Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 2. září 20
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4.
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce: x+y = a
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce: x+y = a x z = b
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce: x+y = a x z = b y z = c
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce: x+y = a x z = b y z = c Soustava:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + 2 x z x + y 0 y z x z + 5 y z = = 2 7 = 4. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y x z 0 x z y z 0 y z Substituce: x+y = a x z = b y z = c Soustava: a + 2b = 2 a 0c = 7 b + 5c = 4
Příklad a + 2b = 2 a 0c = 7 b + 5c = 4
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c =
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20 6 4 0 0 4 60 0 2 20
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20 6 4 0 0 4 60 0 0 60 2 6 4 0 0 4 60 0 2 20
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20 6 4 0 0 4 60 0 0 60 2 6 4 0 0 4 60 0 2 20 60c = 2 c = 5
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20 6 4 0 0 4 60 0 0 60 2 6 4 0 0 4 60 0 2 20 60c = 2 c = 5 4b + 60c = b = 4
Příklad a + 2b = 2 / 2 a 0c = 7 / b + 5c = 4 / 4 6a + 4b = a 0c = 7 2b + 20c = 6 4 0 0 0 7 0 2 20 6 4 0 0 4 60 0 0 60 2 6 4 0 0 4 60 0 2 20 60c = 2 c = 5 4b + 60c = b = 4 6a + 4b = a =
Příklad Návrat k původním neznámým:
Příklad Návrat k původním neznámým: y z = 5 x+y = x z = 4
Příklad Návrat k původním neznámým: y z = 5 x+y = x z = 4 y + z = 5 x + y = x z = 4
Příklad Návrat k původním neznámým: y z = 5 x+y = x z = 4 y + z = 5 x + y = x z = 4 0 5 0 0 4
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 4 0 5
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5 0 0 0 0 2 4
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5 0 0 0 0 2 4 2z = 4 z = 2
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5 0 0 0 0 2 4 2z = 4 z = 2 y z = y =
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5 0 0 0 0 2 4 2z = 4 z = 2 y z = y = x + y = x = 6
Příklad 0 5 0 0 4 0 0 0 5 0 0 4 0 5 0 0 0 0 2 4 2z = 4 z = 2 y z = y = x + y = x = 6 Řešení: (6; ; 2)
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =.
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce:
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b a + 2b = 5 a 4b =
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b a + 2b = 5 a 4b = a + 2b = 5 a + 4b =
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b a + 2b = 5 a 4b = 6b = 2 a + 2b = 5 a + 4b =
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b a + 2b = 5 a 4b = 6b = 2 b = 2 a + 2b = 5 a + 4b =
Příklad 2 Příklad 2 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + 2 + 2 y = 5 x + 2 4 y =. Řešení: Substituce: x + 2 = a, y = b a + 2b = 5 a 4b = a + 2b = 5 a + 4b = 6b = 2 b = 2 a =
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 =
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = 2 9
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = 2 9 x =, x 2 = 9
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = y = 2 2 9 x =, x 2 = 9
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = y = 2 2 2 2 9 5 x =, x 2 = 9
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = y = 2 2 2 2 9 5 x =, x 2 = 9 y =, y 2 = 5
Příklad 2 Návrat k původním neznámým: x + 2 = a, y = b, a =, b = 2 x + 2 = y = 2 2 2 2 9 5 x =, x 2 = 9 y =, y 2 = 5 Řešení: [ ; ], [ ; 5], [9; ], [9; 5]
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =.
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y Substituce:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y Substituce: x + y = a
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y Substituce: x + y = a x y = b
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y Substituce: x + y = a x y = b Soustava:
Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y + x y = 4 2 x + y x y =. Řešení: Podmínky: x + y 0 y x x y 0 x y Substituce: x + y = a x y = b Soustava: a + b = 4 2a b =
Příklad a + b = 4 2a b =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a =
Příklad a + b = 4 2a b = Návrat k původním neznámým: 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = 5b = 5 b = a =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = x + y = 9 x y =
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = x + y = 9 x y = 2x = 0
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = x + y = 9 x y = 2x = 0 x = 5
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = x + y = 9 x y = 2x = 0 x = 5 y = 4
Příklad a + b = 4 2a b = 2a 2b = 8 2a b = 5b = 5 b = a = Návrat k původním neznámým: x + y = x y = x + y = 9 x y = 2x = 0 x = 5 y = 4 vyhovují podmínkám
Příklad Zkouška:
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4 L = P
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4 L = P L 2 = 2 5 + 4 5 4 = 2 9 =
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4 L = P L 2 = 2 5 + 4 5 4 = 2 9 = P 2 =
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4 L = P L 2 = 2 5 + 4 5 4 = 2 9 = P 2 = L 2 = P 2
Příklad Zkouška: L = 5 + 4 + 5 4 = + = 4 P = 4 L = P L 2 = 2 5 + 4 5 4 = 2 9 = P 2 = L 2 = P 2 Řešení: [5; 4]
Příklad 4 Příklad 4 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y x y = 4 x + y + 2 x y =.
Příklad 4 Příklad 4 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x + y x y = 4 x + y + 2 x y =. Řešení: Substituce: x + y = a x y = b Soustava: a b = 4 a + 2b =
Příklad 4 2a 2b = 8 a + 2b = a = 2 a = 7, b = Návrat k původním neznámým: x + y = 7, x y = ) x + y 0 x + y = x + y x + y = 7 x y 0 x y = x y x y = 2x = 0 x = 5, y = 2
Příklad 4 Návrat k původním neznámým: x + y = 7, x y = 2) x + y 0 x + y = x + y x + y = 7 x y < 0 x y = x + y x + y = 2y = 0 y = 5, x = 2 ) x + y < 0 x + y = x y x y = 7 x y 0 x y = x y x y = 2y = 0 y = 5, x = 2
Příklad 4 Návrat k původním neznámým: x + y = 7, x y = ) x + y < 0 x + y = x y x y = 7 x y < 0 x y = x + y x + y = 2x = 0 x = 5, y = 2 Řešení: [5; 2], [2; 5], [ 2; 5], [ 5; 2]
Příklad 5 Příklad 5 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x 2 + y = 4 x 4 y = 6.
Příklad 5 Příklad 5 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x 2 + y = 4 x 4 y = 6. Řešení: Podmínky: y 0 Substituce: x 2 = a y = b Soustava: a + b = 4 a 2 b = 6
Příklad 5 a + b = 4 b = 4 a a 2 b = 6 a 2 (4 a) = 6 a 2 + a 20 = 0 a = 4 b = 0 a 2 = 5 b 2 = 9 Návrat k původním neznámým: x 2 = 4 y = 0 x,2 = ±2 y = 00 - vyhovuje podmínce
Příklad 5 Zkouška: L (2; 00) = 2 2 + 00 = 4 + 0 = 4 P (2; 00) = 4 L = P L 2 (2; 00) = 2 4 00 = 6 0 = 6 P 2 (2; 00) = 6 L 2 = P 2 L ( 2; 00) = ( 2) 2 + 00 = 4 + 0 = 4 P ( 2; 00) = 4 L = P L 2 ( 2; 00) = ( 2) 4 00 = 6 0 = 6 P 2 ( 2; 00) = 6 L 2 = P 2 Řešení: [2; 00], [ 2; 00]
Příklad 6 Příklad 6 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x 2 y 2 + x + y =,5 (x 2 y 2 ) x + y = 0,5.
Příklad 6 Příklad 6 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: x 2 y 2 + x + y =,5 (x 2 y 2 ) x + y = 0,5. Řešení: Podmínky: x + y 0 x y Substituce: x 2 y 2 = a x + y = b Soustava: a + b =,5 a b = 0,5
Příklad 6 a + b =,5 b =,5 a a b = 0,5 a (,5 a) = 0,5 a 2 +,5a 0,5 = 0 a 2,5a + 0,5 = 0 a,2 =,5 ± 2,25 2 2 a = b = 2 a 2 = 2 b 2 =
Příklad 6 Návrat k původním neznámým: ) x 2 y 2 = x + y = 2 / 2 x 2 y 2 = x + y = 4 x = 4 y ( 4 y) 2 y 2 = 6 2 y + y2 y 2 = 2 y = 5 6 y = 5 8 x = 7 8
Příklad 6 ( Zkouška: L 7 8 ; ) 5 8 = 289 64 225 P =,5 L = P 64 + 7 8 + ( ) 5 8 =,5 ( L 7 2 8 ; ) ( 5 8 = 289 64 ) 225 64 4 = 0,5 P 2 = 0,5 L 2 = P 2
Příklad 6 Návrat k původním neznámým: 2) x 2 y 2 = 2 x + y = / 2 x 2 y 2 = 2 / 2 2 ( y) 2 2y 2 = 2 4y + 2y 2 2y 2 = x + y = x = y 4y = y = 4 x = 4
Příklad 6 ( Zkouška: L 4 ; 4) = 9 6 6 + 4 + 4 = 8 6 + =,5 P =,5 L = P ( L 2 4 ; ( 4) = 9 6 6) 4 + 4 = 8 6 = 0,5 P 2 = 0,5 Řešení: L 2 = P 2 [ 7 8 ; ] [ 5 8, 4 ; 4]
Cvičení Cvičení Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: a) x + y = 5 c) x+2y + +x 2y = 4 2 x 6 y = 6 +x 2y x+2y = 4 b) 2 x+y 5 x y = d) x+ x+y + x+y + 4 x y = 9 5 2 x+ x+y y x y = 2 y x y = 2 [ a) [ [ 4 ; ], b) [; 2], c) t; t+ 2 ] ], t R, d) [; ]
Cvičení Cvičení 2 Určete všechna čísla x, y, z R tak, aby byla řešením dané soustavy: a) x + y + z = 9 b) x + y + 5 = 9 2 x y + 4 z = x + + y + 5 = 6 4 x + y 2 z = 9 [ a) [ 2 ; ; ] ] 4, b) [6; 4]