V. Relativistická dynamika

Transkript

1 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 V. Relativistiká dnaika V.. Dnaika a speiální prinip relativit Seznáili jse se již s relativistiko kineatiko. Přirozený kroke je přejít k dnaie tj. k všetřování pohb při dané silové působení, srážek apod. a k disksi pojů v dané oblasti klíčovýh, jako jso hotnost, hbnost a energie. Bdee se přito zabývat dnaiko části. Pokd jso rhlosti části alé, je jejih hování dobře vstiženo klasiko newtonovsko dnaiko. Již z jednodhého příklad je ovše jasné, že obeně ji nelze požít: Z. Newtonova zákona d v F, kde hotnost je konstanta, plne pro F konst. a F počáteční podínk v t výsledek v t. Pro t F b se ted podle klasiké dnaik ěl částie pohbovat nadsvětelno rhlostí ož je zjevně ve spor se speiální teorií relativit. Obený důvod, proč je. Newtonův zákon neslčitelný s teorií relativit, tkví v to, že. Newtonův zákon nevhovje speiální prinip relativit. V kapitole III. jse speiální prinip relativit forlovali tak, že libovolný fzikální zákon sí ít ve všeh ineriálníh sstéeh stejný tvar. To znaená, že áe-li fzikální zákon vjádřen jistý vztahe v ineriální ssté S a přejdee-li od S k ssté S, tj. vjádříe všehn veličin pooí veličin v S, sí být výsledný tvar zákona tentýž, jako bl v S. Zákon ted nesí ěnit tvar (resp. for) při přehod od S k S. Ve speiální teorii relativit ovše víe, jak přejít od S k S : Lorentzovo transforaí. Speiální prinip relativit ted ůžee vstihnot konstatování, že libovolný fzikální zákon nesí zěnit svůj tvar při Lorentzově transforai, jinýi slov: fzikální zákon sí být invariantní vůči Lorentzově transforai.. Newtonův zákon je invariantní vůči Galileiho transforai; jednodhý výpočte lze však ověřit, že není invariantní vůči transforai Lorentzově. Ostatně kdb vůči ní bl invariantní a ted slčitelný se speiální teorií relativit, neohl b vést k již zíněné rhlování části do nadsvětelnýh rhlostí. Vidíe ted, že je ntno. Newtonův zákon odifikovat, resp. navrhnot pohbovo rovnii, která b ho nahrazovala a přito vhovovala speiální prinip relativit. Speiální prinip relativit bdo set saozřejě vhovovat i další zákon dnaik (např. zákon zahování hbnosti atd.). Jak vidíe, vžádá si to rčité zěn v pohled na hotnost, hbnost, energii a jejih vzájené vztah ať ž se to projeví novýi vzori nebo jejih interpretaí. Ještě poznák k výe relativistiké dnaik: ve středoškolské fzie bývají vztah relativistiké dnaik většino poze konstatován s tí, že eperient je potvrzje. M je zde bdee odvozovat, ovše pokd ožno o nejjednodšší způsobe, shůdný i pro zájee z řad středoškoláků.

2 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 V.. Relativistiká hotnost a hbnost Při bdování relativistiké dnaik, alespoň na úrovni, na níž se pohbjee, není vhodné začít ihned odifikaí. Newtonova zákona ž proto, že vlastně nevíe, jak na to. Účelnější bde vjít ze zákonů, které ají veli obeno platnost a o nihž ted ůžee předpokládat, že bdo platit i ve speiální teorii relativit. Takovýito veli důležitýi zákon, jejihž platnost je ve fzie znov a znov potvrzována, jso zákon zahování hotnosti, hbnosti a energie. Jen veli silné důvod a eperientální důkaz b nás ohl přiět k to, abho se jih vzdali. Je ted přirozené přijot předpoklad, resp. postlát, že zákon zahování hotnosti, hbnosti a energie platí i v relativistiké dnaie. Z toho ovše nevplývá, že za hotnost, hbnost atd. bho do nih ohli jednodše dosazovat klasiké veličin newtonovské ehanik (např. p v, kde je konstanta.) Proč to nevplývá? Protože vžd, kdž se rozšíří fzikální teorie, rozšíří se a pozění se i hápání veličin v ní obsaženýh. Například kdž k ehanie přidáe elektrodnaik, síe do elkové hbnosti kroě hbnosti části zahrnot i hbnost elektroagnetikého pole. Na další příklad ůže čtenář připadnot sá. Proto b třeba ohla být hbnost částie ve speiální teorii relativit dána obenější vztahe, který b v klasiké p v přeházel poze pro v. a) Relativistiká hbnost Jaký tvar b ohl ít takovýto obený vztah pro závislost hbnosti částie na její rhlosti? Bdee předpokládat, že vektor hbnosti p částie sktečně závisí jen na její rhlosti v a ne na její zrhlení či vššíh derivaíh rhlosti. (Vede nás přito prinip jednodhosti. Teprve kdbho se dostali do neřešitelnýh potíží, stálo b za to výšlet nějaké složité kobinae v, a atd.) Sěr vektor p se v to případě neůže lišit od sěr v. Kdb se ěl vektor p odklánět od sěr v, znaenalo b to, že v prostor sí být nějaký preferovaný sěr rčjíí, ka se á p odklánět. Žádný takovýto preferovaný sěr ovše neeistje, neboť prostor je izotropní. Msí ted být p Kv. Na če ůže záviset koefiient K? Nesí zřejě záviset na sěr v, to b blo opět ve spor s izotropií prostor. (Proslete si sitai třeba v případě, kd b blo K M v.) Zbývá ted ožnost, že b K záviselo na velikosti rhlosti v v : p Kvv. Pro alé rhlosti v (přesně vzato, v liitě v ) je koefiient K roven hotnosti částie tak, jak ji znáe z klasiké ehanik. Je ted přirozené nazývat ho hotností i ve speiální teorii relativit. Vjádření hbnosti á pak ve speiální teorii relativit forálně stejný tvar jako v klasiké ehanie: p v, (V.) kde ovše nní obeně ůže hotnost záviset na velikosti rhlosti částie:

3 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 (Pro rozlišení lvíe někd o relativistiké hotnosti částie.) b) Odvození relativistiké hotnosti v. (V.) Závislost () rčíe z požadavk, ab zákon zahování hbnosti platil ve všeh ineriálníh sstéeh. Vjdee přito z jednodhého příklad: Uvažje dvě stejné částie, pohbjíí se v ineriální ssté S ~ proti sobě rhlosti ~ a ~ (viz obr. V.). Obr. V.. Ideálně nepržná srážka dvo stejnýh části z hlediska ssté S Protože jde o stejné částie pohbjíí se rhlosti téže velikosti, bdo z hlediska S ~ stejné i jejih hotnosti ~ ~. Celková hbnost sostav těhto části v S ~ je ted p. před srážko Uvažje dále, že srážka části, k níž dojde, je ideálně nepržná. Spojení části vznikne nový objekt (částie) +. Protože obě srážejíí se částie tvoří izolovano sostav, platí zákon zahování hbnosti a podle něj Vzniklá částie + bde ted v S ~ v klid. p Z hlediska S ~ je ted popis srážk jasný. Jak vpadá sitae z hlediska ineriálníh sstéů S a S, které jedo vůči S ~ tak, jak je to naznačeno na obr.v..? (Ssté S sledje pohb částie v -ové sěr, S sledje podobně pohb částie.) Obr. V.. a) Srážka z hlediska ssté S 3

4 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Obr. V.. b) Srážka z hlediska ssté S V ssté S vpadá pohb částie tak, jak to zahje obr.v..a, v ssté S tak, jako na obr.v..b. Vidíe, že z hlediska S a S jde vlastně o ttéž sitai, jen role části a jso prohozen. (Plne to ze setrie elé sitae; viz znov obr.v..) Zřejě ted. (V.3) (Pokd to čtenář nevěří, ůže si příslšné složk rhlostí vpočíst transforaí z S ~.) Ssté S se vůči ssté S pohbje rhlostí z S do S je proto Dosazení do (3) dostáváe. V důsledk transforae rhlostí. (V.4) Nní již ůžee v ssté S zapsat zákon zahování hbnosti pro -ové složk hbností. Před srážko je p před srážko. (V.5) Po sráže se vzniklá částie pohbje ve sěr os (vědote si, proč), je ted p. (V.6) po sráže Podle zákona zahování hbnosti plne ted z (5) a (6) vztah z čehož, 4

5 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Rhlost částie ůžee ovše volit veli alo, resp. važovat liit (V.7). (V.8) je pak hotnost částie v klid, čili klidová hotnost částie. Při (8) je i (viz (4)) a rhlost částie :. Z (7) pak dostáváe výsledek (ísto píšee a ísto ; je klidová hotnost částie a ted i částie, protože jso stejné): (V.9) Tento vztah vjadřje závislost hotnosti na rhlosti. Částie (těleso), jež á v ineriální sostavě, v níž stojí, hotnost, á v ineriální sostavě, vůči níž se pohbje rhlostí velikosti, hotnost. (Pozn.: Odvození jse provedli jen pro rovnoěrně se pohbjíí částie, je však přirozené předpokládat, že hotnost částie je dána vztahe (8), i kdž se částie pohbje zrhleně. Jak vidíte dále, poks tento předpoklad potvrzjí.) K výše vedené odvození vztah (8) b ohl nedůvěřivý čtenář naítnot, že jse požili poze -ové složk hbnosti. Nevedla b práe s -ovo složko k jiné výsledk? Nevedla, jak se ůže čtenář sá výpočte přesvědčit; výpočet b bl poze o álo delší a je třeba vžít i zákona zahování hotnosti ( ). Odvození nesí být ani vázáno na srážk ideálně nepržno i z rozbor ideálně pržné srážk, která b vpadala tak, jak kazje obr.v.3., lze vztah (8) odvodit, a to v podstatě stejný postpe, jaký jse požili výše. Obr. V.3. Ideálně pržná srážka dvo stejnýh části 5

6 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Obeně platí, že platí-li (8) a (), tj. hbnost částie (tělesa) pohbjíí se rhlostí je dána vztahe p (V.) jso zákon zahování hbnosti spol se zákone zahování hotnosti invariantní vůči Lorentzově transforai tj. platí-li v jedné ineriální sostavě, platí ve všeh. Vhovjí ted speiální prinip relativit. ) Transforae hbnosti Ověřit to není ostatně ni obtížného. Uvažje ineriální sostav S a S ; S nehť se pohbje vzhlede k S ve sěr os rhlostí v. (Tj. jde o standardní sitai.) Ze vztahů (IV.4) pro transforai rhlosti: v v,, z v v ůžee vpočíst z a po úpraváh ověřit vztah (zkste si to!) (V.) v v (V.) V sostavě S jso hotnost a hbnost částie dán vztah (8) a (); v S bde saozřejě a p. (V.3) Pooí () a () lze dosazení do (3) vjádřit a p pooí a, resp. a p, čili získat transforační vztah pro hbnost a hotnost částie: p p p z p p p z v v (a) (b) (V.4) () v p v (d) 6

7 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Tto vztah bho také ohli nazvat Lorentzovo transforaí hbnosti a hotnosti. Porovnání s Lorentzovo transforaí sořadni (III.3) ostatně káže zajíavo sktečnost: sořadnie hbnosti a hotnosti: stejně jako,, z a t. p, p, p a se při Lorentzově transforai transforjí z Proč to tak je, pohopíe lépe v kap.viii. Celková hbnost sostav části je dána sočte hbností jednotlivýh části a totéž platí i pro hotnost. Sečtee-li vztah (4) zapsané pro jednotlivé částie, získáe na levé straně elkovo hbnost a hotnost sostav části v S a na pravýh stranáh bdo vstpovat elková hbnost a hotnost v S. Vztah (4) ted platí i pro elkovo hbnost a hotnost sostav části. (Čtenář si ůže předhozí úvah podrobně rozepsat pro sostav dvo části, ab ověření blo názornější.) Nní je jasné, že platí-li zákon zahování hbnosti a hotnosti v S (tj. složk p, p, pz, se neění), neění se ani složk p, p, p a hbnost a hotnost se ted zahovává i v S. z Připoje ještě poznák, týkajíí se význa hotnosti. Vztah (5) jasně kazje, jak nesprávná b bla naivní představa, že hotnost částie je dána nožství látk či nějaké sbstane nalité do částie. Urhlíe-li částie, její hotnost vzroste, přestože jse do ní ni nepřilévali ; naví v různýh sostaváh sořadni je hotnost téže částie (do níž b podle vedené naivní představ blo nalito dané nožství sbstane) různá. Opatrný čtenář ůže naítnot, že výše řečené se týká relativistiké hotnosti části. Neohla b být íro nožství sbstane v částii její klidová hotnost? Ta je přee ve všeh sostaváh stejná a při rhlování se neění! Mění se ovše při srážkáh resp. přesněji při nepržnýh srážkáh se nezahovává sočet klidovýh hotností části. Příklad vedee dále čl.v.5. V čebniíh fzik se saozřejě výše vedené pojetí hotnosti neobjevje. Může však ožná přetrvávat v názornýh představáh stdentů. Snad b blo i žitečné, kdb se příroda řídila poze newtonovsko ehaniko; tak to ovše není. V.3. Pohbová rovnie a její důsledk a) Pohbová rovnie Relativistiká pohbová rovnie částie sí splňovat dva základní požadavk: sí vhovovat speiální prinip relativit a pro alé rhlosti částie sí přeházet v. Newtonův zákon. Přito saozřejě sí dát ožnost vpočítat pohb dané částie (s daný ) je-li zadáno silové působení na částii (síla F ). 7

8 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Výše jse již odvodili vztah pro hbnost částie p platný ve speiální teorii relativit (vztah ()). Zobenění. Newtonova zákona je pak nasnadě: v rovnii dp prostě za p dosadíe relativistiko hbnost (): F (V.5) d F (V.6) Vztah (5) resp. (6) je ted relativistiká pohbová rovnie částie. d To, že pro přehází (6) v klasiký. Newtonův zákon F, je elke zřejé, resp. lze to jednodše dokázat. Dosd jse však nedokázali, že (6) vhovje speiální prinip relativit. Názorněji to vidíe v kap.viii. Můžee ovše vjít z transforae hbnosti (4) a ověřit, že je-li dp F v sostavě S, je též dp F v sostavě S. Přesněji řečeno, zjistíe tí vjádření F pooí F ted transforai síl. (Při Galileiho transforai je F F. Na to se ovše ůžee spolehnot jen při alýh rhlosteh. Je-li hotnost částie z hlediska různýh ineriálníh sstéů různá, proč b to tak neohlo být i se silo?) b) Práe síl na částii: esta k E = Nejprve ovše odvodíe z pohbové rovnie důležitý důsledek. Bde se týkat energie částie, resp. práe, ktero síla F vkoná na pohbjíí se částii. Za čas t vkoná síla prái A F r F t, kde r je posntí částie za čas t. (Všehn přírůstk pokládáe za alé; nakone provedee liit t.) Práe A saozřejě zvýší energii E částie o E A F t, (V.7) jinak b bl naršen zákon zahování energie. Ze (7) po vdělení de t a liitě t plne F. (V.8) Do pravé stran (8) dosadíe F z (6). Po velk příočarýh úpraváh dostanee 8

9 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 d d d d de d F d Zěna energie částie s čase je ted a od integraí de d E K K (V.9) (V.) kde K je zatí neznáá konstanta, která saozřejě není vztahe (9) rčena. V klasiké fzie je obeně energie vžd rčena až na konstant; v následjíí článk si ale kážee, že ve speiální teorii relativit je přirozené volit K =. Energie částie pak vjde přío úěrná její hotnosti. Prozatí ůžee z () poze konstatovat, že přírůstek energie částie je úěrný přírůstk její hotnosti, ) Transforae síl E (V.) Vraťe se nní k invariantnosti pohbové rovnie a transforai síl. Rovnii která á platit v S, přepíšee do tvar dp F, d p F v t Ze vztah pro Lorentzov transforai t, t, získáváe derivaí v (V.) 9

10 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 v v, (V.3) kde jse vžili vztah podobného vztah (). Po dosazení (3) do () získáe F p nní vjádříe pooí p a (viz vztah (4.a)). Pro -ovo složk je z (4): Ovše dp dp d p v v v d p F F a z () a (8) plne Z (5) po dosazení plne d v (V.4) (V.5) d F (V.6) F F v F v Výraz F á jasno interpretai: je to výkon síl F působíí na částii (viz (8)). Dále ho bdee značit P: ozn F P. Naví vidíe, že ísto s F, P a F (a P F) bde výhodné praovat s veličinai F P F P F, P, F, P Transforae -ové složk síl pak dostane jednodhý tvar (V.7)

11 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 F F P v v (V.8.a) silně připoínajíí Lorentzov transforai sořadnie. Není to náhodné. Pro -ovo a z-ovo složk síl dá (4) (po dosazení (4) a vžití (7)) výsledek F F (V.8.b) z F F (V.8.) ~ P Čtenáře b teď ohlo napadnot, zda se náhodo také netransforje stejně jako d sořadnie t. Příočarý výpočet vžívajíí (6) (a analogikého vztah pro ), (3), (4.d) a vztah dp F to potvrdí: d d P F čili (viz označení (7)): v v p F F d v v PvF P (V.8.d) v ~ ~ Proč se F a P transforjí právě tak a jaký je jejih význa si kážee v kap.viii. Již teď ná snad ale vztah (8) oho připadat veli rozné a přirozené. Vždť o bho vlastně ohli čekat jednodššího než vztah, které se praktik neliší od Lorentzov transforae. (A které pro v saozřejě přeházejí v F F a P P F v.) Pozn.: Pozorný čtenář se na toto ístě ůže zeptat: Splňje třeba Lorentzova síla F qe B působíí na nabito částii v elektroagnetiké poli sktečně transforační vztah (8)? To jse přee dosd neověřili! Náitka je oprávněná doposd jse poze kázali, že síla se sí transforovat podle vztahů (8), ab bla pohbová rovnie invariantní vůči Lorentzově transforai. Pro každé važované silové působení ovše síe ověřit, že je to opravd tak. Oezíe se zde na elektroagnetiké působení dané Lorentzovo silo. (Gravitační působení ve speiální teorii relativit nevažjee, silná a slabá interake b nás zavedla do relativistiké kvantové teorie pole.) Že se Lorentzova síla sktečně transforje podle (8) bdee oi ověřit, jakile z

12 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 v následjíí kapitole odvodíe transforační vztah E a B, vhodnější ovše bde s ověření počkat do kap.viii, kde bde dík požité foralis veli jednodhé. První Newtonův zákon patří k pilířů speiální teorie relativit.. Newtonův zákon je zobeněn v relativistiko pohbovo rovnii. Jak je to s platností 3. Newtonova zákona v rái speiální teorie relativit? Jednodhá úvaha ná káže, že pokd částie, které na sebe působí, nejso na totéž ístě (tj. nejde-li o srážk), 3. Newtonův zákon obeně platit neůže. Uvažje částii nabito náboje Q (> ) stojíí v ineriální sostavě S a ve vzdálenosti r od ní dvě spojené částie a 3 s náboji q a q (q > ) rovněž stojíí v S viz obr.v.4.a. Obr. V.4. K neplatnosti 3. Newtonova zákona ve speiální teorii relativit Předpokládeje, že všehn částie jso v klid dostatečně dloho. Pak je pole, které bdí ve své okolí, elektrostatiké, a síl, jiiž na sebe částie působí, lze rčit z Colobova qq zákona. Síla, ktero částie působí na částii je F a r ; síla, ktero působí 4 r qq na je F a r F. 4 r Nehť se ale v rčité okažik, řekněe t, částie a 3 rozletí tak, jak to kazje obr.v.4.b. Mezi částiei ohla být třeba stlačená pržina, držená v stlačené poloze nití. V dané okažik se nit přetrhla. Částie se blíží k částii a dostává se tak do íst, kde je intenzita pole bzeného. částií všší. Proto bde síla, jíž částie (přesněji pole bzené částií ) působí na všší než dříve (pro t ): F qq 4 r K částii ůže ovše jakýkoliv rozrh elektroagnetikého pole, inforjíí o to, že poloha a rhlost části a 3 se zěnil, dojít nejdříve až za dob r/. Do té dob se proto síla, jíž na působí pole bzené částií, nezění: Qq F pro t r. 4 r

13 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Je ted F F, prinip ake a reake neplatí. Podobně je to i ezi částiei a 3. Dokone i sočet sil, jiiž částie a 3 působí na (jenž je saozřejě F F3 pro t r ) není roven (-) krát sočet sil, jiiž působí na a 3, jak ůže čtenář snadno ověřit. Ostatně, ž saa forlae prinip ake a reake je z hlediska speiální relativit nekorektní jde-li o částie, které nejso na téže ístě. Tvrdí totiž, že síla, ktero částie působí na částii, je stejně velká a opačného sěr jako síla, ktero ve stejné okažik působí částie na částii. Stejný okažik v jedné ineriální sostavě znaená ovše obeně v různýh časeh v jiné ineriální sostavě Prinip ake a reake ted ůžee rozně forlovat jen pro částie, které jso v dané okažik na téže ístě např. při sráže části. V to případě, stejně jako v newtonovské ehanie, vede spol s pohbovo rovnií k zákon zahování hbnosti. (Rozepište si dané odvození podrobně, abste si ho z klasiké ehanik připoněli.) Předhozí úvaha ná naznačila, který zákon síe ve speiální teorii relativit važovat naísto prinip ake a reake je to zákon zahování hbnosti, jehož platnost jse ostatně již disktovali a postlovali výše. Ovše nesíe važovat poze hbnosti části: ve výše vedené příklad je pro t < elková hbnost části nlová (všehn částie stojí), zatío pro t r je hbnost částie stále rovna nle, ale p p a á sěr spojnie 3 částie s částií. (Příslšno úvah zaneháváe čtenáři. Stačí si vědoit velikost sil působííh na a 3.) Příčina je ovše jasná: Částie interagjí s elektroagnetiký pole a to, o se zahovává, je sočet hbnosti části a hbnosti elektroagnetikého pole. V dané sitai pole přenáší hbnost od části a 3 k částii. V.4. Ekvivalene hotnosti a energie V předhozí článk jse kázali, jak přírůstek energie sovisí s přírůstke hotnosti části jinýi slov, jak energie části přispívá k její hotnosti (viz ()). Odvození blo provedeno pro pohbjíí se částie a čtenář b si proto ohl slet, že k hotnosti částie přispívá jen kinetiká energie. Ovše kinetiko energii lze přeěnit na jiné for energie. Má-li se přito zahovávat hotnost i energie (ož saozřejě sí), sí i jiné for energie přispívat k hotnosti. Ilstrovat to lze na příklad nepržné srážk dvo stejnýh části. Uvažje dvě stejné částie o klidovýh hotnosteh, které se pohbjí rhlosti proti sobě (viz obr.v.5.). Jejih hotnosti jso ted / / hotnosti M. Protože stojí, je jeho klidová hotnost. Ideálně nepržno srážko vznikne těleso M M. Obr. V.5. Ideálně nepržná srážka dvo stejnýh části 3

14 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Dík zákon zahování hotnosti je M M. (V.9) K hotnosti části před srážko přispívala jejih kinetiká energie. (Mohli jse je např. rhlit z klid až na rhlosti a ). Těleso vzniklé srážko je v dané sostavě v klid, takže jeho kinetiká energie je nlová. Energie saozřejě nezizela (platí zákon zahování energie), jen se přeěnila v jiné for. Částie, tvoříí těleso se ohl rozkitat, ato eitovat nebo ionizovat, ohl proběhnot heiké reake a část energie je energií heiko atd. jde prostě o různé for vnitřní energie tělesa. Vzniklé těleso á hotnost shodno se sočte hotností části před srážko a energii shodno se sočte energií části před srážko vnitřní energie tělesa nezávisle na její forě ted přispívá k jeho hotnosti stejně jako k hotnosti části přispívala jejih kinetiká energie: podle vztah: Vztah (): E. E K (V.3) (kde K je zatí nerčená konstanta) ted dává elkovo energii daného tělesa. Če se rovná konstanta K? Zdánlivě nejjednodšší b blo volit ji rovno E. Pro těleso v klid je, takže pak b energie bla a energie b ted pro bla rovna nle, tak, jak to znáe z klasiké kinetiké energie; tí b ná ohl být daný výraz blízký. Ovše pozor! Při dané volbě K b se energie nezahovávala! Nezahovává se totiž klidová hotnost (resp. sočet klidovýh hotností) viz např. (9). Zíněný výraz představje totiž poze kinetiko energii částie (obvkle označovano T): ta se nezahovává, neboť ůže přeházet v jiné for energie. T (V.3) Konstanta K v (3) ted obeně neůže obsahovat ; ohla b obsahovat jen t harakteristik částie, které se zahovávají. Takové harakteristik eistjí jso to např. náboj, baronové číslo atd. Ovše žádná eperientální fakta ani teoretiké úvah nesvědčí pro to, že b v energii části ěl být člen úěrný její náboji, baronové čísl apod. (Pak b se při stejné energii sela např. lišit hotnost částie a antičástie, ož se nepozorje.) Nelze ani jednodše odečíst pro každo částii třeba půl jol vždť počet části se při srážkáh ění. Zbývá ted nejpřirozenější předpoklad: K a ted E (V.3) 4

15 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 elková energie částie resp. tělesa je přío úěrná její hotnosti. Další úvah potvrzjí roznost tohoto předpoklad. Z (4) a (3) plne pro transforai hbnosti a energie částie při speiální Lorentzově transforai p p p z p p p z v E v (a) (b) () (V.33) E v p E v (d) takže p p, pz, E, se transforje stejně jako, z, t,. Později vidíe, že stejně se transforje i hbnost a energie elektroagnetiké vln a to je silný argent na podpor (3). Ze vztahů / /, p a (3) plne vztah ezi energií a hbností částie (zkste si odvodit): E p (V.34) veli žitečný ve fzie vsokýh energií. I tento vztah b bl složitější, kdb v (3) blo K. Naví i vztah (34) platí i pro elektroagnetiké záření, resp. pro foton je poze ntno dosadit. (Víeéně forálně proto říkáe, že klidová hotnost fotonů je nlová; forálně proto, že neeistje ineriální sostava, v níž b bl foton v klid.) V klasiké newtonovské ehanie bla energie rčena až na konstant. Výše jse vedli několik teoretikýh argentů pro to, že ve speiální teorii relativit je přirozené energii fiovat a přiřadit jí hodnot E. Jaksi lčk s tí sovisí představa, že elo hodnot této energie lze přeěnit v jiné její for. (Kdb bla jakákoli část energie z částie v prinip nedobtná, neělo b ssl ji zařazovat do energetiké bilane a ted s ní faktik počítat jako s energií.) Ted speiálně předpokládáe, že lze v jiné for přeěnit i klidovo energii Je tento předpoklad potvrzen eperiente? E (V.35) 5

16 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Z jaderné fzik víe, že je. Při štěpení ran nebo terojaderné sntéze hélia se volňje (ění v jiné for) část klidové energie jader o něo éně než jedno proento. Nejpřesvědčivější doklade je však anihilae pár částie-antičástie (např. elektronpozitron nebo proton-antiproton), při níž se volní veškerá klidová energie části. Vznikno totiž poze foton záření gaa, které ají klidovo hotnost nlovo. Naopak při kreai pár částie-antičástie se energie (resp. část energie) původníh fotonů gaa přeění v klidovo energii vznikajííh části. (Zbtek energie se přeění v jejih kinetiko energii.) V klasiké newtonovské ehanie bla energie rčena až na konstant proto, že až na konstant bla rčena poteniální energie (částie ve vnější poli). To nás ůže přivést k otáze: Jak je to s poteniální energií ve speiální teorii relativit? Jak to, že její nejednoznačnost neznaená nejednoznačnost elkové energie resp. vztah (3)? Důvod je jednodhý: Poteniální energie ve speiální teorii relativit k elkové energii částie vůbe nepřispívá; nepřispívá proto ani k hotnosti částie! Poteniální energie totiž vůbe není energie částie. Je to energie pole, které s dano částií interagje, resp. přesněji energie interake vnějšího pole s pole bzený dano částií. Příklade ůže být energie sostav dvo nabitýh části (s náboji Q, Q ). Jso-li částie v klid v dané ineriální sostavě S, je energie jejih interake E int. Q Q 4 r kde r je jejih vzdálenost. O této energii často lvíe jako o poteniální energii náboje Q v poli náboje Q ; právě tak však o ní ůžee lvit jako o energii náboje Q v poli náboje Q. Je-li poloha některého z nábojů v sostavě S pevně fiována, ůže takovýto přístp pooi při řešení příkladů. Při obeně se pohbjííh nábojíh však selhává: náboje oho vzařovat elektroagnetiké vln a do elkové energetiké bilane síe ntně počítat energii elektroagnetikého pole, tj. energii, rozloženo (ve vak) s hstoto w E H (V.36) Počítat s energií pole obeně, ale ve speiální případě elektrostatikého pole říi, že tato energie nepříslší poli, ale náboji (zvláště kdž v případě dvo stojííh nábojů ani nevíe, které z nih energii přiřadit), b blo zřejě nepříliš konzistentní. (Představte si, že pro t b bl náboje v klid a pak bho s nii začali pohbovat.) Je proto přirozené připsat energii interake nikoli částií, ale elektroagnetiké poli, jehož prostřednitví částie interagjí. Elektroagnetiké pole je i nositele odpovídajíí hotnosti E int. /. Jaký je význa vztah E? 6

17 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Rozhodně není pravda, že b vjadřoval přeěn hotnosti v energii nebo naopak. Při anihilai elektron a proton nezizí hotnost, ab se přeěnila v čisto energii záření (resp. fotonů). Vzniklé foton ají dohroad ttéž hotnost, jako ěl (dohroad) elektron a proton. Anihilaí ovše vznikl částie s nenlovo klidovo hotností. Ale o té není ve vztah E ani zínka. Vztah E prostě znaená, že jakýkoli objekt (těleso, sostava části, pole v rčité oblasti ), který á hotnost, á i odpovídajíí energii E a naopak. Energie s hotností spol sovisí tak těsně, že rozdíl ezi nii je vlastně jen ve volbě jednotek. Historik se ovše k pojů hotnost a energie dospělo různýi estai: Hotnost bla zavedena jako harakteristika setrvačnýh vlastností těles (odpor vůči rhlování) a saozřejě účinků gravitačníh; energie bla hápána jako veličina, jejíž zěn odpovídají vkonané prái, (ehaniká energie) a pak se obsah tohoto poj rozšiřoval a zahrnoval i další for energie. Speiální teorie relativit nás přivedla k poznání, že hotnost a energie vstihjí v zásadě ttéž harakteristik částie (tělesa). Poinee-li konstantní faktor (daný jen volbo jednotek, eistjí sostav jednotek, v nihž je ), ohli bho dokone říi, že: z hlediska teorie relativit hotnost a energie jso jedno a totéž. Z tohoto hlediska je saozřejé, že zákon zahování hotnosti a zákon zahování energie je jeden a tentýž zákon. V běžné životě, tehniké prai a i řadě odvětví fzik á ovše význa energii a hotnost rozlišovat. (Praktik vžd, kdž zěn energie jso alé oproti klidové energii těles. Jistě nebdee nakpovat hleba na iliard iliard jolů.) Právě tak to bde i ve výe na školáh, kd se žái a stdenti s fziko a s poj hotnost a energie teprve seznají. Není ale důvod, proč b se středoškolák v závěr stdia při seznaování se speiální teorií relativit neohl dopraovat k pohopení fakt, že podobně jako nahlížíe jednotně na optiké a elektroagnetiké jev (i kdž optika je saostatno sočástí fzik), ůžee jednotně pohlédnot i na hotnost a energii. Tí jse se dostali k otáze o říi o ekvivaleni hotnosti a energie na středoškolské úrovni. Jistě zde nebdee pravovat pohbovo rovnii apod. Lze však kázat, že pro alé rhlosti částie je její hotnost Ekin. newt. (V.37) takže kinetiká energie stdentů dobře znáá z newtonovské ehanik přispívá k hotnosti částie (s faktore ). (Pozn.: Potřebné vztah pro úprav: a platné pro lze stdentů přiblížit různýi způsob první třeba onění na drho a drhý pooí sočt geoetriké řad; z obo způsobů je zřejé, o se zanedbává. Naví dnes ve věk kalklaček lze důvěr stdentů v tto vzore posílit i tí, 3 že zkso spočto jejih levo i pravo stran např. pro, atd.) 7

18 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Pak lze na příklad hotnostního defekt jader kázat, že i klidová hotnost sovisí s energií (zěně odpovídá zěna energie je pak vztah E tento výsledek. ). Přirozený zobenění těhto úvah. Anihilae části je pak zřejě nejpádnější argente potvrzjíí Pokd b vztah E bl spíše postlován, je vhodné postpe analogiký (37) přiblížit stdentů poje elkové energie v případě alýh rhlostí pohb částie ( ): E, tj. spojit ji elkovo energii E se znáo kinetiko energií newtonovské ehanik. Saozřejě je třeba pozornit, že zěn energie, kterýh dosahjee v běžné prai, jso zanedbatelně alé v porovnání s klidovo energií. A že právě to je důvod, proč běžně nepozorjee, že b se se zěno energie ěnila i hotnost objektů a v nerelativistiké fzie važjee zvlášť zákon zahování hotnosti a zákon zahování energie. I při štěpení jader a terojaderné sntéze se klidová hotnost ění jen o neelé jedno proento. Při heikýh reakíh je to víe než o šest řádů éně. Ve fzie vsokýh energií ovše ůže elková energie části nohonásobně převýšit jejih energii klidovo; vztah E je pak nezbtný. Je podstatný i v řadě partií astrofzik a konečně i v již zíněné jaderné fzie. V.5. Pohb části v jednodhýh případeh Důsledk relativistiké dnaik teď bdee ilstrovat na několika jednodhýh příkladeh. a) Nabitá částie v hoogenní elektriké poli Síla působíí na částii s náboje q v hoogenní elektriké poli o intenzitě E je F q E. (Platí obeně i v STR, jak si ověříe v kap.viii.) Pohbová rovnie v toto případě je Její integraí podle čas t dostanee kde K je konstanta. d qe. (V.38) qet K, (V.39) Pro jednodhost se oezíe na případ částie pohbjíí se příočaře ve sěr E. Bez új na obenosti pak ůžee předpokládat, že částie v čase t stála (tj. blo ); 8

19 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 v (39) pak K. Zvole os ve sěr E. Pak zřejě,, prostě a podobně E ísto E. X-ová složka rovnie (39) je pak qe t, z čehož ůžee po úpraváh (proveďte je!) vjádřit jako ; ísto bdee psát qe t qet (V.4) Vidíe, že pro alé hodnot t vzrůstá rhlost lineárně s čase (jako klasiký rovnoěrně zrhlený pohb), zatío pro t je. To připoíná hperboliký pohb a sktečně, porovnání (4) se vztahe (IV.33) vidíe, že jso totožné, přičež zrhlení částie v sostavě, v níž oentálně stojí, je qe A. (V.4) (Nebde nás to nijak překvapovat, až v příští kapitole odvodíe, že při speiální Lorentzově transforai je E E.) Závislost sořadnie částie na čase teď již ůžee vpočíst podobně jako v případě hperbolikého pohb, resp. žít přío vzore (IV.34) s výsledke qe t qe. (V.4) Charakter pohb jse již v článk IV.4. podrobně rozebrali. Nní vidíe, že hperboliký pohb není jen ěle všlený příklade, neboť vstihje pohb nabité částie v hoogenní elektriké poli např. v poli lineárního rhlovače. Energii částie ůžee rčit tak, že z (4) vpočtee : qet a dosadíe do vztah W : qe W t (V.43) 9

20 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 (Energii zde výjiečně značíe W, neboť E t označje E.) Pro saozřejě ); pro t (kd ) je W. t ted W (a Porovnání (4) a (43) zjistíe, že W qe F. To je ale přirozené, neboť (viz (4)) W W t W F F t ; přírůstek energie částie je roven prái konstantní síl F po dráze t. b) Nabitá částie v hoogenní agnetiké poli Lorentzova síla působíí na částii s náboje q, které se pohbje rhlostí v hoogenní agnetiké poli o indki B, je F qb ; pohbová rovnie pro tento případ je ted d q B (V.44) Pro Lorentzov síl F platí v dané případě F B. Ze vztahů (8) a (9) pak plne, že d tj. daná Lorentzova síla na částii nekoná prái, takže energie částie (ani její hotnost) se při pohb v hoogenní agnetiké poli neění: konst. Pohbovo rovnii (44) ůžee ted zjednodšit ( vtkntí z derivae) na (V.45) d q B ˇ. (V.46) Další postp ž je vlastně stejný, jako v klasiké ehanie. Os z zvolíe ve sěr B : B,, B a rozepíšee (46) do složek: d d d z qb qb (a) (b) () (V.47) Ze (47.) plne z konst. Víe nás zajíá pohb v rovině. K jeho rčení zderivjee (47.a) podle čas a do pravé stran dosadíe (47.b). Dostanee

21 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 kde jse označili, (V.48) Řešení rovnie (48) je saozřejě kde U a jso konstant dané počátečníi podínkai. a vjádřit : Z (5) ůžee ověřit, že qb qb. (V.49) U os t, (V.5.a) teď ůžee dosadit do (47.a) U sin t. (V.5.b) U konst. (V.5) Integraí vztahů d / a d / pak z (5) získáe a : U sin t sin t qb U os t os t qb (V.5) (Při úpravě jse žili (49) a fakt, že krhový pohb s poloěre trajektorie R U. a jso konstant.) Vidíe, že jde o qb qb (V.53) s úhlovo frekvení dano (49). Výsledk lze aplikovat na pohb části v klotroneh a dalšíh krhovýh rhlovačíh. ) Poznák ke vztah relativistiké a klasiké dnaik Relativistiké vztah (49) a (53) se liší od odpovídajííh klasikýh vztahů jen tí, že je v nih klidová hotnost nahrazena relativistiko hotností. Totéž platí i pro vztah hbnosti ve speiální teorii relativit a newtonovské ehanie. Snadno b ohl vzniknot doje, že záěna za je klíče ke zěně vztahů klasiké ehanik na vztah speiálně relativistiké. Že to tak není, nás saozřejě přesvědčje třeba vztah pro energii částie. Ovše položíe-li otázk: Částie o klidové hotnosti se pohbje rhlostí a působí na ni síla F. Jaké je její zrhlení a?,

22 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 ůžee se často setkat s odpovědí Saozřejě F /, kde /. Představa, že síla je přío úěrná hotnosti, je v nás z klasiké ehanik silně zakořeněna a snad i spojena s představo či definií tp hotnost je íra setrvačnosti částie. Sitae ovše není tak jednodhá. Je-li síla kolá k rhlosti částie, F, nekoná na částii prái a energie a ted i d d hotnost částie se neění, takže a. (Viz předhozí článek.) V toto případě ted opravd F a. Je-li ovše síla rovnoběžná s rhlostí částie, F, hotnost částie se s čase ění d (viz (43)) a nelze ji prostě z derivae sěr rhlosti) d vtknot. Pohbovo rovnii (resp. její složk do F lze pravit provedení derivae na levé straně (za předpoklad konst. ) na 3 d vztah ezi silo a zrhlení je ted v toto případě a F, kde F, Takový je vztah ezi zrhlení a silo v lineární rhlovači. Míro setrvačnosti částie bho ted v dané případě ěli nazývat spíše ~ než. (Pozn.: Pro ~ se někd zavádí název longitdinální hotnost a pro transverzální hotnost. M zde dál tohoto označení požívat nebdee.) Pro obený sěr síl F (vzhlede k ) není zrhlení rovnoběžné se silo F (!). Čtenář si ůže tento výsledek odvodit sá jako žitečné vičení; naznačjí ho ostatně ž předhozí dva speiální případ. d) Pržné srážk: Coptonův jev Za ideálně pržno označíe srážk, při níž se částie, které se srážk zúčastní, nijak nezění speiálně nezění své klidové hotnosti. Příklade pržné srážk je Coptonův jev: foton s počáteční hbností srazí s elektrone (o klidové hotnosti i 3. p f a energií E f se e ), který bl před srážko v klid, tj. jeho hbnost

23 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 bla p e. Po sráže je hbnost foton ~ p f a energie energie E ~ e ; žádné další částie srážko nevznikají. (Viz. obr.v.6.) E ~ f, hbnost elektron ~ p e a jeho Obr. V.6. Coptonův jev. a) Sitae před srážko, b) Sitae po sráže Energie foton se srážko zění. Odvození vztah pro tto zěn již čtenář zřejě zná z atoové fzik, a proto ho jen rhle připoenee. Vhází se ze zákona zahování energie a ze zákona zahování hbnosti: Pro foton platí (viz (34)): a pro elektron před srážko E f Ee E f Ee (V.54) p f pe p f pe (V.55) E p, E p (V.56) f f f f po sráže pak obeně S vžití (58) lze (54) pravit na p E e, e e (V.57) E p (V.58) 4 e e e E E E f f e e p p p f f e a t pak onění na drho (a vžití (58) a toho, že na Násobení (6) z čehož p f ~ p f p 4 4 f f e f f e f f e e f ~ p f os - viz obr.v.6) E E E E E E p (V.59) p p p p os p (V.6) f f f f e, odečtení těhto vztahů a dosazení (56) dostanee E E os E E f f e f f 3

24 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 sin E E os E E E E f f f f f f e e (V.6) Pro foton je E h h /, čili E / h. Označíe-li vlnovo délk foton před srážko a ~ totéž po sráže, plne z (6) znáý výsledný vztah Podobně jako a p f. h sin (V.6) e E ~ f lze ze znáého vpočíst i energii odlétajíího elektron a úhel ezi ~ p e Poznaeneje ještě, že Coptonův efekt (resp. jeho eperientální ověření) je hápán jako jeden z důkazů kvantové povah světla. Ovše zěna energie nalétávajíí částie s nlovo klidovo hotností vztah (6) vplývá přío ze speiální teorie relativit a platí obeně, na kvantové teorii nijak nezávisí. (Vztah kvantové teorie jse požili až při úpravě (6) na (6).) Eperientální ověření platnosti (6) je pak ilstraí toho, že vztah speiální teorie relativit platí i v oblasti ikrosvěta, tj. že platnost speiální teorie relativit není oezena jen na nekvantovo fzik. e) Nepržné srážk: prahová energie Uvažje sitai, kd se částie o klidové hotnosti, hbnosti p a energii E srazí se stojíí částií o klidové hotnosti. (Viz obr.v.7.a; sostava, v níž srážk takto popisjee, nazvee laboratorní sostavo.) Srážk bdee považovat za ideálně nepržno, tj. vznikne jí nové těleso o klidové hotnosti M, jehož hbnost bde P a energie E. (Viz obr.v.7.b.) Obr. V.7. Ideálně nepržná srážka dvo části: a) sitae před srážko (v laboratorní sostavě) b) sitae po sráže (v laboratorní sostavě; vzniklé těleso se ůže rozpadat) ) sitae po sráže z hlediska sostav, v níž vzniklé těleso stojí 4

25 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 K če je takováto odelová sitae dobrá? Ze vzniklého tělesa ůže rozpade vzniknot řada jinýh části příklad znáe z fzik eleentárníh části, viz též další článek. Může vzniknot ovše je-li k dispozii dostatek energie. Sitae je nejnázornější z hlediska sostav, v níž je těleso vzniklé srážko v klid. Viz obr.v.7.. (V této sostavě je elková hbnost všeh zúčastněnýh části nlová; nazýváe ji proto těžišťovo sostavo.) Mají-li rozpade tělesa vzniknot částie 3,4,,n, je k to zřejě potřebná energie nejenší, pokd se vzniklé částie nebdo vůbe pohbovat (jinak b se část energie vplýtvala na jejih kinetiké energie). Potřebná energie je ted dána sočte jejih klidovýh energií 3 4 n Jediná energie, která je v těžišťové sostavě k dispozii, je klidová energie tělesa E. M Velikost E je ted podstatná pro rčení, zda rčitá reake (vznik dalšíh části ) ůže proběhnot nebo ne. Miniální velikosti E, při níž reake proběhne, odpovídá jistá energie nalétávajíí částie v laboratorní ssté. Tto energii nazýváe prahová energie reake. Je ovše E sostav části E? E E. Proč není pro vznik reake podstatná elková energie Odpověď je již čtenáři asi jasná: V laboratorní sostavě neoho být všehn vzniklé částie v klid (hbnost se sí zahovat) a část energie E se ted sí přeěnit v jejih kinetiko energii. Klíčové je ted rčení klidové energie E tělesa vzniklého srážko. Problé bdee řešit v laboratorní sostavě, v níž znáe paraetr části před srážko. Vjdee opět ze zákona zahování hbnosti a ze zákona zahování energie: p E E Uonění (64) na drho a vžití (34) dostanee z čehož dále P (V.63) (V.64) E E E P M 4 4 p E P M (V.65) Z (63) ovše plne p. (65) ted po úpravě dá P E M E (V.66) 4 4 5

26 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 (Pozn.: Tentýž výsledek bho dostali ze vztah M M U /, kd U je rhlost P vzniklého tělesa, E /, pro niž platí M M E / a. Zkste si jako žitečné vičení i tento způsob odvození (66).) U a M je jeho hotnost, kde Získaný vztah (66) b blo ožno dále pravovat. Lze např. vjádřit E pooí kinetiké energie. částie, vpočíst rhlost. částie nezbtno k to, ab E dosáhla dané hodnot (veli lehe lze vjádřit / / ) atd. Zde se oezíe na případ, kd energie E nalétávajíí částie je podstatně větší, než klidová energie obo části: E, E. Pak lze v (66) zanedbat pod odonino všehn člen kroě posledního a E E (V.67) Tento vztah jasně kazje nedostatek společný vše rhlovačů, v nihž se prode části ostřelje nehbný terčík: Má-li se energie vžitelná pro vznik novýh části či obeně reake eleentárníh části zvýšit, je třeba energii nalétávajííh části zvýšit 4. Proto jso tak výhodné rhlovače s tzv. vstřínýi svazk, v nihž se rhljí dva svazk části o téže klidové hotnosti a nakone se všlo proti sobě. Rhlosti (i hbnosti) části jso pak o do velikosti stejné ovše opačného sěr; těžišťová sostava ted splývá s laboratorní a pro další reake se vžije vžd elé energie obo nalétávajííh části, tj. je zde E E E E V.6. Eperientální ověření a aplikae relativistiké dnaik K ověření relativistiké dnaik je ožné podotknot totéž, o k ověřování kineatik: jednotlivé efekt jso vzájeně propojen. Například ěření rhlosti elektronů rhlenýh daný elektriký pole ověřjee relativistiko pohbovo rovnii, ale tí sočasně i závislost hotnosti na rhlosti. Zároveň tí vlastně ověřjee i závislost energie na rhlosti a sovislost hotnosti a energie (viz (43) a následjíí disksi). Ověřování Coptonova jev potvrzjee výsledek, který závisí na platnosti jak zákonů zahování energie a hbnosti, tak relativistikého vztah ezi energií, hbností a klidovo hotností částie. Relativistiko dnaik lze v pravé slova ssl označit za prověřeno nejen několika eperient, ale i rozsáhlo praí. Snad nejpřesvědčivější argente v její prospěh je eistene velkýh rhlovačů části a to, že fngjí tak, jak bl vprojektován podle výpočtů vházejííh z relativistiké dnaik. Relativistiké efekt zde přito zdaleka nejso nějakýi opravai k newtonovský vztahů: faktor / / je často >>. Největší sočasný rhlovač (LHC) prodkoval proton s energií řád 35 GeV; přito klidová energie proton ne zhrba GeV, takže 35. U elektronů činí dosahovaná energie asi 3 GeV a E.5 MeV, takže dosahje až 4 6 (!!!). Kdb vztah 6

27 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 relativistiké dnaik bl nesprávné, rhlovače b prostě nefngoval, nevlétla b z nih ani jediná částie s požadovano energií Vztah relativistiké dnaik se s úspěhe požívají i při rozbor srážek rhlenýh části s částiei terčík, při interpretai prodktů srážk atd. V obrovské nožství eperientů každoročně prováděnýh ve fzie eleentárníh části neblo zjištěno, že b tto vztah bl naršen. Pro ilstrai ůžee vést eperient, při něž dohází ke sráže dvo deteronů (jader deteria, H ). Jeden deteron před srážko stál, drhý se pohboval se znáo kinetiko energií. Srážko vzniká proton (jádro vodík, H ) a jádra tritia. Reake ůže dát i jiné prodkt, ale pro eperient bl zajíavý právě tento případ. V eperient bla ěřena energie těh protonů, které při dané reaki odlétal kolo na sěr přilétávajííh deteronů. (Viz obr.v.8; v eperient saozřejě dopadá svazek deteronů na terčík z deteria.) Obr.V.8. Reake H H H 3 H Ze zěřenýh kinetikýh energií H a H a ze znáýh klidovýh hotností H a H (zěřenýh hotový spektroetre) lze na základě zákonů zahování energie a hbnosti a vztah ezi energií, hbností a rčit klidovo hotnost vzniklého jádra tritia. Z eperient vhází (při vjádření hotnosti v atoovýh hotnostníh jednotkáh): 3 3,656,5. 5 H výpoč Klidovo hotnost jádra tritia lze ovše nezávisle rčit hotovo spektroskopií. Ta dává 3 3, H zěř Obě veličin se shodjí s přesností lepší než 5. Ekvivalene hotnosti a energie je základe pro rčení vazebné energie jader z jejih hotnostního defekt. Naršení tohoto vztah neblo zjištěno při žádné z proěřovanýh či rozpadů ani při žádné ze zkoanýh jadernýh reakí. Jeho platnost bla potvrzena i při anihilai elektron-pozitronovýh párů nebo saovolné rozpad ezon na dva foton záření gaa a naopak i při kreai části z gaa záření. 7

28 K přednáše NUFY97 Teorie relativit prozatíní čební tet, verze V. Relativistiká dnaika Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 5 Jaké aplikae á relativistiká dnaika? Řada z nih již bla výše zíněna. Ve fzie eleentárníh části (resp. poněkd přesněji: ve fzie vsokýh energií) jso to nejen výpočt pohb části v rhlovačíh, ale zejéna zela saozřejé vžití při vhodnoování a interpretai naěřenýh dat. Pro jaderno fzik á význa předevší vztah E ; z hotnostního defekt jader lze pak vpočíst energii, která se ůže volnit při různýh jadernýh reakíh. Speiální teorie relativit ovše neříká ni o to, zda ta či ona reake ůže sktečně probíhat a s jako pravděpodobností. ( Ve hře jso i jiné zákon než jen zákon zahování energie.) Proto b blo přehnané označovat třeba atoovo bob za důsledek teorie relativit, i kdž v některýh poplárníh líčeníh se to téěř takto předkládá. V astrofzie se relativistiká dnaika platňje jednak nepřío přes jaderno fzik (stabilita nklidů) a jednak přío v astrofzie vsokýh energií. Ta se týká nejen trsků (jetů) tak eotikýh objektů jako jso kvasar (v nihž se rhlost vršťované látk blíží rhlosti světla), ale i třeba kosikýh paprsků. Vždť v kosikýh paprsíh bl zjištěn částie s energiei až ev (tj. řádově J)! Dosti negativní aplikační výhled nabízí relativistiká dnaika perspektivě ezihvězdnýh letů, tak oblíbenýh ve si-fi. Při těhto leteh b se rhlost raket sela blížit rhlosti světla. Energie, ktero b blo třeba raketě dodat, ab se rhlila na tto rhlost, b pak ovše bla srovnatelná nebo všší než její klidová energie. Při raketě o hotnosti pohýh 3 kg b to přestavovalo J. Naví b blo třeba rhlit i palivo, ntné na brzdění íle est, nelvě o návrat. Ab blo ožno létat sktečně daleko, blo b třeba ; pak se ovše potřebná energie ještě násobí. I v případě hpotetiké fotonové raket b bl poěr hotnosti paliva a žitečného náklad neúnosný. (Viz též dodatek H.) A to se neziňjee o to, jako energii b v sostavě raket ěl částie ezihvězdné látk (a s jako b narážel do její přídě) Daleké ezihvězdné let na rhlýh fotonovýh raketáh ted zřejě zůstano v oblasti fantazie. 8