6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1

6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy Obsah 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1 6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese).......... 3 6.2 Panelová data......................................... 5 6.2.1 Panelový model s fixními efekty........................... 5 6.2.2 Panelová data s náhodnými efekty......................... 6 6.3 Simultánní soustavy rovnic.................................. 6 6.3.1 Převod na redukovaný tvar.............................. 7 6.3.2 Maticové vyjádření simultánních soustav...................... 9 6.3.3 Problém identifikace................................. 10 6.3.4 Metody odhadu simultánních rovnic......................... 14 6.3.5 Klasická metoda nejmenších čtverců........................ 14 6.3.6 Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS)..................... 15 6.3.7 Dvoustupňový odhad MNČ............................. 16 6.3.8 Třístupňový odhad MNČ............................... 17 6.4 Dynamické simultánní rovnice................................ 18 Ve velké řadě ekonometrických aplikací (a nejenom v ekonometrických) je třeba vysvětlovat chování více vysvětlovaných veličin. Pokud mezi rovnice existuje další souvislost, například se jedná o kauzální vztah dvou proměnných, kdy v jedné rovnici vystupuje veličina v pozici vysvětlující proměnné a v druhé rovnici v pozici proměnné vysvětlované, je výhodné uvažovat o modelu jako o modelu soustavy rovnic a odhadovat parametry simultánně. V takovýchto případech se jedná o vícerovnicové soustavy. Jak uvádí [Cipra] lze k vícerovnicovým soustavám přistupovat i z hlediska datové struktury. Typickým příkladem datové sady pro ekonometrickou analýzu jsou data, která zachycují sadu proměnných, které jsou zároveň pozorovány v určitých časových intervalech (denní výnosy různých akcií, čtvrtletní HDP pro různé státy, ziskovost jednotlivých společností,....) U těchto dat dochází ke kombinaci průřezových informací (různé akcie, různé společnosti, různé státy,... ) a informací časových (jednotlivé burzovní dny, jednotlivá čtvrtletí,... ). Tato data jsou také nazývána poolová data a lze je popsat následujícím modelem y jt = α jt + x jt γ jt + ε jt, j = 1, 2,..., m, t = 1, 2,..., T, Var(ε) = Ω Pracujeme tedy s m vysvětlovanými proměnnými y 1, y 2, ldots, y m v rozdílných čase, celkem uvažujeme T časových jednotek. A dále předpokládáme, že v modelech je absolutní člen α jt a k vysvětlujících proměnných x 1jt, x 2jt,..., x kjt. Tento model je velmi obecný a pro odhad nevhodný, protože obsahuje více parametrů než je počet měření, která máme k dispozici. Počet parametrů je p m T vystupujících v lineární vazbě a m T (m T + 1)/2 je počet parametrů ve varianční matici. Počet měření, které máme k dispozici je pouze m T. V praxi se tedy používají speciální případy tohoto obecného modelu SUR soustavy, kdy α jt = α j, γ jt = γ j pro všechny t = 1, 2,..., T, 1

panelová data, kdy uvažujeme stejnou časovou stabilitu parametrů z lineární vazby jaku u SUR a dále navíc uvažujeme, že varianční matice je diagonální s konstantami na diagonále, simultánní soustavy, kdy předpokládáme, že část vysvětlovaných proměnných y j se zároveň objevuje v matici vysvětlujících proměnných x. Uvedeme několik příkladů použití vícerovnicových ekonometrických modelů: Příklad 1 - capital asset pricing model r it... výnos i-té akcie r ft... bezriziková sazba r mt... tržní výnos r it r ft = α i + β i (r mt r ft ) + ε it Příklad 2 I it... investice F it... tržní cena podniku C it... hodnota výrobních prostředků I it = β 1i + β 2i F it + β 3i C it + ɛ it 2

6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese) Uvažujme vícerovnicový model v následujícím tvaru s parametry α a γ konstantními v čase. y jt = α j + x jt γ j + ɛ jt j = 1, 2,..., m, kde náhodní složka modelu splňuje předpoklady (P1) E(ε it, ε jt ) = σ ij (P2) E(ε is, ε jt ) = 0 i, j = 1, 2,..., m s t Předpoklady tedy zachycují skutečnost, že náhodné složky jsou současně korelovány, ale nejsou časově korelovány, tímto požadavkem je právě zajištěno propojení rovnic. Pokud počet vysvětlujících proměnných x je k a označíme počet odhadovaných parametrů pro každou rovnici p = k + 1. m(m + 1) Počet parametrů soustavy je p m + 2 Zahrneme dále úrovňovou konstantu k parametrům γ a označme β = (α, γ 1, γ 2,..., γ k a přepíšeme model do následujícího tvaru y 1 x 1 0... 0 β 1 ε 1 y 2. = 0 x 2... 0 β 2....... + ε 2. 0 0... x m y m kde y j jsou vektory rozměrů T 1 zachycující hodnoty vysvětlovaných proměnných v jednotlivých časech, x j jsou matice rozměrů T p zachycující vysvětlující proměnné pro jednotlivá j (první sloupec této matice je jednotkový a koresponduje s úrovňovou konstantou α j modelu a zbylých p 1 = k zachycují vysvětlující proměnné. Vektory β j = (α j, γ 1j, γ 2j,..., γ kj ) jsou parametry lineární vazby pro j tou vysvětlovanou proměnnou a ε j je vektor residuálních složek modelu pro j tou proměnnou. Předpokládejme, že pro variační matici platí σ 11 I... σ 1m I σ 21 I... σ 2m I Var (ε) =..... = Σ σ m1 I... σ mm I Označme y = (y 1, y 2,..., y m ), ε = (ε 1, ε 2,..., ε m ) vektory vzniklé naskládáním jednotlivých vektorů do jediného sloupce a dále X blokově diagonální matici s bloky x 1, x 2,..., x m. Pak zapíšeme model ve tvaru y = X β + ε, který koresponduje s klasickým lineárním regresním modelem. Tento model však nelze odhadovat metodou nejmenších čtverců, protože náhodná složka ε nesplňuje předpoklady nezávislosti. Lze však použít zobecněnou metodu nejmenších čtverců s obecnou varianční maticí Σ. β m ε m 3

Zobecněný odhad má tvar b = (X T Σ 1 X) 1 X T Σ 1 y kde Σ je neznámá varianční matice. V praktických realizacích postupujeme dvoustupňově: 1. V první fázi odhadneme parametry modelu klasickým vztahem b 1 = (X T X) 1 X T y 2. dále na základě získaného odhadu, odhadneme varianční strukturu ˆΣ : σˆ ij = 1 T e it e jt T 3. odhadu varianční matice využijeme k zpřesnění odhadu b 1 a dostáváme ( 1 b 2 = X X) T ˆΣ 1 X T ˆΣ 1 y kroky lze případně i iteračně opakovat a dále tak zlepšovat odhad. Za předpokladů, které bývají v praxi obvykle splněny, je získaný odhad konzistentní, asymptoticky vydatný a s předpokladem normality též asymptoticky normální. t=1 ) b 2 N (β; (X T ˆΣ 1 X) 1 Tato metoda je použitelná, pokud m T, tj. počet rovnic odpovídající průřezovým jednotkám není větší než počet časových intervalů, která máme k dispozici. Odhady lze samozřejmě získat též postupným odhadem pro každou j tou jednotku, simultánně realizovaný odhad však není vydatný (nevyužívá všechny informace, které máme k dispozici). V případě, že je splněna jedna z následujících podmínek i) x j = x pro všechna j, ii) σ ij = 0 pro všechny i j lze použít MNČ pro jednotlivé jednotky samostatně a získat vydatné odhady. Nekorelovanost residuí lze přitom testovat, formulujeme nulovou hypotézu testovací kritérium má tvar T m 1 m i=1 j=i+1 H 0 : σ ij = 0, r 2 ij kde r ij = a při platnosti nulové hypotézy má asymptoticky χ 2 rozdělení, tj. σˆ ij σiiσjj T H0 χ 2 m(m 1) (ν = ) 2 Podobně lze testovat pomocí Waldova testu zda je splněn předpoklad SUR modelů, že β 1 = β 2 =... = β m jsou shodné pro všechny průřezové jednotky. 4

6.2 Panelová data Soustava SUR je použitelná pouze v případě, že máme k dispozici dostatečný počet dat (nutný k odhadu varianční struktury residuí). V případě, že máme k dispozici menší počet dat, mluvíme o panelových datech (panel data, longitudial data). V takovýchto případech musíme zesílit předpoklady na varianční strukturu residuí a omezit tak počet parametrů, které bude třeba odhadovat. Zesilující požadavek předpokládá, že residuální složky jsou nekorelované (současně i v různých časech) a homoskedastické, tj. E (ε is, ε jt ) = 0 pro všechny i, j, t, s s výjimkou E (ε is, ε is ) = σ 2. Podle různých formálních zápisů rozlišujeme dva typy panelových modelů. 6.2.1 Panelový model s fixními efekty V tomto modelu předpokládáme, že všechny odlišnosti mezi jednotlivými průřezovými jednotkami je soustředěn v úrovňové konstantě α. Formálně zapíšeme model ve tvaru y jt = α j + x jt γ + ε jt kde j = 1, 2,..., m, t = 1, 2,..., T a ε jt = i.i.d.(0; σ 2 ). Termín model s fixními efekty je odvozen od skutečnosti, že rozdílnost mezi jednotlivými j jednotkami je pouze v úrovňové konstantě (fixní efekt), ale koeficienty vysvětlujících proměnných jsou pro všechny tyto jednotky shodné. Maticově zapíšeme model y 1 J 0... 0 x 1 ε 1 y 2. = 0 J... 0...... α + x 2. γ + ε 2. 0 0... J y m x m ε m kde y j = (y j1, y j2,..., y jt )... je vektor vysvětlovaných proměnných, x j... je matice vysvětlujících proměnných s rozměry T k, označíme x jt její t tý řádek, γ = (γ 1, γ 2,..., γ k )... je vektor odhadovaných parametrů shodných pro všechny jednotky, J = (1, 1,..., 1) T je sloupcový jedničkový vektor rozměrů T 1 α = (α 1, α 2,..., α m )... je vektor odhadovaných úrovňových konstant. Pokud jsou vysvětlující proměnné exogenní (podmíněné rozdělení y za podmínky x se nemění při změnách procesu generujícího x, vstupují do modelu zvnějšku nebo jsou tvořeny v minulém čase), pak lze ukázat, že vydatným odhadem je parametrů γ a α je odhad ve tvaru a c = ( m j=1 T m (x jt x j ) T (x jt x j )) 1 t=1 j=1 a = ˆα = ȳ j x j b T (x jt x j ) T (y jt ȳ j ) Pro konzistenci odhadu parametru β stačí mt. Parametry lze odhadnout i pro poměrně krátké časové řady, pokud máme k dispozici dostatečný počet průřezových jednotek. Naopak pro konzistenci odhadu parametru α je třeba T. t=1 5

6.2.2 Panelová data s náhodnými efekty U tohoto typu panelových modelů předpokládáme, že parametry α a γ jsou shodné pro všechny průřezové jednotky a rozdílnost je mezi jednotkami je obsažena v náhodné složce. Formálně model zapíšeme ve tvaru y jt = α + x jt γ + ω jt kde ω jt = ε jt + η j ε jt iid(0; σ 2 ) η j iid(0; σ 2 α). Na rozdíl od modelu s fixními efekty modelu situaci tak, že jednotlivé efekty lze zapsat ve tvaru α j = α + ω jt a převést tak model s náhodnými efekty na model s efekty fixními. V takovéto formulaci pak platí E(ω jt ) = 0, E(ω 2 jt) = σ 2 + σ 2 α, E(ω is ω it ) = σ 2 α, pro s t, E(ω is ω jt ) = 0, pro i j Pokud model s fixními efekty má celkem p + m parametrů, pak model s náhodnými efekty má p + 2 odhadovaných parametrů. Snížení počtu odhadovaných parametrů zvyšuje obecně stupeň volnosti modelu (umožňuje odhadnout parametry i pro menší počet dat), na druhou stranu je porušen předpoklad nezávislosti náhodné složky a je třeba odhadovat parametry opět ve dvou krocích. Odhad kovarianční struktury se však redukuje na poměrně jednoduchý odhad dvou parametrů σ 2 a σ 2 α. 6.3 Simultánní soustavy rovnic Modely simultánní soustav jsou založeny na předpokladech, že mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími proměnnými existuje vzájemný simultánní vztah. V simultánních soustavách existují proměnné, které v jedné rovnici vystupují v pozici vysvětlované proměnné a zároveň v jiné rovnici vystupují jako proměnné vysvětlující. Proměnné vstupujících do modelu tedy rozdělíme do dvou skupin - endogenní proměnné, které vystupují jako vysvětlované proměnné a exogenní proměnné. Počet endogenních proměnných odpovídá počtu rovnic v modelu. Exogenní proměnné lze ještě dále rozdělit na striktně exogenní proměnné, které vstupují do modelu zcela nezávisle a predeterminované proměnné, které jsou nekorelována v daném čase, ale byla modelem vytvořena v minulých obdobích. Problém lze demonstrovat na klasickém modelu nabídky a poptávky q =α + βp + ε je poptávková funkce D 1 p =α + β q + ε je nabídková funkce S V tomto modelu jsou pouze dvě endogenní proměnné a žádná proměnná exogenní. Vzhledem k absolutní provázanosti tohoto modelu nelze parametry modelu jednoduše odhadnout. 6

Na druhou stranu u modifikovaného rozšířeného modelu ve tvaru q =a 1 + b 1 p + c 1 y + ε 1 q =a 2 + b 2 p + c 2 R + ε 2 poptávka D nabídka S je model, kde q, p... jsou endogenní proměnné y, R... jsou exogenní proměnné (například důchod y ovlivňující poptávku a R úroveň srážek ovlivňujících nabídku zemědělských komodit) a 1, a 2... jsou strukturní parametry simultánních rovnic. Formě modelu, který je sestaven na základě ekonomických formulací a pravidel se říká strukturní tvar modelu. V rámci strukturního tvaru mají parametry modelu své ekonomické interpretace a omezení. Při analýze soustavy simultánních rovnic tedy začínáme rozlišením, které proměnné jsou endogenního a které exogenního tvaru, odstraněním ekonomických identit a převedením na tvar, kdy každé endogenní proměnné odpovídá právě jedna rovnice soustavy. Tyto kroky se souhrnně označují jako kroky vedoucí k převodu na redukovaný tvar. 6.3.1 Převod na redukovaný tvar Převod na redukovaný tvar demostrujeme na několika jednoduchých příkladech. Příklad 1: Nabídka a poptávka Postupujeme například tak, že příslušné rovnice odečteme a dostáváme 0 = (a 2 a 1 ) + p( ) + c 2 R c 1 y +... po úpravách dostáváme soustavu v redukovaném tvaru p = a 1 a 2 + c 1 y c 2 + chyba q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y c 2b 1 + chyba neboli po přeznačení parametrů q =π 1 + π 2 y + π 3 R + v 1 p =π 4 + π 5 y + π 6 R + v 2 7

kde π 1, π 2,..., π 6 jsou redukované parametry a v 1, v 2, jsou náhodné složky redukovaného modelu. V tomto jednoduchém modelu lze i přímo vyjádřit vztah mezi parametry strukturními a parametry redukovaného tvaru. ˆb 1 = ˆπ 3 ˆπ 6, ˆb2 = ˆπ 2 ˆπ 5 ĉ 2 = ˆπ 6 ( ˆb 1 ˆb 2 ), ĉ 1 = ˆπ 5 ( ˆb 1 ˆb 2 ) a 1 = ˆπ 1 b 1 π 4, â 2 = ˆπ 1 b 2 π 4 Je vidět, že i u velmi jednoduchého modelu může být vztah mezi strukturními parametry a redukovanými parametry velmi složitý. Příklad 2: Spotřební funkce (1) C t = β 1 + β 2 y t + u t 0 < β 2 < 1 (2) y t = C t + I t t = 1, 2,..., T C t y t I t add (1) spotřební funkce: mezní sklon ke spotřebě spotřeba ve stálých cenách HDP čisté investiční výdaje MP C = C y = β 2 add (2) identita (! není náhodná složka) C, Y endogenní I exogenní existuje zpětná vazba Strukturní vzorec Převod na redukovaný tvar (1) dosadíme do (2) (3) y t = β 1 + 1 1 β 2 y t = π 1 + π 2 I t + v t I t + 1 u t 1 β 2 1 β 2 π i... přímé (běžné) multiplikátory 8

... okamžitá očekávaná reakce... výsledky komparativní stability... mezní veličiny 6.3.2 Maticové vyjádření simultánních soustav Obecně uvažujme, že v modelu vystupují následující skupiny proměnných proměnné: y 1, y 2,..., y G... endogenní proměnné a x 1, x 2,..., x k... exogenní proměnné. Maticově zapisujeme strukturní tvar následovně. kde By + Γx = ε - B... matice G G představuje matici strukturních odhadovaných parametrů efektů mezi endogenními proměnnými, - y... vektor G 1 je vektor endogenních proměnných, - Γ... matice G k představuje matici exogenních odhadovaných parametrů efektů mezi endogenními a exogenními proměnnými, - x... vektor k 1 exogenních proměnných, - ε... vektor G 1 vektor náhodných složek. s podmínkami podmínky: E(ε t ) = 0 E(ε t ε s ) = 0 [t s] resp. maticově zapsáno ε N (0, Σ), kde Σ je pozitivně definitní kovarianční matice náhodných složek Pokud je matice B čtvercová a regulární, lze vynásobit strukturní tvar inverzní maticí zleva a dostaneme B 1 By + B 1 Γx = B 1 ε přeznačením dostáváme redukovaný tvar y = ΠX + w 9

kde Π = B 1 Γ je matice parametrů rozměrů G k redukovaného tvaru. Podmínky na náhodnou složku se transformují do tvaru w = B 1 ε a zachovávají si své vlastnosti. tj. E(w t ) = 0 E(w t w s ) = 0 [t s] maticově zapsáno w N (0, Ω) kde Ω = B 1 Σ(B 1 ) T V redukovaném tvaru pohlížíme tedy na všechny endogenní proměnné jako na výstupy ostatních proměnných. 6.3.3 Problém identifikace Problém identifikace strukturálního tvaru soustavy simultánních rovnic je problém soustřed ující se na otázku, zda a za jakých předpokladů lze z matice koeficientů redukovaného tvaru Π získat odhady koeficienty strukturálního tvaru. Vzhledem ke vztahu mezi těmito koeficienty Π = B 1 Γ je zřejmé, že obecně tato úloha nemusí být řešitelná. Problém lze demonstrovat na jednoduchých příkladech poptávkové a nabídkové funkce: Příklad 1 q = a 1 + b 1 p + c 1 y + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + ɛ 2 q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y + v 1 q = π 3 + π 4 y + v 1 p = a 1 a 2 + c 1 y + v 2 p = π 1 + π 2 y + v 2 b 2 = π 2 π 4 a 2 = π 1 b 2 π 3 a 1 =? b 1 =? c 1 =? 10

poptávková funkce není identifikována Příklad 2 nabídková funkce není identifikována Příklad 3 q = a 1 + b 1 p + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + c 2 R + ɛ 2 q = a 1 + b 1 p + c 1 y + d 1 R + ɛ 1 q = a 2 + b 2 p + ɛ 2 q = a 1b 2 a 2 b 1 + c 1b 2 y + d 1b 2 R + v 1 q = π 1 + π 2 y + π 3 R + v 1 p = a 1 a 2 + c 1 y + d 1 R + v 2 ˆb 2 = π 2 π 5, ˆb2 = π 3 π 6, dva odhady Z uvedených příkladů je vidět, že pro každou rovnici ve studované soustavě mohou nastat následující situace z redukovaných parametrů lze získat právě jeden soubor strukturních parametrů z redukovaných parametrů lze získat soubor strukturních parametrů, ale tento soubor není jednoznačný (Příklad 3) z redukovaných parametrů nelze strukturní parametry získat (Příklad 1 a 2). Identifikaci ekonometrických modelů se věnuje celá řada literatury a jednotlivé výše uvedené situace lze najít pod různými názvy. Řekneme, že rovnice se nazývá Přesně identifikovaná rovnice (dobře identifikována, exactly identified, just identified) pokud lze z parametrů redukovaného tvaru získat jednoznačné vyjádření pro parametry strukturního tvaru. Podidentifikovaná rovnice (neidentifikovaná, under-identified, unidentified) pokud z parametrů redukovaného tvaru nelze získat žádné vyjádření pro parametry strukturního tvaru. Přeidentifikovaná rovnice (over-identified) pokud lze z parametrů redukovaného tvaru získat vyjádření pro parametry strukturního tvaru, ale toto vyjádření není jednoznačné. 11

Je možné si všimnout, že v jedné soustavě může být některá z rovnic přesně identifikována a jiná podidentifikována. Problém identifikace tedy není problém celé soustavy, ale problém konkrétní rovnice v dané soustavě. Navíc problém špatné identifikovatelnosti jedné rovnice lze vyřešit přidáním další proměnné do jiné rovnice. Identifikaci lze tedy zlepšit, pokud modifikujeme jinou rovnici. tento jev nazýváme identifikačním paradoxem. K ověřování identifikovatelnosti jednotlivých rovnic používáme u rozsáhlých simultánních soustav lze použít kritéria identifikace ve formě nutných a postačující podmínek k identifikaci rovnic. Nutné podmínky jsou obvykle nazývány rozměrovými podmínkami identifikace (order condition) a jsou založeny na porovnání počtu endogenních a exogenních proměnných v celé soustavě a ve studované rovnici. Naproti tomu nutná a postačující podmínka, která je založena na hodnostech matic parametrů, se nazývá podmínkou hodnostní (rank condition). Její praktické ověření je však u rozsáhlých soustav již náročnější. Nutná podmínka identifikace Nejprve zavedeme následující značení pro počet proměnných: G... celkový počet endogenních proměnných (zároveň se jedná o počet rovnic) G 1... celkový počet endogenních proměnných v dané rovnici K... celkový počet exogenních proměnných... celkový počet exogenních proměnných v dané rovnici K 1 Pak pokud platí K K 1 = G 1 1, pak je rovnice přesně identifikovaná, pokud přepíšeme podmínku do tvaru (K K 1 ) + (G G 1 ) = G 1 pak lze vztah interpretovat také takto: počet vynechaných proměnných (exogenních i endogenních) ve studované rovnici je roven zbylému počtu rovnic soustavy), K K 1 > G 1 1, pak je rovnice přeidentifikovaná (počet vynechaných proměnných - exogenních i endogenních je větší než počet zbylých rovnic v soustavě), K K 1 < G 1 1, pak je rovnice podidentifikovaná. Použití nutné podmínky ukážeme na příkladech poptávkové a nabídkové funkce: viz. Příklad 1 - poptávková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 1, K 1 = 1 0 < 1 podidentifikovaná funkce viz. Příklad 1 - nabídková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 1, K 1 = 0 1 = 1 přesně identifikovaná funkce viz. Příklad 2 - poptávková funkce G = 2, G 1 = 2 12

K = 2, K 1 = 2 0 < 1 podidentifikovaná funkce viz. Příklad 2 - nabídková funkce G = 2, G 1 = 2 K = 2, K 1 = 0 2 > 1 přeidentifikovaná funkce Rozměrová podmínky vypovídá tedy o přiměřenosti počtu vynechaných proměnných ve studované rovnici. Pokud vynecháme příliš mnoho proměnných, pak nelze jednoznačně odvodit hodnoty parametrů strukturního tvaru z parametrů tvaru redukovaného a rovnice je přeidentifikována. Pokud naopak vynecháme málo proměnných (nebo žádnou), pak matice B a Γ mají příliš nenulových prvků a nelze je zpětně zrekonstruovat z matice Π. Postačující podmínka identifikace je založena na studiu hodnosti submatic parametrů soustavy a lze ji formulovat v následujícím tvaru. Studovaná strukturní rovnice je přesně identifikována právě tehdy, když hodnost matice vytvořené ze strukturních koeficientů nevyskytujících se ve zkoumané rovnici je G 1 (neboli, pokud existuje alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu (G 1) (G 1). Příklad y 1 +β 12 y 2 +β 13 y 3 +γ 11 x 1 =v 1 β 21 y 1 +y 2 +γ 21 x 1 +γ 22 x 2 +γ 23 x 3 =v 2 β 31 y 1 +β 33 y 3 +γ 31 x 1 +γ 32 x 2 +γ 33 x 3 =v 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 1 β 12 β 13 γ 11 0 0 β 21 1 0 γ 21 γ 22 γ 23 β 31 0 1 γ 31 γ 32 γ 33 1. rovnice je identifikována, 2. a 3. rovnice jsou podidentifikovány. V praktických ekonomických modelech se obvykle setkáváme s přeidentifikovanými rovnicemi. Znalost identifikovatelnosti jednotlivých rovnic nám slouží ke správně volbě odhadovacích postupů. Pokud je z podmínek identifikovatelnosti jasné, že nelze z parametrů redukovaného tvaru odvodit parametry tvaru strukturního, nemá smysl rovnici do tohoto tvaru převádět a snažit se takto parametry odhadnout. Pokud je rovnice přeidentifikována, tj. existuje více odhadů odvozených z redukovaného tvaru, budou tyto odhady sice konzistentní, ale nebudou vydatné, protože nevyužívají všech informací, které máme k dispozici. 13

6.3.4 Metody odhadu simultánních rovnic Odhadové funkce pro soustavy simultánních rovnic jsou založeny na kritériích nejmenších čtverců nebo na principech maximální věrohodnosti. Všechny odvozené způsoby odhadu mají charakter odhadů single - odhady s omezenou informací nebo system - odhady s úplnou informací. Metody odhadu s omezenou informací (limited information methods) nevyužívají všechny informace, které máme k dispozici a odhadují každou z rovnic zvlášt. Mezi její představitele patří: Klasická metoda nejmenších čtverců (odhadujeme každou z rovnic zvlášt ). Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS) Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (2SLS) Metody odhadu s úplnou informací(full information methods) odhadují najednou všechny rovnice a využijí tak veškeré informace v datech. Do této skupiny řadíme zejména Třístupňová metoda nejmenších čtverců (3SLS) Maximálně věrohodné odhady s úplnou informací 6.3.5 Klasická metoda nejmenších čtverců Pokud použijeme klasický přístup pro odhad parametrů založený na předpokladu vzájemné nezávislosti rovnic obsažených v soustavě dostaneme odhady, které jsou vychýlené a nekonzistentní. Vychýlenost odhadů je důsledkem porušení předpokladu nezávislosti vysvětlující náhodné proměnné a náhodné složky. V soustavách simultánních rovnic tuto podmínku porušují právě proměnné, které vystupují jak na pozici vysvětlující tak vysvětlované proměnné. Na příkladu y 1t = a 14

6.3.6 Nepřímá metoda nejmenších čtverců (ILS) Simultánní soustavu převedeme na redukovaný tvar y = Πx + w ˆΠ = (X T X) 1 X T y 15

6.3.7 Dvoustupňový odhad MNČ y j = β j Y j + Γ j X j + ɛ j Nejprve odhadneme endogenní proměnné na pravé straně pomocí dalších rovnic a všech exogenních proměnných. V původní rovnici nahradíme ŷ na pravé straně. Příklad y 1 +β 12 y 2 +β 13 y 3 +γ 11 x 1 =v 1 β 21 y 1 +y 2 +γ 21 x 1 +γ 22 x 2 +γ 23 x 3 =v 2 β 31 y 1 +y 3 +γ 31 x 1 +γ 32 x 2 +γ 33 x 3 =v 3 1. y 2 = f 1 (x 1, x 2, x 3 ) ŷ 2 y 3 = f 2 (x 1, x 2, x 3 ) ŷ 3 y 1 = f 3 (ŷ 2, ŷ 3, x 1 ) odhad 2SLS 2. y 1 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 1 y 3 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 3 y 2 = f(ŷ 1, x 1, x 2, x 3 ) 3. y 1 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 1 y 2 = f(x 1, x 2, x 3 ) ŷ 2 y 3 = f(ŷ 3, x 1, x 2, x 3 ) 16

6.3.8 Třístupňový odhad MNČ První a druhý stupeň jsou shodné s dvoustupňovou metodou. Třetí stupeň je odhad ˆΣ s použitím GLS. 17

6.4 Dynamické simultánní rovnice Obsahují zpoždění endogenních proměnných. By t + Γ 1 x t + Γ 2 y t 1 = ɛ t y t = Π 1 x t + Π 2 y t 1 + ɛ t y t 1 = Π 1 x t 1 + Π 2 y t 2 + ɛ t 1 Pokud Potom s C s = n=0 C = n=0 M r M r y t = Π 1 x t + Π 2 Π 1 x t 1 + Π 2 2y t 2 + ɛ t + Π 2 ɛ t 1 Π t 2 t 0 y t = M 0 x t + M 1 x t 1 + M 2 x t 2 +... + w t kumulativní multiplikátory dlouhodobé multiplikátory C = (Π 0 2 + Π 1 2 + Π 2 2 +...)Π 1 C = Π 1 1 Π 2 Příklad (1) C t = β 1 + β 2 y t + u t1 (2) I t = α 1 + α 2 y t + α 3 y t 1 + u t2 (3) y t = C t + I t + G t C I G spotřeba investice veřejné výdaje add(1) spotřební funkce add(2) investiční funkce add(3) definiční funkce (identita) C, y, I endogenní G exogenní y predeterminovaná (zpožděná) 0 < β 2 < 1 mezní sklon ke spotřebě 0 < α 2, α 3 < 1 mezní sklon k investicím Redukovaný tvar 18

dosadíme (1) do (3) dosadíme: (2) I t = α 1 + α 2 y t + α 3 y t 1 + u t2 (3) + (1) y t = β 1 + 1 I t + 1 G t + u t1 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 [β 2 1] y t = β 1 1 β 2 + 1 1 β 2 α 1 + 1 1 β 2 α 2 y t + 1 1 β 2 α 3 y t 1 + + 1 G t + u t1 + u t2 1 β 2 1 β 1 1 β 2 y t (1 α 2 ) = α 1 + β 1 + α 3 y t 1 + 1 G t + u t1 + u t2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 2 1 β 1 1 β 2 (4) y t = v t1 = α 1 + β 1 α 3 1 + y t 1 + G t + v t1 1 α 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 } π 11 π 12 π 13 u t1 + u t2 1 α 2 β 2 (5) I t = α 1 α 1 β 2 + α 2 β 1 + α 3 α 3 β 2 y t 1 + G t + v t2 1 α 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 1 α } 2 β } {{ 2 } π 21 π 22 π 23 v t2 = α 2u t1 + u t2 β 2 u t2 1 α 2 β 2 α 2 a dostáváme redukovaný tvar ( ) y t = π 11 + π 12 y t 1 + π 13 G t + v t1 ( ) I t = π 21 + π 22 y t 1 + π 23 G t + v t2 t = 1, 2,..., T Rovnice (*) má autoregresní charakter (diferenční rovnice) vyjádříme (*) pro y t 1 = π 11 + π 12 y t 2 + π 13 G t 1 + v t 1,1 : y t = ( ) y t = π 11 (1 + π 12 ) + π 2 12y t 2 + π 13 (G t + π 12 G t 1 ) + v t1 + π 12 v t 1,1 π 11 (1 + π 12 + π 2 12 +... + π t 1 12 )+ absolutní člen +π t 12y 0 +π13(g t t + π 12 G t 1 + π12g 2 t 2 +... + π12 t 1 G 1 ) +v t1 + π 12 v t 1,1 + π12v 2 t 2,1 +... + π12 t 1 v 1,1 ) náhodná složka 19

Rovnice konečného tvaru Multiplikátory HDP: y t = π 13 G t y t = π 13 π 12 G t 1 π 13 + π 13 π 12 π 13 (1 + π 12 + π12 2 +...) π 13 = (1 π 12 ) přímý, běžný multiplikátor dynamický multiplikátor krátkodobý kumulovaný multiplikátor (za 2 období) dlouhodobí (celkový) multiplikátor 20