Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní tření, kd je velikost třecí síl úměrná rchlosti : r F t r r dr B v B dt 0 m v F F t Potom je nutno přidat tuto sílu k pružné síle oscilátoru. V našem jednorozměrném případě tak vznikne rovnice : d d m k B dt dt Jednoduchými úpravami a použitím standardního označení derivací dostaneme : B k & + & + 0 m m Označme v této rovnici, stejně jako u netlumených kmitů : k m vlastní úhlová frekvence Název vlastní u úhlové frekvence označuje její příslušnost k netlumené sestavě pružina hmotný bod, bez působení brzdicích třecích sil. S touto vlastní frekvencí b ted kmital náš hmotný bod jako netlumený lineární harmonický oscilátor. Dále zavedeme v pohbové rovnici novou konstantu b, která vjadří intenzitu účinku brzdicích sil (je úměrná brzdnému zrchlení : B m b konstanta útlumu A dostaneme tak konečný, nejjednodušší tvar pohbové rovnice : & + b & + 0 pohbová rovnice tlumených kmitů
Je to lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficient. Připomeňme, že každá taková rovnice má partikulární řešení (integrál : C e Přitom C je libovolná (integrační konstanta a α je kořenem tzv. charakteristické rovnice, která vznikne dosazením tohoto řešení do diferenciální rovnice. Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu je pak lineární kombinací n nezávislých partikulárních řešení : C e + C e + C e 3 3 +... Tolik k obecné teorii. Dosaďme nní výše uvedený partikulární integrál do naší diferenciální rovnice a po vkrácení exponencielních výrazů dostaneme charakteristickou rovnici : α + b α + 0 Tato rovnice je kvadratická, můžeme ted hned napsat její standardní řešení : α, b ± b Existují tak dvě partikulární řešení a obecné řešení bude mít tvar : C e + C e O konkrétním tvaru tohoto matematického výrazu pak rozhodne velikost konstant b a : případ malého tlumení ( b < Za této podmínk vznikne pod odmocninou záporný výraz a oba kořen charakteristické rovnice jsou proto komplexní čísla : α, b ± i. b Tento výraz ještě zjednodušíme označením : b úhlová frekvence tlumených kmitů (Důvod tohoto názvu poznáme z dalších řádků. Pak ted bude : α ±, b i. A obecné řešení zapíšeme : C e ( b+ i..t ( b i..t b.t i..t i..t C e + e ( C e + C e +
Vidíme, že toto řešení je také komplexní, má tvar součinu reálného členu a komplexního výrazu v závorce, který ovšem již umíme identifikovat je to komplexní vjádření občejných, netlumených harmonických kmitů s úhlovou frekvencí. Pro vhodnocení skutečných výchlek převedeme raději toto komplexní vjádření na občejnou obecnou sinusovku (stačí vhodně zvolit integrační konstant - viz minulá kapitola Netlumené kmit, strana 9, první reálný člen samozřejmě ponecháme. Vztah pro skutečnou výchlku tlumených kmitů bude mít potom tvar : A e sin( t +ϕ o tlumené kmit I kdž získaný vztah obsahuje funkci sinus, dokonce se standardním tvarem fáze, nemůžeme ho označit jako harmonické kmit, protože před sinem není konstantní amplituda, ale klesající exponenciela, která sinusovku určitým způsobem deformuje. Jestliže b ovšem tlumení neblo příliš vsoké což b se projevilo tak, že hmotný bod b vkonal větší počet výkvů na obě stran, než b se jeho maximální výchlka silně přiblížila k nulové rovnovážné poloze (viz následující obrázek pak bchom takové kmit mohli interpretovat jako kvaziharmonické (přibližně harmonické, které sice mají stálou úhlovou frekvenci, ale proměnnou amplitudu, klesající s časem podle vztahu : A Ae amplituda tlumených kmitů A A e - b t - b t A e sin ( t + φ o t T 3
Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů blo nutno pomocí okrajových podmínek úloh konkrétně vpočítat konstant A a φ v obecné rovnici kmitů (jsou to ted dvě integrační konstant, jako v každém řešení diferenciální rovnice druhého řádu. Nejjednodušší je definovat počáteční podmínk pohbu : nechť například vchýlíme hmotný bod (tj. natáhneme pružinu do nějaké počáteční klidové poloh (například jednotkové a pak ho vpustíme s počáteční nulovou rchlostí - velikosti výchlk a rchlosti hmotného bodu v počátečním (nulovém čase ted budou : (0 o konst. v(0 vo konst. 0 [m] [ m / s ] Nní napíšeme obecnou rovnici pro výchlku : Ae sin( t +ϕo A její derivací určíme vztah pro rchlost : d v A ( b e sin ( t + ϕo + A e cos ( t + dt Do těchto rovnic pak dosadíme stanovenou počáteční výchlku a počáteční rchlost : b.0 o Ae sin(.0 + ϕo Asinϕo b.0 b.0 vo 0 A( b e sin (.0 + ϕo + Ae cos ( b A sin ϕo + A cos ϕ ϕ o.0 + ϕo Dostaneme tak dvě rovnice pro dvě neznámé integrační konstant. Pro jejich řešení platí : A sinϕo tg ϕ o b Goniometrické funkce ovšem neumožňují jednoduché explicitní vjádření integračních konstant, řešme proto jen případ velmi malého tlumení ( b <<, kd můžeme přibližně psát : tg ϕ o >> o π ϕ A Konkrétní vztah pro výchlku pak bude mít jednoduchý tvar : e sin ( t + π Nebo-li : e cos t Ab blo zaručeno velmi malé tlumení pohbu, bl pro znázornění této funkce na předchozím obrázku použit poměr : b 40 :. Z výše uvedeného vztahu pro : b < je dobře vidět, že úhlová frekvence tlumených kmitů je menší než vlastní úhlová frekvence (kterou b měl oscilátor, kdb nebl tlumen. Doba kmitu je ted větší jinak řečeno - tlumené kmitání je pomalejší než netlumené : T π π π b T 4
Běžně používané označení perioda pro T zde není příliš vhodné, protože tlumený pohb vlastně - matematick přesně vzato - není periodický průběh funkce se přece kvůli klesající amplitudě nikd neopakuje. Pozn. : Tlumené kmit jsou ted také pseudoperiodickým pohbem : nulové bod za sebou sice následují po době rovné polovině dob kmitu T, stejně taková je i doba mezi dvěma po sobě následujícími krajními výchlkami, ale například pohb oscilátoru z nulové poloh do krajní výchlk trvá kratší než dobu než pohb z této krajní výchlk zpět do nulové poloh. Brzdicí síla ted kmit harmonického oscilátoru zpomalí a postupně zmenšuje jejich amplitudu. Velikost konstant útlumu b má proto zásadní vliv na vzniklý pohb hmotného bodu. Protože doba kmitu T je periodou funkce sinus, můžeme jednoduše vpočítat poměr dvou po sobě následujících maximálních výchlek na jednu stranu - ted výchlek v časech t a t + T : ( t ( t A e sin( t + ϕo + b.t e + T b.( t T + A e sin( ( t + T + ϕo Tento (bezrozměrný poměr se označuje jako útlum λ a vidíme, že je stejný pro libovolná dvě stejnolehlá maxima - pro daný tlumený oscilátor je ted charakteristickou, konstantní veličinou (stejně jako konstanta útlumu b : ( t + b.t λ e útlum ( t + T Jeho přirozený logaritmus se nazývá logaritmický dekrement δ tlumených kmitů : δ ln λ b T π b logaritmický dekrement Se znalostí těchto veličin je pak možno u daného oscilátoru jednoduše stanovit konstantu útlumu, potřebnou pro vřešení pohbové rovnice (přímé experimentální určení této konstant z její definice totiž jistě není jednoduchou záležitostí - musíme mít prostředk pro měření jak brzdné síl, tak rchlosti tělesa i jeho hmotnosti : Postačí pouze oscilátor rozkmitat a ze změřené period kmitů a z poměru stejnolehlých maxim ihned přímo vpočítáme konstantu útlumu : b δ ln λ T T 5
Jelikož amplituda určuje celkovou mechanickou energii kmitů, je zřejmé, že u tlumených kmitů dochází k postupnému poklesu této energie, v limitě až na nulovou hodnotu, kd kmit vmizí. Úbtek celkové energie je způsoben prací brzdicí síl a tato práce se u třecích sil bez užitku mění na tepelnou energii. Protože viskózní třecí síla, úměrná rchlosti, neovlivní mechanickou energii hmotného bodu (při výpočtu potenciální energie se uvažuje nekonečně pomalý pohb, kd je tato síla nulová, a při výpočtu energie kinetické hraje roli pouze rchlost, můžeme pro stanovení energie tlumených kmitů vužít vztah, odvozený v minulé kapitole pro volně kmitající hmotný bod : p + k m A Do této rovnice pak pouze dosadíme parametr tlumených kmitů jejich úhlovou frekvenci a amplitudu : b.t m A m ( A e m A e Vznikne tak použitelný vztah pro celkovou mechanickou energii tlumeného oscilátoru : b.t m A e energie tlumeného oscilátoru Je dobře vidět, že celková energie tlumeného oscilátoru je exponenciálně klesající funkcí času, limitně se blížící nulové hodnotě, stejně jako výchlka tlumených kmitů. Přitom úbtek celkové energie tlumeného oscilátoru za jednotku času můžeme lehce vpočítat jako časovou derivaci této funkce : d d t d d t b.t b. t ( m A e m A e ( b b Během jedné period kmitů ted dojde ke ztrátě energie o (kladné velikosti : d d t T b T b π 4π b Namísto této veličin se ale úbtek energie tlumených kmitů většinou charakterizuje relativní veličinou kvalita oscilátoru (qualit factor Q, která se definuje jako π násobek podílu střední hodnot celkové energie oscilátoru (v jedné periodě kmitů a ztrát této energie během jedné period kmitů : Q π stř kvalita oscilátoru 6
Po dosazení z předchozí rovnice dostaneme : Q π stř π stř 4π b b stř Velký praktický význam, zejména v elektronice, má případ velmi malého tlumení, kd konstanta tlumení je daleko menší než vlastní frekvence oscilátoru : b << velmi malé tlumení V tomto případě během jedné period se amplituda kmitů a ted i energie zmenší jen nepatrně a proto střední hodnota energie během této period je přibližně rovna okamžité energii (v kterémkoliv místě period : stř A stejně tak frekvence nucených kmitů je přibližně rovna vlastní frekvenci oscilátoru : b Potom ovšem bude : Q b b stř b A pro kvalitu oscilátoru ted dostáváme velmi jednoduchý vztah, který obsahuje pouze základní koeficient z pohbové rovnice : Q b kvalita oscilátoru (při velmi malém tlumení Je zřejmé, že kvalita oscilátoru je potom velmi vsoká : Q b >> A je také dobře vidět rozumný smsl této veličin : oscilátor s vsokou kvalitou Q - musí mít (při dané frekvenci malou konstantu tlumení b - jeho amplituda ted bude s časem klesat jen velmi pomalu a proto takový oscilátor vdrží kmitat velmi dlouhou dobu, než se utlumí. 7
případ silného tlumení ( b > Nní je pod odmocninou kladný výraz a kořen charakteristické rovnice jsou ted reálné a oba dva jsou zřejmě záporné: α, b ± b < 0 A obecné řešení je potom také reálným výrazem : α.t α.t C e + C e silné tlumení Tato funkce jako superpozice (součet dvou záporných exponenciel je monotónně klesající a asmptotick se blíží nulové hodnotě (viz obr.. Vchýlíme-li ted silně tlumený oscilátor, vrací se zvolna zpět do rovnovážné poloh, aniž b překmitnul do opačné výchlk. Takový pohb se nazývá aperiodický. b b > t Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstant, nní to jsou konstant C a C, pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení (tj. jednotková počáteční výchlka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rchlost, které dosadíme do obecné rovnice pro výchlku a do z ní vpočítaného vztahu pro rchlost : α.t α.t C e + C e d α.t v C dt α e + C α e Tak dostaneme : α.0.0 o C e α + C e C + C α.0.0 vo 0 C e α α + C α e C α + C α 8
Řešení těchto dvou rovnic je : C α α α C α α α Dostáváme tak konkrétní vztah pro výchlku, do kterého pak dosadíme zvolenou konstantu útlumu a vlastní úhlovou frekvenci (jsou obsažené v konstantách C a C, viz výše : α α α α. t e + e α α α Pro výpočet křivk v uvedeném grafu bl použit poměr b : 0 : 8. Pro zajímavost můžeme ještě zhodnotit extrémní (limitní případ velmi silného tlumení, kd b konstanta útlumu bla nesrovnatelně větší než úhlová frekvence (b >> - a kd b ted platilo : α b + b α b b b 0 Pak b integrační konstant měl velikost : C α ( b α α 0 ( b C α 0 α α 0 ( b 0 A výchlka hmotného bodu b praktick zůstávala na počáteční hodnotě : α α. t 0.t b.t e α e + e + 0 e α α α α Velmi silné brzdicí síl b ted nedovolil návrat hmotného bodu do nulové poloh (v konečném čase. 3 mezní případ tlumení ( b Za těchto podmínek existuje jediný kořen charakteristické rovnice : α, b A dostaneme ted jediné partikulární řešení : C e Druhé nezávislé partikulární řešení pak muselo být nalezeno zcela jiným matematickým postupem - uvedeme zde pouze výsledek : C t e Lineární kombinací těchto výrazů pak opět vtvoříme obecné řešení diferenciální rovnice pro případ mezního tlumení : C e + C t e ( C + C t e mezní tlumení 9
Výchlka nemění znaménko, pohb je opět aperiodický, funkce však klesá k nule nejrchlejším možným způsobem, jde o tzv. mezní aperiodický pohb (viz obr.. Je to případ nejdokonalejšího tlumení kmitavého pohbu. Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstant C a C, pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení, tj. jednotková počáteční výchlka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rchlost, které dosadíme do obecné rovnice pro výchlku a do z ní vpočítaného vztahu pro rchlost : ( C + C t e d b. t v ( C + C t ( b e + C e ( C b ( C + C t e dt Tak dostaneme opět dvě rovnice, pro počáteční výchlku : b.0 o ( C + C 0 e C A pro počáteční rchlost : b.0 vo 0 C b( C + C 0 e C ( bc Řešení těchto dvou rovnic je : C b C b C Konkrétní vztah pro výchlku, znázorněnou na obrázku, je ted : ( + b e Z obrázku vidíme, že zmenšení konstant tlumení z původní již relativně dosti malé hodnot b 0 / 8 na hodnotu právě rovnou vlastní úhlové frekvenci, tj. b, skutečně vede k výrazně rchlejšímu poklesu výchlk. Další zmenšení brzdicích sil b pak již způsobilo překmit výchlk na druhou stranu - a ted b došlo ke vzniku kmitavého pohbu podle bodu. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (konec kapitol K. Rusňák, verze 0/005, rev. 04/006, 0/008 vzorová řešení pohbové rovnice pro všechn tři případ kmitů, určení integračních konstant, nové graf, výpočet celkové energie oscilátoru, zavedení útlumu, log. dekrementu a kvalit oscilátoru 0