Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrční číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol NEKONEČNÉ GEOMETRICKÉ ŘADY Autor Jzyk Dtum vytvoření Cílová skupin Petr Vrán češtin 14. prosince 2013 žáci 16 19 let Stupeň typ vzdělávání Druh učebního mteriálu Očekávný výstup Anotce gymnziální vzdělávání vzorové příkldy úlohy k procvičení žák ovládá pojem nekonečné geometrické řdy umí jej plikovt při řešení úloh mteriál je vhodný nejen k výkldu procvičování, le i k smosttné práci žáků, k jejich domácí příprvě, velké upltnění njde zejmén při příprvě žáků k mturitní zkoušce 1
Příkld 1 Zdůvodněte konvergenci nekonečné geometrické řdy potom určete její součet: ( ) ( ) ( ) Dná geometrická řd je konvergentní, jestliže její kvocient q splňuje podmínku. V nšem přípdě je, řd je konvergentní její součet existuje. Protože první člen je kvocient je, můžeme psát: Příkld 2 Určete součet nekonečné geometrické řdy Tuto úlohu můžeme vyřešit dvěm způsoby. Buď ) přímo nebo b) po uspořádání n rozdíl dvou nekonečných geometrických řd s kldnými členy. ) Přímou metodou určíme první člen kvocient geometrické řdy dále již sndno určíme b) V tomto přípdě budeme mít dvě geometrické řdy tu, která je složená z lichých členů tu, která je složená ze sudých členů zdné posloupnosti. První posloupnost: Druhá posloupnost: Celkem je tedy 2
Příkld 3 V množině reálných čísel řešte rovnici Zdnou rovnici uprvíme n tvr N levé strně se nchází nekonečná geometrická řd s kvocientem Aby byl konvergentní, musí být Její součet potom je Dnou rovnici jsme tedy převedli n tvr dále Nlezený kořen vyhovuje podmínce 3
Příkld 4 Rcionální čísl vyjádřete ve tvru zlomku, jehož čittel jmenovtel jsou nesoudělná přirozená čísl: ) b) ) Jedná se o rcionální číslo dné ryze periodickým desetinným rozvojem, které můžeme přepst n tvr To předstvuje konvergentní nekonečnou geometrickou řdu s prvním členem s kvocientem. Kvocient splňuje podmínku pro součet této řdy pltí b) V tomto přípdě se jedná o rcionální číslo s neryze periodickým desetinným rozvojem, le obdobně jko v předchozí úloze můžeme npst Počínje druhým zlomkem se opět jedná o geometrickou řdu s prvním členem s kvocientem, tkže tedy ( ) Příkld 5 Je dný čtverec o strně. Do něho je vepsný čtverec tk, že jeho vrcholy leží ve středech strn dného čtverce. Tkto vzniklému čtverci vepíšeme čtverec s vrcholy ve středech jeho strn td. Postup stále opkujeme. Určete součet ) obvodů, b) obshů tkto vzniklých čtverců. 4
Strny čtverce tvoří geometrickou posloupnost, stejně tk geometrickou posloupnost tvoří součty obvodů čtverce součty obshů čtverce. Pltí: Strn Obvod Obsh ) Proto pro součet obvodů pltí:. V závorce se jedná o součet nekonečné geometrické řdy s prvním členem 4 kvocientem. Tkže ( ) Součet obvodů tkto vzniklých čtverců je ( ). b) Pro součet obshů pltí: ( ) V závorce se opět jedná o součet nekonečné geometrické řdy s prvním členem tentokrát 1 kvocientem. Tkže Součet obshů tkto vzniklých čtverců je 5
Úlohy k procvičení 1. Vypočítejte součet 2. Určete součet řdy 3. Řešte v množině reálných čísel rovnici. 4. Rcionální čísl vyjádřete ve tvru zlomku, jehož čittel jmenovtel jsou nesoudělná přirozená čísl: ) b) 5. Spirál se skládá z polokružnic, z nichž první má poloměr 10 cm kždá následující polokružnice má poloměr rovný dvěm třetinám poloměru předcházející polokružnice. Určete délku spirály. 6
Použité zdroje litertur: BENDA, Petr. A KOL. Sbírk mturitních příkldů z mtemtiky. 8. vydání. Prh: SPN, 1983. ISBN 14-573-83. BUŠEK, Ivn KOL. Sbírk úloh z mtemtiky pro III. ročník gymnázií. 1. vydání. Prh: SPN, 1987. ISBN 14-423- 87. BUŠEK, Ivn. Řešené mturitní úlohy z mtemtiky. 1. vydání. Prh: SPN, 1985. ISBN 14-639-85. CIBULKOVÁ, Ev KUBEŠOVÁ Nděžd. Mtemtik přehled středoškolského učiv. 2. vydání. Nkl. Petr Velnová, Třebíč, 2006. ISBN 978-80-86873-05-3. FUCHS, Edurd Josef KUBÁT. A KOL. Stndrdy testové úlohy z mtemtiky pro čtyřletá gymnázi. 1. vydání. Prh: Prometheus, 1998. ISBN 80-7196-095-0. ODVÁRKO, Oldřich. Mtemtik pro gymnázi Posloupnosti řdy. 3. vydání. Prh: Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-391-2. PETÁKOVÁ, Jindr. Mtemtik: příprv k mturitě přijímcím zkouškám n vysoké školy. 1. vydání. Prh: Prometheus, 1999. ISBN 80-7196-099-3. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské mtemtiky. 4. vydání. Prh: SPN, 1983. ISBN 14-351-83. 7