PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

Transkript

1 Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční obor průsečíky jejího grau s osami a y intervaly na nichž je spojitá a body nespojitosti limity (i jednostranné) v krajních bodech jejího deiničního oboru a v bodech v nichž není spojitá intervaly monotonie tj intervaly na nichž je klesající rostoucí či konstantní její lokální etrémy intervaly na nichž je konkávní či konvení a její inlení body její asymptoty Po provedení výše uvedeného programu máme již o studované unkci zpravidla k dispozici dostatek inormací na to abychom její gra mohli načrtnout Další užitečné inormace mohou být zda je unkce sudá či lichá zda je periodická apod Řešení Maimální deiniční obor PŘÍKLAD Vyšetřete průběh unkce + Protože výraz + je vždy nenulový je maimální deiniční obor studované unkce totožný s množinou všech reálných čísel D Průsečík s osou y Průsečíky s osou Body nespojitosti () + + Funkce je spojitá na množině všech reálných čísel neboť unkce g a h + jsou spojitými unkcemi na a unkce h( ) nenabývá navíc v žádném bodě reálné osy nulové hodnoty Viz Breviář kap str Podle věty o limitě podílu viz Breviář kap platí pro libovolný bod a reálné osy Protože jsou ale obě unkce spojité můžeme dále psát g lim g a lim a h ( ) lim h ( ) a g a g ( a ) h( a) h Limita unkce g/h se tedy v libovolném bodě reálné osy rovná její unkční hodnotě a proto je tato unkce v libovolném bodě reálné osy též spojitá (viz Breviář kap str 7)

2 Průběh unkce Limity v nekonečnu lim lim lim lim + + Intervaly monotonie Intervaly monotonie hledáme řešením nerovnic > resp < Potřebujeme tedy znát první derivaci studované unkce Příslušné nerovnice řešíme obvyklým způsobem > > > ( ) + < < < ( ) ( + + Na intervalu (-) je tedy unkce rostoucí na intervalech ( ) a ( + ) klesající Lokální etrémy Na základě právě určených intervalů monotonie vidíme okamžitě že v bodě - nabývá studovaná unkce svého lokálního minima a v bodě lokálního maima Samostatně to ověřte výpočtem nulových bodů první derivace unkce a pomocí znaménka derivace druhé Intervaly konvenosti a konkávnosti Při vyšetřování konvenosti a konkávnosti zadané unkce řešíme nerovnice > resp < musíme proto znát její druhou derivaci + + ( ) ( ) ( )( ) 4 + ( ) + + ( ) ( ) Nerovnice vedoucí k intervalům na nichž je studovaná unkce konvení či konkávní řešíme opět některým ze standardních způsobů Např nalezneme nejdříve nulové body ( ) ( + ) ±

3 Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné a vezmeme v úvahu akt že na intervalech ( ) ( ) ( ) a ( + ) nemění druhá derivace studované unkce znaménko Snadným výpočtem ověříme že pro ( ) je < a tedy unkce je na tomto intervalu konkávní pro ( ) je > a tedy unkce je na tomto intervalu konvení pro ( ) je < a tedy unkce je na tomto intervalu konkávní pro ( + ) je > a tedy unkce je na tomto intervalu konvení Asymptota v Asymptota v je přímka y k+ q ke které se gra zadané unkce neomezeně blíží pokud nezávislá proměnná klesá pode všechny meze Její parametry k a q hledáme pro zadanou unkci pomocí vzorců k lim lim + lim + + ( ) + q lim [ k ] lim lim + + Asymptotou v je tedy přímka y čili osa Asymptota v + Zcela analogickým výpočtem získáme i parametry asymptoty v + ke které se gra unkce neomezeně blíží pro + k lim lim + + lim q+ lim [ k+ ] lim lim I asymptotou v + je tedy osa 4 Gra 6 4 y Abychom zdůraznili akt že se jedná o asymptotu v opatřujeme parametry k a q indeem 4 Shodou okolností jsou v tomto příkladu asymptoty v i v + totožné Obecně tomu tak ale být nemusí!

4 Průběh unkce CVIČENÍ Vyšetřete průběh následujících unkcí a nakreslete jejich gray a) b) c) + d) + 4 e) + ) + / 9 g) sin (5) h) tg + i) arctg (6) Výsledky: CVIČENÍ R a) R Klesající ; Rostoucí ; ; ; konkávní ; konvení d) R rostoucí ( klesající ( maimum Na celém D konkávní g) klesající + k kde k Z rostoucí + k kde k Z + k maimum + k minimum + k k 4 4 konkávní konvení b) R Klesající (-;) Rostoucí ( ; ) ( ; maimum minimum ; konvení 6 e) R klesající( rostoucí ( minimum ( ;) konvení ( ) ( ; ; konkávní h) R \ ( n + ) konkávní + k konvení + k Na každém intervalu rostoucí Nemá ma ani min 5 U této unkce vyšetřete její průběh na intervalu ( / / ) 6 U této unkce vyšetřete její průběh na intervalu

5 Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné c) R \ ( ) ( ; ( ;) klesající ; rostoucí maimum minimum ( ; konvení ( ; konkávní ) ( D rostoucí 4 klesající ( 4) maimum 4 minimum ;) konkávní ( ; konvení i) { n} kde N n lok ma ( n) lok min V celém je rostoucí Nemá ma ani min ; konvení ( ; konkávní a d g b e h c i