [ ] E (h(t, ω) g n (t, ω)) 2 ds 0 n 0. (18) Věta 8. Bud f V. Potom existuje posloupnost omezených funkcí h n V takových, že [ ] E (f h n ) 2 dt 0 pro n. Důkaz. Větě zřejmě vyhovují funkce n pro f(t, ω) < n, h n (t, ω) = f(t, ω) pro f(t, ω) [ n, n], n pro f(t, ω) > n. využitím uvedených vět můžeme konečně zadefinovat Itoův integrál. Definice 18. Bud f V. Itoovým stochastickým integrálem nazýváme integrál splňující f(t, ω)db t (ω) = lim φ n (t, ω)db t (ω) (19) n kde konvergence je ve smyslu L 2 (P ), {φ n } je posloupnost jednoduchých funkcí splňujících pro n [ ] E (f(t, ω) ψ n (t, ω)) 2 ds 0. (20) 14

Důsledkem výše uvedeného je obecnější podoba Itoovy izometrie, ( ) 2 [ ] E f(t, ω)db t = E f(t, ω) 2 dt f V. (21) Za předpokladu f, f n V taková, že [ ] E (f n (t, ω) f(t, ω)) 2 dt 0, (n ) platí v důsledku definice 18 pro n f n (t, ω)db t (ω) Příklad 3. tejně jako v příkladu 2 ukážeme, že t 0 f(t, ω)db t (ω) v L 2 (P ). (22) B s db s = 1 2 B2 t 1 t. (23) 2 Důkaz. Nejprve ověřme konvergenci ve střední hodnotě, rov. (20). Bud φ n (s, ω) = j B t j (ω) 1 [tj,t j+1)(s). Potom [ t ] E (φ n B s ) 2 ds 0 = E j = j V důsledku (22) dostáváme Jelikož a tedy t 0 B s db s = tj+1 t j ( ) 2 Btj B ts ds = j 1 2 (t j+1 t j ) 2 0 pro t j 0. t lim t j 0 0 φ n db s = lim t j 0 tj+1 t j B j B tj. B 2 t j = B 2 t j+1 B 2 t j = (B tj+1 B tj ) 2 + 2B tj (B tj+1 B tj ) = ( B tj ) 2 + 2B tj B tj, B tj B tj = 1 2 B2 t 1 ( B tj ) 2. 2 j Z konvergence j ( B j) 2 t v L 2 (P ) pro t j 0 plyne (23). j j (s t j )ds Uved me některé vlastnosti Itoova integrálu. Jejich důkaz je jednoduchý. Věta 9. Bud te f, g V, c R a 0 < U <. Potom platí následující tvrzení: 15

(i) fdb t = U fdb t + U fdb t; (ii) (cf + g)db t = c fdb t + gdb t; [ ] (iii) E fdb t = 0; (iv) db t je F t -adaptovaný proces. Reference Patrick Billingsley. Probability and measure. John Wiley & ons, 2008. Bernt Øksendal. tochastic differential equations. Universitext. pringer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], 6. ed. edition, 2003. Philip Protter. tochastic Integration and Differential Equations, volume 21. pringer, 2004. Daniel Revuz and Marc Yor. Continuous martingales and Brownian motion, volume 293. pringer, 1999. Josef Štěpán. eorie pravděpodobnosti. 1987. 16