WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA. Matematika MATURITNÍ OTÁZKY

WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA Matematika MATURITNÍ OTÁZKY Ostrava 2008 Tomáš Vejpustek

OBSAH 1 Obsah 1 Výrazy a jejich úpravy 8 1.1 Mocniny a odmocniny........................ 8 1.1.1 Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích.... 8 2 Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy 9 2.1 Lineární funkce............................ 9 2.2 Absolutní hodnota.......................... 9 2.3 Soustava lineárních rovnic...................... 9 2.4 Lineární nerovnice.......................... 10 2.5 Lineárně lomené funkce....................... 11 3 Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy 12 3.1 Absolutní hodnota.......................... 12 3.2 Řešení kvadratické rovnice...................... 12 3.3 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic............ 13 3.4 Kvadratické nerovnice........................ 13 4 Shodná a podobná zobrazení 14 4.1 Shodná zobrazení........................... 14 4.1.1 Identita............................ 14 4.1.2 Osová souměrnost...................... 14 4.1.3 Středová souměrnost..................... 15 4.1.4 Posunutí............................ 15 4.1.5 Otočení............................ 15 4.1.6 Analyticky.......................... 15 4.1.7 Využití............................ 16 4.2 Homotetie............................... 16 4.2.1 Stejnolehlost kružnic..................... 16 5 Funkce, binární relace 17 5.1 Funkce................................. 17 5.1.1 Zadání............................. 17 5.1.2 Souměrnost.......................... 18 5.1.3 Periodicita.......................... 18 5.2 Okolí bodu.............................. 18 5.3 Monotónnost a extrémy....................... 18 5.4 Inflexe................................. 19 5.5 Spojitost funkce........................... 19 5.5.1 Spojitost v intervalu..................... 19 5.5.2 Věty o spojitosti....................... 20 5.6 Limita funkce............................. 20 5.6.1 Nevlastní limita....................... 20 5.6.2 Limita v nevlastním bodě.................. 21 5.6.3 Nevlastní limita v nevlastním bodě............. 21

OBSAH 2 5.6.4 Věty o limitě......................... 21 5.6.5 Výpočet limity........................ 22 5.7 Inverzní funkce............................ 22 5.7.1 Binární relace......................... 22 5.8 Derivace................................ 23 5.8.1 Věty o derivaci........................ 23 5.8.2 L Hospitalovo pravidlo.................... 23 5.9 Primitivné funkce a neurčitý integrál................ 24 6 Trojúhelník a čtyřúhelník 25 6.1 Trojúhelník.............................. 25 6.1.1 Trojúhelníková nerovnost.................. 25 6.1.2 Dělení trojúhelníků...................... 26 6.1.3 Střední příčka......................... 26 6.1.4 Výška............................. 26 6.1.5 Těžnice............................ 26 6.1.6 Kružnice opsaná a vepsaná................. 27 6.1.7 Sinová věta.......................... 27 6.1.8 Cosinová věta......................... 27 6.1.9 Obvod a obsah........................ 27 6.2 Rovnoramenný trojúhelník...................... 28 6.3 Čtyřúhelník.............................. 28 6.3.1 Tětivový čtyřúhelník..................... 28 6.3.2 Tečnový trojúhelník..................... 28 6.3.3 Rovnoběžník......................... 29 6.3.4 Lichoběžník.......................... 29 6.3.5 Deltoid............................ 29 6.4 Mnohoúhelník............................. 29 7 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel 30 7.1 Zavedení komplexních čísel..................... 30 7.2 Rovnice vyššího stupně........................ 30 7.2.1 Hornerovo schéma...................... 31 7.2.2 Rovnice s racionálními kořeny................ 31 7.2.3 Bikvadratická rovnice.................... 31 7.2.4 Reciproké rovnice....................... 32 7.2.5 Viètovy vzorce........................ 32 7.3 Odmocnění komplexního čísla.................... 32 8 Obor komplexních čísel 33 8.1 Zavedení komplexních čísel..................... 33 8.1.1 Gaussova rovina....................... 33 8.2 Goniometrický tvar.......................... 34 8.3 Operace s komplexními čísly..................... 34 8.3.1 Geometrická inerpretace................... 34 8.3.2 Moivrova věta........................ 34

OBSAH 3 8.4 Binomická rovnice.......................... 35 9 Logaritmické, exponenciální a goniometrické fce 36 9.1 Exponenciální funkce......................... 36 9.1.1 Exponenciální rovnice.................... 36 9.2 Logaritmická funkce......................... 37 9.2.1 Argument........................... 37 9.2.2 Logaritmické rovnice..................... 38 9.3 Logaritmické a exponenciální nerovnice.............. 38 9.4 Goniometrické funkce........................ 38 9.4.1 Goniometrické rovnice.................... 39 10 Kružnice, oblouk, kruh, kulová plocha, elipsa 41 10.1 Kružnice................................ 41 10.1.1 Analytické vyjádření..................... 41 10.1.2 Obvodový a středový úhel.................. 42 10.2 Kulová plocha............................. 42 10.3 Elipsa................................. 42 10.3.1 Analytické vyjádření..................... 42 10.4 Poloha přímky............................ 43 10.4.1 Tečna kružnice........................ 43 10.4.2 Tečná rovina kulové plochy................. 43 10.4.3 Tečna elipsy.......................... 43 10.5 Mocnost bodu ke kružnici...................... 43 11 Parabola 44 11.1 Analytické vyjádření......................... 44 11.2 Parabola jako graf kvadratické funkce............... 45 11.3 Parabola a přímka.......................... 45 11.3.1 Tečna paraboly........................ 45 11.3.2 Ohniskové vlastnosti..................... 46 12 Hyperbola 47 12.1 Analytické vyjádření......................... 47 12.2 Hyperbola a přímka......................... 48 12.2.1 Tečna hyperboly....................... 48 12.2.2 Asymptoty.......................... 48 12.2.3 Ohniskové vlastnosti..................... 48 13 Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin 49 13.1 Omezené útvary........................... 50 13.2 Průsečík a průsečnice......................... 50 13.3 Rovnoběžnost............................. 51 13.4 Mimoběžnost............................. 51 13.5 Volné rovnoběžné promítání..................... 52 13.5.1 Osová afinita......................... 52

OBSAH 4 13.5.2 Středová kolineace...................... 52 14 Metrické vlastnosti bodů, přímek a rovin 53 14.1 Teorie míry.............................. 54 14.2 Odchylka............................... 54 14.2.1 Kolmost............................ 55 14.3 Vzdálenost.............................. 55 14.3.1 Vzdálenost analyticky.................... 55 15 Vektor 57 15.1 Vektorový prostor.......................... 57 15.2 Lineární závislost........................... 57 15.3 Lineární kombinace vektorů..................... 58 15.4 Souřadný systém........................... 58 15.5 Operace s vektory.......................... 58 15.5.1 Velikost vektoru....................... 58 15.5.2 Skalární součin........................ 58 15.5.3 Vektorový součin....................... 59 15.5.4 Smíšený součin........................ 59 15.6 Normálový vektor.......................... 59 16 Parametr rovnice a nerovnice, jejich soustavy 60 16.1 Rovnice s parametrem........................ 60 16.2 Nerovnice s parametrem....................... 61 16.3 Parametrické systémy funkcí..................... 61 17 Objemy hranatých i rotačních těles, obsah 62 17.1 Teorie míry.............................. 62 17.2 Obsah................................. 63 17.3 Primitivné funkce a neurčitý integrál................ 63 17.4 Určitý integrál............................ 63 17.5 Integrační metody.......................... 64 17.5.1 Substituce........................... 64 17.5.2 Per partes........................... 65 17.5.3 Racionální lomené funkce.................. 65 17.5.4 Nevlastní integrál....................... 66 17.6 Objem................................. 66 17.7 Další využití určitého integrálu................... 66 18 Věty Thaletova, Pythagorova a Euklidovy 67 18.1 Thaletova věta............................ 67 18.2 Pythagorova věta........................... 67 18.2.1 Obrácená věta........................ 68 18.2.2 Velká Fermatova věta.................... 68 18.3 Euklidovy věty............................ 69 18.3.1 Euklidova věta o výšce.................... 69

OBSAH 5 18.3.2 Euklidova věta o odvěsně.................. 69 19 Kombinatorika 70 19.1 Základní pravidla kombinatoriky.................. 70 19.2 Faktoriál................................ 70 19.3 Kombinační číslo........................... 70 19.3.1 Vlastnosti kombinačního čísla................ 70 19.3.2 Pascalův trojúhelník..................... 71 19.3.3 Binomická věta........................ 71 19.4 k-členné skupiny........................... 71 19.4.1 Variace............................ 71 19.4.2 Permutace bez opakování.................. 72 19.4.3 Permutace s opakováním................... 72 19.4.4 Kombinace.......................... 72 19.5 Dirichletův princip.......................... 72 20 Pravděpodobnost a statistika 73 20.1 Klasická pravděpodobnost...................... 73 20.1.1 Sjednocení jevů........................ 74 20.1.2 Nezávislost jevů....................... 74 20.1.3 Bernoulliho schéma...................... 74 20.1.4 Podmíněná pravděpodobnost................ 74 20.1.5 Úplná pravděpodobnost................... 75 20.2 Geometrická pravděpodobnost................... 75 20.3 Statistika............................... 75 20.3.1 Popisná statistika...................... 75 20.3.2 Dvourozměrná statistika................... 77 21 Posloupnost 78 21.1 Určení posloupnosti......................... 78 21.2 Vlastnosti posloupností....................... 78 21.3 Aritmetická posloupnost....................... 79 21.4 Geometrická posloupnost...................... 80 21.4.1 Úrokování........................... 80 21.5 Limita posloupnosti......................... 80 21.5.1 Věty o limitách........................ 81 21.6 Nekonečná řada............................ 81 21.6.1 Nekonečná geometrická řada................ 82 21.7 Eulerovo číslo............................. 82 22 Základy diferenciálního počtu 83 22.1 Okolí bodu.............................. 83 22.2 Monotónnost a extrémy....................... 83 22.3 Inflexe................................. 84 22.4 Spojitost funkce........................... 84 22.4.1 Spojitost v intervalu..................... 84

OBSAH 6 22.4.2 Věty o spojitosti....................... 84 22.5 Limita funkce............................. 85 22.5.1 Nevlastní limita....................... 85 22.5.2 Limita v nevlastním bodě.................. 86 22.5.3 Nevlastní limita v nevlastním bodě............. 86 22.5.4 Věty o limitě......................... 86 22.5.5 Výpočet limity........................ 87 22.5.6 Asymptota funkce...................... 87 22.6 Derivace................................ 87 22.6.1 Věty o derivaci........................ 88 22.6.2 L Hospitalovo pravidlo.................... 88 22.6.3 Derivace elementárních funkcí................ 88 22.6.4 Fyzikální význam....................... 89 22.7 Průběh funkce............................ 89 22.7.1 Monotónnost......................... 90 22.7.2 Inflexe............................. 90 22.7.3 Postup............................. 90 23 Výroková logika, důkazové metody 91 23.1 Složený výrok............................. 91 23.2 Predikát................................ 92 23.3 Úsudek................................ 92 23.4 Matematické důkazy......................... 92 23.4.1 Přímý důkaz......................... 93 23.4.2 Nepřímý důkaz........................ 93 23.4.3 Důkaz sporem........................ 93 23.4.4 Matematická indukce.................... 93 24 Množiny číselné a bodové 94 24.1 Mohutnost množiny......................... 94 24.2 Množinové operace.......................... 95 24.3 Grupa................................. 96 24.4 Číselné obory............................. 96 24.4.1 Přirozená čísla N....................... 96 24.4.2 Celá čísla Z.......................... 97 24.4.3 Racionální čísla........................ 97 24.4.4 Reálná čísla.......................... 98 24.4.5 Interval............................ 98 24.5 Vennovy diagramy.......................... 98 25 Užití trigonometrie ve slovních úlohách 99 25.1 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi.............. 99 25.2 Sinová věta.............................. 100 25.3 Cosinová věta............................. 100 25.4 Obsah trojúhelníka.......................... 101 25.5 Poloměry kružnic........................... 102

OBSAH 7 26 Platónská tělesa 103

1 VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY 8 1 Výrazy a jejich úpravy Vzorce (a+b) 2, (a+b) 3, a 2 b 2, a 3 +b 3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti logaritmů, vztahy mezi goniometrickými funkcemi, slovní úlohy na sestavování výrazů. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, logaritmickými a exponenciálním funkcemi jsou v otázce zabývající se těmito funkcemi. Dělení mnohočlenů a polynomy viz 7, strana 30 1. Co se týče vzorců typu (a+b) n binomická věta v kombinatorice. a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Není moc co dokazovat prostě to roznásobte... 1.1 Mocniny a odmocniny Níže uvedená definice není úplná, pro záporná čísla se musí dodefinovat dělením, pro racionální odmocněním. Pro definici na reálná čísla lze použít limita. a } a a {{ a a } b = a b, b N Odmocňování je opačná operace k umocňování. Zatímco liché umocňování zachovává znaménko a tudíž je zachovává i liché odmocňování, sudé odmocňování je nezachovává: x 2k = ( x) 2k, k N Proto v argumentu sudé odmocniny nemůže být záporné číslo 2 a odmocnina kladného čísla má vždy dva výsledky ( 0 = 0): x2 = a x = a x = ±a 1.1.1 Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích Umocnění celé rovnice je neekvivalentní úprava, je tedy nutné provést zkoušku, která vyřadí pirátské kořeny. Iracionální nerovnici můžeme umocnit pouze, jsou-li obě její strany nezáporné. 1 Komu se chce používat složité dělení, když existuje Hornerovo schéma... 2 Komplexní čísla...

2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 9 2 Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez; vlastnosti lineárních funkcí rostoucí, klesající, konstantní, omezená, intervaly, definiční obor, obor hodnot funkce, užití ve slovních úlohách. Nevím, proč mi to příjde neskutečně primitivní. Pozor na příklady. 2.1 Lineární funkce f(x) = kx + q, D f = R, H f = R Kde q R, k R. Grafem je přímka, přičemž k je její směrnice (k = tg ϕ). Není omezená, je monotónní a je zároveň konvexní i konkávní. Je prostá. Monotónnost: rostoucí pro k R + klesající pro k R V každém bodě je spojitá a má derivaci. Speciálním případem je přímá úměrnost, pro q = 0, která je lichá. Pro její kořen platí: x = q k 2.2 Absolutní hodnota Absolutní hodnota celé funkce (f(x) = kx + q ) zobrazí její část pod osou x souměrně podle této osy, absoulutní hodnota argumentu (f(x) = k x +q) ji činí souměrnou podle podle osy y. Rovnice s absolutní hodnotou řešíme nalezením nulového bodu, ve kterém je nulová, a rozdělením na intervaly. 2.3 Soustava lineárních rovnic Pro více proměnných má lineární funkce tvar: f(x 1, x 2,..., x n ) = n k i x i + q Předvedu jak řešit soustavu linárních rovnic pomocí matice, ostatní metody jsou primitivní. Abychom mohli jednznačně určit kořeny, potřebujeme n rovnic, přičemž žádné dvě nejsou svou lineární kombinací (když máme vektor f 1 (k 1 ; k 2 ;... ; k n ) = cf 2 (l 1 ; l 2 ;... ; l n )). Lineární funkce můžeme zapsat do matice: i=1

2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 10 k 11 k 12... k 1n q 1 k 21 k 22... k 2n q 2....... k n1 k n2... k nn q n Přičemž ji lineárními kombinacemi řádkových vektorů (ke každému řádku můžeme přičíst násobek jiného řádku), upravíme na Gaussův tvar (tj. pod hlavní diagonálou a ii budou nuly). Pokud má matice menší hodnost než maximální (dáno počtem řádků původní matice), má nekonečně mnoho nebo nula kořenů. Záleží na hodnosti matice doplněné o poslední sloupec. Pokud je stejná, zvolíme jeden kořen jako parametr. Pokud je větší, kořeny neexistují. V tomto tvaru zjistíme x n. Další kořeny zjišťujeme zpětným dosazováním nebo eliminací prvků nad hlavní diagonálou. Mějme soustavu rovnic: x + 3y + 2z = 5 2x + y + 3z = 4 x + 7y + 2z = 7 Převedeme na matici a upravíme do Gaussova tvaru: 1 3 2 5 1 3 2 5 2 1 2 4 0 5 2 6 1 7 2 7 0 10 4 12 Je jasné, že poslední dva řádkové vektory jsou svou lineární kombinací a matice i doplněná matice mají stejnou hodnost. Proto zvolíme z R. Zpětným dosazením: 2(z 3) 5y 2z = 6 y = 5 x 6 + 3 (z 3) + 2z = 5 x = 4z 5 5 Kořeny rovnice tedy jsou: {[ K = 2.4 Lineární nerovnice 4z + 3 ; 5 ] } 2(z 3) ; z : z R 5 Určuje binární relaci polorovinu pod nebo nad přímkou.

2 LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 11 2.5 Lineárně lomené funkce S x ve jmenovateli. Všeobecně je to podíl dvou lineárních funkcí: f(x) = k { 1x + q 1, D f = R \ q } { } 2 k1, H f = R \ k 2 x + q 2 k 2 k 2 Pokud nejsou funkce lineárně závislé, je její kořen q1 k 1. Vhodnou úpravou lzou převést na tvar: f(x) = a { kx + q + b, D f = R \ q }, H f = R \ {b} k Grafem je hyperbola. Asymptoty jsou dány přímkami x = k q je pak jejich průsečíkem. Je prostá. Dělí se na dvě větve: ( ) levou x ; k q ) pravou x ( kq ; a y = b. Střed Pokud a k > 0, jsou větve klesající, levá je konkávní a v posunutém třetím kvadrantu a pravá konvexní a v posunutém prvním kvadrantu. Pokud a k < 0, jsou větve rostoucí, levá je konvexní a v posunutém druhém kvadrantu a pravá konkávní a v posunutém čtvetém kvadrantu.

3 KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 12 3 Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez, vlastnosti kvadratických funkcí, rostoucí, klesající, omezená, definiční obor a obor hodnot funkce, vlastnosti kořenů, soustavy lineárních a kvadratických rovnic, extrémy funkce s užitím diferenciálního počtu, slovní úlohy. f(x) = ax 2 + bx + c, a R, D f = R Grafem je parabola. Její vrchol a tedy globální extrém můžeme určit úpravou na čtverec nebo derivací, je tedy omezená. Monotónní je pouze na intervalech a má jednotnou inflexi. Na celém svém definičním oboru je spojitá a má na něm derivaci. Není prostá a pokud b = 0, je sudá. Rozlišujeme dva typy: a R + Vrchol je globální minimum, je tedy omezená zespoda. V intervalu ( ; x V ) je klesající, v jeho doplňku rostoucí. Je konvexní. a R Vrchol je globální maximum, je tedy omezená shora. V intervalu ( ; x V je rostoucí, v jeho doplňku klesající. Je konkávní. Můžeme říci, že hodnota a určuje rychlost růstu paraboly, hodnota b posunutí rovnoběžně s osou prvního a třetího kvadrantu a c posunutí rovnoběžné s osou x. 3.1 Absolutní hodnota Absolutní hodnota celé funkce zobrazí její část pod osou x souměrně podle této osy. Na člen druhého stupně nemá vliv ( x 2 = x 2 ) a absolutní hodnota prvního členu ji činí souměrnou podle osy y. Řešením je rozdělení intervalů podle nulových bodů (tj. bodů, kde argument absolutní hodnoty je nulový). 3.2 Řešení kvadratické rovnice Kromě rozložení na součin kořenových činitelů (a(x x 1 )(x x 2 )) lze použít pro rovnici v normovaném tvaru (a = 1) Viètovy vzorce, které odpovídají tomuto rozložení: x 2 + px + q = 0, x 1 + x 2 = p, x 1 x 2 = q Univerzálním postupem je řešení pomocí dikriminantu: D = b 2 4ac Podle hodnoty diksriminantu rozeznáváme: D > 0 Dva rozdílné reálné kořeny funkce protíná osu x ve dvou bodech.

3 KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY 13 D = 0 Jeden dvojnásobný reálný kořen funkce se osy x dotýká. D < 0 Žádný reálný kořen 3 funkce osu x neprotíná, platí tedy: f(x) R + a R + f(x) R a R Pro D 0 jsou pak kořeny rovnice: x 1,2 = b ± D 2a Kořeny jsou vždy souměrné podle vrcholu. 3.3 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic Pro dvě proměnné má kvadratická funkce tvar: f(x; y) = ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f Soustava s lineárními rovnicemi se typicky řeší vyjádřením jedné proměnné z lineární rovnice a jejím dosazením do rovnice kvadratické. 3.4 Kvadratické nerovnice Určují binární relaci, část roviny, která je pod nebo nad křivkou. 3 Viz komplexní čísla.

4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 14 4 Shodná a podobná zobrazení Definice, vlastnosti, konstrukční úlohy s užitím shodných a podobných zobrazení, skládání shodných zobrazení, řešení metodami analytické geometrie, stejnolehlost definice, aplikace. Zobrazení je předpis, kterým se přiřazuje každému prvku jedné množiny jednoznačně prvek jiné množiny. V geometrii je zobrazení předpis, který přiřazuje každému bodu v daném prostoru (například rovině) jiný bod tohoto prostoru. Samodružným bodem (také invariantním) vzhledem k danému zobrazení nazýváme bod, který se zobrazí sám na sebe. Samodružným útvarem rozumíme ten, který se zobrazí sám na sebe. Může být samodružný bodově, kdy je každý jeho bod samodružný, nebo jen útvarově. Pokud máme dvě zobrazení A B a B C, rozumíme složením zobrazení A C. 4.1 Shodná zobrazení Zobrazení, při kterém se všechny míry zachovávají (viz teorie míry). Můžeme je brát jako speciální případ afinních zobrazení, při kterých se zachovává rovnoběžnost. Platí pro ně základní vlastnosti: Složením shodných zobrazení vzniká opět zobrazení. Pro každé shodné zobrazení existuje inverzní shodné zobrazení, přičemž složením zobrazení s jeho inverzním zobrazením vzniká identické zobrazení (viz níže). Shodné zobrazení a zobrazení k němu inverzní jsou vždy stejného typu. Budeme projednávat především shodná zobrazení v rovině. 4.1.1 Identita Speciální případ shodného zobrazení, kdy jsou všechny body samodružné. Jedná se tedy o zobrazení, které přiřazuje každému prvku množiny tentýž prvek. 4.1.2 Osová souměrnost A A Osová souměrnost je dána přímkou (osou), jejíž body samodružné. Vzor a obraz bodu jsou od osy stejně vzdálené, přičemž jejich pravoúhlý průmět na osu je shodný. Proto jsou také všechny přímky kolmé na osu samodružné. O(o) : A A, o o

4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 15 Osová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme osově souměrným, pokud se v nějaké osové souměrnosti zobrazí sám na sebe. V rovině převrací orientaci útvarů jedná se tedy o nepřímé zobrazení. Osové zobrazení je výjimečné tím, že z konečného počtu osových souměrností lze v rovině složit všechna shodná zobrazení. Pak obecně platí, že zobrazení složená ze sudého počtu osových souměrností jsou přímá, z lichého nepřímá. 4.1.3 Středová souměrnost Středová souměrnost je dána bodem (středem), který je samodružný. Vzor a obraz bodu leží na opačných polopřímkách ze středu, ve stejné vzdálenosti od něj. Všechny přímky procházející středem jsou samodružné. S(S) : A A, S S Středová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme středově souměrným, pokud se v nějaké souměrnosti zobrazí sám na sebe. Lze ji složit ze dvou kolmých osových souměrností, kde {S} = o 1 o 2, nebo ji lze brát jako otočení o π kolem daného středu. 4.1.4 Posunutí Také translace. Je dáno vektorem posunutí prakticky tedy v souřadném systému změní všechny body danou souřadnici o stejnou hodnotu. Nemá žádné samodružné body, ale všechny přímky ve směru vektoru posunutí jsou samodružné. τ( a)a A, A = A + a Inverzí posunutí je posunutí s opačným vektorem. Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: o 1 o 2 = a 2 4.1.5 Otočení Také rotace. Je dána bodem (středem) a orientovaným úhlem. Střed je samodružný a všechny ostatní body se zobrazují tak, že <) ASA je shodná s velikostí úhlu otočení. R(S; ±α) : A A <) ASA = α, S S Inverze je otočení se stejným středem a úhlem s opačným znaménkem. Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: {S} = o 1 o 2, ϕ(o 1, o 2 ) = α 2 4.1.6 Analyticky Nejjednodušší je vektorové posunutí, zde lze uplatnit přičíátní vektorů. Středová souměrnost lze vyjádřit: A = A + 2 AS A = 2S A

4 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 16 Při osové souměrnosti můžeme využít toho, že bod A 0, průmět bodu A na osu, je středem souměrnosti úsečky AA. Protože AA o, postupujeme podobně jako při počítání vzdálenosti bodu od přímky (viz metrické vlastnosti). Při rotaci vycházíme z toho, že ϕ( SA; SA ) = α a skalárního součinu. 4.1.7 Využití SA SA = SA SA cos α Při konstrukci využíváme shodná zobrazení především u souměrných útvarů. 4.2 Homotetie Jedná se o podobné zobrazení, tedy zachovávají se poměry mír a úhly. Zároveň je afinní, zachovává se tedy rovnoběžnost. Je dána bodem (středem) a koeficientem podobnosti κ R. Úsečce AB přiřazuje úsečku o délce κ AB. Střed je samodružný, stejně tak všechny přímky jím procházející. H(S; κ) : A A, SA = κ SA (κ > 0 A SA κ < 0 A SX) Inverzním zobrazením je homotetie se stejným středem a opačným koeficientem κ = 1 κ. Analyticky platí: SA = κ SA Využívá se především, jsou-li útvary v nějakém poměru. 4.2.1 Stejnolehlost kružnic Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé podle dvou středů. Není bez zajímavosti, že středy homotetie leží na středně kružnic, a jsou-li mimo kružnice, leží na společných tečnách kružnic. H(S 1 ; κ) : k k H(S 2 ; κ) : k k

5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 17 5 Funkce, binární relace Definice, vlastnosti, obory funkce; grafické řešení rovnic s absolutní hodnotou i bez; limita a spojitost funkce, inverzní relace, základní typy funkcí; aplikace grafů funkcí a binárních relací, derivace funkce, primitivní funkce Základní typy funkcí z ostatních otázek. Zobrazení je předpis, který přiřazuje prvkům množiny jednoznačně prvky jiné množiny. Jednoznačnost znamená, že prvku zobrazované množiny je přiřazen nejvýše jeden prvek druhé množiny. f : A B Množině všech prvků, kterým lze přiřadit zobrazením prvek jiné množiny, se nazývá definiční obor (D f A). Skutečnost, že prvek x A se zobrazí na prvek y B lze zapsat: y = f(x) Obraz množiny X A je množina Y B, která je množinou všech zobrazených prvků množiny X. Speciálním případem je obor hodnot (H f B), který je zobrazením definičního oboru (H f = f(d f )). Surjekce Je zobrazení f : D f H f. Injekce Také prosté zobrazení. Různým prvkům přiřazuje různé obrazy. x 1, x 2 A, x 1 x 2 y B, y = f(x 1 ) = f(x 2 ) Bijekce Zároveň injekce a surjekce každému prvku výchozí množiny přiřazuje právě jeden prvek cílové množiny. 5.1 Funkce Zobrazení z množiny M do množiny čísel (nebo vektorů). Úžeji pak mluvíme o spojitém zobrazení, které zobrazuje ze spojité množinu čísel do spojité množiny čísel. Nejčastější je f : R R. Pokud jde o diskrétní zobrazení, mluvíme o posloupnosti. 5.1.1 Zadání Funkci můžeme analyticky definovat různými způsoby. Explicitně y = f(x) Implicitně F (x, y) = 0 Parametricky Soustavou rovnic, kde t je parametr. x = f 1 (t), y = f 2 (t)

5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 18 5.1.2 Souměrnost Důležité jsou především dva druhy souměrnosti. Pro oba platí, že definiční obor je souměrný, tedy x D f x D f. sudá funkce Souměrná podle osy y. Platí pro ni: Pozor, nikdy není prostá! f(x) = f( x) lichá funkce Souměrná podle počátku. Platí pro ni: 5.1.3 Periodicita Funkce je periodická s periodou t, platí-li: f(x) = f( x) t R x D f : f(x + t) = f(x) Primitivní perioda je nejmenší kladná perioda. 5.2 Okolí bodu Okolí bodu je bod a blízké body v danném topologickém prostoru. V oboru reálných čísel se ε-okolím bodu a (ε R + ) rozumí interval U ε (a) = (a ε; a+ε). Pro každý x bod okolí platí x a < ε. Prakticky se tedy jedná o interval. Levé okolí bodu je interval (a ε; a. Pravé okolí bodu je interval a; a + ε). Prstencové okolí bodu je pak okolí bez bodu samotného. Pro jeho každý bod x tedy platí 0 < x a < ε. 5.3 Monotónnost a extrémy Lokální extrém je bod funkce, jehož funkční hodnota je vyšší (maximum) nebo nižší (minimum) než hodnoty bodů v některém jeho okolí. V bodě a je lokální maximum, pokud platí: ε R + x R, 0 < x a < ε, f(a) > f(x) Analogicky, v bodě a je lokální minimum, pokud platí: ε R + x R, 0 < x a < ε, f(a) < f(x) Pokud je okolím bodu celý definiční obor, hovoříme o globálním extrému. Fuknce je monotónní v danném otevřeném intervalu (tedy okolí bodu), pokud je v něm spojitá a nenacházejí se v něm žádné lokální extrémy. Rozlišujeme více druhů monotónnosti podle toho, co platí pro libovolné body x 1 a x 2 z daného intervalu (původně se definuje pro okolí bodu):

5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 19 konstantní f(x 1 ) = f(x 2 ) rostoucí x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) klesající x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) nerostoucí x 1 > x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) neklesající x 1 > x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 5.4 Inflexe Označení pro změny rychlosti růstu funkce, tedy zakřivení jejího grafu. Funkce spojitá na otevřeném intervalu (a; b) je konvexní, jsou-li všechny její funkční hodnoty intervalu pod spojnicí [a; f(a)] a [b; f(b)]. Naopak je konkávní, jsou-li všechny funkční hodnoty intervalu nad touto spojnicí. Lineární funkce je tedy zároveň konvexní a konkávní. Tedy pokud definujeme g(x) = f(b) f(a) b a x + q, přičemž g(a) = f(a) a g(b) = f(b), funkce je konvexní, platí-li: Naopak, je konkávní, jestliže: x a; b f(x) g(x) x a; b f(x) g(x) Body, ve kterých funkce mění svou inflexi se nazývají inflexní body. 5.5 Spojitost funkce Vlastnost funkce v okolí bodu (a také v bodě samotném). Funkce je spojitá v intervalu právě tehdy, když je spojitá ve všech jeho bodech, spojitou funkci si intuitivně lze představit jako funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, lépe funkci, která pro libovolně malou změně x se f(x) změní libovolně málo. Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně malému okolí bodu f(a) můžeme najít takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí patří f(x) do daného okolí f(a). ε R + δ R + : x R, x a < δ f(x) f(a) < ε Pro důkaz spojitosti v bodě je třeba nalézt vztah mezi ε a δ. Funkce může být v bodě také spojitá jen zprava nebo jen zleva, kdy se pracuje s pravým nebo levým ε okolím. 5.5.1 Spojitost v intervalu Funkce je spojitá v otevřeném intervalu, je li spojitá ve všech jeho bodech. Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu a; b, je-li spojitá ve všech bodech intervalu (a; b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

5 FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE 20 5.5.2 Věty o spojitosti Pakliže jsou v bodě a spojité funkce f(x) a g(x), jsou v bodě a spojité také funkce f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x)g(x) a f(x) g(x) (za předpokladu, že g(a) 0). Věta Bolzanova-Weierstrassova: Nechť je f(x) spojitá v intervalu a; b a platí, že f(a) f(b). Pak ke každému k f(a); f(b) existuje c a; b, pro které f(c) = k. Věta Weierstrassova: Je-li f(x) spojitá v intervalu a; b, existuje alespoň jeden bod x 1 a; b, že pro všechna x a; b platí f(x) f(x 1 ) a alespoň jedno x 2 a; b takový, že pro všechna x a; b platí f(x) (x 2 ). Tedy, je-li funkce spojitá v daném uzavřeném (!) intervalu, má v něm minimum a maximum. Darbouxova vlastnost: Nechť je f(x) spojitá na intervalu a; b a platí f(a)f(b) < 0. Pak c a; b takové, že f(c) = 0. Důsledek věty B-W pokud je funkce spojitá na intervalu, který začíná pod osou x a končí nad osou x, nebo naopak, má v tomto intervalu kořen. 5.6 Limita funkce Zatímco spojitost je vlastnost v okolí bodu, limita je vlasnost v prstencovém okolí bodu (tedy bez bodu samotného). Funkce tedy nemusí být v bodě nutně spojitá, aby v něm měla limitu a zajímat nás budou právě limity bodů nespojitosti. Limita v bodě můžeme brát jako hodnotu, kterou by funkce v bodě měla, kdyby do něj spojitě pokračovala. Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a takové, že pro všechna reálná čísla x z tohoto okolí (x a) náleží jejich funkční hodnoty f(x) danému okolí bodu L. lim f(x) = L ε x a R+ δ R + x R, 0 < x a < δ f(x) L < ε Můžeme opět pracovat i s jednostrannými limitami v bodě tj. pro x jdoucí k bodu zprava nebo zleva. Pak platí: 5.6.1 Nevlastní limita lim f(x) = lim f(x) = L lim f(x) = L x a + x a x a Pokud funkce blížící se k bodu stále stoupá nebo klesá, mluvíme o nevlastní limitě, tedy že: lim f(x) = ± x a Funkce má nevlastní limtu v bodě, pokud pro každé reálné K lze zvolit δ okolí bodu takové, že hodnota všech x v něm ležících je větší (nebo menší) než K. lim f(x) = K R δ x a R+ : 0 < x a < δ f(x) > K