DSM Cv Pólyova věta Budeme se zabývat objekty (na množně X - to jsou vrcholy těchto objektů) s různým prvky symetre (například to mohou být různé brože, tsky, ale také strukturní vzorce různých chemckých sloučenn). Příslušné symetre popsují permutace na množně X, popsující, jak se v dané symetr navzájem zobrazují jednotlvé vrcholy. Jednou z nch je určtě dentta, dále platí, že popsuje-l nějakou symetr objektu permutace π, popsuje jnou symetr permutace π. Rovněž platí, že jsou-l π, π permutace, popsující nějaké symetre, je π π permutace, popsující nějakou symetr. Tedy systém permutací, popsujících všechny symetre objektu tvoří permutační grupu G. Tuto grupu popíšeme následujícím způsobem: - každé permutac π přřadíme její typ - [ p, p,, pn ] (kde p udává počet cyklů v permutac o velkost právě známe z DSM), - dále přřadíme každé permutac cyklový jednočlen proměnných p p p c, c,, cn, který defnujeme takto: cykl ( π ) = c n c c n, - pro každou permutační grupu G defnujeme její cyklový ndex jako mnohočlen proměnných c, c,, cn vztahem: cykl ( G) = cykl ( π ). G π G Do vrcholů těchto objektů budeme umsťovat různé předměty (budeme je vlastně obarvovat tolka barvam, kolk různých předmětů máme k dspozc, někdy to nemusí být předměty, ale např. perforace políček jízdenky děrovacím strojkem, atomy prvků nebo dokonce skutečné barvy). Přpomínám, že obarvenou množnou rozumíme objekt O = X, β, β je zobrazení množny X do množny barev B, ( x) kde : X B barva prvku př obarvení β. β je
Pro ztotožnění stejně vypadajících obarvených objektů zavádíme pojem G ekvvalence symbol G. Platí: X, β G X, β π G : β = β π. To znamená, že jeden obarvený objekt můžeme převést pomocí nějaké permutace z grupy G (symetre objektu) na druhý. Takové obarvené objekty jsou pak mez sebou nerozlštelné. Je dána n prvková množna X a množna barev B, na X exstuje permutační grupa G. Na množně všech objektů O = X, β, kde β : X B, určuje relace G rozklad na rozkladové třídy navzájem G ekvvalentních objektů. Pokusíme se vnést do této problematky účnný nástroj vytvořující funkce. Nejprve přřadíme každé barvě číselnou hodnotu. Zavedeme váhovou funkc. Váhová funkce na množně B je lbovolné zobrazení w : B Z0 (každé barvě přřadíme jednoznačně celé nezáporné číslo, obvykle co možná nejjednodušej, tedy malá celá nezáporná čísla). Defnujeme váhu obarvené množny O X, β w O w β x = ( ). = předpsem ( ) ( ) Platí, že dvě G ekvvalentní obarvené množny mají stejnou váhu. Všechny objekty v určté rozkladové třídě mají stejnou váhu. x X Zavedení vytvořující funkce: Na množně barev B je defnovaná váhová funkce w. Pro lbovolné Z0 defnujeme číslo w = w ( ) (číslo udává počet barev, které mají přřazenu váhu ). Váhové funkc w pak přřadíme váhovou vytvořující funkc ( ) f x w x w = = 0 (koefcent u té mocnny proměnné x udává počet barev, které mají přřazenu váhu )
Je-l na systému obarvených množn defnována ekvvalence G, která vytváří rozklad množny všech objektů na třídy ekvvalentních (z hledska našeho problému stejně vypadajících objektů), pak označíme symbolem e počet tříd této ekvvalence, které mají váhu rovnou právě. Pak platí Polyova věta: ( ) ( ) k e0 + e x + ex + + ek x + = cykl G fw x kde symbol znamená specální substtuc, kdy pro každé j,, n cykl G všechny výskyty = nahradíme v cyklovém ndexu ( ) j f x, tedy nahradíme c f ( x) symbolu c j vytvořující funkcí w ( ) ( ) c f x atd. w, w Příklad: Je dán obdélník, který má tyto symetre: denttu, dvě osové souměrnost podle středních příček a středovou souměrnost podle středu. Jeho vrcholy budeme obarvovat dvěma barvam bílou a černou. Na tomto příkladu ukážeme použtí Polyovy věty.
a) Určíme symetre pomocí grupy permutací: 3 π = 3 3 π = 3. π, 3 = 3 π, 3 3 = 3, Typy permutací jsou postupně: [,0,0,0], [0,,0,0], [0,,0,0], [0,,0,0]. = +. Cyklový ndex tedy je cykl ( G) ( c 3c ) Pro obarvení dvěma barvam zvolíme následující váhovou funkc: w b = 0, w c =. ( ) ( ) f x = + x Váhová vytvořující funkce je potom w ( ) ( w = w ( 0) =, w = w ( ) = ). 0 Aplkací Polyovy věty dostaneme: cykl G f x x 3 x ( ) ( ) w ( ) = ( + ) + ( + ) 3 = + x + 3x + x + x. Význam mnohočlenu: - objekt s žádným černým vrcholem (všechny bílé), váha 0, x - objekt s jedním černý a třem bílým vrcholy, váha, 3x - 3 objekty se dvěma bílým a dvěma černým 3 vrcholy, váha, x - objekt s třem černým a jedním bílým vrcholem, váha 3, x - jeden objekt s čtyřm černým a žádným bílým vrcholem, váha. Celkový počet různých objektů je 7, což se součtu koefcentů nebo také hodnotě výsledné vytvořující funkce pro x =.
Příklady:. Řešte předcházející příklad pro případ, kdy do vrcholů obdélníka vkládáme některou z mncí Kč, Kč, 5 Kč.. Je dáno těleso tvaru kolmého kvádru (jako krabčka od srek). Každou ze 6 stěn máme obarvt černě nebo bíle. Jako symetre 0 uvažujeme kromě dentty jen otáčení o 80 kolem tří os, kdy stejně velké stěny přejdou na sebe. Zjstěte počty různých obarvení. 3. Představte s unverzální lístek městské dopravy (příklad pochází ze starých časů, kdy se v MHD lístky procvakávaly ve strojku) s 9 políčky. Př čtení označeného lístku (s procvaknutým políčky od počtu 0 až po 9) musí být možné vkládat lístek do čtečky z lbovolné strany a také rubem č lícem. Kolka způsoby může být lístek označen dírkam?. Zlatá brož tvaru podlouhlého obdélníka s 5 místy pro osazení polodrahokamy má kromě dentty ještě jednu symetr, a to 0 otočení kolem středového místa o 80. Máme k dspozc druhy polodrahokamů smaragdy a rubíny. Kolk je možností osazení? Vytvořující funkce více proměnných: Pokud máme daný základní objekt obarvt více než dvěma rozlštelným barvam, které ale jnak dávají stejný vnější efekt (kromě barvy) například kdybychom v předchozím příkladu měl drahokamy tří druhů, ale stejného tvaru. Pak používáme vytvořující funkce více (q) proměnných, které vycházejí z vícerozměrné váhové funkce q β : B Z = Z Z Z, kde q je počet barev. 0 0 0 0 Jedná se tedy o váhové vytvořující funkce fw ( x, x,, xq ).
Příklad: Zavedeme-l na našem obdélníku obarvení vrcholů třem barvam bílou, černou a modrou, pracujeme s 3-rozměrnou váhovou w b =,0,0, w c = 0,,0, w m = 0,0,, funkcí ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] w[ ] w =,0,0 [, 0, 0] =, w[ ] w = 0,,0 [ 0,, 0] =, w w [ 0, 0,] Váhová vytvořující funkce je pak f x, y, z = x y z + x y z + x y z = x + y + z. w ( ) 0 0 0 0 0 0 = =. Zobecněná Polyova věta: Pro získání počtu rozkladových tříd ekvvalence, které mají příslušnou vícerozměrnou váhu, použjeme obdobně specální substtuc do cyklového ndexu: cykl G f x, x,, x, kde ve specální substtuc nahradíme ( ) w ( q ) všechny výskyty symbolu j j j j c vytvořující funkcí fw ( x, x,, xq ). V našem příkladu pokračujeme specální substtucí cykl ( G) ( x + y + z) ( ( ) ( ) ) = x + y + z + 3 x + y + z. Počet všech objektů, obarvených třem barvam pak bude roven součtu koefcentů u mnohočlenu o třech proměnných, který získáme použtím multnomcké věty, případně roznásobováním. Tento součet se ale rovná hodnotě příslušného mnohočlenu pro x =, y =, z =, 08 kterou získáme dosazením: ( 3 + 3 3 ) = ( 8+ 7) = = 7. Pokud chceme znát počty příslušných obarvených objektů, musíme roznásobt. 5. Řešte příklad pro 3 druhy polodrahokamů rubín, smaragd, ametyst. 6. Kruhový koláč má tvarohovou náplň, kterou rozdělíme na tř stejné segmenty. Do každého dáme buď roznky nebo mandle nebo roznku a mandl. Kolk různých koláčů lze přpravt?
7. Máme navrhnout brož tvaru rovnostranného trojúhelníka, který má být osazen třem kameny, každý má být umístěn do vrcholu trojúhelníka. K dspozc máme čtyř polodrahokamy rubíny, smaragdy, ametysty a akvamaríny. Kolk je různě vypadajících broží? Brož je možné v rovně pootáčet, ale nkol v prostoru převracet, protože na zadní straně je špendlík. 8. Př chlorac benzenu vznkají jeho chlorderváty s chemckým sumárním vzorcem C6H pcl q, kde p + q = 6. V prostoru tedy máme pravdelný šestúhelník představující tzv. benzenové jádro, které obsahuje 6 atomů uhlíku. Do jeho vrcholů vkládáme atomy H nebo Cl. Určete, kolk je teoretcky možných sloučenn C6H pcl q, kde p + q = 6, s uvážením zomere. Dále určete, kolk zomerů teoretcky exstuje pro sumární vzorec C H Cl Br? 6 9. Klenotník vyrobl symetrcký šperk (vz obrázek), 0 který má prvky symetre (denttu a otočení o 80 ). Má jej osadt na 6 místech polodrahokamy (rubíny, safíry, akvamaríny). Určete všechny možnost osazení tohoto šperku. Kolk je možností, chceme-l použít rubíny, safíry a akvamaríny?
0. V šestranném revolveru lze do každého otvoru v bubínku vložt jeden náboj. Bubínek se volně otáčí. Do každého otvoru v bubínku můžeme vložt buď ostrý nebo slepý náboj nebo nc. Určete všechny možnost osazení bubínku. Kolk je možností, máme k dspozc ostré a slepé náboje.. Určete počet možností, jak může vypadat čtvercová brož, která má být osazena čtyřm kameny stejného tvaru (na výběr máme rubíny, smaragdy, ametysty a akvamaríny), které mají být umístěny v místech u vrcholů čtverce.