Řešení úloh školního kola 6 ročníku Fyzikální olympiády Kaegorie E a F Auoři úloh: J Jírů (1, 1), V Koudelková (11), L Richerek (3, 7) a J Thomas (1, 4 6, 8 9) FO6EF1 1: Grafy pohybu a) Pro závislos dráhy na čase můžeme napsa abulku hodno: /min 3 5 1 15 s/m 54 54 174 34 Z nich pak sesrojíme graf závislosi s s(): s m 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 min 4 body Podobně pro závislos rychlosi na uražené dráze dosáváme abulku a graf závislosi v v(s) v m/s 5 4 3 1 s/m 54 54 54 174 174 34 v/(m/s) 3 3 4 4 5 1 15 5 s m 4 body 1
b) Z grafu závislosi dráhy na čase s s() odečeme, že za prvních 9 minu koloběžkář urazil vzdálenos 1 5 m body Poznámka: U grafů je důležié odlišova čeho na čem nezávislá proměnná ( na čem ) by měla bý vynášena na vodorovné, závislá ( čeho ) na svislé; záměna os by neměla bý hodnocena plným počem bodů FO6EF1 : Vlak na mosě a) Pokud celý vlak přejede přes mos, bude čelo lokomoivy o délku vlaku dále, než je právě konec mosu Na ujeí vzdálenosi od konce mosu do mísa o délku vlaku dále pořebovala lokomoiva právě čas, za kerý vlak projede okolo semaforu, po mosě čelo vlaku přejelo za čas 1 Pro rychlos vlaku ak vychází l v 4 m m/s 7 km/h body 1 1 s 9 s b) Srojvůdce projede po mosě za čas 3 1 1 s 9 s 1 s K výsledku lze dospě i podělením délky mosu l rychlosí v vypočenou v předchozí čási 3 l v 4 m 1 s body m/s c) Pro délku vlaku plaí L v m/s 9 s 18 m body d) Těsně po předjeí bude čelo předjíždějícího vlaku o vzdálenos L před čelem vlaku předjížděného, vzájemná rychlos vlaků bude v v/ v/ 1 m/s Touo rychlosí musí lokomoiva předjíždějícího vlaku uje vzdálenos L, pro čas předjíždění ak získáme 4 L v 4L v 4 18 m 36 s body m/s e) Podobně jako v předchozí čási čelo lokomoivy při míjení ujede vzdálenos L, vzájemná rychlos vlaků bude ale nyní v + v/ 3v/ 3 m/s Pro čas míjení ak vychází 5 L 3v 4L 3v 4 18 m 1 s body 3 m/s FO6EF1 3: Vodní elekrárna Orlík a) Mechanická polohová energie vody mgh se přeměňuje na elekrickou energii s účinnosí η, za čas 1 s se přemění energie vody o hmonosi dané součinem husoy a objemového průoku m ϱv / ϱq Pro výkon jedné urbíny edy plaí P 1 η mhg ϱv hg η ηϱqgh,87 1 kg/m 3 15 m 3 /s 9,8 N/kg 7,5 m 9 16 45 W 9 MW Celkový výkon 4 urbín pak bude P 4P 1 4 9 MW 36 MW Na inerneu (např na sránce hps://wwwsveenergiecz/cz/elekrarny/
vodni-elekrarny/vodni-elekrarny-cez/vodni-elekrarna-orlik) můžeme ověři, že celkový insalovaný výkon elekrárny je 364 MW 5 bodů b) Teno výkon by sačil zásobi energií poče n dobíjených elekromobilů s příkonem P 11 kw n P 36 W 3 77 3 body P 11 W V omo případě má smysl zaokrouhli výsledek spíše dolů c) Za dobu 1 den 4 h plného výkonu dodá elekrárna energii E 1 P 36 W 4 h 8,64 GWh Průměrná roční produkce energie E 398 GWh pak odpovídá poču dní na plný výkon d E 398 GWh 46,65 46 3 body E 1 8,64 GWh Poče dní odpovídá skuečnosi, že elekrárna není určena k sálému dlouhodobému dodávání elekrické energie do síě, ale k pokrývání spořeby ve špičkách odběru FO6EF1 4: Zahřívání bezbarvé kapaliny a) Graf je na obrázku 1a Z grafu odečeme, že eplou 3 C bude mí kapalina po 1 sekundách 3 body C 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 a) τ s C 6 5 4 3 1 Obr 1: K úloze 4 1 3 4 5 6 7 b) τ s b) Prodloužením přímky grafu odhadneme (obr 1b), že po 7 sekundách bude mí kapalina eplou 58 C Výsledek můžeme ověři i výpočem z abulky vidíme, že každých 1 s vzrose eploa kapaliny o 5,7 C, po 7 s ak bude mí eplou 7 18 C + 7 5,7 C 57,9 C 58 C 1 bod c) Zvěšíme-li množsví kapaliny 1,5, edy na 3 g, porose eploa 1,5 pomaleji, rozdíly eplo budou 1,5 menší Dopočíáme hodnoy do abulky: τ/s 1 3 4 5 6 / C 18, 1,8 5,6 9,4 33, 37, 4,8 Graf závislosi eploy na čase je na obr 1b (spodní, modrá úsečka) 3 3 body
d) Proože eplo k ohřáí kapaliny dodává vařič po dobu τ s účinnosí η 8 %, můžeme napsa rovnici ηp τ mc Čas τ můžeme přiom zvoli různě a vybra k němu odpovídající rozdíl eplo, níže volíme τ 6 s, 5, C 18 C 34, C Z předcházející rovnice vyjádříme c ηp τ m,8 6 W 6 s, kg 34, C Zahřívanou kapalinou je zřejmě voda 4 1,5 J/(kg C) 4, kj/(kg C) 3 body FO6EF1 5: Padesáimerový bazén a) Průměrná hloubka bazénu v mělčí čási je H 1 (h 1 + h ) / (1, m + 1,5 m) / 1,35 m, v hlubší čási H (h + h 3 ) / (1,5 m + 4,5 m) / 3, m Objem vody v bazénu bude V l sh 1 + l sh l s (H 1 + H ) 5 m 15 m (1,35 m + 3, m) 1 631,5 m 3 1 6 l 3 body Poznámka: Svislý profil bazénu má var dvou lichoběžníků o výšce l/, při výpoču plochy lze proo vycháze i ze vzorce pro výpoče obsahu lichoběžníka V l sh 1 + h + l sh + h 3 b) Příok vody do bazénu je A 5 lirů/s 1 lirů/s Bazén se ak naplní za dobu τ V 1 631 5 l 163 15 s 45,31 5 h 45 h 1 bod A 1 l/s Poznámka: Objemový průok bývá věšinou označen jako Q V ; aby nedošlo k záměně s eplem, volíme v zadání a řešení označení A c) Teplo pořebné k ohřáí vody je dáno vzahem Q ϱv c 1 kg/m 3 1 631,5 m 3 4 J/(kg C) 1 C 68 51 5 J 69 GJ body d) Označme m 1 hmonos sudené a m hmonos eplé vody Musí plai: m 1 + m m ϱv 1 kg/m 3 1 631,5 m 3 1 631 5 kg 1 6 kg, a aké m 1 c ( 1 ) m c ( ), m 1 (5 C 1 C) m (6 C 5 C), odkud vychází poměr 15m 1 35m, m 1 m 7 3 4
Celkovou hmonos vody m máme rozděli v poměru 3:7, vychází m 1 7 7 + 3 m 7 1 1 6 kg 1 1 kg 1 1 kg, m 3 7 + 3 m 3 1 1 6 kg 48 kg 4 body FO6EF1 6: Dvace isíc mil pod mořem a) Dvace isíc mil ve Vernově pojeí odpovídá vzdálenosi d 4 km 8 km 1 bod Tao vzdálenos odpovídá přibližně dvojnásobku obvodu Země b) Při plném ponoření musí bý hmonos ponorky rovna hmonosi mořské vody o husoě ϱ m 1,8 g/cm 3 1 8 kg/m 3 sejného ( vylačeného ) objemu m ϱ m V 1 8 kg/m 3 1 5 m 3 1 54 kg 1 5 body c) Jesliže nad hladinou vyčnívá 1/1 objemu ponorky, pod hladinou zůsane ponořených zbylých 9/1 objemu Hmonos prázdné ponorky bude rovna hmonosi mořské vody o objemu ponořené čási, akže můžeme psá m 1 9 1 ϱ mv 9 1 m 9 1 1 54 kg 1 387 8 kg 1 4 body d) Rozdíl laků v hloubce a na hladině je dán hydrosaickým lakem mořské vody p hϱ m g 16 m 1 8 kg/m 3 9,8 N/kg 161 19 4 Pa 16 MPa, což odpovídá hodnoě asi 1 59 věší než je normální amosférický lak vzduchu p n 11 35 Pa Podle současných měření je nejvěší známá hloubka oceánu 1 994 m (Marianský příkop v Tichém oceánu), akže do zadané hloubky 16 m se Nauilus na Zemi zřejmě ponoři nemohl K ponoření do akové hloubky se navíc nepoužívají běžné ponorky, ale speciální plavidla odolávající vysokému laku bayskafy (v nich byl proveden sesup ke dnu Marianského příkopu v leech 196 i 1) 3 body e) Pro rychlos výsupu ponorky z hloubky h 1 13 m 13 km za čas 4 min 1/15 h vychází v h 1 13 km 195 km/h 1 15 h km/h Jde o rychlos vysokou (více než 54 m/s) a pro výsup ponorky prakicky nerealizovaelnou; podle Wikipedie např bayskaf Deepsea Challenger, s nímž na dno Marianského příkopu v roce 1 sesoupil americký režisér a amaérský oceánograf James Cameron, vysoupil zpě na hladinu za 7 minu, j rychlosí více než nižší v 1 1 994 m 7 6 s,6 m/s 9,4 km/h, body 5
FO6EF1 7: Nerovnoramenné váhy a) Podle podmínky rovnováhy pro váhy ve vzduchu plaí V 1 ϱ 1 l 1 g V ϱ l g; (1) podobně podle podmínky rovnováhy po záměně ěles a ponoření do vody o husoě ϱ máme V 1 (ϱ 1 ϱ) l g V (ϱ ϱ) l 1 g () Podělením rovnic (1) a () se vykráí neznámé objemy V 1 a V a posupně dosaneme ϱ ϱ 1 l 1 (ϱ 1 ϱ) l ϱ l, (ϱ ϱ) l 1 7 kg/m 3 11 34 kg/m 3 b) Z rovnice (1) vyjádříme V V 1 ϱ 1l 1 ϱ 1 ϱ l ϱ 11 34 kg/m 3 7 kg/m 3 l 1 l ϱ ϱ 1 (ϱ 1 ϱ) (ϱ ϱ) (ϱ 1 ϱ) ϱ 1 (ϱ ϱ) ( 11 34 kg/m 3 1 kg/m 3) ( 7 kg/m 3 1 kg/m 3) 1,3 4 1, ϱ 1 5 bodů (ϱ 1 ϱ) ϱ (ϱ ϱ) ( 11 34 kg/m 3 1 kg/m 3) ( 7 kg/m 3 1 kg/m 3) 5,54 3 5,1 5 bodů FO6EF1 8: Aleický rénink a) Ale musí rychlosí v urazi o vzdálenos d více než renér Vzhledem k renérovi se pohybuje rychlosí v v 1 K renérovi doběhne za dobu d 1 m 1 5 s v v 1 3 m/s 1 m/s Proože renér meziím ušel vzdálenos d 1 v 1 1 1 m/s 5 s 5 m, bude o ve vzdálenosi d d + d 1 1 m + 5 m 15 m od mísa saru a cíle 3 body b) Podruhé ale doběhne renéra za dobu L 4 m s, v v 1 3 m/s 1 m/s j celkem v čase 1 + 5 s + s 5 s od saru Proože renér za uo dobu ujde dalších d v 1 1 m/s s m, bude míso sekání ve vzdálenosi d + d 1 + d 1 m + 5 m + m 35 m od saru a zároveň ve vzdálenosi L (d + d 1 + d ) 4 m 35 m 5 m před cílem Do cíle renér dojde za dalších 3 5 m 5 s, 1 m/s ale za uo dobu uběhne vzdálenos d 3 v 3 3 m/s 5 s 15 m; bude 6
edy v mísě ve vzdálenosi d + d 1 + d + d 3 L 1 m za cílem 3 body c) Návra do mísa saru rvá aleovi dobu 4 d + d 1 15 m 5 s v 3 m/s Trenér je v é době ve vzdálenosi d 4 d+d 1 +v 1 4 1 m+5 m+1 m/s 5 s m Na doběhnuí k němu pořebuje ale dobu 5 d 4 m 1 s; v v 1 3 m/s 1 m/s renér meziím ušel d 5 v 1 5 1 m/s 1 s 1 m, bude edy ve vzdálenosi d 4 + d 5 m + 1 m 3 m od saru Na běh zpě pořebuje ale dobu 6 3 m 1 s, 3 m/s za uo dobu ujde renér opě vzdálenos d 5 1 m a celkem bude ve vzdálenosi d 4 + d 5 m + 1 m 4 m L od saru a dojde ak do cíle V mísě saru a cíle se renér s aleem seká za dobu c 1 + 4 + 5 + 6 1 + 5 5 s + 1 s 3 s Ale za uo dobu uběhl vzdálenos d c v c 3 m/s 3 s 9 m 4 body Úlohu je možné řeši i graficky, příklad možného znázornění je na obr d m 4 d m 4 3 renér ale 3 renér ale 1 1 5 1 15 5 3 s 5 1 15 5 3 s a) K čásem a) a b) b) K čási c) Obr : Grafické řešení k úloze 8 FO6EF1 9: Led ve sklenici a) Vniřní poloměr sklenice r 1 r d 3 mm 1 mm 31 mm 3,1 cm Objem skla vychází jako rozdíl objemů válců o poloměrech r 3 mm 3, cm a r 1 s výškou v 1,5 cm; k omuo rozdílu pak musíme přičís objem válce o poloměru r 1 a výšce d 1 mm,1 cm vořícího vniřní čás dna sklenice Ve výsledku dosáváme V S p ( r r1) v + pr 1 d [ p (3, cm) (3,1 cm) ] 1,5 cm + p (3,1 cm),1 cm 3,81 cm 3 4 cm 3 Hmonos sklenice při husoě ϱ S 5 kg/m 3,5 g/cm 3 poom vychází m S ϱ S V S,5 g/cm 3 3,81 cm 3 59,5 g 6 g 4 body 7
Poznámka: Objem skla V S můžeme vypočía aké jako rozdíl objemu plného válce pr v a vniřního objemu sklenice pr1 (v d), výsledek je pochopielně sejný b) Vniřní objem sklenice je V 1 pr1 (v d) p (3,1 cm) (1,5 cm,1 cm) 313,98 cm 3 31 ml Do sklenice se vejde ješě V V 1 V v 313,98 ml 15 ml 163,98 ml 16 ml vody, můžeme edy přida led o hmonosi vody s ímo objemem (objem ledu bude sice věší, ale led bude díky nižší husoě plava u hladiny a čás ledu vyčníva nad hladinou) o hmonosi m l ϱ v V 1 g/cm 3 163,98 cm 3 163,98 g 16 g body c) Na rozáí ledu o hmonosi m l 163,98 g,163 98 kg je zapořebí skupenské eplo ání L m l l,163 98 kg 33 kj/kg 54,441 kj 54 J Voda o objemu V v 15 ml a husoě ϱ v 1 kg/m 3 1 g/cm 3 má hmonos m v ϱ v V v 1 g/cm 3 15 cm 3 15 g,15 kg při ochlazení na eplou ání může doda eplo Q 1 m v c v ( ),15 kg 4 J/(kg C) (1 C C) 13 3 J 13 kj, sklo při ochlazení na eplou může doda eplo Q m s c s ( ),59 5 kg 1 J/(kg C) (1 C C) 1 49,5 J 1, kj Proože L > Q 1 + Q, eplo dodané vodou a sklem na rozáí veškerého ledu nesačí Proo bude výsledná eploa ve sklenici C a rozaje jen led o hmonosi m Q 1 + Q 13 3 J + 1 49,5 J,43 613 kg 44 g l 33 J/kg Ve sklenici zbude m l m 163,98 g 43,613 g 1,37 g 1 g ledu 4 body FO6EF1 1: Odporový drá a) Připojíme-li mezi body AC zdroj napěí, můžeme obvod překresli podle schémau na obr 3a Proože v horní i dolní věvi jsou rezisory se sejným odporem, bude napěí v obou dvou věvích klesa sejně; z důvodu symerie ak bude mezi body B a D nulové napěí a úhlopříčným vodičem nepoeče proud To znamená, že příomnos úhlopříčného vodiče nemá vliv na celkový odpor mezi body AC a lze ho vynecha, sačí uvažova pouze rezisory s odporem odpovídající sranám čverce Odpor každé věve je 1 Ω 4 Ω Celkový odpor dvou paralelně spojených sejných věví je poloviční, j R AC 1 Ω 3 body b) Nejprve podle Pyhagorovy věy určíme délku úhlopříčky u a + a a a 18 cm 15,74 cm 153 cm Odpor vodiče je přímo úměrný jeho délce, proo odpor úhlopříčného vodiče R u 8
D A A C B R u D B a) b) Obr 3: K úloze 1 C D bude éž věší než odpor R u 1 Ω 16,971 Ω 17 Ω Obvod pak můžeme nahradi zapojením rezisorů podle schémau na obr 3b K předchozímu zapojení o celkovém odporu je paralelně připojen rezisor o odporu R u Celkový odpor poom vychází R BD C R u A R u + R u B 1 Ω 17 Ω 1 Ω + 17 Ω A 7,34 5 Ω 7, Ω 3 body a) b) Obr 4: K úloze 1 D C R u c) Zapojení mezi body AB můžeme názorněji posupně překresli podle schémau na obr 4a a 4b Horní složená věev na obr 4b má odpor R + R u 1 Ω 17 Ω 1 Ω + 1,951 Ω + R u 1 Ω + 17 Ω Celkový odpor pak vychází R AB R 1,951 Ω 1 Ω R 7,758 6 Ω 7,8 Ω 4 body + 1,951 Ω + 1 Ω FO6EF1 11: Experimenální úloha: husoa Úloha je záměrně zadána jako oevřená a neurčuje přesný posup ani použié pomůcky; obojí by měli žáci navrhnou sami a bude zřejmě jiný pro olej a jiný pro polysyren Tabulkové hodnoy husoy jsou přibližně: kámen (žula, křemen): ϱ p 6 kg/m 3 ; pěnový polysyren: ϱ p 3 kg/m 3 15 kg/m 3 ; olej: ϱ o 9 kg/m 3 B 9
FO6EF1 1: Experimenální úloha: radioakivia a) Příklad vyplnění abulky: 1 série série 3 série 4 série 5 série Arimeický průměr Teoreický předpoklad 64 64 64 64 64 64, 64 T 6 3 33 36 9 31, 3 T 17 18 18 15 15 16,6 16 3T 8 8 1 1 8 8,8 8 4T 4 6 5 5 3 4,6 4 5T 3 1, 6T 3 1 1,6 1 7T 1 1,8 8T 1 1,4 9T 1 1,4 1T 1, Z porovnání hodno v posledních dvou sloupcích plyne, že změřený poče poměrně dobře odpovídá eoreické předpovědi 6 bodů Poznámka: Provedením mnohem věšího poču sérií hodů se mnohem více přiblížíme eoreickým hodnoám b) Pro akinium 5 89Ac s poločasem přeměny 1 dní odpovídá 3 dnů řem poločasům přeměny, z původního poču jader zůsane přibližně 1/ 3 1/8 1,5 % 13 % Pro plynný radon 86Rn s poločasem přeměny 3,8 dne odpovídá 3 dnů přibližně poču 3/3,8 7,894 7 8 poločasů přeměny, z původního poču jader zůsane asi 1/ 8 1/56,39 6 %,39 % Pro polonium 18 84Po s poločasem přeměny 3 minuy odpovídá 3 dnů poču 3 4 6/3 14 4 poločasů přeměny, zůsane přibližně 1/ 144 % původního poču jader (j žádné jádro) ve jmenovaeli je ak obrovské číslo, že ani nelze zobrazi na displeji kalkuláoru Pro radium 6 88Ra s poločasem přeměny 1 6 le odpovídá 3 dnů poču 3/ (365 1 6), 51 37, 51 poločasů přeměny, zůsane přibližně 1/ 51,999 96 1 % původního poču jader 4 body 1