RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA Klasiká dnaika Klasiká dnaika se zabýá íinai ohbu tles zájený siloý sobení dou a íe tles Je založena na Newtonoýh ohboýh zákoneh (zákon setranosti, zákon síl a zákon ake a reake), iež needokládá znu hotnosti tlesa záislosti na rhlosti tlesa Naí edokládá, že rhlost tlesa že nabýat liboolnýh hodnot (i tšíh než rhlost stla e akuu) Pro ois ohboýh lastností tlesa zaádíe fzikální eliinu hbnost tlesa, kterou otee jako souin hotnosti tlesa a okažité rhlosti tlesa Platí: Rhlost tlesa je eliina ektoroá, a ted usí být i hbnost tlesa ektoroá eliina Sr ektoru hbnosti je stejný jako sr ektoru okažité rhlosti, tj sr ten k trajektorii ohbu Zároe íe, že tz izoloané sousta tles (= soustaa tles, na které nesobí njší síl) usí latit zákon zahoání hbnosti: Celkoá hbnost izoloané sousta tles se zájený siloý sobení ezi tles sousta není V dnešní dob oužíáe klasikou dnaiku ro ois íin ohbu tles, jejihž rhlost je zanedbatelná e sronání s rhlostí stla e akuu Relatiistiká dnaika Hotnost tlesa V relatiistiké dnaie se budee odobn jako klasiké dnaie zabýat záislostí hotnosti na rhlosti ohbu tlesa, hbností tlesa a ztahe ezi energií a hotností tlesa Záislost hotnosti tlesa na rhlosti tlesa ododíe na základ zákona zahoání hbnosti (jak íte z klasiké fzik atí ezi nejobenjší fzikální zákon a usí latit unierzáln) Pedokládeje, že ineriální ztažná soustaa S se ohbuje kladné sru os x zhlede k jiné ineriální ztažné sousta S rhlostí blízkou rhlosti stla tak, že jejih os x slýají V sousta S stelíe kladné sru os náboj o hotnosti tak, ab rhlost tohoto náboje e sru os x bla nuloá (tj latí u x iz obr ) Souasn je také rhlost ástie e sru os z nuloá
Obr : K odození relatiistiké hotnosti Podle zákona zahoání hbnosti je hbnost ástie konstantní tzn, že hbnost e sru os je stejná jako hbnost téhož tlesa e sru os, ož žee zasat ooí ronie u u Pooí ztah ro skládání rhlostí žee urit rhlost tlesa zhlede k sousta S: u u u x u Tento ztah dosadíe do zákona zahoání hbnosti a jádíe z ronie hotnost tlesa zhlede k sousta S:,a ted Pokud zolíe soustau S za klidoou soustau ástie, ak hotnost budee nazýat klidoou hotností ástie a oznaoat Na rozdíl od klasiké ehanik, kde jse edokládali, že hotnost tlesa nezáisí na rhlosti tlesa, se e seiální teorii relatiit hotnost tlesa zšuje tí íe, í se rhlost tlesa blíží rhlosti stla e akuu Pokud b se tleso ohlo ohboat rhlostí stla, ak b jeho hotnost bla nekonená Záislost hotnosti tlesa na jeho rhlosti ze zahena na obrázku
Obr : Záislost hotnosti tlesa na rhlosti tlesa (ezato z energwebz) Jestliže je rhlost tlesa zanedbatelná e sronání s rhlostí stla, latí zákon klasiké ehanik Pokud na tleso zane sobit stálá síla o elikosti F, ak odle Newtonoa zákona tato síla udlí tlesu F zrhlení o elikosti a Se ztšujíí se rhlostí roste také hotnost tlesa, roto stálá síla F udluje tlesu stále enší a enší zrhlení Z tohoto dodu se žádné hotné tleso neže ohboat rhlostí stla (ouze se rhlost tlesa že blížit rhlosti stla) Mžee také sloit relatiistiký zákon zahoání hotnosti: Celkoá relatiistiká hotnost izoloané sousta tles zstáá i šeh djíh robíhajííh unit sousta konstantní Hbnost tlesa V klasiké ehanie je hbnost tlesa definoána jako souin hotnosti tlesa a rhlosti tlesa Ve seiální teorii relatiit latí stejný ztah, ouze hotnost tlesa zaníe za relatiistikou hotnost Platí: Stejn jako latí zákon zahoání hotnosti, latí také zákon zahoání hbnosti, který jse již oužili k odození záislosti hotnosti na rhlosti tlesa Celkoá relatiistiká hbnost izoloané sousta tles zstáá i šeh djíh robíhajííh unit sousta konstantní Tento zákon atí ezi nejobenjší zákon fzik a stejn jako zákon zahoání hotnosti latí e šeh ineriálníh ztažnýh soustaáh
tektor hbnosti Pro ois dj a ohb narhl Herann Minkowski seiální rostoroas, který á ti souadnie ti klasiké rostoroé (jsou reálné) a jednu souadnii asoou (kolexní) V tz Minkowského rostoroase á každý ektor ti složk roto zde ektor oznaujee jako tektor, na tektor rhlosti (zkráen trhlost), tektor hbnosti (thbnost) nebo tektor síl (tsíla) U tektoru hbnosti tto složk oznaujee,, 3 a 4 a latí ro n: 3 4 u x u u z i u u u i x z hbnost hbnost hbnost i tlesa e sru os x; tlesa e sru os ; tlesa e sru os z; E i Tto ronie ozdji oužijee k odození ztahu ezi hbností tlesa a energií tlesa Energie tlesa V klasiké ehanie neexistuje íá souislost energie tlesa a setranou hotností tlesa Tleso že ít rznou ohboou energii, ale hotnost tlesa zstáá oád stejná Ve seiální teorii relatiit každá zna energie usí souiset se znou hotnosti tlesa Psobí-li na tleso o klidoé hotnosti síla F a uede tleso z klidu do ohbu, ak se ohboá energie tlesa ztší o E, souasn se ale ztší hotnost tlesa o hodnotu k Albert Einstein dokázal, že oben latí íá souislost zn elkoé energie a zn hotnosti tlesa: E, kde je rhlost stla e akuu Tento ztah latí žd a nezáisí na zsobu zn energie tlesa Einstein dále edokládal, že analogiký ztah usí latit také ezi elkoou energií sousta a její hotností:
E Jestliže se tleso nahází klidu zhlede ke zolené ztažné sousta, ak íkáe, že á této sousta tz klidoou energii E, kterou otee odle ztahu E Celkoou energii tlesa ak otee jako souet klidoé energie tlesa a ohboé energie tlesa Pro elkoou energii sousta latí zákon zahoání energie: Celkoá energie izoloané sousta tles zstáá i šeh djíh robíhajííh unit sousta konstantní Zatío klasiké fzie jsou zákon zahoání hotnosti a energie da zákon, e seiální teorii relatiit oba zákon slýají dík ztahu ezi energií tlesa a hotností tlesa Ješt si šinee ztahu ezi hbností tlesa, hotností tlesa a energií tlesa K odození tohoto ztahu užijee skalární souin tektoru hbnosti: E 3 4 Jestliže z této ronie jádíe energii, získáe ztah, který se asto užíá kantoé fzie: E Vlýá z nj, že žee najít také takoé sta, nihž á ástie záornou energii
ešené íklad ) Votte, jakou hotnost bude ít tleso s klidoou hotností, jestliže se bude ohboat rhlostí: a),; b),9 =, =,, =,9, =?, =? ešení: Oba íad ešíe ooí ztahu ro relatiistikou hotnost: a) rní íad latí:,,, To znaená, že i rhlosti 3 s - se hotnost tlesa ztšila o jeden gra! b) e druhé íad budee ostuoat odobn: 45,883,9,9 Pi rhlosti 7 - je hotnost tlesa íe než dojnásobná ) Votte, i jaké rhlosti bude ít tleso desetkrát tší hotnost než klidu =, =? ešení: Ot jdee z ronie ro relatiistikou hotnost: Z této ronie usíe jádit okažitou rhlost tlesa Nejre eedee odoninu ze jenoatele zloku na druhou stranu ronie: Nní elou ronii uoníe a uraíe:
a ted:, Po dosazení íselnýh hodnot otee rhlost tlesa Ve seiální relatiit je ožné ýsledek onehat e taru k (rhlost jako násobek rhlosti stla) Mjte oše na ati, že tento ýsledek usí být žd enší než!!!, 995 Tleso bude ít desetkrát tší hotnost i rhlosti,995 3) V urhloai získal elektron rhlost =,999 999 9 Votte jeho relatiistikou hotnost a oronejte ji s klidoou hotností rotonu =,67-7 Klidoá hotnost elektronu = 9, -3 = 9, -3, =,999 999 9, =,67-7, =? ešení: Z ronie ro relatiistikou hotnost otee hotnost urhleného elektronu: 9, 3 7,999 999 9,5 Urhlený elektron á tší hotnost než je klidoá hotnost rotonu (ozn: hotnost elektronu se ztšila 5krát) 4) Hliníkoý kádr o rozreh a, b, a hotnosti se ohbuje rhlostí,995 e sru os x zhlede k sousta souadni S tak, že jeho hrana a je ronobžná s osou x této sousta Urete hustotu hliníku zhlede k sousta souadni S, a, b,, =,995, = 7-3, =? ešení: Kádr se ohbuje tak, že strana a leží e sru ohbu Vzhlede k tou, že se rhlost kádru blíží k rhlosti stla, ak se tato hrana bude zkraoat, délka obou zbýajííh hran se nezní (jsou kolé na sr ohbu) Poátení (= klidoou) hustotu hliníku žee jádit jako odíl klidoé hotnosti
kádru a jeho objeu klidu: V a b Délka stran a se lie kontrake délk zenší na hodnotu a a Obje kádru, který se ohbuje rhlostí, žee oítat odle ztahu: V ab a b V Hustota ohbujíího s kádru záisí také na jeho hotnosti, která se ztší na hodnotu Poto ro hustotu kádru latí: V V V Dosazení íselnýh hodnot ak získáe ýsledek: Pi rhlosti,995 bude hustota hliníku ibližn stokrát tší než klidoá hustota Použitá literatura: [] BARTUŠKA, K Deset kaitol ze seiální teorie relatiit d Praha: SPN, 98 [] BARTUŠKA, K Sbírka ešenýh úloh z fzik IV d Praha: Proetheus [3] BARTUŠKA, K Fzika ro gnázia seiální teorie relatiit d Praha: Proetheus [4] HALLIDAY, D, RESNICK, R, WALKER, J: Fzika d Brno: VUTIUM, [5] HORÁK, Z, KRUPKA, F: Fzika d Praha: SNTL, 976 [6] JAVORSKIJ, B M, SELEZNV, J A Pehled eleentární fzik d, Praha: SNTL, 989
[7] VON LAUE, M Djin fzik d Praha: Orbis, 958 [8] Joh, J Seiální teorie relatiit Dostuné online z: htt://oldwwwuolz/resoures/ktf/joh/indexhtl