Dilatae času 1 Na kosmiké lodi zdalujíí se od Země ryhlostí,1 probíhal určitý děj, který podle měření účastníků letu tral jednu hodinu Jak dlouho trá tento děj pro pozoroatele na Zemi? Je možné, aby děj trajíí na kosmiké lodi 1 hodinu tral pro pozoroatele na Zemi 1 hodin? Čas t je lastní čas trání děje probíhajíího na kosmiké lodi Z ronie t t t po dosazení za t a pak yplýá t 1, 5h Z ronie t t kde t 1 h a t 1 6 dostááme t 1 6 1 t β a 5 1 1 Odtud yplýá (1-51 -1 ) - 1,51-4 ms -1 Děj, který trá na kosmiké lodi jednu hodinu, může trat na Zemi 1 6 h, jestliže se loď pohybuje ryhlostí jen o 1,51-4 ms -1 menší než ryhlost sětla Let letadla pohybujíího se ryhlostí 1 km h -1 tral podle palubníh hodin 1 hodinu Vypočtěte, jak dlouho tral tento let z hlediska pozoroatele na Zemi Ryhlosti 1 kmh -1, kms -1 1-6 odpoídá Lorentzů koefiient 1 5 1 Ze ztahu t t pak yplýá, že děj trajíí letadle 1 hodinu trá pro pozoroatele na Zemi 1, 5 h 1h Příklad názorně dokládá, že při ryhlosteh, s nimiž se setkááme běžném žiotě, lze položit t t
Kontrake délek 1 Na kosmiké lodi zdalujíí se od Země konstantní ryhlostí je umístěna e směru pohybu tyč o lastní déle 1 m a) Jaká je délka této tyče pro pozoroatele na Zemi, jestliže se loď zdaluje ryhlostí,1? b) Je možné, aby tyč, která má na kosmiké lodi délku 1 m, měla pro pozoroatele na Zemi délku 1 mm? a) Vlastní délka tyče je l 1 m l Délka této tyče zhledem k Zemi je l l,995 1m,9 m b) Z ronie l l, kde l 1 - m a l 1 m, dostááme l 1 m 1 m l 1 a odtud 7 7 5 1 5 1 1,5 1 m s -1 Tyč, která má na kosmiké lodi délku 1 m, má zhledem k Zemi délku 1 mm, jestliže se pohybuje ryhlostí jen o 15 m s -1 menší, než je ryhlost sětla V letadle letíím ryhlostí 1 km h -1 leží e směru jeho letu tyč o lastní déle 1 m Jaká je délka této tyče zhledem k Zemi? Pro ryhlost délka l je tedy 1 1 6 1 km h, km s 1 dostááme 1 ( 5 1 ) 1 1 1 5 1 l l m,999 999 999 999 5 1 m Hledaná Délka tyče zhledem k Zemi je tedy s elkou přesností opět 1 m Příklad ukazuje, že kontrake délek se při ryhlosteh dopraníh prostředků praktiky neprojeuje Tím lze ysětlit, proč si každý z nás ytáří již mládí předstau o absolutnosti délky Těleso, které má klidoé soustaě tar kryhle, se pohybuje e směru osy x ronoměrně přímočaře ryhlostí kolmou na stěnu kryhle Velikost ryhlosti kryhle je,95, klidoá délka její hrany a 1 m Určete objem tělesa e ztažné soustaě K, zhledem k níž se těleso pohybuje ryhlostí
Kryhle má klidoé ztažné soustaě K objem V a Hrana tělesa e směru jeho pohybu je soustaě K kratší než soustaě K a u příčnýh rozměrů kontrake nenastáá Z hlediska pozoroatele soustaě K je tedy pohybujíí se těleso kádr o objemu V ab Poněadž a a, b a a a a, je hledaný objem kádru a V V ab a,1 m Z příkladu yplýá, že tar tělesa a jeho objem jsou zhledem k olbě ztažné soustay relatiní Poznámka: V některýh případeh se délka l označuje pouze l Pak l je ždy délka tyče klidu (případně lastní délka pohybujíí se soustaě) a l je délka měřená nějším pozoroatelem Relatiistiké skládání ryhlostí 1 Těleso se pohybuje zhledem k ztažné soustaě K ryhlostí u /4 souhlasně orientoanou s osou x ; stejnou ryhlostí se pohybuje soustaa K zhledem k soustaě K Určete ryhlost tělesa zhledem k soustaě K Pro ryhlost u' a neplatí tomto případě podmínky «a «, a proto při řešení příkladu nelze použít klasiký zákon pro skládání ryhlostí Z relatiistikého ztahu + u dostááme + 4 u 4 4, 96 9 5 16 Výsledná ryhlost u je opět menší než ryhlost sětla e akuu Použití klasikého zákona skládání ryhlostí by edlo tomto případě k nespránému ýsledku u k + + 1, 5 4 4 Z letadla letíího ryhlostí 1 km h -1 byla e směru letu ystřelena střela ryhlostí km h -1 (zhledem k letadlu) Určete ryhlost střely zhledem k Zemi
Obě ryhlosti 1 km h -1 a u' km h -1 jsou e sronání s ryhlostí sětla elmi malé; při řešení příkladu lze proto použít klasiký zákon skládání ryhlostí u u + km h -1 + 1 km h -1 km h -1 Relatiistiký ztah pro skládání ryhlostí ede ke stejnému ýsledku 1 1 + 1 km h + 1 km h u 999,999 999 995 km h -1 km h -1, 6 1 u 1 km h jeho použití je zde šak zbytečné Relatiistiká dynamika 1 Letadlo o klidoé hmotnosti t letí ryhlostí 1 km h -1 zhledem k Zemi Vypočtěte přírůstek jeho hmotnosti Pro ryhlost 1 km h -1, km s -1 1-6 dostááme hmotnosti letadla je tedy 5 1 1 ; přírůstek m m m m 4-1 8 ( 1) 1 kg 5 1 m m 1 Výpočet ukazuje, proč běžném žiotě nezjišťujeme přírůstek hmotnosti tělesa při jeho rostouí ryhlosti Při malýh ryhlosteh oproti je totiž přírůstek hmotnosti elmi malý, takže hmotnost tělesa můžeme s dostatečnou přesností poažoat za konstantní V uryhloači získal elektron ryhlost,999 999 9 Vypočtěte jeho relatiistikou hmotnost a poronejte ji s klidoou hmotností protonu m p 1,67 1-7 kg Klidoá hmotnost elektronu m 9,1 1-1 kg kg Poněadž β,999 999 9, je β 8 1 relatiistikou hmotnost elektronu m pak dostááme 8 a tedy,5 1, pro hledanou m m m,51 9,11-1 kg,51-7 kg Hmotnost elektronu je při této ryhlosti ětší než klidoá hmotnost protonu
Hustota zářiého toku Slune e střední zdálenosti Země od Slune r 1,5 1 11 m je určena solární konstantou K 1 7 W m - Zjistěte elkoou energii yzářenou Slunem za jednu sekundu a úbytek hmotnosti Slune za tuto dobu Solární konstanta říká, že na každý čterečný metr, který nastaíme kolmo slunečním paprskům, dopadá ýkon 1 7 W, tedy každou sekundu 1 7 J (z toho umí čloěk slunečníh elektrárnáh získat a 1 % elektriké energie, tj z jednoho metru asi 1 W) Odtud lze ypočítat, kolik energie každou sekundu yšle Slune, pokud íme, jakou plohu má koule o poloměru 1,5 1 11 m (na každý čterečný metr této plohy připadá 1 7 W a tedy každou sekundu 1 7 J): π π 11 6 ( 1,5 1 m) 1 7 W m 1 s,75 1 E 4 r K t 4 J Úbytek hmotnosti Slune za tuto dobu je tedy 6,75 1 J m E 4, 1 16 9 1 m s 9 kg Výpočtem snadno zjistíme, že úbytek hmotnosti Slune za jeden rok je asi 1,1 17 kg Tento úbytek je ale poronání s elkoou hmotností Slune ( 1 kg) elmi malý