Aplikace derivace ( )

Transkript

1 Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické aplikace LHospitalovo pravidlo slouží pro výpočet ity funkce v případě, že jde o výraz typu Potom platí, že a f ( ) g( ) POZOR!!! Nezaměňovat s derivací podílu. nebo. f' ( ). Pokud předpoklady trvají, lze tento krok opakovat. a g' ( ) sin( ) cos( ) + cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) ( ) + ln( ) + ln( ) + + ( ) e + + e + e e +

2 Lokální etrémy funkce (růst a pokles funkce) slouží k nalezení maim a minim funkcí, popř. k nalezení intervalů, kde funkce roste a kde klesá. Nalézt znaménko funkce znamená nalézt intervaly, kde funkce roste a kde klesá, a to tak, že nalezneme všechny kořeny čitatele i jmenovatele, které mají lichou násobnost a zakreslíme je na reálnou osu. V jednom z nich dosazením zjistíme znaménko, v ostatních intervalech se znaménka střídají. Má-li funkce g() v okolí bodu a kladnou derivaci, tj. g' ( a) >, funkce tam roste a naopak, je-li tato derivace záporná, tj. g' ( a) >, funkce tam klesá. Je-li tato derivace rovna nule, tj. g' ( a), funkce může mít v bodě a etrém. Zda je to etrém a jaký je, určíme pomocí druhé derivace. Najdi znaménko funkce g( ). kořeny čitatele:... kořeny jmenovatele:...,, všechny mají lichou násobnost (jsou jednoduché). g( ) ( ) ( ) ,,, Lokální etrémy funkce g() najdeme:. Řešíme rovnici g' ( ), jejím řešením jsou tzv. stacionární body (body "podezřelé z etrému").. Sestavíme znaménko g' ( ) a usoudíme, že tam, kde g' ( ) >, funkce roste, kde je menší než nula, funkce klesá. Je-li stacionární bod v D(g), lze rozhodnout o maimu (LoMa) nebo minimu (LoMi). Není-li stacionární bod v D(g), o etrém nejde. (.) NEBO: Stacionární bod dosadíme do g'' ( ) a je-li g'' ( ) >, jde o minimum, je-li g'' ( ) <, jde o maimum. 3. Velikost (y-ovou souřadnici) etrému zjistíme dosazením stacionárního bodu do původní finkce g(). Najděte lokální etrémy funkce g( ) 3 3 g' ( ) 3 3 stacionární body g'' ( ) 6 g'' ( ) 6 6 > LoMi g( ) m[ ; - ] g'' ( ) 6 ( ) 6 < LoMa g( ) M[ - ; ] ( 3) Najděte lokální etrémy funkce g( ) ln( 3), > 3 g' ( ) 3 ( 3) ( 3) 3 g( ) SB mimo D(f) g'' ( ) dosadíme SB: g'' ( ) < LoMa ( 3) ( 3) g( ) ln( 3), 5 jde o jediné LoMa : M[ ; -,5 ] g( ) 3 6 8

3 Inflee, konkávnost a konvenost slouží k nalezení intervalů, kde funkce je konvení (graf leží nad tečnou) resp. konkávní (graf leží pod tečnou). Body z D(g) v nichž se konvenost mění na konkávnost nebo naopak, se nazývají inflení body. Je-li některý bod a inflení, potom g'' ( a), je-li v okolí bodu a funkce konvení, potom g'' ( a) >, je-li v okolí bodu a funkce konkávní, potom g'' ( a) <. Je dána funkce g( ) potom g' ( ) 3 + 8, g'' ( ) 6, dosadíme-li g'' ( ) 6 < a g() je tam konkávní, dosadíme-li g'' ( 3) 6 > a g() je tam konvení, dosadíme-li g'' ( ) a g() tam má inflení bod. Inflení body najdeme:. Řešíme rovnici g'' ( ), jedině v jejích kořenech mohou být inflení body - označme je a.. Správně: je-li g''' ( a), jde o inflení bod. Pro nás stačí ověřit, že tyto kořeny leží v D(f). 3. Velikost (y-ovou souřadnici) infleního bodu najdeme dosazením do g(), tedy je to g(a). Najděte inflení body funkce g( ) 3, kde D(g) R g' ( ) 3, g'' ( ), řešíme rovnici, tj. ( ) tedy, řešením jsou kořeny a, které oba leží v D(g). Usoudíme, že jsou to inflení body. Pro přesnější zjištění potřebujeme 3.derivaci, tedy g''' ( ), a protože g''' ( ), stejně jako g''' ( ), máme jistotu, že to inflení body opravdu jsou. Velikost (y-ovou souřadnici) nejdeme: g( ), zatím co g( ) 6, takže máme dva inflení body: I [ ; ], I [ ; ]. Oba leží na ose. g( ) 3 g( ) : Znaménko g'' ( ) : konvení konkávní konvení ,,

4 Asymptoty ke grafu funkce bez směrnice: jsou kolmé k ose, mají rovnici a, kde a je bod, kde asymptota protíná osu. hledáme je v bodech, kde funkce není definována. Eistují, jestliže eistuje aspoň jedna jednostranná ita k bodu a. se směrnicí: jsou pouze dvě (k, resp. k ). Mají rovnice y k. + q, y k. + q, kde koeficienty spočítáme: g( ) g( ) k, k, q ( g( ) k ), q ( g( ) k ) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce g( ), kde D(g) R - {}. asy bez nemůže být jinde než v bodě a. Proto zkusíme obě ity (ity z obou stran) : 6, + 6, tj graf jde k asymptotě z obou stran. asy se zjistíme : k q ( ) LH + LH první z nich má rovnici y + k ( ) LH q + LH druhá z nich má rovnici y + Jev, že k oběma nekonečnům vychází tatáž asymptota je velmi častý. Proto výpočet provádíme společně.

5 Průběh funkce se skládá z těchto kroků: definiční obor, lichost / sudost, periodicita... Doporučený postup:. zjistit definiční obor, lichost / sudost, periodicitu.. spočítat g' ( ) a g'' ( ) kladnost / zápornost, kořeny... růst, pokles, etrémy... z g( ) z g( ) z g' ( ) konvenost, konkávnost, inflee... z g'' ( ) asymptoty... pomocí it některé důležité body funkce... z g( ) sestrojíme graf 3. vyřešit rovnice g( ), g' ( ), g'' ( ) a jejich kořeny zakreslit do trojgrafu. v grafech vyznačit kladnost/zápornost, růst/poklas, konvenost/konkávnost, kořeny funkce, etrémy a inflee 5. najít rovnice asymptot 6. vypočítat y-ové souřadnice důležitých bodů 7. sestrojit graf (začít asymptotami a důležitými body) Pozn.: často některé z částečných úloh odpadnou (funkce je jednoduchá). Sestrojte průběh funkce g( ) D( g) R g( ) ( ) g( )... g() je sudá periodická není g' ( ) g'' ( ) g( ) tj. jsou kořeny funkce (tam graf prochází osou ) g' ( ) tj. 3 je kořen derivace, tj. stacionární bod g'' ( ) tj. nelze funkce nemá žádný inflení bod funkce nemá asymptoty bez směrnice, neboť D(g) R. k ( ) LH funkce nemá žádné asymptoty se směrnicí důležité body: pro "uchycení" grafu si vybereme, - a, tj. g(), g(-), g(). trojgraf : g( ) záporná k l a d n á záporná g' ( ),, r o s t e k l e s á, g( ) 3 g'' ( ) k o n k á v n í

6 Sestrojte průběh funkce g( ) : + D( f ) R g( ) g' ( ) g'' ( ) ( ) ( + ) g( ), g() je lichá, není periodická + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) 3 6 ( + ) 3 ( ) ( + ) 3 3 kořeny: g() etrémy: g () inflee: g () + ( + ) ( 3) tj. ( + ) 3 tj. tj. ( ) 3 tj trojgraf : g( ) g' ( ) g'' ( ) z á p o r n á k l a d n á, klesá r o s t e klesá,, konk. konvení konkávní konv.,,, m

7 Asymptoty bez směrnice nejsou, protože D(g) R Asymptoty se směrnicí: k q f( ) ( f( ) k ) ( + ) + + y + osa Tentýž graf ještě dvakrát v jiných měřítcích tak, aby bylo vidět a) konkávnost a konvenost b) asymptotu