Digitální učební materiál

Transkript

1 Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Viták 45 Název DUMu Užití integrálního počtu v geometrii Název dokumentu VY_3_INOVACE_13_0 Pořdí DUMu v sdě 0 Vedoucí skupiny/sdy Helen Hufová Dtum vytvoření 19. řezn 013 Jméno utor Miluše Hruá Ročník studi čtvrtý Předmět neo temtická olst Mtemtik Výstižný popis způsou využití mteriálu ve výuce Ukázk plikcí určitého integrálu, prostřednictvím ICT (softwre Geoger) lze ukázt souvislost výpočtů s geometrickou interpretcí. Inovce: Geometrické souvislosti, čtení grfu.

2 0. Užití integrálního počtu v geometrii Aplikce určitého integrálu jsou velmi ohté jde o užití nejen v mtemtice fyzice, le i v dlších přírodních vědách různých technických disciplínách, v teorii prvděpodonosti, v iomedicínském inženýrství pod. Znlost výpočtů primitivních funkcí výpočtů určitých integrálů znlost vzorců nám umožní poměrně sndno určit npř. osh rovinných útvrů ojem rotčních těles, které ychom jink spočítt neuměli. Dříve než zčneme počítt, měli ychom si situci znázornit v krtézské soustvě souřdnic Oxy. Při výpočtu oshu rovinného útvru se nejčstěji setkáme s těmito přípdy: útvr je omezen grfem funkce f, osou x přímkmi x, x. 1. Funkce f je spojitá nezáporná x ;. S f x dx. Funkce f je spojitá nekldná x ;. S f x dx f x dx

3 3. Spojitá funkce f nývá v ; nezáporných i nekldných hodnot. c c S f x dx f x dx f x dx f x dx c c 4. Útvr je omezen dvěm spojitými funkcemi f, g, f x g x x ;. S f x g x dx Při výpočtu ojemu je nejčstější přípd, že rotční těleso vznikne rotcí orzce, který je omezen grfem spojité nezáporné funkce f, osou x přímkmi x, x. Pk ojem těles V f x dx

4 Řešené příkldy 1. Vypočtěte osh rovinného útvru, který je omezen osou x grfem funkce f : y cos x 1, x 0;. Nejdříve si situci znázorníme v soustvě souřdnic Oxy. Funkce f splňuje podmínku nezápornosti v 0;, osh modře vyrveného útvru můžeme tedy počítt jko 0 cos x 1 dx. Tedy S cos x 1 dx sin x x sin sin j. Vypočtěte osh rovinného útvru, který je omezen osou x grfy funkcí f : y x 1, g : y x 1. Opět zčneme tím, že situci nčrtneme v krtézské soustvě souřdnic.

5 Orzec, jehož osh máme spočítt, je omezen grfy oou funkcí. Jejich průsečíky získáme řešením rovnice x 1 x 1. Jedná se o rovnici kvdrtickou, kterou můžeme npst ve tvru x x 1 0. Jejími kořeny jsou čísl x x 1, což jsou meze určitého integrálu, pomocí kterého udeme osh počítt. Protože x 1; je g x f x, je osh 3 x x S x 1 x 1 dx x x dx x j 3. Vypočtěte osh rovinného útvru, který je omezen osou x grfem funkce 4 f : y x 4x, x,5;,5. Zčneme náčrtkem, vzhledem k zdání očekáváme orzec souměrný podle osy y. Protože část grfu zshuje pod osu y, spočítáme průsečíky grfu funkce s osou x - rovnice 4 x 4x 0 má tři řešení, to x 0, x, x, jk vidíme n orázku (číslo 0 je kořenem dvojnásoným). Protože shodné útvry mjí shodné oshy, pk vzhledem k souměrnosti pltí:,5 4 4 S x 4x dx x 4x dx ,5, ,5 x x x x , Poznámk: Tohoto postupu s výhodou využíváme nejen u výpočtů oshů útvrů, které jsou omezeny grfem funkce sudé, le i liché pokud ovšem jsou i meze určitého integrálu souměrné podle počátku. Smotný výpočet je vždy jednodušší, je-li jedn z mezí číslo 0. j

6 4. Vypočtěte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí orzce omezeného osou x grfem funkce f : y x 1 1, x 0;3. Znázorníme si situci v soustvě souřdnic Oxy. Všimněme si, že posunutím orzce (červeného) ve směru osy x se osh tohoto orzce, le ni ojem rotčního těles při rotci kolem osy x nezmění. Můžeme si tedy vyrt uvžovt dnou funkci f neo funkci f : y x 1, x 1;. Použijeme-li dnou funkci f, pk V x 1 1 dx x x dx x 4x 8x 8x 4 dx x x x 4x 4x j Rotcí kuželosečky s nlytickým vyjádřením 0 5x 9y 45 kolem osy x vznikne rotční těleso. Nčrtněte dnou kuželosečku vypočtěte ojem rotčního těles. Dná kuželosečk je elips se středem v počátku soustvy souřdnic hlvní osou v ose x. Hlvní poloos 3, vedlejší poloos 5.

7 Rotcí vyrvené části kolem osy x vznikne těleso, které nzýváme rotční elipsoid vejčitý. Pro y 0je elips grfem funkce 5 : 5 9 f y x, můžeme tedy spočítt ojem těles podle uvedeného vzorce. Využijeme-li toho, že je elips souměrná podle osy y, pk x 3 V 5 x dx 5 x dx 5x j Příkldy k procvičení Vypočtěte osh rovinného útvru, který je omezen osou x grfy funkcí: f : y 4x x f : y x x f : y 4x x g : y x x f : y x 4x 5, x 0;3 1 f : y x 1; e x f : y x, g : y 8 x osou y x f : y, g : y x Vypočtěte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí orzce omezeného osou x grfem funkce: 8. f : y x, x 1;1 9. f : y 1 x, x ;1 10. f : y tg x, x ; 4 4

8 Výsledky: , , 3. 9, 4. 6, 5. 1, 6., , , , Zdroje: HRUBÝ, Dg Josef KUBÁT. Diferenciální integrální počet. Prh: Prometheus, ISBN PETÁKOVÁ, Jindr. Příprv k mturitě k přijímcím zkouškám n vysoké školy. Prh: Prometheus, ISBN Osttní neocitovné ojekty (užité v tomto digitálním učením mteriálu) jsou dílem utor vytvořené progrmem Geoger. Mteriál je určen pro ezpltné užívání pro potřeu výuky vzdělávání n všech typech škol školských zřízení. Jkékoliv dlší využití podléhá utorskému zákonu. Dílo smí ýt dále šířeno pod licencí CC BY-SA (