Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM

Transkript

1 Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MATEMATIA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁ 11. červenec 01 Název zrcovného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s rmetrem obshuje kromě neznámých dlší roměnné, kterým se říká rmetry. Je to záis množin všech rovnic, které bychom získli doszením všech hodnot, jichž mohou rmetry nbývt. Řešení rovnice s rmetry sočívá v určení jejich kořenů v závislosti n říustných hodnotách rmetrů. Při řešení lineární rovnice s rmetrem rovnici ostuně urvujeme v závislosti n hodnotách rmetru. Výsledek shrneme do tbulky. Řešený říkld 1 Řešte v R rovnici 1 s neznámou rmetrem R. Řešení: 1) Musíme uvést odmínky ro neznámou 1 ) Musíme uvést odmínky ro rmetr 0 (tj. rovnici s neznámou získáme jen ro 0 ) 3) Rovnici následně řešíme známými ekvivlentními důsledkovými úrvmi: 1 / ( 1) odstrníme zlomky z rovnice ( )( 1) vynásobíme závorky výrzy s neznámou řevedeme n jednu strnu rovnice; všechny osttní výrzy řevedeme n očnou strnu rovnice neznámou osmosttníme vytknutím ( ) (1) řed závorku Položme si otázku: Lze dělit výrzem ( )? Proto vedeme diskusi, zd ( 0) ( ) ( 0) ( ) 1

2 tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu dostneme tzn., je-li, k můžeme výrzem ( ) rovnici (1) dělit dostneme 0 4 () Ø vzhledem k úvodní odmínce (krok 1 kořenem nesmí být číslo 1) si uvědomíme, že 1 1, 0 0 lyne stejná odmínk jko v kroku (obě odmínky ro rmetr k zhrneme do shrnující tbulky) 4) Provedeme zkoušku: ) Pro zkoušku rovádět nemusíme, vzhledem ke Ø b) Pro osttní hodnoty rmetru ( 0;) rovádíme zkoušku njednou, doszením vyočteného kořene rovnice () z neznámou do ůvodního zdání rovnice L P 1 L P

3 5) Výsledky shrneme do tbulky: Ø 0 Řešený říkld Řešte v R rovnici 1 1 s neznámou rmetrem R. Řešení: 1) Musíme uvést odmínky ro neznámou 0 ) Rovnici následně řešíme známými ekvivlentními důsledkovými úrvmi: / odstrníme zlomek výrzy s neznámou řevedeme n jednu strnu rovnice; všechny osttní výrzy řevedeme n očnou strnu rovnice 1 neznámou osmosttníme vytknutím ( 1 ) (1 )(1 ) (1) řed závorku; rvou strnu rovnice rozložíme odle vzorce ( b) Položme si otázku: Lze dělit výrzem ( 1 )? 1 1 tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu 1 dostneme tzn., je-li 1, k můžeme výrzem ( 1) rovnici (1) dělit dostneme Proto vedeme diskusi, zd ( 1 0) ( 1) ( 1 0) ( 1) (1 )(1 ) () 3

4 R 0 1 vzhledem k definičnímu oboru rovnice (úvodní odmínce ro neznámou krok 1; 0 ) vzhledem k úvodní odmínce (krok 1 kořenem nesmí být číslo 0 ) si uvědomíme, že ; lyne dlší odmínk ro rmetr 1 (obě odmínky ro rmetr k zhrneme do shrnující tbulky) 3) Provedeme zkoušku: ) Pro 1 zkoušku rovádět nemusíme vzhledem ke R 0 b) Pro osttní hodnoty rmetru 1rovádíme zkoušku doszením vyočteného kořene rovnice () z neznámou do ůvodního zdání rovnice L P L 1 1 ( 1)( 1) ; P 1 c) Pro 1rovedeme zkoušku doszením této hodnoty do ůvodního zdání rovnice: ( 1) Ø 4) Výsledky shrneme do tbulky: 1 R 0 1 Ø 1 1 4

5 Řešený říkld 3 Řešte v R rovnici ( ) 4 s neznámou rmetrem R. Řešení: 1) Rovnici řešíme známými ekvivlentními úrvmi: ( ) 4 (1) rovnice je již urven tk, že neznámá se nchází n levé strně rovnice je již osmosttněn (vytknut) rovedeme diskusi řešení rovnice vzhledem k rmetru Položme si otázku: Lze dělit výrzem ( ) Proto vedeme diskusi, zd ( 0) ( 0) ( ) ( 0 0) ( 0;)? 0 0; tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu 0 dostneme tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu dostneme tzn., je-li 0;, k můžeme výrzem ( ) rovnici (1) dělit dostneme R Ø 4 4 ( ) 4 () ) Provedeme zkoušku: ) Pro 0 zkoušku rovádět nemusíme vzhledem k množině kořenů. b) Pro osttní hodnoty rmetru ( 0;) rovádíme zkoušku njednou doszením vyočteného kořene rovnice () z neznámou do ůvodního zdání rovnice s rmetrem 4 4 L ( ) 4 5

6 4 P L P 3) Výsledky shrneme do tbulky: 0 R Ø 0; 4 Řešený říkld 4 Řešte v R rovnici s neznámou rmetrem R. Řešení: 1) Musíme uvést odmínky ro neznámou ) Rovnici následně řešíme v množině R známými úrvmi: / ( ) odstrníme zlomek ( ) závorky roznásobíme výrzy s neznámou řevedeme n výrzy urvíme (1 ) jednu strnu rovnice; všechny osttní výrzy řevedeme n očnou strnu rovnice rvou strnu rozložíme užitím vzorce ( b) (1 )(1 ) (1) Položme si otázku: Lze dělit konstntou? 0 0 Proto vedeme diskusi, zd ( 0) ( 0) 6

7 0 0 tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu 0 dostneme tzn., je-li 0, k můžeme konstntou rovnici (1) dělit dostneme 0 (1 )(1 ) (1 ) () Ø (1 ) vzhledem k úvodní odmínce (krok 1 kořenem nesmí být číslo ) si uvědomíme, že (1 ) lyne dlší odmínk ro rmetr (všechny odmínky ro rmetr k zhrneme do shrnující tbulky) 3) Provedeme zkoušku: ) Pro 0 zkoušku rovádět nemusíme vzhledem ke Ø 0; kořene rovnice () z neznámou do ůvodního zdání rovnice s rmetrem (zkoušku již onecháváme n čtenáři) b) Pro osttní hodnoty rmetru rovádíme zkoušku doszením vyočteného (1 ) (1 ) (1 ) L (1 ) (4 ) ( ) (1 ) P 7

8 (1 ) (1 ) L P c) Pro nemá dná rovnice žádné řešení. 4) Výsledky shrneme do tbulky: 0; ; Ø 0; ; (1 Řešený říkld 5 Řešte v R rovnici 3 1 s neznámou rmetrem R. Řešení: 1) Rovnici řešíme známými ekvivlentními úrvmi: 3 1 výrzy s neznámou řevedeme n jednu strnu rovnice; všechny osttní výrzy řevedeme n očnou strnu rovnice 3 1 neznámou osmosttníme vytknutím řed závorku ( 1) 1 levou strnu rovnice rozložíme užitím vzorce ( b) ( 1)( 1) 1 (1) Položme si otázku: Lze dělit výrzem ( 1)( 1)? Proto vedeme diskusi, zd ( 0) ( 1 0) ( 1) ( 1 0) ( 1) ( 0;1; 1) ;1; 1 8

9 ;1; 1 tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu 0 dostneme tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu 1 dostneme tzn., že z do dosdíme číselnou hodnotu ( 1) dostneme tzn., je-li, k 0;1; 1 můžeme výrzem ( 1)( 1) rovnici (1) dělit dostneme ( 1)( 1) 1 ( 1) Ø Ø R 1 ( 1) () ) Provedeme zkoušku: ) Pro 0;1; 1 zkoušku rovádět nemusíme vzhledem k množině kořenů. b) Pro osttní hodnoty rmetru ( 0;1; 1) rovádíme zkoušku njednou doszením vyočteného kořene rovnice () z neznámou do ůvodního zdání rovnice s rmetrem L 1 ( 1) ( 1) 1 1 P ( 1) ( 1) 1 1 L P ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ) Výsledky shrneme do tbulky: 0 Ø 1 Ø 1 R 0;1; 1 1 ( 1) 9

10 Procvičování: 1) Řešte v R rovnici Pro 1 je Ø. Pro 1 je 3 s neznámou rmetrem R. 3 1 ) Řešte v R rovnici ( 1) 1 Pro 0 je Ø. Pro 1 je R. Pro 0; 1 je s neznámou rmetrem R. 1 3) Řešte v R rovnici ( 5)( 3) Pro 5 je Ø. Pro 5 je s neznámou rmetrem R. 5( 3) 5 4) Řešte v R rovnici ( 3)( ) 3 9 Pro 0 je Pro 0 je s neznámou rmetrem R. Ø. 3(3 ) 5) Řešte v R rovnici ( 1) 1 Pro 1 Pro 1 je je R. Pro 1; 1 je. s neznámou rmetrem R. Ø

11 ( 1) 1 6) Řešte v R rovnici 5 s neznámou rmetrem Rovnice má smysl ro 1 Pro Pro 5 0; je Ø ; je 5 7) Řešte v R rovnici R. m 4 1 s neznámou rmetrem m R. m m Rovnice má smysl ro 0. Rovnice má smysl ro m 0. Pro m je R 0. Pro m je Ø. Pro 0 m m. m je k ( 1) k 8) Řešte v R rovnici s neznámou rmetrem. k k je Ø. k je R 1. k k Rovnice má smysl ro Pro 0 Pro Pro k 0 k je 9) Řešte v R rovnici 6 1 Rovnice má smysl ro 0; 1 Pro 0; 6 je Ø. Pro m 0; 6 je 6 6. s neznámou rmetrem k R. R. 11

12 10) Řešte v R rovnici m( ) Pro m 0 je Ø. Pro m 1 je R.. Pro m 0; 1 je m s neznámou rmetrem m R. m 11) Řešte v R rovnici 1) Pro 1 je Ø. Pro 1 je ( s neznámou rmetrem R. 1 1) Řešte v R rovnici 1 s neznámou rmetrem Rovnice má smysl ro Pro 0. R 0 1 je Pro 0 je ( ) 13) Řešte v R rovnici 8 s neznámou rmetrem Rovnice má smysl ro Pro 0; 8 je Ø. Pro m 0; 8 je ( 8) 8 14) Řešte v R rovnici ( 3)( c) 3 18 Pro 3 Pro 3 c je R. 6 c je R. R. s neznámou rmetrem c R. 1

13 ( s neznámou rmetrem R. 15) Řešte v R rovnici ) ( 1) Pro 1 je Ø. Pro 1 je 1 1 s neznámou rmetrem R. 16) Řešte v R rovnici ( 1 ) (1 ) 0 Pro Pro 1 je Ø. 1 je 1. Použitá litertur: Výukové mteriály úlohy cvičení jsou utorsky vytvořeny ro učební mteriál. F. Jneček: Výrzy, rovnice, nerovnice jejich soustvy, Prometheus 1995 E. Fuchs, F. Procházk: Stndrdy testové úlohy z mtemtiky ro střední odborné školy, Prometheus 00 I. Dušek: Řešené mturitní úlohy z mtemtiky, SPN 1988 M. Hudcová, I. ubičíková: Sbírk úloh z mtemtiky ro SOŠ, SOU nástvbové studium, Prometheus