I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n ) má v bodě a G lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že f(x) f(a), resp. f(x) f(a), pro x U(a) G. Platí-li pro body x a ostrá nerovnost, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. ostrém lokálním minimu. Říkáme, že funkce má v bodě lokální extrém, má-li lokální maximum či lokální minimum. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Budeme nejdříve uvádět podmínky a způsob výpočtu pro funkci dvou proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G R 2. Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f(x, y), tj. Jestliže platí: (a) = (a) = 0. resp. ( ) ( 1 = 2 f x (a) < 0 a 2 2 = 2 f f 2 ) 2 2 (a) 2 x (a) f 2 x (a) > 0, ( ) x (a) > 0 a 2 ( f f 2 ) 2 2 x 2 (a) 2 (a) f 2 x (a) > 0, pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je 2 ( f f 2 ) 2 x 2 (a) 2 (a) f 2 x (a) < 0, pak funkce f = f(x, y) nemá v bodě a lokální extrém. Řešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, 39
která má řešení x = 1, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 x = 1, = 2. 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = ( 2, 1) lokální minimum a f( 2, 1) = 2. 2. f(x, y) = 6xy x 3 8y 3 + 125. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 6y 3x2, = 6x 24y2. 3x 2 6y = 0 6x 24y 2 = 0, která má řešení x 1 = 0, y 1 = 0 a x 2 = 1, y 2 = 1. Vypočteme parciální derivace 2. 2 řádu a dostaneme, že x 2 = 6x, x = 6, 2 = 48y. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a 1 = (0, 0) je 1 = 0, 2 = 36 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a 1 = (0, 0) lokální extrém. V bodě a 2 = (1, 1 2 ) je 1 = 6 < 0, 2 = 108 > 0 má tedy funkce f v tomto bodě lokální maximum a f(1, 1 2 ) = 126. 3. f(x, y) = x 2 2y 2 4x + 8y 6. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 2x 4, = 4y + 8. 2x 4 = 0 4y + 8 = 0, která má řešení x = 2, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 x = 0, = 4. 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (2, 2) je 1 = 2 > 0, 2 = 8 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 2) lokální extrém. 40
4. f(x, y) = 3lnx + xy 2 y 3. Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x > 0} a funkce f má spojité parciální x = 3 x + y2, = 2xy 3y2. 3 x + y2 = 0 y(2x 3y) = 0, která má řešení x = 3 3 2 2, y = 3 2. Tento bod není v definičním oboru. Funkce nemá žádný stacionární bod, tudíž nemá lokální extrémy. 5. f(x, y) = x 3 + y 3 18xy + 15. Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 a funkce f má spojité parciální x = 3x2 18y, = 3y2 18x. x 2 6y = 0 y 2 6x = 0, která má řešení x 1 = 0, y 1 = 0 a x 2 = 6, y 2 = 6. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x 2 = 6x, x = 18, 2 = 6y. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a 1 = (0, 0) je 1 = 0, 2 = 324 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (0, 0) lokální extrém. V bodě a 2 = (6, 6) je 1 = 36 > 0, 2 = 972 > 0, tudíž má funkce f v bodě a 2 = (6, 6) lokální minimum a f(6, 6) = 201. 6. f(x, y) = ln(x 3 ) + 2lny + ln(12 x y). Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 12} a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je x = 3 x 1 12 x y, = 2 y 1 12 x y. 3 1 x 2 1 y 12 x y = 0 12 x y 4x + 3y = 36 = 0 2x + 3y = 24 41
která má řešení x = 6, y = 4. Bod a = (6, 4) je bodem definičního oboru. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 3 2 x 1 2 (12 x y), 2 x = 1 (12 x y), 2 = 2 2 y 1 2 (12 x y). 2 Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (6, 4) je 1 = 1 3 < 0, 2 = 1 16 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = (6, 4) lokální maximum a je f(6, 4) = ln6912. Neřešené příklady pro funkce dvou proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy x y + 3. = 2x y 1, = 2y x 1.] [stacionární bod a = (1, 1), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 2. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 9y. = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 3. f(x, y) = 6xy + x 3y 2x 2 5y 2 + 7. = 6y + 1 4x, = 6x 3 10y.] [stacionární bod a = ( 2, 3 2 ), 1 = 4 < 0, 2 = 4 > 0, lokální maximum.)] 4. f(x, y) = x 2 y 2 + 2x + 6y + 5. = 2x + 2, = 2y 6.] [stacionární bod a = ( 1, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 5. f(x, y) = 3x + 6y x 2 xy + y 2. = 3 2x y, = 6 x + 2y.] [stacionární bod a = ( 12 5, 9 5 ), 1 = 2 < 0, 2 = 5 < 0, není lokální extrém.)] 6. f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ). x = e x 2 ( x 2 + y2 2 + 1), = 2ye x 2.] [stacionární bod a = ( 2, 0), 1 = 1 2 e 1 > 0, 2 = e 2 > 0, lokální minimum.)] 7. f(x, y) = 1 x + 1 y xy. [D f = {(x, y); x 0, y 0}, x = 1 x 2 y, = 1 y 2 x.] [stacionární bod a = ( 1, 1), 1 = 2 < 0, 2 = 3 > 0, lokální maximum.)] 42
8. f(x, y) = 2x 3 y x 2 y 2 + 32x + 5. x = 6x2 y 2xy 2 + 32, = 2x3 2x 2 y.] [stacionární bod a = ( 2, 2), 1 = 24 > 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] 9. f(x, y) = 2x 3 + xy 2 24x + 5. x = 6x2 + 2y 2 24, = 2xy.] [stacionární bod a 1 = (2, 0), 1 = 24 > 0, 2 = 96 > 0, lokální minimum.)] [stacionární bod a 2 = ( 2, 0), 1 = 24 < 0, 2 = 96 > 0, lokální maximum.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] 10. f(x, y) = 3x 2 2x y + y 8x + 12. [D f = {(x, y); y > 0}, x = 6x 2 y 8, [stacionární bod a = (2, 4), 1 = 6 > 0, 2 = 1 2 11. f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5. = x y + 1.] > 0, lokální minimum.)] [D f = R 2, = x 3x2 6y, = 24y2 6x.] [stacionární bod a = (0, 0), 1 = 0, 2 = 36 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (1, 1 2 ), 1 = 6 > 0, 2 = 108 > 0, lokální minimum.)] 12. f(x, y) = x 2 + xy + y 2 6x 9y. [D f = R 2, = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 13. f(x, y) = 2xy 2x 4y. [D f = R 2, = 2y 2, = 2x 4.] [stacionární bod a = (2, 1), 1 = 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 14. f(x, y) = x y x 2 y + 6x + 3. [D f = {(x, y); y > 0}, [stacionární bod a = (4, 4), 1 = 2 < 0, 2 = 3 16 x = y 2x + 6, = x 2 1.] y > 0, lokální maximum.)] Lokální extrémy funkce tří proměnných. Nyní uvedeme podmínky a způsob výpočtu pro funkci tří proměnných a omezíme se na případy, kdy má funkce f = f(x, y, z) spojité parciální derivace druhého řádu v otevřené množině G R 3. Podmínky pro existenci lokálního extrému. Nechť bod a je stacionárním bodem funkce f = f(x, y, z), tj. x (a) = (a) = (a) = 0. z 43
Označme 1 = 2 f x 2, 2 =, x 2, x x, 3 = 2, x 2, x, x z, x, 2, z x z z. z 2 Jestliže v bodě a platí: ( ) 1. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální minimum 2. 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, pak má funkce f v bodě a ostré lokální maximum 3. 3 0 a nenastane-li žádná z možností z 1 a 2, pak funkce f v bodě a lokální extrém nemá. Řešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z xy + xz. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x y + z, = 2y x, z = 2 + x. 2x y + z = 0 2y x = 0 2 + x = 0, která má řešení x = 2, y = 1, z = 3. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 0, 2 x = 1, x z = 1, z = 0. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1, 3) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, 3 = 2 < 0 tudíž funkce f nemá lokální extrém. 2. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xz z + x 2y + 5. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x + z + 1, = 2y 2, z = 2z + x 1. 2x + z + 1 = 0 x + 2z 1 = 0 2y 2 = 0, která má řešení x = 1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 2, 2 44
x = 0, x z = 1, z = 0. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 1, 1, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 6 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 1, 1, 1) lokální minimum. 3. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 3yz + xz 8x 3z. Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 a funkce f má spojité parciální x = 2x + 2y + z 8, = 2y + 2x 3z, z = 2z 3y + x 3. 2x + 2y + z 8 = 0 2x + 2y 3z = 0 x 3y + 2z 3 = 0, která má řešení x = 2, y = 1, z = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že x = 2, 2 = 2, 2 z = 2, 2 x = 2, x z = 1, z = 3. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = (2, 1, 2) je 1 = 2 > 0, 2 = 0, 3 = 32 < 0 tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 1, 2) lokální extrém. 4. f(x, y, z) = x + y2 + z2 + 2, x > 0, y > 0, z > 0. 4x y z Funkce f má spojité parciální derivace všech řádů v uvažované množině a je x = 1 y2 4x 2, = 2y 4x z2 y, 2 z = 2z y 2 z. 2 4x 2 y 2 = 0 2y 3 4xz 2 = 0 2z 3 2y = 0, která má řešení x = 1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a 2 dostaneme, že x 2 = y2 2x 3, x = 2y 4x 2, = 1 2 2x + 2z2 y, 3 x z = 0, z 2 = 2 y + 4 z 3, z = 2z y 2. Z podmínek ( ) vyplývá, že v bodě a = ( 1, 1, 1) je 2 1 = 4 > 0, 2 = 8 > 0, 3 = 32 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 1, 1, 1) lokální minimum. 2 Neřešené příklady pro funkce tří proměnných. Úloha: Určete lokální extrémy dané funkce. 45
1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y 6z. [D f = R 3, = 2x + 2, = 2y + 4, = 2z 6.] z [stacionární bod a = ( 1, 2, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 8 > 0, lokální minimum.] 2. f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z. [D f = R 3, x = 3x2 + 12y, = 2y + 12x, z = 2z + 2.] [stacionární bod a 1 = (0, 0, 1), 1 = 0, 2 = 144 < 0, 3 = 48 < 0, není lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (24, 144, 1), 1 = 144 > 0, 2 = 144 > 0, 3 = 288 > 0, lokální minimum.] 3. f(x, y, z) = 2xy x 2 y + e y + z 5arctgz. [D f = R 3, = 2y 2x, = 2x 1 + ey, [stacionární bod a 1 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] 6. Vázané a absolutní extrémy. z = 1 5 1+z 2.] < 0, není < 0, není Při vyšetřování chování funkce z pohledu největší a nejmenší její hodnoty, řešíme často úlohu, kdy nehledáme tyto hodnotu v celém definičním oboru funkce, ale pouze na nějaké jeho podmnožině. Tato podmnožina bývá obvykle popsána soustavou rovnic a nerovnic. V případě, že je omezující podmínka dána jako rovnice či soustava rovnic mluvíme o vázaných extrémech. Uvedeme formulaci pro funkce dvou a tří proměnných. Funkce f = f(x, y), má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 2 a množina M R 2 je vymezena podmínkou M = {(x, y); g(x, y) = 0}, kde funkce g = g(x, y) má spojité parciální derivace. Funkce f = f(x, y, z) má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 3 množina M R 3 je vymezena podmínkou s M = {(x, y, z); g(x, y, z) = 0} nebo M = {(x, y, z); g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 0}. Hledáme body a G M, pro které platí, že f(a) f(x), resp. f(a) f(x) v nějakém okolí bodu a. Říkáme, že v těchto bodech má funkce lokální extrém vzhledem k množině M. Uvedeme několik příkladů, na kterých budeme ilustrovat postup řešení. Absolutním extrémem funkce v nějaké množině nazýváme její největší a nejmenší hodnotu. Při hledání těchto hodnot využíváme algoritmů, které jsme uvedli při hledání 46
lokálních a vázaných extrémů. Vycházíme z tvrzení, že spojitá funkce v uzavřené a omezené množině v R n vždy nabývá své největší a nejmenší hodnoty. Algoritmus budeme ilustrovat na případě funkce dvou proměnných. Hledáme největší a nejmenší hodnotu funkce f = f(x, y) na omezené a uzavřené množině A R 2. Předpokládáme, že funkce má spojité parciální derivace v otevřené množině G R 2, která obsahuje množinu A. Dále předpokládáme, že hranice množiny je složena z konečného počtu křivek M i, které můžeme popsat rovnicemi M i = {(x, y); g i (x, y) = 0} a konečného počtu bodů b j, ve kterých na sebe křivky navazují. Označme si B = {a i } množinu bodů, kterou dostaneme tak, že vezmeme všechny body množiny A, ve kterých má funkce lokální extrémy, přidáme body množin M i, ve kterých má funkce relativní extrémy vzhledem k těmto množinám a dále všechny body b j. Potom platí: max{f(x, y); (x, y) A} = max{f(x, y); (x, y) B}, min{f(x, y); (x, y) A} = min{f(x, y); (x, y) B}. Poznamenejme, že množina B je konečná a maximum či minimum vybíráme z konečného počtu hodnot. Řešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}. Z dané podmínky vyplývá, že požadovaná podmínka pro bod (x, y) bude splněna, pokud y = 1 x, x R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 1}, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(x) = f(x, 1 x) jako funkce jedné proměnné v R. Po dosazení dostaneme, že h(x) = x 2 + (1 x) 2 = 2x 2 2x + 1. Je Dále je h (x) = 4x 2 a h (x) = 0 4x 2 = 0 x = 1 2. h (x) = 4 h ( 1 2 ) > 0, má tedy funkce h = h(x) v nalezeném bodě lokální minimum. Pro x = 1 je y = 1 2 2 a tedy má funkce f(x, y) v bodě ( 1, 1 ) lokální minimum vzhledem k množině M. 2 2 2. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = xy vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 4}. Vazební podmínkou je kružnice, kterou snadno popíšeme parametricky rovnicemi x = 2 cos t, y = 2 sin t, t R. Funkce f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít lokální extrém funkce h(t) = f(2 cos t, 2 sin t) jako funkce jedné proměnné v R. Je h(t) = 4 cos t sin t = 2 sin 2t, h (t) = 4 cos 2t a h (t) = 8 sin 2t. 47
Nulové body derivace jsou body π + k π 4 2 funkcí stačí uvažovat body a vzhledem k periodicitě goniometrických t 1 = π 4, t 2 = 3π 4, t 3 = 5π 4 a t 4 = 7π 4, kterým na kružnici odpovídají po řadě body a 1 = ( 2, 2), a 2 = ( 2, 2), a 3 = ( 2, 2) a a 4 = ( 2, 2). Protože je h (t 1 ) = h (t 3 ) = 8 < 0 a h (t 2 ) = h (t 4 ) = 8 > 0 má funkce f(x, y) v bodech a 1, a 3 lokální maxima a v bodech a 2, a 4 lokální minima vzhledem k množině M. 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 4x + 3y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); xy = 1}. Vazební podmínku můžeme přepsat ve tvaru y = 1 x x (, 0), nebo y = 1 x x (0, ). Funkce f = f(x, y) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x) = f(x, 1 ) lokální extrém jako funkce jedné proměnné. Je x h(x) = 4x + 3 x 2, h (x) = 4 3 x 2 a h (x) = 6 x 3. Nulové body derivace jsou x 1 = 3, x 2 2 = 3, kterým odpovídají v množině M 2 po řadě body a 1 = ( 3, 3 2 ), a 2 2 = ( 3, 2 2 3 ). Dále je h (x 1 ) > 0 a h (x 2 ) < 0. Funkce f(x, y) má v bodě a 1 lokální minimum a v bodě a 2 má lokální maximum vzhledem k množině M. 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xyz vzhledem k množině M = {(x, y, z); x + y + z = 3}. Vazební podmínku můžeme přepsat do tvaru z = 3 x y, (x, y) R 2 a funkce f(x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže bude mít funkce h(x, y) = f(x, y, 3 x y) lokální extrém jako funkce dvou proměnných v R 2. Tyto extrémy nalezneme postupem, který jsme uváděli v odstavci 5. Je h(x, y) = xy(3 x y) = 3xy 3x 2 y 3xy 2, (x, y) R 2. Dále je h x = 3y 6xy 3y2, 2 h x 2 = 6y, 2 h 2 = 6x, h = 3x 3x2 6xy, 2 h x = 3 6x 6y. 48
Stacionární body jsou určeny soustavou rovnic která má řešení y 2 + 2xy y = 0, x 2 + 2xy x = 0, (x 1, y 1 ) = (0, 0), (x 2, y 2 ) = (0, 1), (x 3, y 3 ) = (1, 0) a (x 4, y 4 ) = Jim odpovídají v množině M po řadě body a 1 = (0, 0, 3), a 2 = (0, 1, 2), a 3 = (1, 0, 2), a = ( 1 3, 1 3, 7 3 V označení z odstavce 5 dostaneme pro jednotlivé body: 0, 3 a 1 = (0, 0, 3) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 0, 3 a 2 = (0, 1, 2) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 0, 3 a 3 = (1, 0, 1) : 1 = 0, 2 = = 9 < 0; 3, 0 ( 1 a 4 = 3, 1 3, 7 2, 1 : 1 = 2 < 0, 2 = 3) 1, 2 = 3 > 0; ( 1 3, 1 3). Odtud plyne, že funkce f(x, y) má v bodě a 4 = ( 1, 1, 7 ) lokální maximum vzhledem k množině M. V ostatních bodech lokální extrém 3 3 3 nemá. 5. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xy + xz + yz vzhledem k množině M = {(x, y, z); xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. Vazební podmínku můžeme vyjádřit ve tvaru z = 1, x > 0, y > 0. Funkce xy f(x, y, z) bude mít lokální extrém vzhledem k množině M, jestliže má funkce h(x, y) = f(x, y, 1 ) lokální extrém v některém z bodů množiny {(x, y); x > 0, y > xy 0}. Je Dále je h x = y 1 x 2, h(x, y) = xy + 1 y + 1, x > 0, y > 0. x h = x 1 y 2, Stacionární body jsou určeny soustavou 2 h x 2 = 2 x 3, x 2 y = 1, y 2 x = 1, x > 0, y > 0, 2 h 2 = 2 y 3, ). 2 h x = 1. která má řešení x = y = 1 a tomu odpovídá bod (1, 1, 1) v množině M. Pro tento bod dostaneme 2, 1 1 = 2 > 0, 1, 2 = 3 > 0, má tedy funkce f(x, y, z) v bodě a = (1, 1, 1) lokální minimum vzhledem k množině M. 49
6. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 + y 2 xy + x + y v množině A = {(x, y); x + y 3, x 0, y 0}. Nejprve podle popsaného postupu hledáme lokální extrémy funkce f(x, y). Množina G = R 2 a = 2x y + 1, = 2y x + 1. Stacionární body jsou řešením soustavy 2x y + 1 = 0 x 2y 1 = 0 x = 1 y = 1, ale tento bod není v množině A a nebudeme jej dále uvažovat. Nyní budeme vyšetřovat chování funkce na hranici. Ta se skládá ze tří úseček a nalezneme lokální extrémy funkce vzhledem ke každé z nich. M 1 = {(x, y); y = 0, 0 < x < 3}. Hledáme lokální extrémy funkce h 1 (x) = f(x, 0) = x 2 + x, 0 < x < 3. Protože je h 1(x) = 2x + 1 = 0 x = 1 2, funkce nemá lokální extrémy vzhledem k množině M 1. M 2 = {(x, y); x = 0, 0 < y < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h 2 (y) = f(0, y) = y 2 + y, 0 < y < 3. Je h 2(y) = 2y + 1 = 0 y = 1 2, nemá funkce lokální extrémy vzhledem k množině M 2. M 3 = {(x, y); y = 3 x, 0 < x < 3.} Hledáme lokální extrémy funkce h 3 (x) = f(x, 3 x) = 3x 2 9x + 12, 0 < x < 3. Je h 3(x) = 6x 9 = 0 x = 3 2 protože je bod ( 3, 3) bodem úsečky M 2 2 3, zahrneme jej do dalších úvah. Množinu B tudíž tvoří body a 1 = ( 3 2, 3 2 ), a 2 = (0, 0), a 3 = (3, 0) a a 4 = (0, 3). V těchto bodech nabývá funkce f(x, y) hodnot f( 3, 3) = 21, f(0, 0) = 0, f(3, 0) = 12, f(0, 3) = 12 2 2 4 a tudíž má funkce maximum 12 v bodech (3, 0), (0, 3) a minimum 0 v bodě (0, 0). 7. Úloha: Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 2x 3 + 4x 2 + y 2 2xy v množině A = {(x, y); x 2 y 4}. Nejprve hledáme lokální extrémy funkce f(x, y). Pro stacionární body této funkce dostaneme soustavu rovnic x = 6x2 + 8x 2y = 0, = 2y 2x = 0, která má řešení (x, y) = (0, 0), (x, y) = ( 1, 1). Pouze bod (0, 0) patří do množiny A. Nyní budeme hledat lokální extrémy vzhledem ke hranici. Ta se skládá ze dvou částí. První je částí paraboly a druhou je úsečka. M 1 = {(x, y); y = x 2, 2 < x < 2}. Budeme vyšetřovat funkci h 1 (x) = f(x, x 2 ) = x 4 + 4x 2. Pro tuto funkci je h 1(x) = 4x 3 + 8x = 0, jestliže x = 0. Bod (0, 0) jsme již nalezli jako lokální extrém. a 50
M 2 = {(x, y); y = 4, 2 < x < 2}. Vyšetřujeme chování funkce h 2 (x) = f(x, 4) = 2x 3 + 4x 2 8x + 16. Pro tuto funkci dostaneme h 2(x) = 6x 2 + 8x 8 = 0 jestliže x 1 = 2 nebo x 3 2 = 8. Pouze bod ( 2, 4) patří do množiny A. 3 3 Množinu B tvoří body a 1 = (0, 0), a 2 = ( 2 3, 4), a 3 = (2, 4), ya 4 = ( 2, 4). Pro tyto body dostaneme hodnoty f(0, 0) = 0, f( 2 3 352, 4) =, f(2, 4) = 64, f( 2, 4) = 32. 27 Odtud plyne, že funkce f(x, y) má největší hodnotu 64 v bodě (2, 4) a nejmenší hodnotu 0 v bodě (0, 0). Neřešené úlohy. 1. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e xy vzhledem k množině M = {(x, y); x + y = 2}. [v bodě (1, 1) je lokální maximum] 2. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = 5x 2 4y + 6x 2 vzhledem k množině M = {(x, y); 2x 2 y 1 = 0}. [lokální maximum v bodě (1, 1)] 3. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = e x2 y 2 (3x 2 + 2y 2 ) vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 4}. [lokální maxima v bodech (2, 0), ( 2, 0), lokální minima v bodech (0, 2), (0, 2)] 4. Úloha: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 y 2 vzhledem k množině M = {(x, y); x 2 + y 2 = 1}. [lokální maxima v bodech (1, 0), ( 1, 0), lokální minima v bodech (0, 1), (0, 1)] 51