Literatura [1] eiser, A.: Úvod do moderní fyziky. Academia, Praha 1975. [] rož, J. a ko.: Zákady fyzikáních měření. SPN, Praha 1967. [3] Fuka, J., Haveka,.: Eektřina a magnetismus. 3. vydání. SPN, Praha 1979. [4] Haňka, L.: Teorie eektromagnetického poe. SNTL/ALFA, Praha 198. [5] Horák, Z., Krupka, F.: Fyzika. SNTL/SVTL, Praha 1966, 1976, 1981. [6] Hubeňák, J.: Řešené úohy z eektřiny a magnetismu. Edice SCIO ME MULTA NESCIRE č.8. MAFY, Hradec Kráové 1997. [7] Hubeňák, J.: Úohy výkonového kursu fyziky v SRN. 1. část - Eektrické a magnetické poe. Edice SCIO ME MULTA NESCIRE č.19. MAFY, Hradec Kráové 1999. [8] Krempaský, J.: Fyzika. Afa/SNTL ratisava 198. [9] Irodov, I., E.: Osnovnyje zakony eektromagnetizma. Izd. Vysšaja škoa, Moskva 1983. [10] Vybíra,.: Fyzikání poe z hediska teorie reativity. SPN, Praha 1976, SPN, ratisava 1980. [11] Vybíra,.: Teorie eektromagnetického poe. Pedagogická fakuta v Hradci Kráové, Hradec Kráové 1984. [1] Vybíra,.: Eektrostatika. Knihovnička fyzikání oympiády č. 39. MAFY, Hradec Kráové 1999. [13] Vybíra,.: Magnetické poe ve vakuu. Knihovnička fyzikání oympiády č. 4. MAFY, Hradec Kráové 000. [14] Vybíra,.: Setrvačníky a jejich apikace. Knihovnička fyzikání oympiády č. 34. MAFY, Hradec Kráové 1998. Obsah MAGNETICKÉ POLE V LÁTCE (Eektrodynamika II.) Studijní text pro řešitee FO a ostatní zájemce o fyziku ohumi Vybíra Úvod 3 1 Magnetické vastnosti átky 4 1.1 Viv átky na magnetické poe................... 4 1. Magnetické vastnosti atomu................... 5 a) Zákadní představy o atomu.................. 5 b) Momenty hybnosti a magnetické momenty eektronů.... 5 c) Moment hybnosti a magnetický moment atomového jádra.. 8 d) Atom ve vnějším magnetickém poi.............. 8 1.3 Magnetická poarizace....................... 10 1.4 Magneticky měkké átky...................... 10 a) Diamagnetika.......................... 10 b) Paramagnetika.......................... 11 1.5 Feromagnetické átky........................ 11 Magnetický obvod 16.1 Magnetický indukční tok, magnetomotorické napětí....... 16. Hopkinsonův zákon......................... 17.3 Sožený magnetický obvod..................... 18 a) Sériové řazení magnetických odporů.............. 18 Příkad 1 - magnetický obvod se vzduchovou mezerou..... 19 b) Paraení řazení magnetických odporů............. 0 Příkad - kombinované řazení magnetických odporů...... 1.4 Magnetické poe na rozhraní dvou átek, magnetické stínění.. Příkad 3 - indukční čáry a siočáry na rozhraní......... 5 3 Magnety 6 3.1 Eektromagnet, permanentní magnet............... 6 3. Magnetické poe magnetu, Gaussovy poohy........... 7 Příkad 4 - první Gaussova pooha................ 9 3.3 Magnetické poe Země....................... 31 3.4 Působení magnetického poe na magnet............. 3 5
Na týž proudový eement bude v poi o intenzitě H působit pode Ampérova zákona (33) v [13] sía o veikosti df 1 = μhi d sin α. Vyděíme-i první výraz druhým, dostaneme H = 1 df 1 4πμr. dh 1 Uvážíme-i definiční výrazy pro intenzitu dh 1 = df 1, H = F, Φ 1 Φ dostaneme původní Couombův magnetostatický zákon F = 1 Φ 1 Φ 4πμ r, čii po vynásobení r jednotkovým vektorem 0 vektorový výraz (54). 1. Pro první Gaussovu poohu (bod G 1 v obr. 8) patí H 1 = H + 1 H 1 = 1 [ ] Φ 4πμ (R /) Φ (R + /) = 1 ΦR 4πμ (R /4). Úvod Studijní text Magnetické poe v átce voně navazuje na text Magnetické poe ve vakuu [13] a je druhým díem eektrodynamiky. Na něj bude navazovat dí třetí, který bude věnován eektromagnetické indukci. Předožený text pojednává o magnetickém poi v átkovém prostředí. Látka svou atomovou strukturou ovivňuje primární magnetické poe buzené pohybem nábojů (resp. eektrickým proudem) ve vakuu. Z mikroskopického hediska je popis vivu átky na magnetické poe sožitý a uspokojivě se s ním vyrovnává až kvantová fyzika. To je však mimo možnosti předoženého textu. Proto je (až na č. 1.) voen běžně užívaný makroskopický - fenomenoogický (jevový) popis, který dostatečně vyhovuje pro řešení úoh o magnetickém poi v átce. Studijní text je rozvržen do tří částí. Nejprve pojednává o magnetických vastnostech átek a jejich vivu na cekové magnetické poe, ve druhé části jsou řešeny magnetické obvody a třetí část pojednává o magnetech včetně magnetického poe Země. Výkad je průběžně iustrován na šesti řešených příkadech. K procvičení teorie a k přípravě na řešení úoh ve fyzikání oympiádě je na závěr textu zařazeno 13 úoh s uvedenými výsedky jejich řešení, případně u obtížnějších úoh i s naznačeným nebo úpným řešením. H + H G H R H = H 1 Φ +Φ m G 1 H 1 R Obr. 8 50 3
Řešení úoh 1. L 0 = m e vr, m 0 = I e S = ev πr πr = evr = e m e L 0.. nλ =πr; pron =1je L 0 = h a m 0 = e h m e = μ. 3. Pro indukci = Φ πr =1,0 T, z magnetizačních křivek odečteme: H a = = 40 A m 1, H b = 11500 A m 1. Ze zákona cekového proudu je I = = πr 0H,tj.I z a =1,8 A,I b = 48 A. Litina je pro zvoené sycení zcea nevhodná. Reativní permeabiita μ r = μ 0 H,tj.μ a = 1890, μ b = 70. 4. Protože intenzita ve vzduchové mezeře H v = μ r H ž,kdeμ r = 1890 a H ž = = 40 A m 1 (úoha 3), je ze zákona cekového proudu 5. Sía (výraz 49) je F = 495 N. I = H ž z (πr 0 + μ r δ)=7,05 A. I = I 1 [1+ δ ] (μ r 1). Reativní permitivitu oceoitiny určíme pro případ jednoduchého obvodu prvního prstence: H 1 = zi 1 = 500 A m 1, protože sycení oceoitiny musí být v obou případech stejné. Z magnetizační křivky vychází =1,1 T.Pak μ r = 1760 a I =5,4 A. 6. Zákon cekového proudu: (πd δ)h+h v δ = zi. Protože v =, H v = μ r H, H =, δ d je μ 0 μ r πd μ r = μ 0 zi δ. 7. Ze zákona cekového proudu (vodivý proud I = 0) podobně jako v úoze 6 vychází (πd δ)h + δ = zi, odkud μ 0 H δ μ 0 πd. 1. Magnetické vastnosti atomu a) Zákadní představy o atomu Jak je známo, atom prvku o protonovém (resp. atomovém) číse Z a nukeonovém (resp. hmotnostním) číse A se skádá z jádra, které obsahuje Z protonů a A Z neutronů a eektronového obau o Z eektronech. Atom má veikost řádu 10 10 m, jádro pouhých 10 14 m. V průběhu 0. stoetí byo k popisu struktury atomu vytvořeno někoik modeů, z nichž je v současné době v podstatě dobře přijatený jen kvantově mechanický mode. Jde o matematický mode, který k popisu struktury eektronového obau a kvantových stavů eektronů používá vnovou funkci. Ta je řešením Schrödingerovy rovnice. Pro získání názoru na podstatu magnetických vastností atomu si zvome jednoduchý atom vodíku, který se skádá z jádra tvořeného jedním protonem a z obau s jedním eektronem. Uvažujme nejprve speciání případ rotačně symetrických stavů eektronu, tj. jeho kruhových drah (použijeme-i terminoogii původního ohrova modeu). Pro zákadní energetické stavy eektronu a jeho spektra poskytuje ohrův mode i kvantově mechanický mode stejné výsedky (viz např. [8]). Existuje však principiání rozdí v pohedu na eektron v atomu. V ohrově modeu je každý eektron bodovou částicí, která se pohybuje po přesně určené trajektorii, kdežto v kvantově mechanickém modeu ze najít jen místa nejpravděpodobnějšího výskytu eektronu. Zajímavé je, že tato místa v případě rotačně symetrických stavů se nacházejí právě na ohrových kružnicích. V kvantovém modeu je ovšem eektron současně přítomen na ceé této kružnici, což je nesučitené s ohrovou představou eektronu v atomu jako bodové částice. Vede uvedených zákadních rotačně symetrických stavů eektronu, je nutné uvažovat daší kvantové stavy eektronu, jako částice o třech stupních vonosti - částice, která je v prostoru popsána vede souřadnice r, ještě úhy ϕ, ϑ. Navíc má eektron vastní moment hybnosti (spin). b) Momenty hybnosti a magnetické momenty eektronů Nicméně proveďme nyní pro jednoduchost výpočet orbitáního (dráhového) magnetického momentu a orbitáního momentu hybnosti eektronu v ohrově modeu atomu. V něm se eektrony pohybují po kruhových drahách o pooměru (viz např. [5]): r = r 0 n, kde r 0 = ε 0h πm e e =5,9 10 11 m, 48 5
T, 1,8 1,4 1,0 0,6 0, Magnetizační křivky a) pro oceoitinu, b) pro itinu pro H (0,1; 75) 10 3 A m 1 aiii aii biii ai H A m 1 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600... I 1 10 3 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 8 10 3... II 1 10 4 10 4 3 10 4 4 10 4 5 10 4 6 10 4 7 10 4 8 10 4... III bii bi kde =0, 1,,...,(n 1) je vedejší kvantové číso. Je zřejmé, že vztahy (3), (5) jsou zváštními případy vztahů (6) a (7) pro =0. Eektron má vede orbitáních charakteristik ještě vastní veičiny - vastní moment hybnosti, tzv. spin L s a odpovídající spinový magnetický moment m s. Tyto veičiny mají pode kvantové fyziky veikost L s = s h, m s =sμ, (8) kde s = ± 1 je spinové kvantové číso, přičemž znaménko + značí směr souhasný s přísušným orbitáním momentem a znaménko směr opačný. Čísa s nejsou ceistvá, ae jejich rozdí ceistvý je stejně jako u ostatních kvantových číse. Mezi magnetickým momentem a momentem hybnosti jsou zřejmé tyto vztahy: pro orbitání veičiny a m 0 = e L 0 (9) m e m s = e m e L s (10) pro spinové veičiny. Konstanta, která váže veičiny m, L se nazývá gyromagnetický faktor. U spinových momentů má tento faktor dvojnásobnou veikost než u orbitáních. Záporné znaménko je dáno záporným nábojem eektronu. Vektory m a L mají tedy vzájemně opačný směr. Z výrazů (9) a (10) je zřejmé, že s magnetickým momentem je nerozučně spojen moment hybnosti, tj. že i uvnitř atomu mají magnetické jevy zřejmou příčinu v pohybu náboje. Z toho vypývá makroskopický důsedek: při zmagnetování těesa se změní jeho moment hybnosti a naopak, že změna momentu hybnosti těesa může vyvoat změnu jeho magnetického momentu, tj. magnetickou poarizaci. Existenci prvního efektu potvrdii v etech 1915 až 195 Einstein, de Haas a daší fyzici, existenci druhého efektu S. a L. arnettové (podrobněji viz např. [3], [5]). Přitom u átek feromagnetických by potvrzen gyromagnetický faktor pode vztahu (10), tj. že magnetická poarizace feromagnetik je způsobena skádáním jejich nekompenzovaných spinových magnetických momentů eektronů. Uvedené magnetomechanické jevy experimentáně potvrzují, že u sožitějších atomů je výsedný magnetický moment dán vektorovým součtem orbitáních a spinových momentů. Kvantová struktura eektronů v atomu je u každého prvku jiná, atomy prvků (až na výjimky inertních pynů) se váží do moeku. Proto jsou magnetické vastnosti jednotivých prvků a zvášť jejich součenin rozdíné. 46 7
Tab. Závisost magnetické indukce a reativní permeabiity na intenzitě magnetického poe u feromagnetických prvků H A m 1 T Fe Ni Co μ r μ T r T 80 0,580 5 800 0,065 650 -- -- 10 0,750 5 000 0,135 900 -- -- 00 0,90 3 680 0,80 1 10 0,01 84 400 1,100 00 0,433 865 0,057 114 800 1,30 1 30 0,494 494 0,170 170 1 600 1,345 673 0,540 70 0,340 170 4 000 1,485 97 0,585 117 0,596 119 8 000 1,600 160 0,60 6 0,784 78 1 000 1,686 11 0,640 43 0,900 60 4 000 1,840 61,3 0,670 -- -- 40 000 1,90 38,4 0,691 14 -- -- 80 000,000 0,0 0,737 7,4 -- -- 160 000,106 10,5 0,840 4, -- -- 40 000,10 7,4 0,938 3,1 -- -- 30 000,313 5,8 1,040,6 -- -- 400 000,41 4,8 -- -- -- -- 480 000,513 4, -- -- -- -- μ r L 0 z m z 0 α S m 0 I E p m = 0 (1 cos α), (11) kde α je úhe, který svírají m vektory 0, (viz obr. 1). Smyčka bude mít tendenci skopit se do směru vnějšího poe a zaujmout tak poohu s nejmenší energií. Podobná situace nastává při vožení atomu do vnějšího magnetického poe, protože eektrony mají orbitání magnetické momenty (6). Na rozdí od makroskopické smyčky nemůže nabývat průmět z magnetického momentu do směru ibo- m vonou veikost. Pode kvantové fyziky (viz např. [1], [8]) je m veikost z kvantována vztahem m Obr. 1 z = m μ, (1) kde m =0, ±1, ±,...,± je magnetické kvantové číso -čtvrtékvantové číso. Úhe α může tedy nabývat jen diskrétních hodnot α, pro něž v souadu s (6) patí cos α = z m m 0 = m ( + 1) a podobně energie (11) jen diskrétních hodnot E p = μ ( ( +1) m ). (13) Pro nejmenší tři hodnoty vedejšího kvantového čísa =0, 1, dostaneme tuto řadu potenciáních energií (13): =0, m =0: E p =0, =1, m =0, ±1: E p = μ, μ ( 1) =, m =0, ±1, ±: E p = μ 6, μ ( 6 1), μ ( 6 ). Shrnutí: vožíme-i atom do vnějšího magnetického poe, dostává se do kvantového stavu, v němž nabývají magnetické momenty eektronu pooh s co nejmenší potenciání energií pode (13). V souadu s Pauiho vyučovacím principem (viz např. [1], [5]) se však ani dva eektrony nemohou dostat do stejného kvantového stavu - neboi v určitém atomu se eektrony musí vzájemně išit aespoň v jednom ze čtyř kvantových číse n,, m, s. Působením vnějšího magnetického poe se tedy energetické hadiny eektronu v atomu rozštěpí na více hadin - experimentáně se to projeví jako Zeemanův jev v eektromagnetickém (optickém) spektru (viz např. [1], [5]). Působením vnějšího magnetického poe vzniká magnetická poarizace atomu, moekuy, a tím i makroskopické átky vožené do tohoto poe. 44 9
poarizace. Vypočtěte úhovou rychost ω, kterou se začne těeso původního magnetu otáčet. Hustota ocei (žeeza) ϱ =7,80 10 3 kg m 3 a její moární hmotnost M m = =0,055 8 kg mo 1. je např. v [14]). Při této precesi vzniká přídavné magnetické poe, jehož magnetický moment a indukce je opačného směru než má indukce vnějšího poe. Výsedné poe v diamagnetické átce má tedy menší indukci než primární poe ve vakuu. Proto je κ m < 0aμ r < 1. Např. pro vizmut je κ m = 1,7 10 4 a μ r =0,999 83, u vody je κ m = 9,0 10 6 a μ r =0,999 991. Látky v supravodivém stavu se chovají jako ideání diamagnetika, tj. zcea vytačují magnetické poe, a tudíž je =0atedyμ r =0. b) Paramagnetika Jsou to átky, jejichž atomy, resp. moekuy, nemají zcea vykompenzovány orbitání nebo spinové magnetické momenty eektronů. U paramagnetik, u nichž nejsou kompenzovány spinové magnetické momenty ve vnitřních supkách eektronového obau, je výsedný magnetický moment atomu reativně veký. Hovoříme o siném paramagnetismu. Tento jev pozorujeme např. u Mn, Cr, Pt aj. V normáním stavu jsou magnetické momenty atomů (moeku) statisticky neuspořádány, takže cekový magnetický moment átky je nuový. Vožíme-i paramagnetikum do vnějšího magnetického poe, nastane usměrnění atomárních (moekuárních) magnetických momentů do směru magnetické indukce vnějšího poe. Vede toho - stejně jako u diamagnetik - konají jednotivé orbity eektronů v atomu Larmorovu precesi. Magnetický moment, který vzniká při tomto pohybu, sice zmenšuje výsedný magnetický moment atomu, avšak toto zmenšení je vemi maé, takže výsedné magnetické poe atomů (moeku) má směr vnějšího poe. Vzniká tak zesíení vnějšího poe; protoκ m > 0aμ r > 1. Např. u manganu je κ m =8,1 10 4 a μ r =1,000 81, u vzduchu κ m =3,8 10 7 a μ r =1,000 000 38. 1.5 Feromagnetické átky Feromagnetika jsou átky krystaické struktury, v nichž je možno i sabým vnějším poem vzbudit siné vnitřní (átkové) magnetické poe. Na rozdí od diamagnetismu a paramagnetismu, které jsou jevy atomovými, je feromagnetismus jev, který je závisý na uspořádání atomů (iontů) v krystaické mřížce. Samotné atomy feromagnetických átek jeví běžný paramagnetismus. Pyne to např. ze dvou jevů, které si popíšeme. Zahřejeme-i feromagnetikum na určitou tepotu, tzv. Curieův bod, ztrácí skokem vastnosti feromagnetika a stává se z něho paramagnetikum. Při této tepotě se výrazně porušuje uspořádání atomů v krystaické mřížce. U žeeza je to při tepotě 768 C. Dáe existují feromagnetika, která jsou sožena výhradně z paramagnetických a diamagnetických 4 11
6. Permeabiita žeeza Na žeezném jádře ve tvaru anuoidu o průměru osy d (obr. 5) je navinuta cívka o z závitech. Jádro je přerušeno úzkou mezerou toušťky δ. Proud vybudí v obvodu magnetické poe o indukci. Vypočtěte reativní permeabiitu žeeza. Rozpty poe v mezeře ze zanedbat. 7. Permanentní magnet I z d δ Obr. 5 Zvoíme-iza materiá kotvyz obr. 5oce vhodného sožení, dostaneme po jejím zmagnetování dostatečně intenzivním proudem I permanentní magnet. Nechť poe tohoto magnetu má v mezeře δ indukci. Vypočtěte veikosti vektorů intenzity H a magnetické poarizace J v ocei. 8. Poe přímkového proudu na rozhraní Na rovinném rozhraní vakua a nevodivé átky o reativní permeabiitě μ r eží přímkový vodič (zanedbateného průměru), kterým prochází proud I. Vypočtěte intenzitu a indukci magnetického poe v pooprostoru s átkou a naznačte siočáry a indukční čáry poe. 9. Nosnost eektromagnetu Eektromagnet má jádro z měkkého žeeza ve tvaru podkovy a k jeho průřezu je přiožena kotva pode obr. 6. Průřez S =5,0 cm je po ceém obvodu stejný, déka střední siočáry je = 36 cm. Cívka má z = 10 závitů a prochází jí proud I = 1, A. Určete nosnou síu magnetu pro případ, že se kotva dotýká póů. S Obr. 6 F 0 δ =0 závisost = f( 0 ) pode křivky 1 (je to tzv. panenská křivka). Indukce stoupá se vzrůstající indukcí 0 nejprve pomaeji, pak rycheji a pak opět pomaeji. V bodě A nastává nasycení - daším zvětšováním indukce 0 již neze zvětšovat magnetizaci feromagnetika. udeme-i od tohoto bodu indukci 0 zmenšovat, nebude se indukce zmenšovat pode křivky 1, nýbrž v důsedku magnetické hystereze (opožďování) po křivce. V bodě R, vekterém má vnější poe nuovou indukci, si átka átka podržuje indukci o veikosti r, která se nazývá magnetická remanence (zbytek). K tomu, aby remanence zanika, je nutno směr indukce vnějšího poe obrátit tak, aby dosáha hodnoty k. Poe indukce k se nazývá koercitivní poe. Zvětšujeme-i dáe veikost indukce vnějšího poe v záporných hodnotách, dojde k přemagnetování feromagnetika. V bodě A, symetrickém k bodu A, nastává nasycení v opačném směru. Při zvětšování indukce 0 od tohoto bodu se magnetická indukce ve feromagnetiku bude měnit pode křivky 3. Uzavřená křivka AKA K A se nazývá hysterezní smyčka. Dá se ukázat, že její pocha je číseně rovna energii spotřebované na jeden magnetizační oběh v objemové jednotce feromagnetika. Tato energie se přemění na tepo. Magneticky tvrdá feromagnetika (např. kobatová, woframová a chrómová oce, tvrdé ferity) mají širokou hysterezní smyčku (obr. 3b). Mají veký zbytkový magnetismus ( r ) a hodí se pro výrobu permanentních (stáých) magnetů. Magneticky měkká feromagnetika (např. měkké žeezo, křemíkové žeezo) mají úzkou hysterezní smyčku (obr. 3c). Protože se u nich při každém přemagnetování přeměňuje jen maá energie na tepo, jsou vhodné pro magnetické obvody se střídavým proudem (např. u transformátorů). a) b) A r K k R 0 R 1 K A 3 0 = μ 0 H c) 0 0 Obr. 3 40 13
je závisá na neznámé reativní permeabiitě žeeza μ r. Probém musíme řešit postupnou metodou, tj. odhadneme μ r, z (5) vypočteme H, z magnetizační křivky určíme a vypočteme μ r : μ r = μ 0 H. (53) m μ r μ rmax μ rmax = m 0m Získaná hodnota μ r se pravděpodobně nebude shodovat s původně odhadnutou hodnotou hodnotou μ r. Provedeme korekci odhadu a postup opakujeme. Pro případ δ =0,5 mm např. odhadneme μ r = 500, z (5) určíme H = = 180 A m 1, z magnetizační křivky pro oceoitinu určíme =0,5 T, z (53) vypočteme μ r = 300. Protože se iší od odhadnuté zvoíme nyní μ r = 300, vypočteme znovu H = 190 A m 1 a pak z křivky je =0,55 T a z (53) vyjde μ r = 300 v souadu s odhadem. Nyní můžeme již přejít do výrazu (50) a vypočíst F 0 =61,5 N. Podobně pro δ =1,0 mmstanovímeμ r = 080 a F 0 =17,0 N. Z ukázaného řešení je vidět, že nosnost magnetu je značně závisá na veikosti vzduchové mezery. Vypočtená veikost síy (51) pro δ 0 je jen teoretická; jakákoi nerovnost či nečistota ve styčné poše póů ryche zmenšuje nosnost, jak se dá posoudit ze vztahu (50). O 0m 0 Obr. 4 Obr. 5 Reativní permeabiita žeeza nabývá maxima asi μ rmax = 5800, pro nik je μ rmax = 110, pro kobat μ rmax = 170. U Heuserových sitin (pode sožení) až μ rmax = 50. Významným feromagnetikem je sitina permaoy (0,9%Fe, 78,5% Ni, 0,6% Mn), u níž je maximum μ rmax =1,05 10 5 a supermaoy (15% Fe, 79% Ni, 5% Mo, 0,5 % Mn), která dosahuje až μ rmax =1,0 10 6. O 0m 0 Poznámka. Řešení inverzní úohy, tj. stanovení potřebného proudu pro danou nosnost a vzduchovou mezeru je obtížnější. Řešení probému stanovení správného μ r je ještě sožitější. Pro určitý magnet ze ovšem probém přímo řešit užitím grafu F 0 = f(i), který jsme schopni sestrojit na zákadě postupu užitého v tomto příkadu 5. 38 15
N δ F 0 S S N w e = 1 εe = 1 E D, w m = 1 μh = 1. (47) H Uvažme situaci u jednoho póu; zde k udržení rovnováhy musíme F 0 působit siou =. Magnetické poe v mezeře δ mezi póem F a kotvou nechť má indukci = μ 0 H.Rozpty poe v mezeře zanedbáváme. Zvětšíme-i mezeru o dx F vykoná sía práci, která se musí projevit zvětšením magnetické energie v mezeře o w m dv,kdedv je zvětšení objemu poe v mezeře. Obr. 3 Detai situace u jednoho póu je na obr. 4. Pocha jednoho póu je rovna poše S příčného řezu jádra. Pak δ dx S - pocha příčného řezu jádra F dx = w m dv = 1 HSdx, H = μ 0. K udržení rovnováhy kotvy musí tedy na jejím jednom konci působit sía F, jejíž veikost je F = 1 S. (48) μ 0 Ceková sía, kterou magnet přitahuje kotvu je F 0 = F. Protože S = Φ je indukční tok, který je konstantní pro ceý obvod a patí pro něj Hopkinsonův zákon (7), můžeme výraz (48) přepsat do tvaru F F = Φ μ 0 S = z I μ 0 SR, (49) m Obr. 4 kde R m je magnetický odpor ceého obvodu. Ten se při zvětšování mezery δ ryche zvětšuje (viz příkad 1), a F proto se sía zmenšuje. Největší sía mezi kotvou a póy působí při δ 0, kdy odpor R m nabývá minima. Na ibovoné uzavřené křivce C uvnitř indukční trubice, např. na siočáře, je definováno magnetomotorické napětí vztahem U m = d, [U H m ]=A, () C kde H je intenzita v určitém bodě křivky C ad je její eement. Pode zákona cekového proudu (viz výraz (7) v [13]) je magnetomotorické napětí, působící v ibovoné uzavřené křivce, rovno cekovému proudu, který prochází vnitřkem křivky: d = n I H k. (3) C k=1 V situaci naznačené na obr. 6 je cekový proud zi, kdez je počet závitů cívky.. Hopkinsonův zákon Soustavu do sebe uzavřených obastí, kterými prostupuje týž magnetický tok, označujeme jako jednoduchý magnetický obvod. Je to např. prstencová indukční trubice na obr. 6. Hedejme nyní vztah mezi magnetickým indukčním tokem Φ, magnetomotorickým napětím U m, které v obvodu působí, geometrickými rozměry a magnetickými vastnostmi obvodu. Nejprve upravíme vztah () pro magnetomotorické napětí pomocí indukčního toku (1). Pro magneticky měkké átky můžeme užít vztah (16). U feromagnetik není vztah mezi a H ineární - viz např. magnetizační křivku na obr. 4. Pro určité budicí poe 0 = μ 0 H se vztah mezi a H inearizuje: = μh = μ 0 μ r H = μ 0 μ r H,kdeμ r = μ r je střední veikost reativní permeabiity (viz obr. 5 a vztah (18)). V souadu s iteraturou budeme v daších vztazích užívat pro μ označení μ. Voíme-i za křivku C siočáru, jsou vektory d H, rovnoběžné a můžeme psát U m = C μ d = Φ C d μs, (4) přičemž Φ je tok podé ceé uvažované indukční trubice konstantní, proto moh být vytknut před integrá. Výraz popsaný křivkovým integráem je dán geometrií a magnetickými vastnostmi obvodu a nazývá se magnetický odpor (reuktance) R m obvodu: R m = C d μs, [R m]=v 1 A s 1 =H 1. (5) 36 17
K magnetostatickému měření s výhodou využijeme permanentní magnet v první Gaussově pooze. Schéma magnetometru je na obr. 1. O m R H G 1 ϕ H 1 H c magnetický poedník Obr. 1 Orientujme jej tak, aby jeho osa, totožná s osou měřeného magnetu, bya komá k magnetickému poedníku. Nastavení provedeme pomocí kompasu, když je měřený magnet dostatečně oddáen. Přibížíme-i magnet do vzdáenosti R (obr. 1), vychýí se magnetka o úhe ϕ. S využitím vztahu (39) dostaneme tg ϕ = H 1 H = m πr 3 (1 Λ ) H, Λ = R. (45) L S N N nemagnetická spojka S prostor zkoumaného poe Obr. Provedeme-i vede magnetodynamického měření (z kmitů) měření magnetostatické, můžeme současně m určit H i anejsmevázáni na tabukovou hodnotu H, kteráse může místně i časově měnit. Z výrazu (43) se určí mh, ze (45) m H.Pak m = π(1 Λ ) πr 3 J tg ϕ, T μ 0 1 πj H = T (1 Λ ) μ 0 R 3 tg ϕ. (46) Chceme-i naopak provést magnetické měření, které nemá být ovivněno geomagnetickým poem, použijeme astatický magnetometr. 34 Je to anaogie. Kirchhoffova zákona pro eektrický obvod. Současně pode Hopkinsonova zákona (7) patí U m = R m Φ,kdeR m je magnetický odpor ceého obvodu a U mk = R mk Φ,kdeR mk je magnetický odpor k-tého úseku. Po dosazení do vztahu (8) dostáváme vzorec pro n sériově řazených magnetických odporů R m = n R mk. (9) k=1 Významným případem sériového řazení magnetických odporů je magnetický obvod se vzduchovou mezerou. Protože pro vzduch μ r = 1, je magnetický odpor vzduchové mezery ve srovnání s částí obvodu z feromagnetika značný. U eektrických strojů a zařízení (jako jsou generátory, motory, transformátory, měřící přístroje, reé) se proto konstruktéři snaží zmenšovat vzduchovou mezeru na nezbytnou déku. Příkad 1 magnetický obvod se vzduchovou mezerou Jádro o průřezu (5 30) mm vytvořené z transformátorových pechů pode obr. 8 je přerušeno mezerou toušťky δ = 1,0 mm. Jaký proud I musí procházet cívkou o z = 1000 závitech, aby v obvodu vznik indukční tok Φ =7,5 10 4 Wb? Jaký proud I 1 vybudí stejný tok při zmenšení mezery na δ 1 =0,50 mm? δ 5 5 z 100 Obr. 8 Řešení Poe v obvodu má indukci = Φ S = 7,5 10 4 4 T=1,0 T,,5 3,0 10 která je stejná ve všech bodech obvodu, protože S = konst., a zanedbáváme rozpty v maé štěrbině. Z magnetizační křivky pro transformátorový pech 19 15
. Magnetická dekinace δ je úhe sevřený poedníkem magnetickým a zemským, neboi úhe sevřený osou dekinační magnetky, resp. H vektorem a poední přímkou. Dekinace se označují jako západní (kadná), když je dekinační magnetka odchýena od směru S - N na západ. Je-i odchýena na východ, je východní (záporná). 3. Magnetická inkinace i je úhe, který svírá totání T intenzita svodorovnou rovinou (obr. 18). Měří se inkinační magnetkou. Protože se měří veikost H vektoru patí pro totání veikost intenzity vztah T = H cos i. Magnetické souřadnice geomagnetického poe jsou proměnné nejen místně, ae i časově. Tabukové hodnoty pro r. 1975 v Praze a v rně jsou: H =15,45 A m 1, δ = 0,59, i =66,09, T =38,13 A m 1. H =15,83 A m 1, δ =+0,15, i =65,4, T =38,06 A m 1. 3.4 Působení magnetického poe na magnet Vožíme-i magnet do vnějšího magnetického poe, dojde k interakci tohoto poe s magnetickým poem magnetu. ude-i vnější poe nehomogenní a magnet voně pohybivý, tak se magnet po vožení jednak natočí tak, aby jeho magnetický moment m mě směr indukčních čar vnějšího poe, jednak se bude pohybovat (přitahovat) do míst s větší indukcí vnějšího poe. Magnet zaujme takovou poohu, v níž bude jeho potenciání energie minimání. ude-i vnější poe homogenní ( = konst.), bude na magnet působit jen moment síy M pode vztahu (37) v [13]: z M y O α m Obr. 19 x M = m (41) o veikosti M = m sin α a směru, který je dán pravidem (pravé ruky) pro vektorový součin. Směr je zřejmý z obr. 19. V této pooze bude mít magnet potenciání energii určenou již dříve uvedeným vztahem (11). Působení homogenního poe na magnet bude takové, že bude mít tendenci zmenšovat úhe α. Působením momentu síy (41) může magnet v homogenním magnetickém poi kmitat. Pro magnetická měření se s výhodou užívá horizontání sožka 3 Příkad kombinované řazení magnetických odporů Magnetický obvod je vytvořen ze 30 transformátorových pechů toušťky 0,80 mm o pošných rozměrech znázorněných na obr. 10. δ 16 16 zi 16 16 96 Obr. 10 δ 80 Cívka na středním soupku o z = = 500 závitech má na svém jádře vytvořit magnetický indukční tok Φ =4, 10 4 Wb. a) Vypočtěte magnetický odpor obvodu. b) Jaký proud I musí procházet cívkou, aby se tok Φ vytvoři? c) Magnetický obvod bude nyní na bočních soupcích přerušen úzkými vzduchovými štěrbinami δ = = 0,0 mm. Vypočtěte jak se změní magnetický odpor obvodu a jaký proud I musí nyní procházet, aby se tok Φ nezměni. Jak bychom musei změnit počet závitů, abychom tok Φ dosáhi proudem I z řešení ad b). Řešení Jde o kombinované řazení magnetických odporů. Paraení obvody i v případě bez vzduchových mezer totiž obsahují části se dvěma různými příčnými pochami S, s různým magnetickým sycením (indukcí ) a tím i různou reativní permeabiitou μ r. Toušťka jádra je 30 0,80 mm = 4 mm. a) Indukce na středním soupku je s =1,1 T, tomu odpovídá z magnetizační křivky (viz Dodatek) H s = 400 A m 1. Z toho pak pode (18) je reativní permeabiita μ rs = 190. Tok v bočních částech jádra je Φ 1 = Φ = Φ =,1 10 4 Wb. Indukce 1 = =0,55 T, z magnetizační křivky je potřebná intenzita na bocích H b = 15 A m 1 a μ rb = 3500. Dva stejné paraení obvody mají tyto geometrické charakteristiky: soupek s = 64 mm, S s =1,9 10 4 m,bok b = 136 mm, S b =3,84 10 4 m. Magnetický odpor každého z paraeních obvodů pak je R m1 = R m = 1 ( s + ) b =,0 10 5 H 1. μ 0 μ rs S s μ rb S b Magnetický odpor ceého obvodu je R m = R m1 1 =1,01 10 5 H 1.
Výsedné poe v G 1 dostaneme integrací těchto eementárních poí pro ceý povrchový proud: r J H 1 = dξ. (x + r 3/ ) 0 Mezi proměnnými ξ, x je geometrický vztah ξ +x = +R, zřejmý z obr. 16. Za integrační proměnnou zvoíme x. Protože pro její diferenciá a integrační meze patí dx = dξ, R +, R, bude H 1 = r J R / R+/ dx (x + r ) 3/ = J [ ] R / x = x + r R+/ [ ] = J R + / (R + /) + r R /. (40) (R /) + r Při výpočtu výše uvedeného integráu jsme užii vztahu dx (x + r ) = 1 x 3/ r x + r + C, který je možno vypočítat pomocí substituce x = r tg t. Nyní se omezíme na zváštní případ R + r, užívaný pro magnetická měření. Výrazy upravíme tak, aby v čitatei zomků bya 1, pak ze jednoduše provést rozvinutí pode binomické věty a vynechat čeny 4. a vyššího řádu: [ ] H 1 = J 1 1+r /(R + /) 1 1+r /(R /) J [ r ( 1 (R + /) r )] 1 (R /) = Jr R 4 (R /4). Uvážíme-i, že Jπr = m je magnetický moment a zavedeme-i poměrnou déku Λ = magnetu, dostaneme hedaný vztah R H 1 = m πr 3 (1 Λ ). μ 1 μ 1 α 1 k 1n α n α dh ΔS H Protože indukční tok páštěm váečku je vzhedem k dh 0 zanedbatený, upatní se jen tok podstavami ΔS. Je zřejmé, že patí neboi 1 cos α 1 ΔS + 1 cos α ΔS =0, 1 cos α 1 = cos α, resp. 1n = n. (31) Normáové sožky indukce 1, se na rozhraní zachovávají. Obr. 11 Nyní sedujme, jak se na rozhraní átek H chovají vektory intenzity 1 H,. k K tomu budeme apikovat zákon cekového proudu (3) na eementární obdéníček C, protínající rozhraní uprostřed dh 0; jeho strany déky jsou rovnoběžné s rozhraním (obr. 1). H 1 C α 1 H 1t Protože obdéníček C neuzavírá žádný proud (předpokádáme, že rozhraním μ 1 μ proud neteče) a dh 0, musí patit H t dh H 1 sin α 1 + H sin α =0, neboi H 1 sin α 1 = H sin α, Obr. 1 resp. H 1t = H t. (3) Na rozhraní se zachovávají tečné sožky H intenzity 1 H,. Pokud jde o normáové sožky H intenzity na rozhraní, využijeme vztah (31) a vztah = μh. Pak μ 1 H 1n = μ H n. (33) Normáová sožka intenzity na rozhraní je tedy nepřímo úměrná permeabiitě. Dopadají-i siočáry na rozhraní komo je H 1t = H t = 0 a výše uvedený poznatek patí pro cekové veikosti. Siočáry jsou tedy na rozhraní nespojité; čím je permeabiita prostředí menší tím hustší jsou v tomto prostředí siočáry. 30 3
Podoba magnetického poe soenoidu (obr. 13 v [13]) tyčového a permanentního magnetu (obr. 15a) vede k modeové představě permanentního magnetu a) S N b) I m I 0 0 Obr. 13 Indukční čáry se ámou od komice, takže se zhušťují; stíněnému prostoru se vyhýbají. Ve stíněném prostoru je magnetické poe vemi sabé. Je to možné vysvětit i tím, že magnetický odpor feromagnetického stínění je vemi maý, indukční čáry jdou cestou nejmenšího odporu a stíněnému prostoru se vyhnou. Příkad 3 indukční čáry a siočáry na rozhraní Obr. 15 jako soenoidu, jehož hustě vinutými závity prochází povrchový proud I = J, kde J je déková hustota povrchového proudu ([J]=A m 1 )a déka magnetu. K poznatku o povrchovém proudu dospějeme i z Ampérovy modeové představy o existenci eementárních (atomárních, moekuárních) proudových smyček (viz č. 1.b). V každém komém řezu magnetu (obr. 15b) si ze představit veké množství eementárních proudových smyček orientovaných do jednoho směru. Označíme-i I m proud v každé z nich, budou se tyto proudy uvnitř pochy řezu ve svých magnetických účincích rušit a zůstane účinek proudu I m jen na obvodu řezu, tedy I = I m. Podstatný rozdí mezi proudem I (v soenoidu) a proudu I m (v magnetu) je v tom, že proud I je vodivý ( přístupný ), kdežto proud I m je vázaný ( nepřístupný ). Nejsnazší je provést výpočet intenzity magnetického poe tyčového magnetu ve dvou významných poohách, které pro magnetické měření zaved již v 1. poovině 19. stoetí K. F. Gauss. První Gaussova pooha je na obr. 16 vyznačena bodem G 1, který eží na podéné ose magnetu ve vzdáenosti R od jeho středu. Druhá Gaussova pooha je dána bodem G, který je v příčné rovině souměrnosti ve vzdáenosti R od osy. Intenzita magnetického poe v těchto poohách Z prostředí o permeabiitě μ 1 vstupují k rovinnému rozhraní prostředí o permeabiitě μ = μ 1 indukční čáry a siočáry pod úhem α 3 1 =60 od komice k rozhraní. Vypočtěte úhe α a nakresete průběh indukčních čar a siočar ve druhém prostředí. Řešení Úhe omu čar α =arctg( 1 3 tg 60 )=30. Protože H t = H 1t a H n =3H 1n, budou mít siočáry ve druhém prostředí třikrát větší hustotu (na rozhraní budou nespojité), kdežto indukční čáry budou spojité, protože n = 1n (obr. 14). μ 1 α 1 μ = μ 1 3 α indukční čáry k siočáry Obr. 14 8 5
3 Magnety 3.1 Eektromagnet, permanentní magnet Vožíme-i do osy soenoidu tyčku z měkkého feromagnetika, charakterizovaného úzkou hysterezní smyčkou (obr. 3c), dojde při průchodu proudu soenoidem k její magnetické poarizaci. Indukce poe v tyčce se μ r krát zvětší oproti poi ve vzduchu. Přerušíme-i proud v soenoidu, poe v tyčce kesne prakticky na nuu. Dostai jsme eektromagnet. Vožíme-i do dostatečně intenzivního poe soenoidu tyčku z tvrdého feromagnetika, charakterizovaného širokou hysterezní smyčkou (obr. 3b), dojde k její magnetické poarizaci, která se stává trvaou - po přerušení proudu v soenoidu zůstává v materiáu tyčky magnetické poe o indukci r (magnetické remanenci). Tyčka se staa permanentním magnetem. Účinky magnetu se nejsiněji projevují na dvou protiehých místech, která se označují jako póy magnetu. Jejich spojnice je magnetická osa. Odpóů směrem ke středu magnetu se magnetické účinky zmenšují; v okoí středu magnetu se nachází jeho netečné pásmo. udeme-i mít douhý magnet, voně otočný koem svisé osy procházející jeho těžištěm, zjistíme, že se orientuje severo-jižním směrem. Pó směřující k severu se označuje N (north), pó směřující k jihu S (south). Použitím dvou takových magnetů snadno zjistíme, že póy N - N nebo S - S se vzájemně odpuzují, kdežto póy N - S se přitahují (anaogie s eektrickými náboji). Z toho vypývá, že na severním zeměpisném póu (resp. v jeho bízkosti) je jižní pó zemského magnetu a naopak na jižním zeměpisném póu je jeho severní pó. Magnet se charakterizuje veičinou magnetický moment m (viz [13]). Proveďte nyní jeho výpočet dostatečně přesně patný pro eektromagnet ve tvaru štíhého soenoidu o z závitech, který je navinut na feromagnetickém jádře o průřezu S, déce a reativní permeabiitě μ r. Jeho magnetický moment bude mít při průchodu proudu I veikost m = zis. (36) Vektor m má směr osy soenoidu orientovanou na stranu pace pravé ruky, ukazují-i její prsty směr proudu. Uvnitř soenoidu je homogenní poe o intenzitě H (viz výraz (31) v [13]) a indukčním toku Φ: Magnet je magnetický dipó o magnetickém momentu (37). Je zde zřejmá anaogie s eektrickým dipóem, jehož eektrický moment se p definuje Q = (viz např. [5], [1]). Již ovšem víme, že na rozdí od eektrického náboje, nemáme anaogické magnetické náboje (resp. množství ), o nichž se předpokádao, že jsou soustředěné v bízkosti póu magnetu. Můžeme se o tom přesvědčit experimentem. Rozděíme eektrický dipó na dvě části, dostaneme osamocené eektrické náboje - dipó přesta existovat. udeme-i půit magnet ve tvaru tyčinky, dostaneme dva magnetické dipóy. Proces s děením může dáe pokračovat až se dostaneme na moekuární nebo atomární magnetické dipóy. V tom je zásadní rozdí mezi eektřinou a magnetismem. Ostatně v [13] jsme si podstatu magnetismu vysvětii užitím teorie reativity: magnetické poe je reativistickým efektem, který pozorujeme v soustavě, v níž se pohybuje náboj - zdroj eektrického poe. Nicméně z výrazu (37) ze odůvodnit, proč ze formáně pracovat s magnetickým množstvím, které r. 1785 zaved Couomb do svého magnetostatického zákona. Ten se při výpočtech magnetických poí magnetů osvědčova až do. pooviny 0. stoetí (pracuje s ním např. ještě učebnice [3]). Užitím tohoto zákona poměrně jednoduše dostaneme odpovídající výsedky, když původní Couombova magnetická množství formáně nahradíme toky +Φ, Φ umístěnými do póů magnetů. Couombův zákon předpokádá tyto veičiny jako bodové. V násedujícím textu si však ukážeme, že tyto formání postupy není nutné užívat, i když práce s Couombovým zákonem bya jednodušší (srovnej s úohou 1). Magnetický m moment charakterizuje magnet jako ceek; tzn. že závisí jednak na magnetické J poarizaci feromagnetika magnetu, jednak na jeho objemu V = S. Vztah mezi m vektory J a můžeme určit ze vztahu (37). Uvážíme-i, že J veičina = p, neboi jde o indukci poarizovaného poe v átce, jak bya zavedena vztahem (14), bude v magnetu indukční tok Φ = J S. Pak = μ m J V, (38) neboi veikost vektoru magnetické poarizace je rovna μ násobku objemové hustoty veikosti magnetického momentu magnetu. Výraz zřejmě udává střední veikost pro ceý magnet - jednak se váže na objem V, jednak na střední hodnotu permeabiity μ pro dané sycení feromagnetika. Pak H = z I, Φ = S = μhs = μ zis = μ m. m = 1 Φ. (37) μ 3. Magnetické poe magnetu, Gaussovy poohy Zákadní veičinou magnetu pro výpočet jeho poe je magnetický moment m. U eektromagnetu jej můžeme určit výpočtem, např. pode vztahu (36). U permanentního magnetu se určuje experimentáně. 6 7
Příkadem magnetického poe v nestejnorodé átce je sériový magnetický obvod, u nějž tok Φ = Φ k = konst. (obr.7). Zvoíme-i S k = S = konst., je rovněž magnetická indukce k = konst., avšak pro intenzity na jednotivých úsecích bude patit μ 1 H 1 = μ H =... = μ k H k. (34) Intenzita se bude v závisosti na permeabiitě měnit. Vstupuje-i např. magnetické poe ze žeeza do vzduchové mezery (obvod na obr. 8) bude μ r H ž = H v, tedy ve vzduchu bude intenzita poe μ r krát (tedy např. 3000 krát) větší než v žeeze. Je pochopitené, že nemagnetický vzduch potřebuje pro stejnou indukci mnohem sinější buzení než žeezo. Po těchto důežitých poznámkách se vraťme k obecnému šikmému dopadu indukčních čar a siočar k rozhraní dvou átek. Vyděíme-i rovnici (3) rovnicí (31) a uvážíme-i, že 1 = μ H 1, = μ 1 H dostaneme důežitý poznatek tg α 1 tg α = μ 1 μ, α 1 0, π ), (35) neboi na rozhraní dvou átek, které je bez povrchových proudů, se indukční čáry a siočáry magnetického poe ámou tak, že úhy α 1, α spňují vztah (35). Závěry pro případ, že jednou átkou je feromagnetikum (μ r je řádu 10 3 až 10 4 ): a) Feromagnetikem je átka (poe vstupuje např. ze vzduchu do žeeza), pak α 1 α (čii při vstupu do žeeza se indukční čáry přikánějí k jeho povrchu). Indukční čáry se ámou od komice. b) Feromagnetikum je naopak átka 1, pak α α 1 ; indukční čáry se ámou ke komici. c) Je-i α 1 =0,jeiα = 0 (patí pro všechny átky). Uvedených poznatků se s výhodou užívá k magnetickému stínění (obr. 13). Koem prostoru, který máme odstínit, vytvoříme uzavřenou vrstvu (např. kuovou) z feromagnetika s co největší reativní permeabiitou (např. ze sitiny permaoy). je za podmínky R + r dána výrazy (odvození prvního je v příkadu 4): kde Λ = R R H 1 = m πr 3 (1 Λ ), 1 =, (39) H H je poměrná déka magnetu a r jeho pooměr. J H R ξ dξ x O G m Jdξ r Obr. 16 Příkad 4 první Gaussova pooha Odvoďte vzorec (39) pro intenzitu magnetického poe tyčového permanentního magnetu v první Gaussově pooze. Řešení Permanentní magnet budeme z hediska výpočtu jeho magnetického poe modeovat povrchovým proudem I = J o dékové hustotě J, který prochází obvodem páště magnetu o pooměru r (obr. 16). Z páště vyjmeme eement šířky dξ v obecné pooze ξ od evého konce. Tento eement ze považovat za kruhové proudové vákno s proudem di = Jdξ, které v pooze G 1 vyvoá magnetické poe o intenzitě (viz výraz (1) v [13]): G 1 H 1 r J dh 1 = (x + r ) 3/ dξ. 4 9
b) I = R mφ =85mA. z c) Vzduchová štěrbina změní magnetický odpor větví na R m1 = R m = R m1 + δ μ 0 S =6,16 105 H 1 a ceého obvodu na R m =3,08 105 H 1. Potřebný proud pak bude I = R m Φ z = 60 ma, tedy 3krát větší. Pro stejný proud I = 85 ma jako v případě bez mezer je nutné zvětšit počet závitů na z = 1530. Poznámka. Profi transformátorových pechů na obr. 10 je převzat z konkrétního transformátoru. Obvykejší a pro řešení jednodušší je voit střední soupek o dvojnásobné šířce než mají okrajové soupky. Pak indukce je ve všech částech jádra stejná. Se středním soupkem dvojnásobné šířky se transformátorové pechy zpravida vyrábějí..4 Magnetické poe na rozhraní dvou átek, magnetické stínění Vyšetřeme nejprve, jak se chová magnetické poe na rozhraní dvou átek o různých permeabiitách μ 1, μ. Poe v prvním prostředí nechť má indukci 1,která má vůči komici k na rozhraní skon α 1. Ve druhém prostředí se změní indukce na (obr. 11). Vztah mezi vektory 1, najdeme tak, že budeme apikovat obecný zákon (0) na eementární váeček o výšce dh apošepodstavyδs, který bude protínat rozhraní (obr. 11). 3.3 Magnetické poe Země Od starověku je známo, že Země má své magnetické poe, zvané geomagnetické. Průběh magnetických siočar Země ze vyšetřit magnetkou (ehkým permanentním magnetem) voně otáčivou koem těžiště, a to buď v horizontání rovině koem svisé osy (dekinační magnetka) nebo ve vertikání rovině koem vodorovné osy (inkinační magnetka). Měření ukazují, že Země je permanentní magnet, jehož pó S Z je na severní pookoui pod místem na 7 severní šířky a 96 západní déky a pó N Z je na jižní pookoui pod místem na 73 jižní šířky a 156 východní déky. Průběh siočar geomagnetického poe je naznačen na obr. 17. sever (N) S Z O zemská osa N Z jih (S) magnetický rovník zemský rovník magnetická osa V i H T Obr. 18 Obr. 17 Siočára, která prochází póy S Z, N Z tvoří magnetickou osu. Rovina k ní komá, která prochází bodem O, protíná zemský povrch přibižně podé kružnice zvané magnetický rovník. Na něm je T intenzita geomagnetického poe vodorovná. Veikost T intenzity, nazývané totání intenzita, jepodemístanazemi v mezích (16 až 60) A m 1. K úpnému popisu magnetického poe Země se užívají tyto tři magnetické souřadnice: 1. Horizontání H sožka geomagnetického poe je rovna průmětu totání T intenzity do vodorovné roviny (obr. 18). Má směr přibižně od jihu k severu a určuje směr místního magnetického poedníku. 31
(viz Dodatek) určíme potřebnou intenzitu poe, v žeeze H = 30 A m 1.Pak pode (18) přísušná střední veikost reativní permeabiity je μ r = μ 0 H = 1 4π 10 7 30 = 490. Obvod má výsedný odpor R m = R mž + R mv = 1 μ 0 μ r S ( ž + μ r δ), kde ž = 349 mm je střední déka indukční čáry v žeeze a δ = 1 mm ve vzduchu. Číseně R m =1,1 H 1. Pode Hopkinsonova zákona R m Φ = U m = zi, odtud potřebný proud I = R mφ z = 1,1 106 7,5 10 4 1000 A=0,91 A. Při zmenšení vzduchové mezery na δ 1 =0,50 mm, tedy na poovinu, bude R m1 =6,79 10 5 H 1 a potřebný proud se zmenší na I 1 =0,51 A, tedy na 56 % původní veikosti. b) Paraení řazení magnetických odporů Φ 1 Φ Φ U m1 zi U m Mějme nyní magnetický obvod, ve kterém se indukční tok Φ rozděuje do dvou nebo více větví o tocích Φ 1, Φ,... Příkadem je jádro transformátoru na obr. 9. Pak v důsedku patnosti zákona (0) pro magnetický uze (anaogický 1. Kirchhoffovu zákonu pro proudy v uzu) patí, že tok Φ, který vtéká do uzu, je roven součtu toků Φ 1, Φ,... ve větvích: Φ = Φ k. k Obr. 9 Magnetomotorické napětí na jednotivých větvích je však stejné: U m1 = U m =... = U m = zi. Uvážíme-i Hopkinsonův zákon (7) pro větve (U mk = R mk Φ k ) a pro ceý obvod (U m = R m Φ) dostaneme rovnost Φ = U m = Φ k = U mk 1 = U m. R m R mk R mk k k k Odtud pro výsedný odpor R m cekem n paraeně řazených magnetických odporů patí vztah 1 = n R m k=1 1 R mk. (30) geomagnetického poe = μ 0 H, které ze považovat v okoí magnetu za homogenní. Zavěsme do tohoto poe tyčovitý magnet o magnetickém momentu m na torzní vákno tak, aby procházeo jeho těžištěm komo na podénou osu (obr. 0). k t M otočný závěs magnetický poedník α m J moment setrvačnosti Použijme nejprve vákno se zanedbatenou torzní tuhostí (k t 0), např. nit. Pak se působením poe ustaví magnet do rovnovážné poohy, v níž osa magnetu bude spývat se směrem indukční čáry, tedy magnetickým poedníkem. Vychýíme-i nyní osu magnetu v horizontání rovině o maý úhe α, bude se magnet vracet působením momentu síy M = m sin α mα. (4) Obr. 0 Pohybová rovnice magnetu o momentu setrvačnosti J, pakjej α = M, neboi α + m J α =0, kde α = d α dt je úhové zrychení. Je to rovnice harmonických kmitů o úhové frekvenci, která je dána odmocninou konstanty u proměnné α. Perioda tedy je J T =π m =π J μ 0 mh. (43) Pro přesnější měření neze zanedbat torzní tuhost k t. Protože rovnovážnou poohu v tomto případě ovivňuje i torzní napjatost vákna, je nutné rovnovážnou poohu otočným závěsem (obr. 0) seřídit tak, aby v kidové pooze osa magnetu měa směr magnetického poedníku (je dána směrem magnetky kompasu). Pak při vychýení o úhe α budou mít veičiny (4) a (43) korigovanou veikost M = (m + k t )α, T J =π. (44) m + k t Při studiu kmitů magnetky kompasu je samozřejmě k t = 0 (magnetka je podepřena na hrotu) a patí vztah (43), který je zváštním případem vztahu (44). 0 33
Má-i obvod stáý průřez S = konst. anadéce homogenní átku, ze výraz pro magnetický odpor psát jednoduše ve tvaru R m = Výrazy (4) můžeme vzhedem k (5) přepsat do tvaru μs. (6) U m = R m Φ, kde U m =ΣI. (7) Tento vztah se nazývá Hopkinsonův zákon, je anaogický Ohmovu zákonu U = RI, přičemž tok Φ je anaogický eektrickému proudu I, magnetomotorické napětí U m =ΣI eektrickému napětí U a magnetický odpor R m eektrickému odporu R. Výraz (6) je dáe anaogický známému vztahu pro eektrický odpor R = =. Permeabiita μ popisuje magnetickou vodivost obvodu stejně jako γ γs eektrickou vodivost..3 Sožený magnetický obvod a) Sériové řazení magnetických odporů Anaogii mezi eektrickým a magnetickým obvodem podporuje daší důežitá skutečnost, že pro spojování magnetických odporů patí obdobné zákony jako pro spojování eektrických odporů. I Uvažujme nejprve magnetický obvod, u něhož jsou úseky z átek U m1, μ 1 1 zi S,Φ o různých magnetických vastnostech a geometrických rozměrech řazeny v sérii. Příkad sériově řazeného obvodu je na obr. 7, kde je voen konstantní průřez S,úsekymajíper- U m, μ 3 U m3, μ 3 meabiity μ k adéky k (k =1,, 3). Magnetický indukční tok v jednotivých úsecích je stejný (Φ k = Φ). Obr. 7 Magnetomotorické napětí v obvodu U m se rozděí na jednotivé úseky: U m = k U mk. (8) Jeho zákadem jsou dva stejné tyčové magnety (případně dvě magnetky) se vzájemně opačně orientovanými magnetickými momenty, umístěné nad sebou (obr. ). Jejich vzdáenost je L (L např. 1 až m), aby horní magnet neovivňova poe zkoumané doním magnetem. Výsedné působení geomagnetického poe na soustavu je zřejmě nuové. Příkad 5 magnetickodynamické měření Magnetometrem z obr. 0, u něhož torzní tuhost k t 0 není známa, má být měřením periody T maých kmitů určen magnetický moment m magnetu o známém momentu setrvačnosti J. Je známa místní intenzita H magnetického poe Země a je k dispozici magnet - etaon o známém m 0, J 0. Řešení Užijeme odvozeného výsedku (44). Abychom vyoučii neznámou torzní tuhost k t, musíme provést dvojí stejné měření - jednak se zkoumaným magnetem (perioda T ), jednak s etaonem (perioda T 0 ). Pro tyto periody zřejmě patí T =π J μ 0 mh + k t, T 0 =π Z těchto rovnic vyoučíme k t adostaneme m = m 0 + 4π μ 0 H ( J T J 0 T 0 Můžeme také vypočítat neznámou torzní tuhost ( ) π k t = J 0 μ 0 m 0 H. T 0 3.5 Nosná sía magnetu J 0 μ 0 m 0 H + k t. Uvažujme permanentní magnet nebo eektromagnet (obr. 3). Ve feromagnetické kotvě se proti severnímu póu (N) eektromagnetu vybudí pó jižní (S) a naopak. Protože opačné póy se přitahují, bude kotva přitahována siou F 0, která se nazývá nosnost magnetu. Ke kvantitativnímu určení síy F 0 vyjdeme z energie magnetického poe ve vzduchové mezeře. Protože výraz pro hustotu energie w m magnetického poe odvodíme až ve 3. díu eektrodynamiky (s využitím poznatků o eektromagnetické indukci), uvedeme zde přísušný výraz jen na zákadě anaogie s poem eektrickým: ). 18 35
Magnetický obvod.1 Magnetický indukční tok, magnetomotorické napětí Magnetické poe vytvořené v prostoru, ať již ve vakuu nebo v átce, názorně zobrazujeme pomocí siočar (znázorňují průběh intenzity H) a indukčních čar (znázorňují průběh indukce ) - viz [13]. V [13] jsme zavedi veičinu magnetický indukční tok; v obecném případě nehomogenního poe výrazem Φ = ds. [Φ] =V s = Wb (weber) (19) S Anaogicky zavedené siočáry a indukční čáry pro eektrické poe (viz např. [1]) začínají na kadném eektrickém náboji a končí na náboji záporném. Protože v přírodě nebyy naezeny anaogické žádné magnetické náboje (z hediska reativistického výkadu magnetismu - viz např. [13] - taková veičina ani nemá smys), jsou magnetické siočáry a indukční čáry vždy křivky uzavřené. Magnetický indukční tok uzavřenou pochou je tedy vždy nuový: ds =0. (0) S Tento významný poznatek se v teorii eektromagnetického poe uvádí jako čtvrtá Maxweova rovnice (zde v integráním tvaru). Příkad 6 nosná sía eektromagnetu Eektromagnet z obr. 3 má cívku o z = 50 závitech, kterou prochází proud I =,0 A. Jádro a kotva jsou z oceoitiny, pocha příčného řezu je S = =,5 10 4 m na ceém obvodu stejná, střední déka siočáry je =0,30 m. Vypočtěte nosnost F 0 jako funkci δ toušťky vzduchové mezery. Řešte numericky pro δ =0,δ =0,5 mm, δ =1,0 mm. Řešení Nejprve upravíme výraz (49) dosazením za magnetický odpor obvodu. Ten zřejmě je (srovnejte s příkadem 1) R m = 1 ( ) δ +δ. μ 0 S μ r Po dosazení do (47) a uvážení, že nosnost v daném případě je F 0 =F,dostaneme F 0 = μ 0μ r z I ( ) S [ +δ(μ r 1)] μ μr zi 0S, (50) +μ r δ který ve zváštním případě δ 0 bude ( ) F 0 μr zi = μ 0 S. (51) ΔS I zi H C Obr. 6 d Uvažujme nyní indukční trubici, kterou budou tvořit všechny indukční čáry procházející určitou poškou ΔS komo postavenou v daném místě k indukčním čarám (obr. 6). Indukční tok procházející touto trubicí zřejmě je ΔΦ = ΔS, (1) pokud uvažujeme pochu ΔS dostatečně maou, aby indukce bya ve všech bodech stejná. Pro numerické řešení je třeba nejprve určit střední veikost reativní permeabiity žeeza pro dané sycení. V případě bez vzduchové mezery je magnetický obvod stejnorodý, zákon cekového proudu (3) má jednoduchý tvar H = zi, z něhož intenzita poe v žeeze H = zi = 1670 A m 1. Z grafu v Dodatku určíme indukci =1,5 T,pakμ r = μ 0 H = 710. Pak z (51) vychází F 0 = 440 N. Pro δ 0 bude intenzita poe v žeeze H a ve vzduchu H v vázána vztahem (34), neboi H v = μ r H. Zákon cekového proudu bude mít tvar neboi intenzita poe v žeeze H( δ)+h v δ = zi, H zi +δμ r (5) 16 37
Panenská křivka (1) z obr. 3, tj. závisost veikosti indukce magnetického poe v átce na její veikosti 0 = μ 0 H ve vakuu, vedená z výchozího nuového magnetického stavu ( =0pro 0 =0),senazývámagnetizační křivka. Je důežitou charakteristikou feromagnetika potřebnou pro navrhování magnetických obvodů. Její typický průběh je na obr. 4. Vede uvedené závisosti = f( 0 ) se často uvádí jako funkční závisost = f(h), jak je uvedeno pro některé materiáy v Dodatku. Zde je také uvedena její tabuková forma pro prvky Fe, Ni, Co. Důežitou charakteristikou átky z hediska magnetického poe je reativní permeabiita μ r. U magneticky měkkých átek je to konstanta bízká jedničce (viz č. 1.4). U feromagnetik však takovou jednoznačně určenou veičinu neze najít. Lze např. určit směrnici k magnetizační křivce (obr. 4) pro určité sycení feromagnetika: d d 0 = μ d, která se nazývá diferenciání reativní permeabiita (viz [5]). Je zřejmé, že pro veké sycení bude její veikost bízká 1. Maá vhodnost této veičiny jako charakteristiky feromagnetika je dána tím, že její veikost je závisá na stavu magnetizace, který předcháze měření (je to zřejmé z hysterezní smyčky). Z hediska řešení magnetických obvodů (viz kap. ) je vhodnější feromagnetikum charakterizovat střední veikostí μ r reativní permeabiity pro dané sycení. Jednoduše se určí ze vztahu μ r = 0 = μ 0 H, (18) kde je indukce magnetického poe vyvoaná určitou hodnotou intenzity H poe ve vakuu. V iteratuře se μ r prostě označuje μ r (i když je toto zjednodušené označení poněkud zavádějící, budeme je dáe rovněž užívat). Typický průběh funkce μ r = f( 0 ) je na obr. 5. Maximání veikost permeabiity určíme tak, že vedeme tečnu z počátku k magnetizační křivce, jak je naznačeno na obr. 4, určíme přísušné hodnoty 0m, m a vypočteme μ rmax. Ke grafům na obr. 3, 4 a 5 je třeba na závěr upozornit, že u feromagnetik, kde μ r je řádu 10 3, je žádoucí vynášet indukci 0 v díech jednotky veičiny (bude-i v T, je vhodné 0 v mt), jinak by křivky vyšy značně strmé. 4 Úohy 1. Gyromagnetický faktor Odvoďte výraz pro gyromagnetický faktor eektronu zavedený vztahem (9) na zákadě kasické úvahy o pohybu eektronu po kruhové trajektorii bíže neurčeného pooměru.. ohrův magneton Odvoďte vztah (4) pro ohrův magneton na zákadě úvahy o stojatých de rogiho vnách λ = h = h na první kvantové dráze s využitím výsedků p e m e v úohy 1. 3. Magnetizační proud Na jádře ve tvaru anuoidu o středním pooměru r 0 = 100 mm a o kruhovém průřezu s pooměrem r =0,0 mmjenavinutoz = 150 závitů. Jaký magnetizační proud musí procházet cívkou, aby se vytvořio magnetické poe o toku Φ = 1,40 10 3 Wb, je-i jádro a) z oceoitiny, b) z itiny. Posuďte vhodnost uvažovaných materiáů. Určete reativní permeabiitu těchto materiáů při požadovaném sycení. 4. Magnetický obvod se vzduchovou mezerou Oceoitinový obvod z úohy 3 je přerušen vzduchovou mezerou toušťky δ = = 1,0 mm. Jaký bude nyní potřebný magnetizační proud? Vypočtěte síu F, kterou jsou k sobě přitahovány póy vytvořené štěrbinou. 5. Dva magnetické obvody Uvažujme dva stejné prstence z oceoitiny o střední déce = 400 mm, na nichž je navinuta stejná cívka o z = 00 závitech. Jeden prstenec je přerušen vzduchovou mezerou δ =1,0 mm. Vinutím prstence bez mezery prochází proud I 1 = 1,0 A. Jaký proud I musí procházet druhým prstencem, aby v něm vznika stejná indukce - odvoďte vztah mezi proudy I 1, I. 14 39