Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 014 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 35 1. Z původní ceny byl výrobek zlevněn o 10 % a potom ještě o 8 % nové ceny. O kolik procent původní ceny byl zlevněn celkem? (a) 0,3 % (b) 15, % (c) 17, % (d) Žádná z ostatních možností není správná. (e) 18, %. Mějme tři čísla zapsaná v sedmičkové soustavě: 456 7, 116 7 a 345 7. Vyjádřete jejich součet také v sedmičkové soustavě. (a) 456 7 + 116 7 + 345 7 = 10153 7. (c) 456 7 + 116 7 + 345 7 = 687 7. (d) 456 7 + 116 7 + 345 7 = 10163 7. (e) 456 7 + 116 7 + 345 7 = 6753 7. 3. Pokud ráno zaspím, koupím si v pekárně koblihu. Pokud ráno nezaspím, nasnídám se doma. Rozhodněte, které tvrzení je pravdivé. (a) Pokud jsem snídal doma, pak si nekoupím koblihu. (b) Pokud jsem si nekoupil koblihu, pak jsem ráno snídal doma. (d) Pokud jsem si koupil koblihu, pak jsem nesnídal doma. (e) Ráno se nasnídám doma a koupím si koblihu jednině v případě, že nezaspím. 4. Je dána funkce f(x) = x + 1 + x. Spočtěte hodnotu rozdílu f(t + 1) f(t 1). (a) t + t + 9 (b) 3t + 4t + 1 (d) t + 8t + 8 (e) t + t + 7 1
5. Nalezněte řešení soustavy rovnic a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé. x y = 7 a (y + x) = y (a) Soustava nemá reálná řešení. (c) Součet řešení x a y je 1 10. (d) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (e) Součin řešení x a y je 6. 6. Nekonečná spirála se skládá z půlkružnic. Poloměr první půlkružnice je 6 cm a poloměr každé další je třikrát menší než poloměr předcházející polokružnice. Vypočtěte délku l spirály. (b) l = + cm. (c) l = 3 π cm. (d) l = 6π cm. (e) l = 9π cm. 7. Rozhodněte, které tvrzení o řešeních rovnice 9 x 1 + 9 1 x = 10 3 je pravdivé. (a) Součet všech řešení je 1. (b) Rovnice nemá řešení. (d) Rovnice má dvě nezáporná řešení. (e) Součin všech řešení je 9. 8. Najděte všechna reálná řešení nerovnice (x + 1) 3 (x + 1) 1. (b) x (, 0, ) (c) x, 0 (d) x (, 1) ( 1, ) (e) x (, ( 1, 0
9. Které z následujících tvrzení o definičním oboru funkce f(x) = log 5 x + 1 je pravdivé? (a) Definiční obor je (0, 1 5 ) ( 1 5, + ). (c) Definičním oborem jsou všechna kladná reálná čísla. (d) Definiční obor je 1 5, + ). (e) Definiční obor je 5, + ). 10. Jestliže y = ln(x + 1), pak y 1, 1 právě pro (b) x 1, e 1 (c) x ( e 1, 1 ) (d) x e 1 1, e 1 (e) x e 1, e 1 11. Jsou dány dvě množiny A = {x x + 4x > 0} a B = {x x + 1 3}. Sjednocením množin A a B je (a) (, 6) 4, ) (b) Všechna reálná čísla. (d) ( + 6, (e) ( 6, 4) 1. Plavecký bazén si vede měsíční statistiky. Jedna čtvrtina návštěvníků chodí do bazénu alespoň dvakrát týdně a jedna pětina z nich dokonce denně. Jedna pětina všech návštěvníků chodí jedenkrát týdně. Ostatní návštěvníci chodí několikrát do měsíce, ale nepravidelně. Každý desátý návštěvník se po první návštěvě víckrát nevrátí. Rozhodněte, které tvrzení je pravdivé. (b) Nepravidelně chodí do bazénu 65% návštěvníků. (c) Do bazénu chodí pravidelně 65% návštěvníků. (d) Právě dvakrát týdně chodí do bazénu 5% návštěvníků. (e) Do bazénu chodí pravidelně 45% návštěvníků. 13. Kolik litrů vody o teplotě 60 C je třeba přidat do 30 litrů vody o teplotě 30 C, chceme-li, aby výsledná teplota vody byla 40 C? (b) Musíme přidat více než 5 litrů teplejší vody. (c) Stačí přidat méně než 10 litrů teplejší vody. (d) Stačí přidat méně než sedm litrů teplejší vody. (e) Musíme přidat více než 10 litrů teplejší vody. 3
14. Z jakého nejmenšího počtu shodných krychlí, s velikostí hrany v centimetrech vyjádřenou přirozeným číslem, můžeme sestavit kvádr o rozměrech 9, 1 a 1 cm? (a) 594 (b) 84 (d) 5 (e) 756 15. Kolika různými způsoby můžeme vybrat onbónů z 0 čokoládových, 10 oříškových a 6 vanilkových? (a) 33 (b) 43 (d) 9 (e) 1 16. Nalezněte řešení rovnice a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé. (a) Rovnice má jediné reálné řešení. (b) Rovnice nemá řešení. (c) Reálná řešení rovnice jsou celočíselná. (d) Rovnice má dvě různá reálná řešení. (e) Žádná z ostatních možností není správná. 8x 4 + 4x 3 + x + x = 0 17. Určete hodnoty reálného parametru p tak, aby v rovnici 3x 4x + p = 0 byl jeden kořen trojnásobkem druhého kořene, a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé. (a) Takových p je nekonečně mnoho. (b) p = 108. (d) p = 1. (e) Takový parametr p neexistuje. 4
18. Pro délky poloos hyperboly zadané rovnicí 4x 9y 4x 36y 36 = 0 platí (b) Neexistují, nejedná se o rovnici hyperboly. (c) Delší poloosa je dvojnásobkem kratší. (d) Součin jejich druhých mocnin je 36. (e) Jejich součet je 13. 19. Určete hodnoty parametrů a, b tak, aby přímky p : ax + 4y + 1 = 0 a q : 3x + y b = 0 byly totožné. (a) a = 6, b = 1 (c) a = 6, b R (d) a = 8 3, b = 1 (e) a = 6, b = 1 0. Náhodně vybereme trojciferné číslo. Jaká je pravděpodobnost, že se v jeho zápisu vyskytuje cifra 8 alespoň dvakrát? (a) 0,03 (b) 0,97 (c) 0,873 (d) Žádná z ostatních možností není správná. (e) 0,7 5