Průběh (jednorozměrné) unkce Úlohy na vyšetřování průběhu unkcí (jedno i vícerozměrných) patří k poměrně častým úlohám dierenciálního počtu. V tomto krátkém tetu se omezím pouze na jednorozměrné unkce, u vícerozměrných unkcí je situace složitější. Navíc, gray vícerozměrných unkcí jsou různé plochy a na ty je můj oblíbený MATMAT krátký. Při určování průběhu unkce postupuju podle následujícího schématu: ) Určím všechna R, pro která je unkce deinována. Dalo by se říci, že určím deiniční obor unkce (ovšem ne každý zasvěcený by s touto ormulací souhlasil). ) Vyšetřím všechny možné ity unkce ity v bodech nespojitosti a ity pro (tj. ity v nevlastních bodech). Dále určím rovnice všech asymptot unkce (pakliže unkce nějaké asymptoty má). ) Vyšetřím monotónnost unkce, čili kde unkce klesá, kde roste a kde má nějaký lokální etrém. Na tomto místě obvykle určím i obor hodnot unkce H. 4) Vyšetřím konvenost resp. konkávnost unkce. 5) Vypočítám průsečíky unkce se souřadnicovými osami (když eistují). 6) Vyšetřím paritu unkce sudost resp. lichost unkce. Pozn. V následujícím tetu předpokládám znalost průběhu základních elementárních unkcí a jejich derivací a taktéž znalost základních vět o itách unkcí. Zadání: U všech úloh vyšetřete průběh unkce. V programu MATMAT ověřte svůj výsledek. a) : y 6 Řešení: Všichni jistě víte, že graem této kvadratické unkce je parabola tvaru údolíčka. Taktéž by pro nikoho neměl být problém určit souřadnice vrcholu této paraboly a dále dopočítat pár jejích bodíků. To je typický středoškolský postup. My si teď ukážeme postup vysokoškolský (i když za mých studií a není to zas tak dávno byl i tento postup středoškolský). ) Neeistuje reálné číslo, pro které bych nebyl schopen vypočítat jeho hodnotu y =. Ve unkčním předpisu se nevyskytuje žádný lomený výraz, žádná sudá odmocnina, žádný logaritmus, tangens, kotangens apod. Znamená to, že unkce je deinována pro všechna R je spojitá. ) Jelikož je unkce spojitá, odpadá vyšetřování it v bodech nespojitosti. Zbývá určit ity unkce v nevlastních bodech, tedy ity pro. 6 ( roste rychleji než ) 6
Asymptoty unkce mohou být trojího druhu: svislá (v bodech nespojitosti), vodorovná nebo šikmá. Je-li třeba, prostudujte si pojednání Asymptoty unkce. Svislá asymptota tu nehrozí, unkce je spojitá. Vodorovná asymptota tu také nehrozí, unkce má v nevlastních bodech ity rovny. Šikmá asymptota je přímka o rovnici y = k + q. Koeicienty k, q se určí snadno pomocí it v nevlastních bodech (viz pojednání Asymptoty unkce). ( ) k q ( ) k resp. ( ) k q ( ) k Logicky musím začít se směrnicemi potenciálních asymptot, tj. s čísly k. ( ) 6 6 k = 0 Číslo q už neurčuju, pro šikmá asymptota evidentně neeistuje.. ( ) 6 6 k = 0 Číslo q už neurčuju, pro šikmá asymptota taktéž neeistuje. Závěr: Funkce nemá žádné asymptoty.. ) K vyšetření monotónnosti unkce potřebuju znát její derivaci. Je-li derivace unkce v nějakém bodě D kladná, pak unkce v tomto bodě roste. Je-li záporná, unkce v tomto bodě klesá. Všechny body, ve kterých 0 nebo neeistuje (tzv. stacionární body), jsou podezřelé z eistence lokálního etrému. 6 Nejprve mě zajímají body podezřelé z eistence lokálního etrému. Položím tedy derivaci rovnu nule a dostanu triviální lineární rovnici: 0 V tomto bodě by mohla mít unkce lokální etrém, ale nemusí. Mohl by to být také inlení bod, ale o tom až později. Jak to ověřit? Jednoduše. Číslo rozdělí reálnou osu na dva intervaly: ; a ;.
Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 000, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 000 000 0 Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna intervalu ; unkce klesá. ;. To znamená, že na celém Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. = 40, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 40 40 0 Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna intervalu ; unkce roste. ;. To znamená, že na celém A teď trochu zdravého selského rozumu: Jestliže na intervalu ; unkce klesá a na intervalu ; roste, musí mít v bodě 5 lokální minimum (s hodnotou y 6, 75). 4 Vzhledem k itám unkce v nevlastních bodech (obě rovny ) je zřejmé, že nalezené lokální minimum je i minimem globálním. Tím pádem můžu rovnou určit obor hodnot unkce H,75;. 4) K vyšetření konvenosti resp. konkávnosti unkce potřebuju znát její druhou derivaci. Je-li druhá derivace unkce nějakém bodě D kladná, unkce je v tomto bodě konvení. Je-li záporná, unkce je v tomto bodě konkávní. Body, ve kterých 0, nazýváme inlení body (mění se v nich konvenost na konkávnost a naopak). Druhá derivace je kladná pro všechna R. Funkce je tím pádem na celém svém deiničním oboru konvení, nemá žádný inlení bod. 5) Nejprve určím P y = [0;?]. Jak? Za dosadím do předpisu unkce číslo 0.? 0 0 0 6 P y = [0; 6] 6 Nyní určím P = [?; 0]. Za y dosadím do předpisu unkce číslo 0. 0 6 D = 5 průsečíky s osou neeistují (aby eistovaly, když tu máme údolíčko s vrcholem V = [,5;,75] )
6) Funkce je sudá, platí li: souměrný podle souřadnicové osy y. Funkce je lichá, platí li: pro všechna D. Gra sudé unkce je osově pro všechna D. Gra liché unkce je středově souměrný podle počátku souřadnicového systému. 6 4 6 6 Funkce není ani sudá, ani lichá. Nyní přikročím ke graickému inále. Do jednoho obrázku nechám MATMAT vykreslit unkci i první a druhou derivaci unkce. Na obrázku je vidět, že na intervalu ; je záporná (pod osou ) a klesající, na intervalu ; je kladná (nad osou ) a rostoucí.
b) : y Řešení: ) Funkce je deinována pro všechna R. ) Jelikož je unkce spojitá, odpadá vyšetřování it v bodech nespojitosti. Zbývá určit ity unkce v nevlastních bodech, tedy pro. Svislá ani vodorovná asymptota tu nehrozí. Funkce je spojitá a ity v nevlastních bodech jsou rovny. Zbývá určit šikmé asymptoty y = k + q. ( ) k = 0 Směrnice k = 0 odpovídá vodorovné asymptotě a tu unkce, jak už bylo řečeno, nemá. Pro šikmá asymptota tudíž neeistuje. ( ) k = 0 Stejná situace. Závěr: Funkce nemá žádné asymptoty. ) Určím první derivaci unkce a položím ji rovnu nule. Hledám lokální etrémy unkce. 0 Zlomek se rovná nule, když se rovná nule jeho čitatel. Ten je roven. Znamená to, že unkce nemá žádné lokální etrémy? Ještě ne! Derivace unkce totiž není spojitá, není deinována pro = 0. Body, kde první derivace neeistuje, jsou taktéž podezřelé z eistence lokálního etrému (může tam být špička ). Proto rozdělím reálnou osu na dva intervaly ; 0 a 0 ; a na každém z nich vyšetřím první derivaci zvlášť. Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 000, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 000 000 00 0 Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna ; 0 intervalu ; 0 unkce roste.. To znamená, že na celém
Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. = 000, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 000 000 00 0 Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna 0; intervalu 0 ; unkce také roste.. To znamená, že na celém A teď trochu zdravého selského rozumu: Roste-li unkce na intervalu ; 0 i na intervalu 0 ;, přičemž je v nule spojitá, nemůže mít unkce v bodě = 0 lokální etrém. Vzhledem k itám unkce v nevlastních bodech (jedna rovna, druhá rovna ) můžu rovnou určit i obor hodnot unkce H R. 4) Určím druhou derivaci unkce a položím ji rovnu nule. Hledám inlení body unkce. 5 9 5 0 5 9 Ani druhá derivace se nemůže rovnat nule. I ona však neeistuje v bodě = 0 a body, ve kterých neeistuje druhá derivace, mohou být taktéž inleními body unkce. Takže znovu dva intervaly ; 0 a 0 ; a na každém z nich vyšetřím druhou derivaci zvlášť. Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 000, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 000 9 000 5 900000 0 Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna ; 0 celém intervalu ; 0 je unkce konvení.. To znamená, že na Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. = 000, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 000 9 000 5 900000 0 Druhá derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna 0; celém intervalu 0 ; je unkce konkávní. Je-li unkce na intervalu ; 0 spojitá, musí být = 0 inlením bodem této unkce. konvení a na intervalu ;. To znamená, že na 0 konkávní, přičemž je v nule
5) Nejprve určím P y = [0;?]. Za dosadím do předpisu unkce číslo 0.? 0 0 P y = [0; 0] a je to pochopitelně i jediný P 0 6) 8 8, 8 8 Toto pochopitelně není důkaz, jen takový nástřel situace. Je zřejmé, že pro libovolná navzájem opačná čísla se hodnoty unkce budou vždycky lišit pouze znaménkem. Funkce je tudíž lichá a její gra je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Zbývá obrázek. Se všemi třemi unkcemi měl MATMAT problémy a musel jsem je rozdělit na dvě, v důsledku čehož unkce na obrázku nevypadá vůbec spojitě. Obě derivace jsou nespojité v bodě = 0 (osa y je jejich svislou asymptotou), první derivace je pořád kladná a sudá, druhá derivace je nejdřív kladná, potom záporná (a lichá). Pozn. Osa y je tečnou unkce v bodě = 0, přestože v tomto bodě unkce nemá derivaci. I to se může stát. Taková tečna je však vždy přímkou bez směrnice (rovnoběžná s osou y), jelikož nemá směrnici. Teda aspoň myslím.
c) ) ( Řešení: ) Funkce je deinována pro všechna R /. ) Tentokrát budu muset vyšetřit čtvero it. Limity v nevlastních bodech však určím najednou. Teď použiju známý ígl: čitatel i jmenovatel vydělím nejvyšší mocninou. 0 0 0 0 Funkce má v nevlastních bodech itu rovnu jedné a to znamená, že unkce má jednu vodorovnou asymptotu danou rovnicí: y = 0. Nyní přejdu k jednostranným itám v bodě =. Vzhledem k té druhé mocnině ve jmenovateli zlomku je však taky můžu vzít jedním vrzem. 0 =, kde 0 + je nekonečně malé kladné číslo. Z ity unkce v bodě = plyne, že unkce má v tomto bodě svislou asymptotu danou rovnicí: + = 0. Zbývá šikmá asymptota. Tady to však bude rychlovka. Má-li unkce itu pro rovnu jedné, pak už logicky nemůže mít šikmou asymptotu. ) Určím první derivaci unkce a položím ji rovnu nule. 4 Zkrátím výrazem ( + ). 7 5 Čitatel zlomku položím roven 0. 0 7 5 =,4 První derivace není deinována pro =, ale tam unkce etrém mít nemůže, protože tam sama není deinována. Zbývá tedy prověřit =,4. Čísla a,4 rozdělí reálnou osu na tři intervaly: ) ; (, ) ;,4 ( a ),4; (.
Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 0 5 0 9 7 57 0 79 Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna ; intervalu ( ; ) unkce roste.. To znamená, že na celém Nyní vezmu libovolné číslo z prostředního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 7 0 0 Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna (;,4). To znamená, že na celém intervalu ( ;,4) unkce klesá. Nakonec vezmu libovolné číslo z posledního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 4 0 0 Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna (,4; ). To znamená, že na celém intervalu (,4; ) unkce roste. Vzhledem k výše uvedenému musí mít unkce v bodě =,4 lokální minimum. Je to 0,4 dokonce minimum globální s hodnotou,4 0,046. Můžu tedy určit obor 5,76 hodnot unkce H 0,046 ;. Pozn. U určování oboru hodnot unkce je třeba zohlednit i výskyt vodorovné asymptoty. Některé unkce (např. nepřímá úměrnost) nemají s vodorovnou asymptotou (danou rovnicí y = a) žádný společný bod, a proto je třeba číslo a z oboru hodnot unkce vyloučit. 4) Určím druhou derivaci unkce a položím ji rovnu nule. 5 7 5 5 7 Zkrátím výrazem ( + ). 6 5 7 0 4 4 5 6 Zajímá mne pouze čitatel zlomku. 0 6 0 =,6 Toto je bod podezřelý z inlee.
Druhá derivace není deinována pro =. Čísla a,6 rozdělí reálnou osu na tři intervaly: ( ; ), ( ;,6) a (,6; ). Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 0 0 0 9 4 6 0 Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna ; celém intervalu ( ; ) je unkce konvení.. To znamená, že na Nyní vezmu libovolné číslo z prostředního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 6 0 0 Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna (;,6). To znamená, že na celém intervalu ( ;,6) je unkce konvení. Nakonec vezmu libovolné číslo z posledního intervalu, např. = 0, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 00 6 0 0 4 Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna (,6; ). To znamená, že na celém intervalu (,6; ) je unkce konkávní. Vzhledem k výše uvedenému je =,6 inlením bodem unkce. 5) Nejprve určím P y = [0;?]. Za dosadím do předpisu unkce číslo 0.? 0 P y = [0; ]. Nyní určím P = [?; 0]. Za y = 0 dosadím do předpisu unkce číslo 0. Znovu mě zajímá pouze čitatel zlomku. 0 D = ; P = [; 0] a [; 0] neeistuje. O sudosti resp. lichosti unkce nemůže být řeč (což bylo mimochodem zřejmé už od samého začátku). Zbývá obrázek. Vzhledem k etrémnímu průběhu unkce i jejích derivací budou dokonce dva. 6) 0,
Na druhém obrázku je docela dobře vidět lokální (v tomto případě i globální) minimum unkce v bodě, kde unkce protíná osu, inlení bod unkce v bodě, kde unkce protíná osu i oba průsečíky unkce s osou.
d) ( ) sin ; ; Řešení: ) Funkce je deinována pro libovolné ;. Jelikož mám vyšetřit průběh unkce na uzavřeném intervalu, hnedka si vypočtu hodnoty unkce v krajních bodech tohoto intervalu. Většinou se to hodí. sin 0 sin 0 ) Tady není co vyšetřovat. A nebul. ) Abych mohl určit první derivaci unkce, musím odstranit tu absolutní hodnotu. Stejným způsobem, jak postupují středoškoláci určím tzv. nulové body, které mi interval ; rozdělí (nebo taky ne) na více intervalů. Poté musím určovat derivace na každém zvlášť. Takže se budeme všichni modlit, aby těch nulových bodů moc nebylo. A ono nebude, perioda unkce y sin je π, což je šířka celého zájmového intervalu. Hledám-li NB, položím vnitřek absolutní hodnoty roven nule. sin 0 k ; k Z Dostal jsem nekonečně mnoho nulových bodů. Do zájmového intervalu však spadají pouze tři z nich, z toho dva jsou navíc krajními body tohoto intervalu. Takže se nepředřu. I. ; 0 Vezmu libovolné z tohoto intervalu, např. =, a dosadím ho do vnitřku absolutní hodnoty. Vyjde mi záporné číslo, podle deinice absolutní hodnoty tedy musím při jejím odstraňování změnit všechna znaménka uvnitř absolutní hodnoty za opačná. Dostanu tak předpis unkce bez absolutní hodnoty a můžu vesele derivovat. ( ) sin ( ) cos Položím = 0. cos 0 cos 0, 5 k ; k Z k ; k Z 6 5 5 k ; k Z k ; k Z 6
Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice spadá do intervalu ; 0 pouze jeden:. 6 Mám tedy první stacionární bod unkce, který rozdělí interval ; 0 na dva intervaly: ; a ; 0. 6 6 Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. =, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. cos 0,68 Derivace je kladná, unkce je na intervalu ; 6 rostoucí. Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. = 0,, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 0, cos 0, 0,96 Derivace je záporná, unkce je na celém intervalu ; 0 klesající. 6 Z výše uvedeného plyne, že v bodě má unkce lokální maimum s hodnotou 6 sin 0,4. 6 6 6 II. 0; Na tomto intervalu je absolutní hodnota zbytečná. ( ) sin ( ) cos Položím = 0. cos 0 cos 0, 5 k ; k Z k ; k Z 4 k ; k Z k ; k Z Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice spadá do intervalu 0; pouze jeden:. Mám tedy druhý stacionární bod unkce, který rozdělí interval 0; na dva intervaly: 0; a ;.
Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. = 0,, a dosadím ho do předpisu derivace unkce. 0, cos0,, 96 Derivace je kladná, unkce je na celém intervalu 0; rostoucí. Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. =,, a dosadím ho do předpisu derivace unkce., cos,4 0, 475 Derivace je záporná, unkce je na celém intervalu ; klesající. Z výše uvedeného plyne, že v bodě má unkce lokální maimum s hodnotou sin,9. Toto lokální maimum je zároveň globálním maimem unkce na intervalu ;. V bodě = 0 a v krajních bodech zájmového intervalu nemá unkce derivace. Vzhledem k předchozím závěrům je však zřejmé, že v bodě = 0 má své lokální minimum (špičku) s hodnotou 0 a v bodě = globální minimum na intervalu ;. Na tomto místě tedy již dokážu určit obor hodnot unkce H ;. 4) Druhou derivaci budu muset řešit taktéž nadvakrát. I. ; 0 ( ) cos ( ) cos 4sin Položím = 0. 4sin 0 sin 0 k ; k Z Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice nespadá do intervalu ; 0 žádný. Vezmu tedy libovolné číslo z tohoto intervalu, např. =, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 4sin, 64 Druhá derivace je záporná, unkce je na celém intervalu ; 0 konkávní.
II. 0; ( ) cos ( ) Položím = 0. 4sin cos 4sin 0 sin 0 k ; k Z Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice nespadá do intervalu 0; opět žádný. Vezmu tedy libovolné číslo z tohoto intervalu, např. =, a dosadím ho do předpisu druhé derivace unkce. 4sin, 64 Druhá derivace je záporná, unkce je na celém intervalu 0; konkávní. 5) Průsečík s osou y už mám a je to současně i průsečík s osou. Těch však může být víc, takže se po nějakých dalších poohlédnu. A nemusím být žádný matematický génius, abych pochopil, že stačí mrknout nalevo od osy y, kde má unkce po odstranění absolutní hodnoty rovnici ( ) sin = 0. 0 sin sin. OK, volím A je to tu! S tímhle nehnu. Tak na to prdím. 6) sin sin Funkce není ani sudá, ani lichá. Zbývá obrázek. Tentokrát bude bez derivací.