II. Princip relativity v klasické fyzice, pokusy vedoucí k STR

Transkript

1 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 II. Prinip relatiit klasiké fzie, poks edoí k STR Než se začneme s teorií relatiit seznamoat podrobněji, je hodné připomenot, jak s pojm prostor a čas a se sostaami sořadni proje klasiká mehanika, kde a jak se její předsta dostal do spor s eperiment a proč ted msela být teorií relatiit nahrazena. II.1. Základní zákon klasiké mehanik Za základní zákon klasiké mehanik můžeme poažoat známé tři Newtono zákon. Můžeme je sloit třeba následjíí formě: 1. Hmotný bod, na který působí nější síl, se pohbje ronoměrně přímočaře.. Hmotný bod o hmotnosti m, na nějž působí nější síla F, se pohbje se zrhlením a, pro které platí ma F (II.1) 3. Působí-li hmotný bod na hmotný bod B silo F B, působí naopak B na silo F B F B. (Zákona ake a reake.) Tto zákon je třeba doplnit lastnostmi sil, klasiké mehanie ažoanýh. Jde přitom o tz. praé síl, tj. síl, jimiž na sebe nazájem působí hmotné bod nebo tělesa. (Mohli bhom též říi síl, jejihž půod je interaki hmotnýh bodů nebo těles. Mezi praé síl ted nepatří např. síla odstřediá.) Vlastnosti praýh sil, které klasiká mehanika postlje a žíá, jso následjíí: ditiita. Celkoá síla, působíí na daný hmotný bod, je ektoroým sočtem sil, jimiž na tento bod jednotliě působí šehn ostatní hmotné bod. Centrálnost. Síla, jíž hmotný bod působí na hmotný bod B, má směr jejih spojnie r r rb r : FB ~, kde r a r B jso polohoé ektor obo bodů, iz obr. II.1. r Obr. II.1. K lastnostem praýh sil. (Centrálnost.) Záislost poze na zdálenosti. Velikost síl mezi děma hmotnými bod záisí poze na jejih zdálenosti: f, resp. spol s entrálností F B r 1

2 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 F B r f r (II.) r Modelem síl splňjíí edené lastnosti je graitační síla popsaná Newtonoým graitačním zákonem: F B mm B r r r (m a m B jso hmotnosti obo hmotnýh bodů, Newtonoa graitační konstanta). Síla edeném pojetí záisí na okamžité zdálenosti. Pohneme-li bodem, změní se ted okamžitě síla působíí na bod B. Neažje se zde žádné agens mezi bod a B, které přenos síl zprostředkoalo a ted případně i zpožďoalo změn siloého působení. Mlíme zde proto o tz. působení přímo do dálk. Praé síl ted podle klasiké mehanik působí přímo do dálk. (Pozn.: klasiká mehanika má samozřejmě síl, které nezáisí jen na zdálenosti např. třeí síl t ale hápe spíše fenomenologik a obkle jim nepřiszje fndamentální ýznam.) Nebdeme se zde zabýat dalším rozborem lastností praýh sil a jejih důsledků či historikými aspekt Newtonoýh zákonů. Ostatně jejih ýše edené znění není ani překladem originálníh Newtonoýh formlaí a odpoídá spíše formě, do níž je praila pozdější fzika. V jaké sostaě platí Newtono zákon? (V jaké ztažné sostaě, resp. sostaě sořadni?) V některýh ztažnýh sostaáh totiž neplatí. Například tramaji, která se rozjíždí se zrhlením a (ůči Zemi), nezůstane míček olně položený na podlah klid, ani se nebde pohboat ronoměrně přímočaře, ale bde se ktálet zrhleně k zadní stěně. Platnost Newtonoýh zákonů se zde dá sie zahránit, prohlásíme-li, že na míček (o hmotnosti m) působí síla m a. Obdobné setračné síl lze zaést i na rotjííh kolotočíh, F set hopajííh se hopačkáh apod. Z praktikého hlediska je to samozřejmě ýhodné, obeně nahlíženo, je to šak úskok : setračné síl nejso dán působením nějakýh těles a bl do. Newtonoa zákona zaeden práě jen proto, ab zahránil jeho platnost edenýh sstémeh. Naí záisí na pohb daného sstém sořadni ůči jiným sstémům sořadni. Nám jde ale o to, najít sosta, níž b se zápise Newtonoýh zákonů nesktoal parametr popisjíí pohb dané sosta. Vše b mělo být popsáno rámi dané sosta samotné. Newton řešil problém hodné sosta tak, že postloal eisteni absoltního prostor. (V dnešní terminologii bhom spíše žili náz absoltní ztažná sostaa.) Podle Newtona bsoltní prostor e sé podstatě a bez ztah k čemkoli nějším, zůstáá žd stejný a nehbný. bsoltní prostor je tomto pojetí osi nějšího, němž je elý sět místěn, osi, o má lastnosti eklidoské geometrie, čem se lze pohboat, ale o se samo nepohbje a není žádným fzikálním děním oliněno. práě sostaa sořadni, spojená s absoltním prostorem, má být to základní sostao sořadni, níž zákon klasiké mehanik platí. Protože k popis pohb těles je nezbtné praoat i s časem, zaedl Newton pojem absoltní čas. Jak ádí e sýh Prinipiíh, bsoltní, praý a matematiký čas, sám o

3 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 sobě a ze sé lastní podstat, teče ronoměrně bez ztah k čemkoli nějším a je jinak nazýán trání. bsoltní čas ted neměl záiset ani na prostor, ani na liboolném fzikálním dění. práě on měl být časem, který se žíá Newtonoýh zákoneh např. při ýpočt zrhlení. Tím, že postloal absoltní prostor, mohl něm Newton žít elý formalisms a šehn ýsledk eklidoské geometrie. Pojm absoltního prostor a absoltního čas m tak pomohl e toření teoretikého aparát pro kantitatiní popis a předpoěď pohb těles. Těžko to dnes asi doeníme, neboť se jen obtížně mslíme do sitae, kd bl takoýto aparát tořen e fzie ůbe popré. Jak idíme dále, problém je ošem tom, jak nalézt sosta spojeno s absoltním prostorem. Modernější pojetí je poněkd jiné a bez pojm absoltní prostor se obejde. Sostao, níž platí Newtono zákon, je ineriální sstém. Jedná se o ztažno sosta, ktero lze rčit s pomoí 1. Newtonoa zákona. Formálně lze příslšné pojm definoat například takto: Vztažno sosta nazeme ineriální, jestliže se ůči ní liboolný olný hmotný bod pohbje ronoměrně přímočaře. Přitom olný hmotný bod je hmotný bod, na který nepůsobí žádné praé síl. Připomeňme ještě, že pod pojmem hmotný bod si lze klasiké mehanie předstait tělísko tak malé, že jeho rozměr lze dané sitai zanedbat. Neažjeme tak ani jeho nitřní strktr ani rotai. Formálně je hmotný bod idealizoaný objekt, který má rčito hmotnost a pohé tři stpně olnosti, dané jeho sořadniemi. Má-li hmotný bod být olný, msíme ho izoloat od působení ostatníh těles (zařením do Faradao klee lze např. odstínit elektriké pole) resp. ostatní tělesa dostatečně zdálit, ab jejih siloé působení blo možno zanedbat. Zkráeně požíáme pro ineriální ztažno sosta termín ineriální sstém. Často šak pod tímto názem rozmíme ž ineriální sosta sořadni, tj. sosta sořadni spjato s ineriální ztažno sostao. Obkle jde o kartézsko sosta sořadni; každém případě se předpokládá, že kartézsko sosta sořadni lze ineriálním sstém žd zaést. Kartézská sostaa sořadni elmi těsně soisí s eklidosko geometrií prostor. Tak je již popis ineriálního sstém impliite zahrnto konstatoání, resp. předpoklad, že prostor je eklidoský. Pošimněme si ještě, jak definie ineriálního sstém soisí s 1. Newtonoým zákonem. Výše edená definie lastně netrdí ni jiného než ztažno sosta nazýáme ineriální, jestliže ní platí 1. Newtonů zákon. 1. Newtonů zákon zde ted má fnki rozlišoaího kritéria, zda sostaa je či není ineriální. V tom je také lastní smsl tohoto zákona. Jinak b bl prní Newtonů zákon triiálním důsledkem drhého: pro F 0 dá (1) a 0, z čehož konst. Řadě žáků může být nepohopitelné, proč se toto zjištění formlje jako samostatný zákon. Proto je přirozené hápat 1. zákon tak, že so platností mezje t sosta sořadni, 3

4 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 nihž platí i šehn další zákon klasiké mehanik. Jinými slo, že mezje ineriální sstém. Zároeň, a to je nejpodstatnější, impliite trdí, že takoéto sosta ůbe eistjí, resp. minimálně že eistje alespoň jedna. (Pokd b žádný ineriální sstém neeistoal, 1. Newtonů zákon b nikd neplatil.) V moderním pojetí lze ted 1. Newtonů zákon přirozeně formloat jako eistenční teorém: Eistje ineriální sstém. Toto pojetí již proniklo i do středoškolskýh čebni fzik a nadále se ho bdeme držet i m. II.. Klasiký prinip relatiit Vztažnýh sosta je nekonečně mnoho a nikde není řečeno, že bhom pozoroání a eperiment mohli proádět jen sostaě spojené s absoltním prostorem, případně s nějakým jiným jediným ýznačným sstémem. Vúsťjí proto před námi dě podstatné otázk, resp. skpin otázek: a) Jaký li má pohb ztažné sosta zhledem k absoltním prostor na fzikální proes ní probíhajíí? Nebo konkrétněji a poněkd přesněji: Jak pohb laboratoře oliňje průběh a ýsledk eperimentů ní probíhajííh? Protože průběh fzikálníh proesů je podřízen fzikálním zákonům, můžeme se ptát i takto: Jaký tar mají fzikální zákon různýh ztažnýh sostaáh, resp. sostaáh sořadni? (Máme přitom na msli tar fzikálníh zákonů zapsanýh pomoí eličin ztaženýh žd poze k dané sostaě.) Místo o pohb zhledem k absoltním prostor bhom mohli mlit o pohb ůči ineriálním sstém. (Při formlai otázek bhom ošem mseli být poněkd opatrnější. Víte proč?) b) Jak padá popis rčitého fzikálního proes či eperiment z různýh ztažnýh sosta resp. různýh sostaáh sořadni? Přesněji řečeno: Umím-li popsat rčito fzikální sitai či proes z hlediska jedné ztažné sosta, jak je popsat z hlediska jiné sosta? Věnjme nejpre pozornost prní skpině otázek. Zrhlený pohb laboratoře proes probíhajíí ní oliňje, jak jsme již naznačili ýše. V rozjíždějíí se tramaji se míček kolí k zadní stěně, raketě, jejíž motor prají, nebo na rotjíí orbitální stanii se pržina siloměr s připeněným záažím protáhne. (Viz obr. II..) Již jednodhými mehanikými poks lze ted rozhodnot, zda se laboratoř pohbje se zrhlením, či zda je její zrhlení nloé. (Na otázk se zrhlením ůči čem odpoíme zatím ještě podle Newtona: zhledem k absoltním prostor. Brz již ošem tento pojem z mehanik odstraníme.) 4

5 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Obr.II.. Siloměr a záaží různě se pohbjííh laboratoříh: a) raketě s pntými motor, jejíž zrhlení je nloé b) raketě pohbjíí se se zrhlením ) na rotjíí orbitální stanii. Důsledk spojené se zrhleným pohbem laboratoří (tramají, laků atd.) známe dobře z lastní zkšenosti. Zkšenost nás ošem roněž čí, že ronoměrný přímočarý pohb laboratoře žádné pozoroatelné efekt neoláá. Této sktečnosti si bl ědom již Galileo Galilei. Ve sém Dialog o do sstémeh sěta ptolemaioském a koperníkoském ji ilstroal kalitatině, ale značně sgestině: Zařete se s přítelem hlaní kabině podpalbí některé elké lodi a ezměte s sebo nějaké moh, motýli a jiné malé létajíí žiočih. Mějte elko nádob s odo, níž je rba; držte láhe, která se kapk po kape prazdňje do široké nádob pod ní. Zatímo loď klidně stojí, pozorjte pečliě, jak malí žiočihoé létají stejno rhlostí do šeh míst kabin. Rba plae nerozlišitelně do šeh směrů; kapk padají do nádob dole; a pokd hodíte okoli sém příteli, nemsíte házet silněji jednom směr než drhém, pokd jso zdálenosti stejné, a skočíte-li s oběma nohama sebe, překonáte e šeh směreh stejno zdálenost. Kdž jste toto pozoroání pečliě proedli (i kdž není pohb, že dokd loď klidně stojí, še se msí dít tímto způsobem), nehť loď plje rhlostí jako hete, jen kdž je pohb ronoměrný a bez jakéhokoli kolísání. Ve šeh ýše jmenoanýh efekteh nezjistíte nejmenší změn ani nebdete moi říi na základě liboolného z nih, zda se loď pohbje nebo nehbně stojí. Na podobné zkšenosti se odolááme při ýklad pohb i dnes a potrzje je také elá sočasná fzika. Ostatně jen dík tom je korektní trdit, že ineriálním sstém platí zákon klasiké mehanik: Uažjme ineriální sstém S a ztažno sosta S, která se ůči něm pohbje ronoměrně přímočaře. Liboolný olný hmotný bod se ůči S pohbje ronoměrně přímočaře (protože S je ineriální sstém). Je šak zřejmé, že jeho pohb je ntně ronoměrný a přímočarý i zhledem k S. (Za híli toto trzení dokážeme i formálně.) Podle definie je ted i sostaa S ineriální. Obeně proto liboolná ztažná sostaa pohbjíí se ůči nějakém ineriálním sstém ronoměrně přímočaře je roněž ineriální. 5

6 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Ineriální sstém ted není jen jeden, ale je jih nekonečně mnoho. Kdb stejně připraené poks dáal různýh ineriálníh sstémeh různé ýsledk, mohli bhom asi těžko trdit, že zákon klasiké mehanik platí e šeh ineriálníh sostaáh stejně. (Čím b pak bla způsobena různost ýsledků?) Poks ošem e šeh ineriálníh sstémeh stejný ýsledek dají a pro formlai zákonů mehanik proto můžeme požít kterýkoli ineriální sstém. práě proto se mehanie můžeme zela obejít bez pojm absoltní prostor. Shrntím ýše zmíněnýh zkšeností je klasiký prinip relatiit. Lze ho sloit různýh formlaíh. Např.: Mehanikými poks nelze od sebe jednotlié ineriální sstém odlišit. Nebo přesněji: Stejně připraené mehaniké poks dají e šeh ineriálníh sstémeh stejný ýsledek. Nebo (klademe-li důraz na fzikální zákon): Zákon klasiké mehanik mají e šeh ineriálníh sstémeh stejný tar. Lze jej stihnot i obeno formlaí Všehn ineriální sstém jso z hlediska klasiké mehanik ronoenné. Případně ekialentním trzením Žádný ineriální sstém není z hlediska klasiké mehanik priilegoán. Práě toto poslední trzení snad nejjasněji jadřje, jak je pojem absoltního prostor, absoltní klidoé sosta, klasiké mehanie nepotřebno fikí. Všehn formlae jso ošem praktik ekialentní, každá jen zdůrazňje jiný aspekt problém. Zdůrazněme ještě, o klasiký prinip relatiit netrdí. Neříká ni o tom, že b jeden poks proedený rčitém ineriálním sstém měl padat stejně i z hlediska jinýh ineriálníh sstémů. samozřejmě také nepadá. Např. trajektorií záaží zaěšeného na pržině, jejíž drhý kone je připeněn ke strop agón a která kmitá nahor a dolů, je sostaě spojené s agónem úsečka. V sostaě spojené s tratí, ůči níž agón jede ronoměrně přímočaře, je ale trajektorií záaží sinsoka. (Viz obr. II.3.) Obr. II.3. Trajektorie kmitajíího záaží zaěšeného na pržině z hlediska ineriální sosta spojené a) s agónem, b) s tratí To, o daném případě trdí klasiký prinip relatiit, je konstatoání, že pokd zaěsíme stejné záaží na stejno pržin třeba na nádraží, bde kmitat se stejno periodo, jako e lak; jso-li obě záaží na počátk klid a dělíme-li jim stejné impls, bdo i amplitd jejih kmitů stejné apod. 6

7 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 II.3. Galileiho transformae Obraťme se ted ke drhé skpině otázek edené na začátk předhozího paragraf: Jaký je ztah mezi popisem téhož fzikálního proes z hlediska různýh ineriálníh sstémů? (Protože ineriální sstém jso pro klasiko mehanik fndamentální, omezíme se na ně a nebdeme disktoat popis z hlediska neineriálníh sstémů.) Pro popis děje z hlediska jiného ineriálního sstém potřebjeme transformoat fzikální eličin z jednoho sstém do drhého. Protože se zde dosd zabýáme klasiko mehaniko, půjde nám o transformai mehanikýh eličin: sořadni, délk, rhlosti, zrhlení, hmotnosti a síl. Výhozím bodem bde transformae sořadni. Uažjme ineriální ztažné sosta S a S, které se nazájem pohbjí rhlostí. Kartézské sosta sořadni S a S orientjeme tak, že os a jso ronoběžné se směrem rhlosti jejih zájemného pohb a os a (a samozřejmě také z a z ) jso ronoběžné. Orientai os a olme takoo, že S se pohbje zhledem k S kladném směr os. Počátk obo sosta sořadni zolme tak, že bodě t = 0 splýají. (Viz obr. II.4.) Obr. II.4. Orientae sosta sořadni při speiální Galileiho transformai. Pozn.: Sstém sořadni S a S lze samozřejmě zolit i jinak moho se šak od námi zolenýh lišit jen o pos počátk a pootočení sosta sořadni. Vzhledem k homogenitě a izotropii prostor jso šehn takoéto olb ronopráné. Obená olba sosta sořadni b ošem k problém, který šetřjeme, nepřinesla ni zásadně fzikálně noého, a poze b nám problém zkomplikoala po matematiké stráne. Transformae složek fzikálníh eličin (např. složek ektorů) při posn a pootočení sosta sořadni jso ostatně známo záležitostí a lze je k transformai, ktero dále ododíme, jednodše přidat iz dodatek E. Zde se proto omezíme na nejjednodšší olb popsano ýše. Odoďme nní ztah mezi sořadniemi,, a z sstém S a, a z sstém S. (Pro jednodhost zde smbol S a S značíme nejen ztažné sosta, ale i odpoídajíí sosta sořadni.) Počátek O sosta S se pohbje rhlostí kladném směr os, přitom čase t = 0 blo (O, t = 0) = 0. V sstém S je ted pohb O popsán ztah O, t t O, t 0 z O, t 0 (II.3) 7

8 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Vzhledem k tom, že prostor a čas jso klasiké mehanie pokládán za zela nezáislé, je přirozené předpokládat, že každém okamžik je transformae stejná, jako při pohém posn počátk sořadni: O O z z z O, (II.4) ted, že transformae bde stejná, jako b se S ůči S nepohboal. Klasiká mehanika nezná žádno kontraki délek a tak jso ztah (4) jediné možné iz obr. II.5, kde pro přehlednost neznačjeme os z a z ; obdobně to bdeme činit i nadále. Obr. II.5 K odození Galileiho transformae. Spojením (4) a (3) dostaneme ztah speiální Galileiho transformae t z z (II.5) (Při obené olbě sosta sořadni nazýáme odpoídajíí transformai obeno Galileiho transformaí nebo prostě jen Galileiho transformaí. Obeno Galileiho transformai iz dodatek E.) Pozn.: Jednodše lze oěřit, že ztah (5) platí i případě, kd se S pohbje zhledem k S záporném směr os (tj. na obrázíh dolea) poze hodnota je pak záporná. Z Galileiho transformae okamžitě plne, že zdálenost do bodů a B sstém S, je stejná jako jejih zdálenost S : kde l B l B ( B ) ( B ) ( z zb l B B B z zb B ) l, (II.6). Protože zdálenost bodů se samozřejmě nemění ani při pootočení sosta sořadni, platí (6) i při obené Galileiho transformai. Vzdálenost je ted klasiké mehanie eličino absoltní, nezáislo na olbě ineriální sosta sořadni. (Ostatně jsme již ýše konstatoali, že klasiká mehanika žádno kontraki délek nezná.) Sktečnost, že se zdálenost nemění ani při přehod od jedné ineriální sosta sořadni k jiné (kdž ztah mezi sořadniemi jso dán Galileiho 8

9 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 transformaí) stihjeme jinými slo tak, že říkáme, že zdálenost je inariantní ůči Galileiho transformaím. Derioáním ztahů (5) pro transformai sořadni podle čas získáme transformační ztah pro složk rhlosti liboolného bod: z z, (II.7) d d d kde,,...,,... jso složk rhlosti daného bod S a S. dt dt dt Na střední škole bhom se obešli i bez deriae: předpokládali bhom, že bod se pohbje ronoměrně přímočaře rhlostí, jejíž složk S jso,, z. Jeho sořadnie S čase t 1 bhom označili 1, 1, z 1 a čase t = t 1 +t,, z ; dále bhom označili 1 ; 1 ; z z z1 a podobně pro sořadnie S. Z (5) bhom dosazením hodnot odpoídajííh t 1 a t a odečtením dostali t z z a odtd dělením t již přímo (7), neboť t atd. Pro ážnější zájeme bhom pak mohli naznačit limitoání t k nle a zdůraznit, že ztah (7) platí, i kdž pohb daného bod je obený. Daný postp je zde samozřejmě triiální; připomínáme ho jen proto, že přesně stejně lze postpoat i případě Lorentzo transformae. Deriaí ztahů (7) pro transformai rhlosti nebo opět středoškolským postpem (zkste si ho) dostááme ztah pro transformai zrhlení: a a, a a, a a, (II.8) z z kde a, a, a z jso složk zrhlení S a a, a, a z složk zrhlení S. Zrhlení je ted klasiké mehanie absoltní, nezáislé na olbě ineriální sosta sořadni. (Pozn.: Uažjeme-li i pootočení sosta sořadni, složk zrhlení se samozřejmě změní, ektor zrhlení šak zůstáá týž a a.) O hmotnosti hmotného bod předpokládáme, že je stejná e šeh ineriálníh sostaáh sořadni (m = m). Je ted inariant Galileiho transformae; můžeme též říi, že je skalár. Uažme nní, jak se při Galileiho transformai transformje síla. Praé síl působíí přímo do dálk lze podle () stihnot záislostí kde r r,, z z B B B B f r r F r r B B r rb B. (9) je jádření síl S; S je (II.9) 9

10 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Vzdálenost obo bodů je ošem inariant: B f r r F r r B B r rb r r z Galileiho transformae (5) (jde o složk témže čase t) B B r r B. (II.10) B r r B plne. Pro složk a podobně pro -oo a z-oo složk. Dosazením do (9) a (10) a poronáním pak zjistíme, že Čili F F. (II.11) F F, F F, F F. (II.1) z z Uažjeme-li pootočení sosta sořadni, složk síl se ošem změní, sám ektor síl zůstáá týž, (11) ted platí i případě obené Galileiho transformae. Pozn.: Ronost F F platí i pro třeí síl, kterými na sebe tělesa moho působit. Třeí síl jso totiž fnkemi zájemnýh rhlostí těles a to i při smkoém tření, kd nezáleží na elikosti rhlosti, ale na jejím směr, neboť ten rčje směr síl. Z transformae (7) šak plne, že zájemné rhlosti těles se Galileiho transformaí nemění ( X XB X XB atd.). Nní již máme k dispozii dost prostředků, abhom zpětně ododili klasiký prinip relatiit, resp. dokázali, že Galileiho transformae je s ním konzistentní. Drhý Newtonů zákon zapsaný sostaě S, ma F totiž můžeme přetransformoat do sosta S (tj. jádřit něm šehn eličin pomoí eličin z S ). Jelikož m m, a a a F F, získáme pro transformai ma F Vidíme, že. Newtonů zákon S má stejný tar jako S naprosté shodě s klasikým prinipem relatiit. Totéž lze jednodše oěřit i pro 3. Newtonů zákon. Pro 1. Newtonů zákon je še jasné již z definie ineriálního sstém: připomeňme snad jen, že (7) formálně potrzje ýše edený přirozený předpoklad, že ronoměrný přímočarý pohb zhledem k S je ronoměrný přímočarý i zhledem k S. Vidíme, že klasiký prinip relatiit lze ted sloit ještě jedné formě: Zákon klasiké mehanik jso inariantní ůči Galileiho transformai. 10

11 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 ž dosd jsme se zabýali poze transformaí z S do S. Veličin z S lze ošem naopak jádřit pomoí eličin z S. Transformaí inerzí k (5) je t z z nazýáme ji inerzní Galileiho transformae. Ze (13) plne z z (II.13) (II.14) O ztazíh pro transformai rhlosti tomto tar se říká, že popisjí skládání rhlosti. (Je idět, že klasiké mehanie se rhlosti algebraik sčítají.) Vztah pro zrhlení a síl jso totožné s (8) a (1). Vidíme, že inerzní Galileiho transformae (13) (z S do S) se od transformae (5) z S do S liší jen znaménkem rhlosti. To je ale přirozené, neboť jestliže se S pohbje zhledem k S rhlostí (+, 0, 0), pohbje se S zhledem k S rhlostí (, 0, 0). Ineriální sstém S a S jso plně ronopráné; Galileiho transformai jsme klidně mohli začít odozoat z S jediným rozdílem b bl ýskt na místě. Na záěr snad ž jen příklad kazjíí, že jakkoli je Galileiho transformae jednodhá, je to žitečný nástroj pro řešení problémů. Uažjme míček, odrážejíí se od stěn, která se pohbje rhlostí e směr sé normál. Známe-li směr míčk a jeho rhlost před odrazem, a íme-li, že odraz je ideálně pržný, máme rčit ttéž eličin po odraz. (Čtenář se nní může poksit řešit problém sám, třeba i bez požití Galileiho transformae.) Řešení: Sostaa S nehť je laboratorní, S je spojena se stěno, jejíž pohb poažjeme za ronoměrný přímočarý e směr normál. Sosta sořadni orientjme tak, že os a mají směr normál ke stěně. Úhel, který sírá rhlost míčk před odrazem s normálo ke stěně, označíme ; úhel po odraz ~. Složk rhlosti míčk S jso (iz obr. II.6a) Obr. II.6. Odraz na pohbjíí se stěně. a) Pohled z laboratorní sosta. b) Sitae z hlediska sosta spojené se stěno. 11

12 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 z os sin 0 Transformae rhlostí (7) posktne složk rhlosti míčk : os sin 0 z. (II.15) (II.16) V sostaě S je ošem problém elmi jednodhý, jde o prostý odraz míčk od stěn. Platí ted (iz obr. II.6b) z z, (II.17) kde lnoko značíme, že jde o eličin po odraz. Složk rhlosti po odraz laboratorním sstém získáme pomoí inerzní transformae rhlostí (14): z Spojením (15) (18) získáme ýsledné složk: z os z sin 0 z nihž můžeme již lehe rčit směr i elikost rhlosti míčk po odraz. (II.18), (II.19) Na edeném příklad jsme iděli jedno z tpikýh žití transformaí: problém stačí řešit té ineriální sostaě, níž je sitae nejjednodšší. Zadání lze do této sosta přetransformoat; ýsledek naopak přetransformoat do té sosta, níž je požadoán. II.4. Éteroá teorie a poks oěřjíí její důsledk Jak jsme již kázali, z hlediska klasiké mehanik je pojem absoltního prostor zela zbtečný. Nemohl b ho šak potřeboat jiné partie fzik? Například teorie elektromagnetikého pole nebo optika? Třeba b optiké poks nemsel dopadat e šeh ineriálníh sostaáh stejně a mohl b některo z nih preferoat? Podobné otázk jso zela opráněné a odpoědět na ně samozřejmě msí eperiment. Nebo lépe patřičně rozintá teorie podložená dostatečným eperimentálním materiálem. Práě oblasti optik se minlém století zdálo, že teorie (spol s některými eperiment) elmi silně podporje předsta o eisteni jisté základní ineriální ztažné sosta. Všeobeně přijímano teorií sětla totiž bla teorie lnoá. Sětlo ted mělo být lněním 1

13 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 ošem lněním čeho? Fzika již dříe dobře znala šíření ln elastikýh prostředíh. Nepočítáme-li ln na porh kapalin, žádné jiné drh lnění znám a prostdoán nebl. Blo ted elk přirozené předpokládat, že lnění msí být žd lnění mehanikého prostředí, že žd msí prostor eistoat nějaká látka, jejíž částie kmitají a tak možňjí šíření ln. Protože sětlo se šíří i e ak, blo ntno dh edenýh předsta předpokládat, že nositelem sětelnýh ln je šepronikajíí látka, přítomná i e ak a jinak nezjistitelná. Tato látka bla nazýána éter. Pojem éter pohází ž ze staroěkýh předsta; postpně se íjel, bl m přiszoán noé lastnosti. Některé z nih měl být dosti zláštní práě proto, ab blo možno sětlit známé lastnosti sětla. Například éter msel být podstatě peno látko: kapalináh a plneh se šíří jen podélné ln, zatímo sětlo, jak dokazoal eperiment s polarizaí, je lněním příčným. b se sětlila soká rhlost sětla, blo třeba éter přisodit značno thost. Přitom ale nesměl klást pozoroatelný odpor pohb makroskopikýh těles. (Planet při sém pohb nejso brzděn třením o éter.) Uedené požadak se moho zdát neslčitelné; ale není tom tak. Frekene optikýh kmitů jso řád Hz, ted period řád s. Naproti tom harakteristiké dob při pohb makroskopikýh těles jso, dejme tom, řád seknd či delší. Lze si dobře předstait látk, která při pomalýh pohbeh teče, třeba i s elmi malo iskozito, zatímo při rhlýh se hoá jako pená látka. (Modelem, i kdž ne příliš dobrým, může být i občejná žýkačka.) Samotný pojem éter ted nijak nesmslný nebl, a i kdž neeistoala jeho jednotná teorie spíše několik teorií, které si zájemně konkroal fzikoé bli o jeho eisteni peně přesědčeni. Patrně stejně, jako m dnes třeba o eisteni karků. O éter se nepředpokládalo, že b se jeho části, alespoň e ak, nazájem makroskopik pohboal. Pak ted éter přirozeně definje ztažno sosta z hlediska optik zřejmě priilegoano. Za absoltní klidoo ineriální sosta lze pak zít práě tto sosta éter. (Pozn.: Neažjeme zde možnost, že b sostaa spojená s éterem bla neineriální ošem kdb bl pohb éter zrhlený, mseli bhom naí hledat síl, která b bla příčino tohoto zrhlení; rotae sosta éter ůči ineriálním b zase děloala prostor ýznačný směr, os rotae; při optikýh pokseh se šak žádný ýznačný směr samotném prostor neobjeje. Je ted nejhodnější pokládat sosta spojeno s éterem za ineriální.) Má-li být sostaa éter optie priilegoána, msí ji být možno některými optikými poks najít. Jinak řečeno: optikými poks msí být možno rčit pohb laboratoře ůči éter. Hledejme nní takoé poks; naí se přitom seznámíme s oěřoáním důsledků éteroé teorie. Na prní pohled je še jednodhé. Sětlo je podle éteroé teorie analogií lnění pržnýh prostředíh. V homogenním izotropním pržném prostředí se elastiké ln šíří šemi směr stejno rhlostí, která je dána lastnostmi daného prostředí. Rhlost, o níž mlíme, je ošem rhlost lnění ůči daném prostředí. Pohbjeme-li se zhledem k prostředí, skládá se rhlost ln s naší rhlostí (podle ztahů (7) pro transformai rhlostí) a rhlost ln ůči nám je různýh směreh různá. Stejně b tom mělo být se sětlem. Vůči éter se e ak šíří šemi směr stejno rhlostí. V sostaáh, které se ůči éter pohbjí, lze pak rhlost, ktero se sětlo šíří různýh směreh, rčit pomoí transformae rhlostí (7) při Galileiho transformai. Při poplárním ýklad můžeme požít i analogii s lnami na porh od olanými třeba kamenem 13

14 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 hozeným doprostřed rbníka. Rhlost ln ůči odě (éter) je e šeh směreh stejná: ůči eslaři, jedoím na loďe, ošem stejná není. Označme S sosta sořadni spojeno s éterem a S ineriální sosta sořadni, která se ůči ní pohbje rhlostí ; orientae os nehť odpoídá speiální Galileiho transformai. Velikost rhlosti, jako se S šíří sětelný signál, pohbjíí se kladném směr os označme + ; elikost odpoídajíí rhlosti S označme +. Velikosti rhlostí signál pohbjíího se záporném směr os označíme - resp. -. V sostaě éter je samozřejmě. Z transformae rhlostí při Galileiho transformai (7) pak plne (II.0) Jak lze jednodše ododit, rhlosti sětelného signál ostatníh směreh S jso rozmezí ( +, - ). Zdálo b se ted, že rčení rhlosti sosta S ůči éter není problém. Stačí měřit rhlost sětelného signál různýh směreh, rčit e kterém směr je rhlost signál nejětší (hodnota této rhlosti bde - ), pak rhlost protilehlém směr (ta je rona + ) a z hodnot + a - pak jednodše počíst (a ). To ošem předpokládá rčit rhlost sětla jednom směr (tj. nikoli tam a zpátk). to poměrně přesně. Jak elké efekt se dají očekáat? Rhlost pohb Země na oběžné dráze kolem Slne je asi 30 km/s. Minimálně zhrba tto rhlost lze očekáat jako rhlost pohb pozemské laboratoře ůči éter. Pokd b blo Slne přibližně klid ůči éter, bde stále m/ s ; jinak b mohla třeba na jaře Země ůči éter i stát, ošem na podzim b pak jejih zájemná rhlost bla až m/ s. V každém případě je tpik (II.1) Přímé měření rhlosti sětla jednom směr (iz obr. II.7) na zdálenosti např. l = 300 m l 6 l 10 ted předpokládá měřit dob šíření 10 s s přesností 10 s, ab bl pohb ůči éter zjistitelný. Obklé metod měření rhlosti sětla šak měří jeho rhlost po zařené dráze. Při měření jednom směr je totiž ještě naí potíž tom, že msíme přesně snhronizoat hodin místě zdroje a příjem signálů. Otázko jak snhronizai proést se bdeme zabýat příští kapitole. Zde jen poznamenejme, že žitý způsob snhronizae pomoí časoého znamení šířeného elektromagnetikým signálem zde naráží na problém: ždť práě rhlost tohoto signál heme měřit! Obr. II.7. K rčení rhlosti sětla jednom směr. S moderními atomoými hodinami b takoýto eperiment bl již prinip realizoatelný, konem minlého či začátkem tohoto století šak rozhodně nikoli. I dnes jso ostatně mnohem přesnější metod měříí průměrno rhlost sětelného signál probíhajíího 14

15 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 dano dráh tam a zpátk (ted metod měříí rhlost sětla po zařené dráze). Na koni dráh je tomto případě zradlo a stačíme s jedněmi hodinami (resp. časoým standardem) místě zdroje iz obr. II.8. K tomto drh náleží i klasiká měření Fizeaoa (1849) a Foaltoa (186). Dnes lze rhlost sětla takto změřit s přesností řád Stačilo b to k rčení pohb Země ůči éter? Obr. II.8. Měření rhlosti sětla po zařené dráze. Předpokládejme dráh signál ronoběžno se směrem rhlosti Země ůči éter. Pak doba, za níž signál překoná tam a zpět dráh l je rona l l t l l Naměřená rhlost sětla ted bde mít hodnot l l 1 1 naměř. (II.) Změna rhlosti je dána faktorem říkáme, že jde o efekt. řád. Při jinýh orientaíh přístroje se bde naměřená rhlost lišit od (), odhlk bdo ošem opět řád. Pro pozemsko laboratoř je ošem (iz (1)) 10 takže rčení pohb Země ůči éter toto metodo blo mimo eperimentální možnosti. 8 (II.3) Nadějnější pro deteki jso efekt 1. řád, nihž se pohb Země ůči éter projeje odhlkami řád. Takoýmto jeem je aberae sětla. Připomeňme opět mehaniko analogii, s jejíž pomoí se tento efekt kládá (iz obr. II.9). Na ozík stojí oteřená áloá nádoba. Kapk deště padají sisle dolů rhlostí k. Jede-li ozík dopřed rhlostí, msíme nádob naklonit horním konem e směr pohb, heme-li, ab kapk nedopadal na stěn, ale na dno. (Dno práě stačí dojet tam, kam kapka dopadne.) Z obrázk je zřejmé, že pro sklon nádob platí tg k 15

16 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Obr. II.9. Mehaniká analogie aberae sětla. Podobně je tom i se sětlem. Objekti dalekohled je ntno sklonit e směr pohb Země ůči éter zhledem ke směr, němž se pozoroaná hězda sktečně nahází (iz obr.ii.10). Vzhledem k pohb Země kolem Slne se rhlost pohb Země ůči éter průběh rok mění (minimálně o do směr), mění se ted i sklon dalekohled. To se projeje tak, že se pozoroané poloh hězd na nebeské sféře posoají opisjí elips, které roině ekliptik degenerjí úsečk a obo pólů přeházejí kržnie. (Rozmslete si proč.) Na tento je, aberai stáli, pozorňje popré astronom Bradle r Hlaní poloos elips, po nihž se hězd zdánliě pohbjí, jso stejné a činí asi 0,5 (aberační konstanta). Obr. II.10. berae sětla stáli. Obené odození ztah pro aberai sětla éteroé teorii lze jednodše proést pomoí transformae rhlostí (7) při Galileiho transformai. Uažjme opět, že S je sstém éter, S nehť je ineriální sstém spjatý s dalekohledem. (Viz obr. II.11.) Úhel, který sětelný paprsek sírá s osami a sstémeh S a S označme a. Obr. II.11. K odození ztah pro aberai sětla. V sstém S jso složk rhlosti sětelného signál os sin (II.4) V sstém S tom odpoídají složk rhlosti 16

17 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Pro úhel je os sin os otg otg sin sin (II.5) Protože poměr rhlosti je malý (iz (1)), nebde se příliš lišit od, a ted ani otg od otg. S přesností do 1. řád pak lze psát d otg 1 otg otg otg d sin (II.6) Z (5) a (6) pak s přesností do prního řád e dostaneme Maimální odhlka (pro asi zmíněnýh 0,5 úhloé teřin. sin (II.7) ) je na Zemi (iz (1)) 4 10 radián, ož je práě Pozoroání ted sohlasí s teorií. Neplne z něj šak ntně, že b Slne ůči éter stálo. Pohb slne ůči éter b totiž tářel rčito konstantní odhlk, k níž b se odhlk dané pohbem Země poze přičítal a poze tto odhlk b bl pozoroáním zjistitelné. Uažjeme-li pro jednodhost rhlosti Slne a Země poze e stejném nebo opačném směr a je-li V rhlost Slne ůči éter a rhlost Země ůči Slni, je V V sin sin sin ma konstantní odhlka, odhlka měníí se průběh rok se průběh rok nemění (stejná jako (9)) V Vli b se projeil až e člen ššího řád (řád resp. ( )). (Pozn.: Zjistili bhom to rozojem (5) do. řád e.) Ze člen 1. řád se pohb Země ůči éter rčit nedá. Vli člen. řád je ošem pod mezí pozoroaíh hb (které aberae stáli činí asi 0, ). ž dosd jsme ažoali jen šíření sětla e ak. Jedním z poksů, které kazjí, jak se šíří sětlo láte pohbjíí se zhledem k éter (a ted jaký li má dané konepi pohb látk na éter), je Hoeků poks (proedený 1868). V Hoekoě poks se sětelný paprsek rozdělí na polopropstném zrátk na da paprsk, které se šak pohbjí e zájemně opačném smsl po praoúhlé dráze mezené třemi zradl (iz obr. II.1). Na polopropstném zrátk se paprsk opět spojjí a dopadají na stínítko či do detektor, kde je možno zjistit jejih interfereni. V jednom rameni přístroje proházejí paprsk úsek o déle l látkoým prostředím o inde lom n; e zbtk přístroje předpokládáme akm. Celý přístroj nehť se pohbje rhlostí ůči éter. Pro 17

18 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 jednodhost bdeme předpokládat, že rameno přístroje s látkoým prostředím je ronoběžné se směrem této rhlosti. Obr. II.1. Hoeků poks. Veličin příslšné signál obíhajíím na obr. II.1 kladném smsl bdeme označoat indeem 1, eličin příslšné drhém signál indeem. Bdeme se zajímat o čas oběh obo signálů. (Práě rozdíl těhto časů rozhodne o tom, jak bdo paprsk interferoat.) Stačí se ošem zřejmě omezit na část délk l horním a dolním rameni jinde nemůže nastat šíření signálů žádný rozdíl. (Uědomte si proč.) V látkoém prostředí o inde lom n se sětlo pohbje rhlostí n. V dh éteroé teorie je to ošem rhlost ůči éter nitř daného prostředí. Pokd bhom předpokládali, že prostředí éter ůbe nestrháá, bl b čas ražení do úseků pro 1. a. paprsek l l t 1, n t l l n (Uědomte si, jak to podrobně ložit s pomoí transformae rhlostí z S do S.) Odečtením t 1 a t získáme l l l 1 n l t t1 n 1 1 n n 1 0 (II.8) (Zanedbali jsme přitom člen ššího řad e.) Samotný časoý rozdíl se ošem měřit praktik nedá. Paprsk spol žd nějak interferjí a neíme, zda je to dáno pohbem přístroje ůči éter či nepřesností při jeho ýrobě. Odstraníme-li šak látkoé prostředí z dráh paprsků, bde samozřejmě t t1 0 (a pokd bhom ho přemístili do spodního ramena, změní časoý rozdíl (8) znaménko). Interferene obo paprsků b se tím ted měla změnit, ož prai znamená, že interferenční prožk na stínítk b se měl posnot. Eperimentálně b měl být tento efekt snadno zjistitelný, neboť 18

19 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 pro 10 4 a n 1 1 stačí již l m, ab t t1 10 s iditelného sětla. Eperiment ošem kázal, že prožk se ůbe neposnl!, tj. řád period kmitů Předpokladem, který lze nejsnáze opstit, je ten, že éter není pohbem prostředí ůbe strháán. Úplné strháání éter b roněž sitai neřešilo; časoý rozdíl b pak bl t l t1 jak lze jednodše ododit, ědomíme-li si, že prostředí samotném b pak žádný časoý rozdíl paprsků neznikal. (Vznikal b odpoídajíím úsek e spodním rameni.) Zbýá předpokládat, že pohbjíí se prostředí strháá éter částečně, tj. že rhlost éter nitř prostředí, které se pohbje rhlostí, je éter, kde 0 1. (II.9) Rhlosti zde zmiňoané jso rhlosti zhledem k sostaě éter (z éter jso poze tržen části nitř látkoýh prostředí, éter e ak stále rčje absoltní klidný sstém). Rhlost prostředí ůči éter, který se nitř něj nahází, je zřejmě 1 zhledem k éter nitř Rhlost 1. signál ůči přístroji je ted dané láte 1 n podobně jako plae řee prodem.), rhlost. signál n 1. (Pohopení zde může napomoi názorná předstaa, že sětlo je nášeno éterem Pro 1. a. paprsek je pak l l t 1, 1 n a pro jejih rozdíl po úpraě stejné jako e ztah (8) t l l t t1 1 1 n n l 1 (II.30) Má-li se t t1 ronat nle, ab se sětlil ýsledek eperiment, msí být rona nle hranatá záorka (30) a odtd úprao dostááme hodnot 1 1, (II.31) n nazýano Fresnelů strhoaí koefiient. Částečným strhááním éter je ted ýsledek eperiment sětlen. (Člen ššího řád, které jsme (30) zanedbali, dají efekt pod mezí pozoroaíh hb.) 19

20 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Výše odozeno hodnot Fresneloa strhoaího koefiient potrzje i již dříe známý Fizeaů poks (popré 1851), němž se poronáají dob šíření paprsků po a proti směr tok prodíí kapalin. (Viz obr. II.13.) Obr. II.13. Fizeaů poks. Předpokládáme-li pro jednodhost, že přístroj ůči éter stojí, dostaneme pro dob, které sětlo potřebje k překonání obo ramen přístroje, Jejih rozdíl je (po úpraě) t l n 1, t l n 4l 4l t1 t n n 1 0 (II.3) Eperiment také sktečně dáá nenloý ýsledek: při změnáh rhlosti pohb kapalin trbii se interferenční prožk posnjí solad s hodnoto (3). (Oěřte, že itliost eperiment je dosti soká, ab posn prožků nastal při realistikýh hodnotáh.) Stejný ýsledek jde i za předpoklad, že se přístroj ůči éter pohbje. Efekt 1. řád jso ted měřitelné, nelze z nih šak rčit rhlost pohb Země ůči éter. Lze dokone dokázat, že toto platí obeně pro šehn efekt 1. řád. Odpoěď ted moho dát jen efekt. řád (nebo samozřejmě ššího); problém je poze narhnot a sktečnit dostatečně itliý eperiment. Takoým dostatečně itliým eperimentem bl známý Mihelsonů poks (proedený popré r a e zdokonalené formě s Morleem r. 1887). V Mihelsonoě poks se poronáají dob, které sětlo potřebje k ražení dané dráh e do kolmýh směreh. Rozdíl těhto dob se zjišťje interferometrik, ož zajišťje dostatečno itliost měření. Nákres eperimentálního spořádání (tz. Mihelsonoa interferometr) je na obr. II.14; stejně jako předhozíh poksů je poze shematiký. 0

21 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Obr. II.14. Mihelsonů poks. Ve sktečnosti se žíalo íenásobnýh odrazů, takže sětlo probíhalo každým ramenem několikrát, čímž se dosáhl ýsledek ekialentní prodložení ramene, dráze paprsk bla korekční destička pro ronání tlošťk polopropstného zrátka PZ atd. Pro teoretiké úah se šak lze omezit na teoretiko konstrki zde načrtnto. Předpokládejme pro jednodhost, že 1. rameno přístroje je ronoběžné s rhlostí přístroje ůči éter (tak jako je znázorněna na obr. II.14); ektor této rhlosti značíme. Čas, který sětlo potřebje, ab proběhlo zdálenost od polopropstného zrátka PZ k zradl Z 1 a zpět, je zřejmě l1 l l l 1 t1 1 (II.33) (V sstém S spojeném s interferometrem je rhlost sětla od PZ k Z 1 rona a opačném směr jak přímo plne z Galileiho transformae pro rhlosti.) Rhlost sětla S e směr. ramena (tj. e směr ) lze jednodše rčit z Galileiho transformae rhlostí:, Hledano eličino je ; přitom íme, že 0 (neboť jde o pohb e směr ) a ( sostaě éter se sětlo pohbje e šeh směreh rhlostí ). Kombinaí edenýh ztahů získáme a odtd. (II.34) Čas, který sětlo potřebje, ab proběhlo dráh od PZ k Z a zpět, je ted 1

22 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 Rozdíl obo časů je t l l 1 1. (II.35) l1 t1 t l 1 1 (II.36) Připomeňme, že čas t 1 a t (ted ztah (33) a (35)) se často poplárnějšíh či středoškolskýh ýkladeh odozjí na základě analogie s plai pljíími na řee: prní plae plae z daného místa po prod k rčité bóje a zpět, drhý plae z téhož místa kolmo na směr prod (ošem tak, ab ho prod nenášel) k drhé bóje a zpět. Voda zde zastpje éter (plnoí ůči Zemi), plai sětelné signál (resp. čela dané ln). Čtenáři b si proto měli rozmslet pohb obo plaů jak zhledem ke břeh, tak zhledem k odě. (Dráha drhého plae zhledem k odě toří dě stran trojúhelníka, z něhož lze ododit rhlost (36); iz ýše disksi sětelnýh hodin kapitole I.) Vraťme se k důsledkům ztah (38). Časoý rozdíl se projeí jisto interferení obo paprsků. Pozoroatel bde na stínítk pozoroat rčitý obraze interferene prožků. Postait přístroj tak přesně, ab blo možné říi, že pozoroaný obraze prožků odpoídá jisté hodnotě rhlosti, ošem nelze. Ošem, otočí-li se elý přístroj o 90 (kolem os kolmé k oběma ramenům), mění si obě ramena úloh: 1. rameno bde nní kolmé a. ronoběžné se směrem rhlosti přístroje ůči éter. Časoý rozdíl bde ted (sronej (36)) l t t l po otočení 1 (II.37) ted bde se lišit od (36). Praktik to znamená, že při otáčení přístroje se interferenční prožk msí posnot. V Mihelsonoě spořádání blo l 1 l (tto délk označíme prostě jako l). Pak z (36) plne l 1 l 1 l 1 t t (II.38) 1 kde jsme žili ztahů 1 1 a 1 1 platnýh pro 1. Po otočení interferometr o 90 změní časoý rozdíl t1 t znaménko.

23 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, Jaká je itliost tohoto eperiment? Ze (38) plne, že pro 10 a l 30 m (lze 15 dosáhnot pomoí íenásobnýh odrazů) je t1 t 10 s, ted řád period kmit iditelného sětla. Lze jej ted interferometrik snadno zjistit. Jak jsme již zdůraznili ýše, prai to znamená: při otáčení přístroje se interferenční prožk msí posnot. Eperiment šak kázal, že prožk se neposnl! Půodní Mihelsonů poks b odhalil rhlost Země ůči éter rono asi 10 km/s, pokseh s Morleem rhlost řád 300 m/s, tj. setina rhlosti pohb Země kolem Slne. Dnešní ariant Mihelsonoa poks, žíajíí laserů, b odhalil rhlost řád 30 m/s. Výsledek šeh těhto poksů bl ale negatiní: žádný pohb Země ůči éter zjištěn nebl. II.5. Snah o sětlení Mihelsonoa eperiment Jak sětlit zjený nesolad předpoědi éteroé teorie s eperimentem? Zdánliě samozřejmá je možnost, že Země s sebo náší část éter e sé blízkosti. Pak b rhlost éter ůči přístroji na Zemi bla nloá a ýsledek Mihelsonoa poks b bl zela přirozený. Ošem zmíněné nášení éter Zemí je rozpor s hodnoto Fresneloa strhoaího koefiient (33), neboť podle něj b zdh blízkosti Země měl strháat éter jen zela nepatrně. (n zdh je blízké 1). Roněž sětlení aberae stáli je založeno na předpoklad, že dalekohled (na Zemi) se ůči éter pohbje. Tímto způsobem se ted potíží nezbaíme. Lorentz (a nezáisle na něm Fitzgerald) narhli sětlení, jehož ýhodisko padá na prní pohled mělkoaně a nepřirozeně: předpokládali, že šehn předmět pohbjíí se ůči éter se e směr ronoběžném s rhlostí pohb zkrají poměr 1 (kde je rhlost ůči éter). Jistý podklad pro práě takoéto zkráení posktoala ošem elektrodnamika. Mawello ronie platil totiž podle předsta éteroé teorie práě jen sostaě éter; jinýh ineriálníh sostaáh měl jiný tar. (Mawello ronie nejso inariantní ůči Galileiho transformai.) Jiné měl být těhto sostaáh ted i důsledk Mawelloýh roni jiné b blo třeba i pole stojíího bodoého náboje. Jak ododil Lorentz, ekipoteniální ploh pole bodoého náboje jso dané teorii obeně rotační elipsoid, jejihž osa e směr dané rhlosti dané sosta ůči éter je oproti zblým osám kratší práě poměr 1 (jde ted lastně o kloo ploh zmáčknto e směr rhlosti o daný faktor). protože síl, které způsobjí nitřní sodržnost látek, jso elektromagnetiké poah (tehd to bl spíše předpoklad, dnes to íme s jistoto), je přirozené předpokládat, že se e stejném poměr zkrátí i šehna tělesa. Jak se daným předpokladem sětlí ýsledek Mihelsonoa poks? Prní rameno, ronoběžné s rhlostí přístroje ůči éter, je zkráeno, takže místo délk 1 ~ l (ktero b mělo 3

24 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 sostaě stojíí ůči éter anebo pokd b blo natočeno kolmo k rhlosti pohb ůči éter) má délk l1 l1 1 (II.39) (Zkráení ošem nenaměříme, neboť e stejném poměr se zkrátí i naše měřítka: do zkráeného půodně dometroého ramena se ejde zkráená metroá tč opět přesně dakrát.) Drhé rameno je kolmé k rhlosti a není proto zkráeno: ~ l l Po dosazení do ztah (37) pro časoý rozdíl dostááme t1 t l 1 l 1 (II.40) Po otočení přístroje o 90 se zkraje drhé rameno (a prní nikoli), takže časoý rozdíl (iz (37)) je opět dán ztahem (40). Časoý rozdíl se ted nemění, interferenční prožk se proto nemoho posnoat. Výsledek Mihelsonoa poks je objasněn. ~ ~ V originálním Mihelsonoě poks blo l1 l, takže časoý rozdíl bl nloý, t1 t. Při rozdílnýh délkáh obo ramen je šak časoý rozdíl od nl různý a naí záisí na elikosti rhlosti. Lze nějak jednodše měnit elikost? (Pak b se totiž interferenční prožk měl posoat.) Jednodhá úaha káže, že tto změn za nás obstaráá sama Země. Slne se totiž pohbje kolem střed Galaie rhlostí asi 300 km/s. Je ted krajně nepraděpodobné, že b práě Slne blo zhledem k sostaě éter klid. (Helioentrikého pohled na esmír jsme se již dáno zbaili podobně jako kdsi geoentrikého.) S rhlostí Slne se skládá rhlost pohb Země kolem Slne. Pokd b sostaa éter stála zhledem ke Galaii, měnila b se ted průběh rok rhlost Země ůči éter rozmezí asi 70 km/s až 330 km/s. Dlohodobě probíhajíí poks b ted měl toto kolísání odhalit. Zmíněný poks proedli (ale až r. 193) Kenned a Thorndike. Jejih přístroj bl elý z taeného křemene, teplota bla držoána konstantní s přesností na tisíin Kelina atd.; žádný pos interferenčníh prožků se šak neprojeil. (Rhlost Slne ůči éter b msela být menší než asi 10 km/s, ab sětlila daný ýsledek.) Uedený ýsledek lze sětlit, přidáme-li k dané teorii předpoklad, že pohb ůči éter oliňje hod hodin a eškerýh fzikálníh proesů: hodin, pohbjíí se ůči éter rhlostí, se zpomaljí poměr 1 ůči hodinám stojíím zhledem k sostaě éter. Stejně se ineriální sostaě spojené s hodinami zpomaljí eškeré fzikální proes. Vsětlení ýsledk Kennedho-Thorndikeoa poks je následjíí: Časoý rozdíl (40) měříme sostaě spojené s přístrojem (a ted se Zemí) pomaleji jdoími hodinami. (Za 1 s sostaě éter káží přírůstek 1 s). Naměřený časoý rozdíl ted bde 4

25 K přednáše NUFY097 Teorie relatiit prozatímní čební tet, erze 01 II. Prinip relatiit klasiké mehanie, poks, edoí k STR Leoš Dořák, MFF UK Praha, 015 l l t t 1 t t 1 naměř. 1 1 (II.41) V prai je interferometriké měření lastně sronáním daného časoého rozdíl s periodo kmitů (záření daného zdroje). Tato perioda se ošem také prodlžje pohbem Země rhlostí ůči éter. (41) ted harakterizje i ýsledek interferometrikého měření. Kennedho-Thorndikeů poks bl ošem proeden až době, kd speiální teorie relatiit bla již znáano teorií, a nepřispěl tak proto k formlai hpotéz o zpomaloání hod hodin. Ta bla e sktečnosti sloena na základě ýsledků jinýh poksů. (Zde zdaleka neprobíráme šehn poks soisejíí s éteroo teorií. Nezmínili jsme se např. o čistě elektrodnamikýh pokseh.) Oběma hpotézami se sie dá éteroá teorie a pojem éter zahránit. Lze šak kázat, že jejih přijetí ede k tom, že sosta éter nelze žádnými optikými nebo elektrodnamikými poks rčit. Zmíněná teorie (nazýaná Lorentzoa teorie) je poněkd nekonzistentní: předpokládá éter, ale nedoede rčit sosta, ůči níž je éter klid. II.6. Balistiká teorie sětla a její ráení Všimněme si ještě jedné možnosti, jak sětlit ýsledk Mihelsonoa (i dalšíh) poksů. Je to ošem možnost, házejíí mimo ráme éteroé teorie a má blíže spíše ke korpsklární teorii sětla. Uažje totiž, že sětlo b nemělo konstantní rhlost ůči éter, ale že sětlo má konstantní rhlost ůči sém zdroji. Sětlo b se podle této předsta šířilo podobně jako střel z pšk proto se této hpotéze říká balistiká teorie. Elektrodnamik, níž šíření sětla odpoídá edené předstaě, zkonstroal počátkem 0. století Ritz. Balistiká teorie sětla b sětloala šehn ýše edené optiké poks a pozoroání. Ošem elikost odhlk při aberai sětla zdálenýh zdrojů b záisela na tom, jako rhlostí se od nás tto zdroje zdaljí (či naopak jako rhlostí se přibližjí). Do ztah (7) pro aberai b totiž místo blo ntno dosadit rhlost sětla daného zdroje ůči Zemi, tj. zdaloání zdroje. Měření aberae sětla zdálenýh galaií (zdaljííh se rhlostmi řád 10 4 km/s) ošem dáá hodnot stejno jako pro blízké zdroje (jejihž rhlost je podstatně nižší). Je ted s balistiko teorií e spor. Velmi pěkným argmentem, raejíím balistiko teorii sětla, je záěr založený na rozbor sětla dojhězd. (Učinil ho astronom de Sitter.) Zjednodšeně můžeme problém popsat takto (iz obr. II.15): 5