Vsoké učení techncké v Brně Fakulta stavební Studentská vědecká a odborná čnnost kademcký rok 0/0 Teoretcké základ jednozrcadlových a dvou-zrcadlových optckých skenerů Jméno a příjmení studenta ročník obor: Vedoucí práce: Katedra / Ústav: etr okorný 4. Geodéze a kartografe rof. RNDr.. Mkš CSc. Katedra fzk / FSv ČVUT v raze
Obsah bstrakt... bstract... Úvod...4 Současné komerčně dostupné D skener 4 Optcké sstém D skenerů..5 4 růchod paprsku optckým sstémem 7 5 Dvou-zrcadlové skener.9 6 Jedno-zrcadlové skener.. 7 plkace 7. říklad dvou-zrcadlový skener 7. říklad dvou-zrcadlový skener5 7. říklad jedno-zrcadlový skener...7 8 Závěr 9 Lteratura...0
bstrakt V prác je provedena analýza optckých sstémů jedno-zrcadlových a dvouzrcadlových D optckých skenerů představen současné komerčně dostupné model jsou odvozen vztah umožňující provést návrh obou tpů skenerů v obecném případě tto vztah poté demonstrován na konkrétních příkladech. bstract The paper gves an analss of optcal sstems of one-mrror and two-mrror D optcal scanners a commercall avalable models are ntroduced there are derved relatons allowng to desgn both tpes of scanners n the general case these relatons are then demonstrated on concrete eamples.
Úvod D (třírozměrné) optcké skener [-] jsou přístroje umožňujících provádět bezkontaktní velm rchlé a přesné měření třírozměrných objektů. Oblastm aplkace D optckých skenerů jsou např. stavebnctví a archtektura nterér výkopové zemní práce (základ budov měření kubatur tunel kanalzace těžba surovn apod.) D dokumentace uměleckých předmětů a kulturních památek (soch porcelán nábtek apod.) součástk a modul ve strojírenství tvar karosérí automoblů stav slnčních vozovek železnčních tratí detekce a dokumentace trhln vodohospodářství bezpečnost a kontrola slnčního provozu (laserové brán) archeologe atd. []. Dále nacházejí tto sstém šroké uplatnění v bezpečnostní technce jako např. př ochraně objektů detekc přítomnost člověka v bezpečnostních zónách výrobních sstémů (např. obráběcích centrech hutích apod.). Další oblastí šroké aplkace D skenerů jsou laserové technologe (řezání svařování gravírování povrchové zušlechťování materálů apod.) medcína a zábavný průmsl (laserové efekt dvadla) [0]. Estuje celá řada frem [4-9] které se touto problematkou zabývají a komerčně nabízejí D skener pro výše uvedené aplkace. Současné komerčně dostupné D skener V této část je uvedeno několk příkladů současných špčkových D skenerů které jsou komerčně dostupné na trhu. Další nformace je možné dohledat na nternetových stránkách jednotlvých výrobců [-9]. název tp Tabulka arametr skenerů zorné pole dosah rchlost přesnost [ ] [m] bod/s délková úhlová Surphaser 5HSX jednozrcadlový 60 70 70 6 ts. až ml. 0 mm mm Leca ScanStaton C0 Topcon GLS-500 RIEGL VZ- 000 FRO Focus D jednozrcadlový jednozrcadlový jednozrcadlový (polgon) jednozrcadlový 60 70 00 50 ts. 4 mm/50 m " " 60 70 0 0 ts. 4 mm/50 m 6" 6" 60 00 400 ts. 8 mm 9" 60 05 0 976 ts. mm/5 m 4
Obr. Surphaser 5HSX Leca ScanStaton C0 Topcon GLS-500 RIEGL VZ- 000 FRO Focus D Optcké sstém D skenerů D optcký skener se skládá ze zdroje záření rozmítacího optckého nebo optcko-mechanckého sstému detektoru záření a vhodnocovacího sstému. Světlo vcházející ze zdroje záření je pomocí rozmítacího sstému odchýleno do přesně určeného směru a dopadá na měřený předmět. o odraze od měřeného předmětu se část světla (rozptýleného předmětem) vrací zpět opět prochází rozmítacím sstémem a dopadá na detektor záření. Vhodnocovací sstém potom určí prostorové souřadnce bodu předmětu. Vzdálenost bodu měřeného předmětu od skeneru pak nejčastěj určujeme buď pomocí modulace světelného sgnálu vslaného skenerem nebo změřením času který uplne mez vsláním a zpětným přjmutím sgnálu (metoda TOF "tme of flght"). Estují další způsob určení vzdálenost měřeného předmětu od skeneru např. trangulační [] ale tto se používají v menší míře a proto se jm zde nebudeme zabývat. Optcké D skener jsou nejčastěj založen buď na jedno-zrcadlovém nebo dvou-zrcadlovém optckém sstému pro rozmítání světelného svazku. Jedno-zrcadlové skener jsou používán tam kde je zapotřebí dosáhnout většího úhlového rozsahu (zorného pole) rozmítaného světelného svazku. Jednozrcadlový skener (obr. ) je nejčastěj tvořen laserovým modulem s jedním rotačním zrcadlem které se otáčí kolem vodorovné (horzontální - H) os a rozmítá laserový svazek v rovně kolmé k ose otáčení zrcadla (vertkální rovna). Tento laserový modul se pak otáčí kolem svslé (vertkální - V) os kolmé na osu otáčení zrcadla čímž dochází k rozmítání laserového svazku ve vodorovné (horzontální) rovně. Dosažtelné zorné pole může být např. 60 o 0 o (H V). Dvou-zrcadlové skener jsou používán zejména v oblast laserových technologí ve strojírenství a v dalších oblastech kde není zapotřebí přílš velkého úhlového rozsahu rozmítaného laserového svazku. Optcká soustava dvouzrcadlového skeneru je tvořena dvěma zrcadl které se otáčejí kolem dvou různých os a tím dochází k rozmítání laserového svazku. Estuje několk frem které dodávají jž hotové modul pro dvou-zrcadlové skener např. []. Dosažtelné zorné pole může být např. 80 o 80 o (H V). 5
Obr. rncpální schéma jedno-zrcadlového D laserového skeneru Na obr. je znázorněno prncpální schéma jedno-zrcadlového D skeneru sloužícímu k určování souřadnc bodů na měřeném předmětu např. vzhledem k průsečíku os a skeneru. Světlo z laserové dod se odráží na otočném zrcadle Z a dopadá na měřený předmět. ředmět světlo rozptýlí část světla se vrátí zpět do skeneru a po odraze na zrcadle Z a po průchodu kondenzorem dopadá na detektor. Vzdálenost předmětu od vztažného bodu se určí pomocí času t který uplne od vslání sgnálu k jeho detekc detektorem (metoda "tme of flght"). Je-l c =.0 0 cm/s rchlost světla potom pro vzdálenost d měřeného bodu předmětu od vztažného bodu platí d t = c. () Za dobu τ urazí světlo vzdálenost L = τ c. Chceme-l určt vzdálenost d s přesností d potom musíme umět změřt čas s přesností Je-l např. δ t = ns = 0 9 δ t = d / c. () s potom chba měření bude 0 cm 9 d =.0.0 s = 0 cm. s Chceme-l ted vzdálenost d určt s přesností d = 5 cm musíme umět změřt čas s přesností 9 0 δ t = 07 ns = 07.0 s.0 s. 6
Měření pomocí skeneru na obr. pak probíhá tím způsobem že laserová doda vsílá sled pulsů a měří se čas který uběhne mez vsláním pulsu a jeho zpětnou detekcí detektorem. Zrcadlo se přtom otáčí kolem os a zároveň se kolem os otáčí horní část skeneru (na obr. je to čárkovaný bo). Úhlové odměřovací sstém na ose a ose nám udávají směrové úhl α a α paprsku vslaného směrem k měřenému předmětu. Známe-l ted tto úhl a čas t potom můžeme snadno vpočítat souřadnce "bodu" předmětu na který paprsek světla vslaný skenerem dopadl. řesnost α a α s jakou musíme určt směrové úhl α a α určíme z podmínk ab chba souřadnc měřeného bodu bla v nám požadovaných mezích. Je-l D vzdálenost měřeného bodu od skeneru potom platí α = d D α = d D. () / / Volíme-l D = 50 m = 5000 cm a požadujeme-l d = d = 5 cm potom dostáváme α = α = 0 00rad =. Tím máme určen základní vztah a hodnot nutné pro návrh skeneru. 4 růchod paprsku optckým sstémem ro odraz paprsku majícího jednotkový směrový vektor od zrcadla majícího jednotkový směrový vektor normál N směřující k dopadajícímu paprsku platí (obr. ) [6 7] = N( N) = M (4) kde je jednotkový vektor paprsku odraženého od zrcadla a (N) značí skalární součn vektorů. ro matc M a vektor a N platí N N N N Nz M = N N N N Nz N Nz N Nz N z = z = z N N = N (5) Nz zrcadlo Obr. Odraz od rovnného zrcadla 7
ř odraze na k zrcadlech pak opakovaným použtím vztahu (4) dostáváme N k = N 0 ( N N ) ( N N ) (6) N k ( N 0 ) ( N ( N N 0 ) ) 0 ( N ( N N kde k je jednotkový vektor paprsku odraženého od soustav k zrcadel. ro v pra nejčastěj používanou soustavu dvou zrcadel ze vztahu (6) dostáváme ( N ) ( N ) = N ( N N ) = N ( N ) N ( N ) + 4N ( N N )( N ) (7) N 0 Otáčíme-l nní zrcadlem kolem nějaké os bude se směr odraženého paprsku měnt v závslost na úhlu otočení zrcadla a na směru os kolem které se zrcadlo otáčí. Bude se ted př otáčení zrcadla měnt směr jednotkového vektoru normál N zrcadla. Uvažujme nní otočení vektoru N kolem os dané jednotkovým směrovým vektorem C procházejícm počátkem souřadné soustav o úhel ϕ. Jak je známo z matematk [4] platí pro vektor N(ϕ) vznklý otočením vektoru N o úhel ϕ kolem os dané jednotkovým směrovým vektorem C následující vztah N ( ϕ) = Ncosϕ + C( CN)( cosϕ) + ( C N) snϕ. (8) ro nekonečně malé otočení dϕ (cos dϕ sn dϕ dϕ) pak platí N ( dϕ) = N + ( C N) dϕ. (9) ř rotac zrcadla Z skeneru na obr. se vektor N jeho normál bude transformovat podle vztahu (8). odle vztahu (9) se pak určí vlv chb os rotace na chbu skeneru. k k k ) ) 8
5 Dvou-zrcadlové skener Obr. 4 Soustava dvou zrcadel Na prvním místě s uvedeme tto skener protože v pra se pro přesná měření vužívají nejvíce a jedno-zrcadlové jsou co se týče popsu průchodu paprsku zjednodušeným případem dvou-zrcadlových skenerů. Uvažujme ted soustavu dvou rovnných zrcadel Z a Z znázorněnou na obr. 4. ředpokládejme že zrcadlo Z prochází bodem O a otáčí se kolem os mající jednotkový směrový vektor C a zrcadlo Z prochází bodem O a otáčí se kolem os mající jednotkový směrový vektor C. Dále nechť N a N jsou jednotkové vektor normál k zrcadlům Z a Z a je jednotkový směrový vektor paprsku dopadajícího na zrcadlo Z = je jednotkový směrový vektor paprsku odraženého od zrcadla Z a dopadajícího na zrcadlo Z a = je jednotkový směrový vektor paprsku odraženého od zrcadla Z. Otočíme-l nní zrcadlo Z o úhel ϕ kolem os mající jednotkový směrový vektor C a zrcadlo Z kolem os mající jednotkový směrový vektor C o úhel ϕ vzhledem k jejch základním polohám potom bude podle vztahu (8) platt N ( ϕ ) = N (0)cosϕ + C ( C N (0))( cosϕ ) + [ C N (0)] snϕ = (0) ro jednotkové směrové vektor (ϕ ) pak bude podle vztahu (4) platt + ( ϕ ) = ( ϕ ) N ( ϕ )( ( ϕ ) N ( ϕ )) () kde ϕ ) = (0) je směrový vektor paprsku dopadajícího na zrcadlo Z. ( 9
Obr. 5 Soustava dvou zrcadel v rovně () Hledejme nní souřadnce průsečíku paprsku vstupujícího ze soustav zrcadel Z a Z s rovnou ξ (obr. 5). Jednotkové vektor ve směru souřadných os ( z) nechť jsou ( j k). Os a leží v rovně obr. 5 a osa z je kolmá na tuto rovnu. Budeme říkat že zrcadlový sstém je v základní poloze budou-l vektor a ležet v navzájem rovnoběžných rovnách. Vektor příslušející základní poloze budeme značt (0) (0) (0) N (0) a N (0). aprsek vcházející ze zrcadlové soustav v základní poloze pak protíná rovnu ξ která se nachází ve vzdálenost b od bodu O v bodě. Bod O a O jsou od sebe vzdálen o hodnotu a. ro směrový vektor ( ϕ ) paprsku odraženého od zrcadla Z v bodě O podle vztahu () platí ϕ ) = (0) N ( ϕ )( (0) N ( )) () ( ϕ kde vektor N ( ) je dán vztahem (0). Nní s určíme průsečík tohoto paprsku se zrcadlem Z. Jako počátek souřadné soustav volme bod O. Jak je známo z matematk [5] bude parametrcká rovnce paprsku odraženého od zrcadla Z v bodě O dána vztahem ϕ r = r O + p ( ϕ ) () kde r je obecný bod paprsku ro = aj je polohový vektor bodu O a p je parametr. Rovnce zrcadla Z (rovnce rovn procházející bodem O ) je dána vztahem rn ( ϕ )) 0. (4) ( = Dosazením vztahu () do vztahu (4) dostáváme pro parametr p následující vztah ( jn( ϕ )) p = a. ( ( ϕ ) N ( ϕ )) 0
ro polohový vektor r průsečíku paprsku se zrcadlem Z pak podle vztahu () platí r ( jn( ϕ )) = aj + p ( ϕ) = aj a ( ). (5) ( ( ϕ ) N ( ϕ )) ϕ Hledejme nní polohový vektor r obecného bodu na paprsku odraženém od zrcadla Z platí Rovnce rovn ξ je dána vztahem r = r + p ( ϕ ). (6) ξ (( r bq) q) = 0 (7) kde q je jednotkový vektor normál k rovně ξ a r je polohový vektor obecného bodu rovn ξ. ro polohový vektor průsečíku paprsku odraženého od zrcadla Z s rovnou ξ potom platí r = r + p ( ϕ ). (8) arametr p získáme dosazením vztahu (6) do vztahu (7) směrový vektor ( ϕ ) určíme ze vztahu () a vektor N ( ϕ ) určíme ze vztahu (0). otom platí 6 Jedno-zrcadlové skener ( rq) p = b + ( ( ϕ ) q) ϕ ) = ( ϕ ) N ( ϕ )( ( ϕ ) N ( )). ( ϕ Tto skener se zejména pro jejch velký úhlový rozsah (vz Tabulka ) vužívají především v mapování dokumentac památkových objektů apod. Obr. 6 Jedno-zrcadlový skener
ro popsání průchodu paprsku uvažujme nejdříve rotac zrcadla kolem vektoru C o úhel ϕ (pokud je úhel otočení celého skeneru ϕ = 0 platí C = ). ro otočení jednotkového normálového vektoru zrcadla dle (8) dostáváme N ( ϕ = ϕ ϕ ϕ. (9) ) N(0)cos + C ( CN(0))( cos ) + ( C N(0)) sn ro jednotkový vektor odraženého paprsku od natočeného zrcadla bude podle (4) platt = N( ϕ )( N( )). (0) ϕ Jelkož se otáčí dále celý skener o úhel ϕ bude pro výsledný jednotkový vektor paprsku platt nebo = ϕ cosϕ + C( C )( cosϕ ) + ( C ) sn T T = R ( ϕ () ) cosϕ 0 snϕ kde R ( ϕ ) = 0 0 je matce rotace kolem os o úhel ϕ. snϕ 0 cosϕ Chceme-l určt vektor r průsečíku paprsku s rovnou ξ která je dána vztahem (7) bude za podmínk že k odrazu dochází v počátku soustav ( z) platt po dosazení do (7) ted r = p r b = () ( q) kde q je jednotkový vektor normál k rovně ξ a b je vzdálenost rovn od počátku.
7 plkace V této část budou obecně odvozené výše uvedené vztah aplkován na konkrétní příklad. 7. říklad dvou-zrcadlový skener Uvažujme případ dvou-zrcadlové soustav s následujícím parametr (obr. 7): = α = 45 (0) = C = C = k o α N (0) ( + j)/ Užtím vztahů (0) a () dostáváme = N (0) = ( + )/ q = a = 5 cm b = 00 cm. j N ( ϕ) = ( + jcosϕ + k snϕ) ϕ ) = ( jcosϕ + k sn ) ( ϕ j N ( ϕ ) = (cosϕ snϕ ) + (cosϕ + snϕ ) ( = ϕ. ϕ ) cosϕ( sn ϕ ) + jcosϕ snϕ k sn Dosazením do vztahů (5) a (8) dostáváme r = a k tgϕ b snϕ b r = b + j k tgϕ a + sn ϕ. () sn ϕ Souřadnce bodu na stínítku jsou ted dán vztah = b snϕ = b b z = tgϕ sn ϕ a +. (4) sn ϕ
Obr. 7 Schéma dvou-zrcadlové soustav a zobrazení bodu v rovně stínítka pro = 0 9...9 0 ϕ = 8 7...7 8 s parametr z říkladu ϕ { } { } Druhý a třetí vztah (4) představují parametrcké rovnce křvk v rovně stínítka. o úpravě pak dostáváme rovnc této křvk v eplctním tvaru platí z tgϕ a tgϕ = snϕ. (5) ro malé úhl vchýlení zrcadel potom rozvojem v Talorovu řadu ze vztahů (4) dostáváme 8 bϕ + bϕ ( ) z a + b (6) ϕ bϕϕ kde jsme se omezl jen na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení. Úhl ϕ a ϕ do vztahu (6) dosazujeme v radánech. Omezíme-l se ve vztazích (6) jen na první člen rozvoje vdíme že souřadnce bodu na stínítku jsou přblžně úměrné úhlům vchýlení zrcadel. ro relatvní chbu této lneární apromace potom ze vztahů (6) dostáváme δ 4 ϕ δ z z ϕ + a / b ϕ (7) kde jsme předpokládal že a/b <<. Např. pro úhel lneární apromace δ 4% a δ z z 6%. / / ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba 4
7. říklad dvou-zrcadlový skener Uvažujme nní konkrétní případ dvou-zrcadlové soustav s následujícím parametr (obr. 8): = α = 45 (0) = C = k C = o α N (0) ( + j)/ = N (0) = ( j + )/ q = k a = 5 cm b = 00 cm. k Obdobným řešením jako v říkladu užtím (0) a () dostáváme N N [ ] ( ϕ ) = ( snϕ cosϕ ) j( snϕ + cos ) ϕ j ( ϕ ) = ϕ jcos sn ϕ ( ϕ ) = ( cosϕ snϕ ) + ( cosϕ + sn ) ϕ ( ϕ ) = ϕ jcosϕ snϕ k cosϕ cos. sn + ϕ Dosazením do (5) a (8) poté získáme r = a tg ϕ k b r = tgϕ a + jb tg + kb. cos ϕ (8) ϕ Souřadnce bodu na stínítku můžeme ted vjádřt vztah b = tgϕ a + = b tg z b cos ϕ (9) ϕ = nebo po úpravě prvních dvou výrazů eplctním vjádřením křvk v rovně stínítka tgϕ = a tgϕ. (0) + snϕ 5
Obr. 8 Schéma dvou-zrcadlové soustav a zobrazení bodu v rovně stínítka pro = 0 9...9 0 ϕ = 8 7...7 8 s parametr z říkladu ϕ { } { } Ze vztahů (9) potom pro malé úhl vchýlení rozvojem v Talorovu řadu dostáváme ( a + b) ϕ + 4bϕ ϕ 8 bϕ bϕ 8 + ( a + b) ϕ () kde jsme se omezl jen na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení. Úhl dosazujeme v radánech. ro relatvní chbu lneární apromace kd uvažujeme pouze první člen vztahů () dostáváme δ ϕ + a / b ϕ δ 4 = ϕ () kde jsme předpokládal že a/b <<. Např. pro úhel ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba lneární apromace δ / 6% a δ / 4%. Jak je z předcházejících příkladů patrno mají oba použté tp skenerů stejnou relatvní přesnost. 6
7. říklad jedno-zrcadlový skener ro úplnost je zde uveden ještě případ jedno-zrcadlového skeneru s následujícím parametr (obr. 6) = C = C = j N ( 0) = ( + k)/ q = k Užtím (9)-() získáme = jsnϕ + kcosϕ b = 00 cm. = cosϕ snϕ jsnϕ + k cosϕ cosϕ () tgϕ r = b tgϕ jb + k cosϕ b ro souřadnce bodu na stínítku ted platí tgϕ = b tgϕ = b z b (4) cosϕ = nebo v eplctním vjádření křvk v rovně stínítka. tgϕ =. (5) snϕ ϕ Obr. 9 Zobrazení bodu v rovně stínítka pro = { 45 4...4 45 } ϕ = { 40 8...8 40 } s parametr z říkladu 7
Talorovým rozvojem souřadnc a kde se omezíme pouze na člen do třetích mocnn úhlů vchýlení získáme b b b bϕ + ϕ bϕ ϕϕ ϕ (6) úhl dosazujeme v radánech. Uvážíme-l dále pouze lneární člen bude relatvní přesnost této lneární apromace δ = ϕ δ = ϕ. (7) Např. pro úhel ϕ 0 o = = 0.7 rad je chba lneární apromace δ 0% a δ 4 %. / / 8
8 Závěr V prác bla provedena analýza D optckých skenerů a to jedno-zrcadlových a dvou-zrcadlových. Jsou zde odvozen vztah umožňující provést návrh obou tpů zrcadlových skenerů v obecném případě. plkace odvozených vztahů je demonstrována na dvou příkladech dvouzrcadlových skenerů a jednoho jedno-zrcadlového kde je ukázán způsob výpočtu parametrů těchto skenerů a jsou odvozen vztah pro výpočet relatvních chb těchto skenerů. ráce bla vpracována v rámc grantu 0/0/77 Grantové agentur České republk. 9
Lteratura [] MRSHLL Gerald F. Handbook of optcal and laser scannng. New York: Marcel Dekker c004 79 s. Optcal engneerng (Marcel Dekker Inc.) v. 90. ISBN 08-47-5569-. [] VOSSELMN George a Hans-Gerd MS. rborne and terrestral laser scannng. edton. CRC ress 00. ISBN 978-4-987-987. [] Control sstem - Laserové skenování - geodetcké práce [onlne]. 00 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.controlsstem.cz/ [4] Surphaser D Scanners [onlne]. 995-0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.surphaser.com/ [5] Home - Leca Geosstems - HDS [onlne]. 0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://hds.leca-geosstems.com/en/nde.htm [6] TOCON Global Gatewa [onlne]. 997-0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://global.topcon.com/ [7] RIEGL Laser Measurement Sstems [onlne]. 0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.regl.com/ [8] FRO Laser Scanner FocusD [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.faro.com/focus/uk [9] MDL [onlne]. 007-0 [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.mdl.co.uk/en/475.asp [0] DJ Obchod.eu - dj technka světelná a zvuková technka [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.dj-obchod.eu [] Sramus.cz - světelná a zvuková technka a efekt hudební nástroje [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.sramus.cz/ [] Galvos Scannng Mrrors Optcal Scanners [onlne]. 0 [ct. 0-0- ]. Dostupné z: http://www.cambrdgetechnolog.com/ [] Laser sensors IR Temperature sensors Hgh precson dsplacement and poston measurement Mcro-Epslon Measurement [onlne]. [ct. 0-0-]. Dostupné z: http://www.mcro-epslon.com/nde.html [4] MDELUNG Erwn. De mathematschen Hlfsmttel des hskers. 7. ufl. Edton. Berln: Sprnger 964 47 s. [5] REKTORYS Karel a spolupracovníc. řehled užté matematk.. opravené vdání. raha: Státní nakladatelství techncké lteratur 968 40 s. [6] MIKŠ ntonín. plkovaná optka. Vd.. V raze: České vsoké učení techncké 009 0 s. ISBN 978-80-0-0454-0 (BROž.). [7] HVELK Bedřch. Geometrcká optka I. raha: NČSV 955. 0