Zborcené plochy Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 3 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240
Literatura Základní literatura: Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3. Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006 2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php 2
Literatura Doporučená literatura: Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/uvod.html Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004 2008. Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0-1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003. 3
Literatura Další zdroje: Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006 Černý, Jaroslav Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/bakalari/kog/default.html. Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/uvod.html. Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html. Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958. Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006 Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006. 4
Zborcené plochy Zborcená plocha je dána třemi různými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2, 3, které neleží na téže rozvinutelné ploše Značíme ( 1, 2, 3 ) Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka 5
Zborcené plochy Konstrukce tvořící přímky: Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s vrcholem A a řídící křivkou 3. 6
Zborcené plochy Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod. Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy, tzv. torzální rovina. Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, }, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, } tvořící přímky (které nemusí byt torzální). Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, } křivkách zborcené plochy. Torzální přímka prochází kuspidálním bodem. Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy se nazývá asymptotická. 7
Zborcené plochy Stupeň plochy: Buď zborcená plocha dána algebraickými křivkami 1 stupně 1 n, 2 stupně 2 n a 3 stupně 3 n. Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak je stupně 2 1n 2n 3n Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný s ij bodů, pak je stupně 2 1n 2n 3n s 12 3n s 13 2n s 23 1n 8
Zborcené plochy Užití zborcených ploch Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby vznik skořepinových ploch Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné 9
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Jednodílný hyperboloid Hyperbolický paraboloid 10
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Buď dány tři řídící přímky mimoběžky 1 a, 2 a, 3 a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ( 1 a, 2 a, 3 a) stupně 2 1 1 1=2, tj. kvadriku Tvořící přímky plochy, například 1 b, 2 b, 3 b, 4 b, jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1 b a 2 b byly ruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1 a, 2 a, 3 a ( 1 b, 2 b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1 a, 2 a, 3 a. Tvořící přímky - mimoběžky i b plochy se nazývají např. přímky I. regulu plochy. Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1 b, 2 b, 3 b jako řídící přímky plochy, pak přímky 1 a, 2 a, 3 a spolu s dalšími mimoběžkami i a tvoří přímky II. regulu plochy. 11
Zborcené plochy 2. stupně (zborcené kvadriky) Z konstrukce je patrné, že: Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné Tečná rovina plochy v bodě M je určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících 12
Jednodílný hyperboloid 13
Jednodílný hyperboloid Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s rovinou, pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecně nerotační). Základní vlastnosti Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem). Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu. Dva systémy mimoběžných přímek na ploše reguly. Plocha dvojí křivosti. Nerozvinutelná plocha. 14
Jednodílný hyperboloid Asymptotická kuželová plocha Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu. Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu. Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola. 15
Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu přímky kružnice, elipsa 16
Jednodílný hyperboloid Řezy na jednodílném hyperboloidu parabola hyperbola 17
Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida) 18
Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium, St. Louis, Missouri, U.S.A. 19
Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren 20
Hyperbolický paraboloid 21
Hyperbolický paraboloid Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid. Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník Řídicí rovina Systém (regulus) přímek Sedlový bod, sedlová plocha Vrchol hyperbolického paraboloidu Osa hyperbolického paraboloidu Směr osy hyperbolického paraboloidu Zborcená přímková kvadratická plocha Plocha dvojí křivosti 22
Hyperbolický paraboloid Základní pojmy Zborcený čtyřúhelník čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině Osa hyperbolického paraboloidu přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů Vrchol V hyperbolického paraboloidu osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP. Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu. 23
Hyperbolický paraboloid Základní pojmy Řez hyperbolického paraboloidu rovinou: Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka. Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky. Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola. 24
Proč hyperbolický paraboloid 25
Hyperbolický paraboloid Příklad: V izometrii je dán průmět dvou zdí stejné výšky, jejíž lícní roviny, mají různý spád. Proveďte spojení obou zdí pomocí plochy hyperbolického paraboloidu. A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0, 80, 60], D[0, 0, 60]. 26
Hyperbolický paraboloid Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami (x, y),,, jeli dáno: : y = 80, : y = - 80. Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. 27
Hyperbolický paraboloid Příklad: V Mongeově promítání je dána plocha hyperbolického paraboloidu pomocí zborceného čtyřúhelníku ABCD, který se v půdorysně zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62, 77], B[19, 74, 0], C[?,?, 77], D[-19, 9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte tečnou rovinu τ. Sestrojte řez rovinou, rovnoběžnou s nárysnou, procházející vrcholem V hyperbolického paraboloidu. 28
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Střešní roviny stejného spádu hřeben není vodorovný Požadujeme hřeben vodorovný 29
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni. 30
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Krokve jsou kolmé na hřeben. Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček. 31
Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky. 32
Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada 33
Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo 34
Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie 35
Zborcené plochy vyšších stupňů Přímý kruhový konoid Plückerův konoid Küpperův konoid Plocha Štramberské trúby Plocha Montpellierského oblouku Plocha Marseillského oblouku Plocha Šikmého průchodu 36
Konoidy Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid. Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně. Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu: kruhový konoid eliptický konoid šroubový konoid Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou = 90 přímý konoid 90 kosý konoid 37
Přímý kruhový konoid 38
Přímý kruhový konoid zadání řídící rovinou (c ) řídící přímkou d řídící kružnicí k ;, d stupeň křivky: 2 1 1 2=4 39
Přímý kruhový konoid Příklad: V kosoúhlém promítání (=135, q x =2/3) je dán přímý kruhový konoid s řídící kružnicí 1 k (S[35, 35, 0], r=) v půdorysně, řídící rovinou a řídící přímkou 2 k. Přímka 2k prochází bodem M[0, 35, 80]. Sestrojte několik tvořících přímek konoidu, určete stupeň plochy. 40
Přímý parabolický konoid 41
Přímý parabolický konoid zadání řídící rovinou (c ) řídící přímkou d řídící parabolou p ;, d stupeň křivky: 2 1 1 2=4 42
Přímý parabolický konoid 43
Plocha Štramberské trúby 44
Plocha Štramberské trúby zadání dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1 d, 2 d kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1 d a 2 d a se středem na ose mimoběžek 1 d a 2 d. stupeň křivky: 2 1 1 2=4 45
Plocha Štramberské trúby 46
Plocha Montpellierského oblouku 47
Plocha Montpellierského oblouku zadání řídící kružnicí k řídící přímkou 1 d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice řídící přímkou 2 d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1 d stupeň křivky: 2 2 1 1=4 48
Plocha Montpellierského oblouku 49
Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1 k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' ν (x, z), dále řídící přímkou 2 d x 1,2, Q 2 d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3 d, 3 d ν, S 3 d. Plochu omezte řídící kružnicí 1 k, řídící přímkou 2 d a rovinami α (20, -20, ) a β (-20, - 20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65). 50
Plocha Marseillského oblouku 51
Plocha Marseillského oblouku zadání řídící kružnicí 1 k( 1 S, 1 r) 1 řídící kružnicí 2 k( 2 S, 2 r) 2, 1 2 řídící přímkou d, 1 Sd, 2 Sd, d 1, 2 stupeň křivky: 2 2 2 1-2 1=6 52
Plocha Marseillského oblouku 53
Plocha Marseillského oblouku Příklad: V kolmé axonometrii Δ(90, 110, 95) je dána plocha Marseillského oblouku určena řídícími kružnicemi 1 k ( 1 S[0, 47, 0], r=30) v bokorysně, 2 k ( 2 S[30, 47, -10], r=50) v ronině rovnoběžné s a řídící přímkou 3 k procházející bodem 1 S kolmo k rovině. Sestrojte část plochy nad půdorysnou, omezenou rovina v nichž leží řídící kružnice. 54
Plocha šikmého průchodu 55
Plocha šikmého průchodu zadání řídícími kružnicemi 1 k a 2 k, ležících v rovnoběžných rovinách, o stejném poloměru a středech 1 S a 2 S řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a procházejí středem úsečky 1 S 2 S stupeň křivky: 2 2 2 1-2 1-2=4 56
Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel 57
dále viz Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Konec Děkuji za pozornost