@08 8. Lineární rovnice s aramerem Příklad: Řeše lineární rovnice v R. a) + = 5 b) + = 5 c) + = 5 d) + 4 = 5 e) + 5 = 5 f) + 6 = 5 g) + 7 = 5 h) + 8 = 5 i) + 9 = 5 Řešení: Všechny rovnice se řeší sejně. K oběma sranám rovnice řičeme (odečeme) vhodné číslo: a) + = 5 => = 5 - => = 4 b) + = 5 = 5 - = c) + = 5 = 5 - = d) + 4 = 5 = 5-4 = e) + 5 = 5 = 5-5 = 0 f) + 6 = 5 = 5-6 = - g) + 7 = 5 = 5-7 = - h) + 8 = 5 = 5-8 = - i) + 9 = 5 => = 5-9 => = -4 Poznámka: Takováo sada říkladů jisě oěší žáka ze. řídy aod., roože myslí ouze s konkréními čísly a ak ješě nedokáže osřehnou, že je o srašná nuda. Ovšem my sarší u nudu cííme a chěli bychom všechny y říklady vyřeši najednou. Úkol: Rozmyslee si, jak by bylo možné všech devě rovnic vyřeši najednou. Návod: Uvědome si, že z geomerického hlediska ředsavují všechny levé srany y = +, y = +, y = +, rovnice rovnoběžných římek
okračování
@085 zě A eď sejnou výrokovou formu, ale "obráceně"; aramer oiž nemusí bý vždy označován ale řeba i. Nesmíme si lés neznámou a aramer. Příklad: Řeše v R rovnici s aramerem v oboru reálných čísel + = -. Řešení: rozbor Neznámá je, roo musíme rovés akové úravy, abychom osamosanili na jedné sraně rovnice a na druhé sraně rovnice bude nějaký výraz s aramerem (roměnnou). + = - + = - ( + ) = - Nyní ozor, nulou nelze děli!!! Proo musíme množinu R arameru rozloži na čási rozklad = - jedna konkréní hodnoa - koeficien u je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor okračuje konkréní hodnou musíme dosadi do zadané rovnice a uo řeši od začáku - + = - = - kandidái na řešení dosaly jsme neravdivý výrok Ø zkouška není co od abulkou odověď - Rovnice + = - s aramerem souhrn ro = - ro - nemá žádné řešení má jediné řešení L P ( ( ) ( ) ) ( ) Tedy L=P ro každé -.
okračování
@088 Bohužel Když se odíváe na výše řešené říklady, ak nikde nenajdee, že by se rozdělení množiny arameru odvolávalo, nějak záviselo, na roměnné = neznámé. Tedy rozklad množiny arameru na neznámé roměnné nesmí závise. V dané čási rozkladu je ak určeno řešení (eisuje-li), kde je výraz určující závislos neznámé na arameru. znovu rosuduje
@09 Ale má. Původní rovnice ro n = 0 má var 0.( - ) = + 0 0 = Zkoušku roveďe sami. Přesvědčí vás, že ro n=0 má rovnice jediné řešení. znovu rosuduje a řeše
@094 Bohužel znovu rovnici vyřeše
@08 zě Když míso čísel,,,4,5,6,7,8,9 naíšeme ísmeno, můžeme všechny rovnice nasa jednou formulkou + = 5 s ím, že může nabýva někeré hodnoy,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Od obou sran rovnice odečeme číslo a dosaneme Zkouška : L(5-) = (5-) + = 5 - + = 5 P(5-) = 5 = 5 - Zkouška dokazuje, že = 5 - je řešením ro všechna číslo =,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Poznámka: Proměnné z výše uvedeného říkladu říkáme aramer a množině {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} obor arameru - obvykle bývá R. Rovnici + = 5 ak nazýváme rovnicí s aramerem. Všimněe si, že musíme říc, kerá roměnná je aramer, roože bychom o jinak neměli jak ozna. Definice: Nechť L(,) a P(,) jsou dvě názvové formy, kde, R. Výroková forma L(,)=P(,) se nazývá rovnice s aramerem. Výrokové formy L(,)<P(,) L(,) P(,) L(,) P(,) L(,)>P(,) se nazývají nerovnice s aramerem. Definice: Řeši rovnici L(,)=P(,) v R s aramerem R znamená urči rozklad množiny oboru arameru ak, aby rovnice měla v každém rvku rozkladu žádné, jedno, dvě, ad, nekonečně mnoho řešení S() = { R ; L(,)=P(,) } v závislosi na hodnoě arameru výčem nebo inervalem. Poznámka: Definice řešení nerovnosi je áž jen míso = naíšeme někeré z relačních znamének < >.
Poznámka: Volně řešeno - řeši rovnici s aramerem znamená rozděli množinu R na čási a rovnice má ak v každé čási ro každou hodnou arameru sejný oče řešení ro neznámou. Poznámka: Vždycky musíme zdůrazni, kerá roměnná je aramer, roože rozdíl mezi neznámou a aramerem sočívá nikoli v záisu rovnice ale ve zůsobu řešení. Ukážeme si o na říkladech. okračování
@086 zě Úkol: Řeše rovnici v R s aramerem R a výsledek znázorněe na číselné ose Rovnice nemá žádné řešení ro = = - =
@089 zě Srávně. Řeše rovnici v R s aramerem R a výsledek znázorněe na číselné ose Řešení: rozbor rovnice má smysl jen ro, o budeme muse v závěru rověři; řešením nemůže bý + = - + = - ( + ) = - Nyní ozor, nulou nelze děli!!! Proo musíme množinu R arameru rozloži na čási rozklad = - jedna konkréní hodnoa - koeficien u je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor konkréní hodnou musíme dosadi okračuje do zadané rovnice a uo řeši od začáku + = - + = - kandidái na řešení dosaly jsme neravdivý výrok Ø zkouška není co od abulkou odověď - souhrn Rovnice s aramerem ro = - ro - nemá žádné řešení má jediné řešení L P
Tedy L=P ro každé -. ALE ješě u máme odmínku. Proo musíme rozkouma, jesli se ro nějaké nemůže rovna. Pokud omu ak bude, budeme muse oo aky vylouči (ro něj nebude mí rovnice řešení). rozbor ( ) rozbor ukazuje, že akový říad (akové ) neeisuje okračování
@09 Má, ale jediné. Původní rovnice ro n = má var ( - ) = + - = + = 4 Zkoušku roveďe sami. Přesvědčí vás, že ro n= má rovnice jediné řešení. znovu rosuduje a řeše
@095 zě Srávně. odověď - souhrn Rovnice n( - ) = + n s aramerem n ro n {} nemá žádné řešení ro n (- ;) (;+ ) má jediné řešení n n Příklad: Řeše v R rovnici s aramerem k R y y k k Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí bý ve jmenovaeli nula, edy y Rovnici vynásobíme (y - k) k, ověříme na konci. y = (y-k)(k+) y = ky + y - k - k k + k = ky k(k+) = ky rozklad k = 0 jedna konkréní hodnoa k 0 a zároveň k - koeficien u y je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor konkréní hodnou musíme dosadi do k okračuje zadané rovnice a uo řeši od začáku y y y = kandidái na řešení okud je y 0 jde o ravdivý výrok ro všechna osaní reálná čísla y nekonečně mnoho kandidáů zkouška obrácením osuu od abulkou y k
y y k odověď - souhrn Rovnice k s aramerem k ro k = 0 má nekonečně mnoho řešení y R\{0} k ro k 0 má jediné řešení y Zkouška ro k 0 k L k k P k k k k k Zkouška L = P dokazuje srávnos řešení ro k 0 Na začáku rozboru jsme si oznamenali, že y nasa. (y =) k+ = k = 0 neravdivý výrok => nikdy nemůže nasa. k. Zkoumejme, ro jaké k by o mohlo Úkol: Řeše v R rovnici s aramerem a a a a a okračování výsledek
@084 zě Příklad: Řeše v R rovnici s aramerem v oboru reálných čísel + = -. Řešení: rozbor Neznámá je, roo musíme rovés akové úravy, abychom osamosanili na jedné sraně rovnice a na druhé sraně rovnice bude nějaký výraz s aramerem (roměnnou). + = - - = - - ( - ) = -( + ) Nyní ozor, nulou nelze děli!!! Proo musíme množinu R arameru rozloži na čási rozklad = jedna konkréní hodnoa koeficien u je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor okračuje kandidái na řešení konkréní hodnou musíme dosadi do zadané rovnice a uo řeši od začáku + = = dosaly jsme neravdivý výrok Ø zkouška není co od abulkou odověď - Rovnice + = - s aramerem souhrn ro = ro nemá žádné řešení má jediné řešení L P ( ( ) ) ( ( ) ) 6 6 6 6 Tedy L=P ro každé.
Poznámka: Vždycky musíme zdůrazni, kerá roměnná je aramer, roože rozdíl mezi neznámou a aramerem sočívá nikoli v záisu rovnice ale ve zůsobu řešení. okračování
@087 Bohužel. Máe sice ravdu, že = nemůže bý řešením, roože ro uo hodnou nemá levá srana rovnice smysl, ale zaměnil jse aramer za roměnnou=neznámou. znovu rosuduje
@090 zě Výsraha: Zkoušku nelze okláda za formální roces. Někdy změní (dolní) rozklad množiny oboru arameru o další čás. Příklad: Řeše rovnici v R s aramerem a R a graficky znázorněe závěry na číselné ose a a Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí bý ve jmenovaeli nula, edy Rovnici vynásobíme (-), ověříme na konci. (a-)(-) = a a - - 6a + = a + 6a = (+6a) = rozklad a = -/6 jedna konkréní hodnoa a -/6 koeficien u je různý od nuly, rovnici lze děli rozbor okračuje konkréní hodnou musíme dosadi do zadané rovnice a uo řeši od začáku 6 6 (--6)(-) = - - +6-6+8=- 8 = 0 6a kandidái na řešení dosaly jsme neravdivý výrok Ø zkouška není co od abulkou odověď - a a souhrn Rovnice s aramerem a 6a ro a {-/6; 0} nemá žádné řešení ro a R\{-/6; 0} má jediné řešení 6a Zkouška ro a -/6
a L 6a a( ) P 6a 6a 9a 8a( 6a) 6a ( 6a) ( 6a) ( 6a) ( 6a) ( 6a) 9a( ( 6a) ( 6a)) ( 9a 6a)( 8a) Zkouška ravé srany rovnice vyžaduje ješě ožadova a 0, jinak úravy nemají smysl. Zkouška L = P dokazuje srávnos řešení ro a -/6, a 0 Na začáku rozboru jsme si oznamenali, že. Zkoumejme, ro jaké a by o mohlo nasa. ( ) 6a 0 a 6a To je ovšem rávě en říad, kdy vyočís ravou sranu zkoušky nelze. Tomu odovídá souhrn uvedený v abulce. Úkol: Řeše v R rovnici s aramerem n R
n( - ) = + n Kerý z ěcho výroků laí ro n = 0 ro n = ro n = nemá rovnice řešení má rovnice nekonečně mnoho řešení nemá rovnice řešení zě
@09 zě Srávně. Úkol: Keré grafické znázornění závěrů o řešení rovnice n( - ) = + n v R s aramerem n je srávné? variana A: variana B: variana C:
@096 zě Řeše v R rovnici s aramerem a a a a a odověď - souhrn Rovnice a a a a s aramerem a ro a = 0 má nekonečně mnoho řešení R ro a {-; } nemá žádné řešení ro a R \{-; 0; } má jediné řešení = KONEC LEKCE