Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Podobné dokumenty
9.5. Kolmost přímek a rovin

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

Metrické vlastnosti v prostoru

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

9.6. Odchylky přímek a rovin

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.1 Odchylka přímek I

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

Digitální učební materiál

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

C. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU

Geometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. na PřF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/ Stereometrie. Marie Chodorová

STEREOMETRIE. Vzájemná poloha přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0104

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Další polohové úlohy

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Základní geometrické tvary

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

1. Přímka a její části

PLANIMETRIE úvodní pojmy

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

Vzdálenosti přímek

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Vzdálenosti přímek

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

9. Planimetrie 1 bod

Úlohy krajského kola kategorie A

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Stereometrie. Obsah. Stránka 924

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

Analytická geometrie lineárních útvarů

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

Písemná práce. 1. Rozhodni zda trojúhelník s následujícími délkami je pravoúhlý: a) 8,5 m; 13m; 15,1 m. b) 9,5cm; 16,8cm; 19,3cm

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je

AXONOMETRIE - 2. část

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

Syntetická geometrie II

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Otázky z kapitoly Stereometrie

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

Deskriptivní geometrie 2

II. kolo kategorie Z9

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Informace o sadě VY_INOVACE_M_STER_1 až VY_INOVACE_M_STER_20a

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Stereometrické úlohy řešené výpočtem. Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Petra Urbášková

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

56. ročník Matematické olympiády

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

19 Eukleidovský bodový prostor

Transkript:

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, BD b) CD, HF c) SEFSCD, SABSHG d) ED, BG e) AH, Déčko EB Déčko, Béčko f)* SAEB, SBFG g) AB, BD h) AG, AH i) EC, FD 3) Je dán pravidelný trojboký hranol ABCA B C s hranou podstavy délky 6 cm a výškou 4,5 cm. Určete odchylku přímek BC a AB. 4) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek ASGH a SABE. 5) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s hranou podstavy délky 5 cm a boční hranou délky 7 cm. a) Určete výšku jehlanu. b) Určete odchylku přímek AB a CV. c)* Určete odchylku přímek CV a ASDV. Kolmost přímek a rovin v prostoru 6) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli. a) Přestože je přímka a kolmá k přímce b, přímka b nemusí být kolmá k přímce a. b) Je-li p q a zároveň p r pak je r q. c) Je-li p q a zároveň r q pak je p r. d) Existují tři přímky, které jsou navzájem po dvojicích kolmé. e) Přímky z minulé věty mohou, ale nemusejí procházet jedním bodem. f) Nechť jsou přímky a, b kolmé k dané přímce p. Přímky a, b mohou stále mít libovolnou odchylku. 7) Je dána krychle ABCDEFGH, rozhodněte, které dvojice přímek jsou k sobě kolmé. a) AB, BC b) CD, EH c) AB, EG d) AD, CH e) Najděte všechny přímky, které jsou určeny vrcholy krychle a jsou kolmé k přímce CH. 8) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli. a) K tomu, aby byla přímka kolmá k rovině stačí, aby byla kolmá k jedné její přímce. b) Jako a) ale ke dvěma různým přímkám roviny. c) Jako a) ale ke třem různým přímkám roviny. d) Jako a) ale ke čtyřem různým přímkám roviny. e) Jako a) ale k deseti různým přímkám roviny. f) Existuje přímka kolmá ke dvěma rovnoběžným rovinám. g) Existuje přímka kolmá ke dvěma různoběžným rovinám. e) Existuje rovina kolmá ke dvěma různým přímkám, které nejsou rovnoběžné. f) Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám, pak je kolmá i ke všem přímkám, které leží v rovině určené těmito různoběžkami. 9) Dokažte, že v krychli ABCDEFGH a) není přímka AG kolmá k rovině BDH b) je přímka BD kolmá k rovině AEG. 10) Dokažte, že v pravidelném čtyřstěnu (trojboký jehlan, který má všechny hrany stejně dlouhé) jsou hrany, které nemají společný bod kolmé. 11) V krychli ABCDEFGH najděte a) přímku kolmou k rovině BGH procházející bodem C. b) rovinu kolmou k přímce AH procházející bodem F. c) rovinu kolmou na přímku SAEF procházející bodem E. d) přímku kolmou k rovině ABSEH procházející bodem E. 12) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli nebo jiném vhodném tělese. a) Kolmice k dané rovině musejí být rovnoběžné. b) Ale naopak pokud jsou dvě přímky rovnoběžné a jedna z jich je kolmá k dané rovině, pak druhá přímka nemusí být kolmá k této rovině. c) Je-li přímka kolmá ke dvěma rovinám, pak jsou tyto roviny rovnoběžné. d) Ale naopak, jsou-li dvě různé přímky kolmé k jedné rovině, nemusejí být rovnoběžné. e) Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou přímku. f) Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmou přímku. g) Daným bodem lze vést k dané přímce nekonečně mnoho kolmých rovin. 13) Rozhodněte, zdali v krychli ABCDEFGH je přímka BH kolmá k rovině ACF. Kolmý průmět 14) Najděte kolmý průmět a) vrcholu jehlanu do roviny podstavy. b) vrcholu E do roviny ABG ve standartní krychli. c) středu přední stěny krychle do roviny ACG ve standartní krychli. d) v krychli přímky SEHSCD do i) roviny EFG (horní) ii) roviny ABE (přední) iii) roviny BCF (pravá)

Řešení: 1) a) b) g) Přímky se protnou mimo krychli a vytvoří pravoúhlý trojúhelník FPB s odvěsnami délek 1 a 2 cm (délku hrany krychle jsme si zvolili 1 cm). c) h) 0 d) 45 e) 0 f) 0

2) a) 0 b) Jedná se o mimoběžky, proto nejprve posuneme DC nahoru do bodu H. f) Nejprve posuneme přímku SAEB do bodu E. Tím získáme rovnoraemnný trojúhleník GESBF. Ten rozdělíme na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky, ze kterých snadno spočítáme velikost poloviny odchylky pomocí funkce sinus. c) 90 d) 90 (přímky musíme nejprve posunout) e) AH posuneme do bodu B, čímž získáme rovnostranný trojúhelník EGB (strany jsou úhlopříčky stěn krychle). Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly 60. g) jako a) h) Přímky jsou různoběžné, odchylku určíme pomocí funkce tangens v pravoúhlém trojúhelníku AGH.

i) Přímky se protnou ve středu krychle. Odchylku určíme z rovnoramenného trojúhelníku EFS, u kterého známe základnu (1) a výšku ( 2/2). Trojúhleník rozpůlíme výškou na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a pomocí funkce tangens určíve velikost poloviny odchylky. b) Přímku AB posuneme do bodu C. Z rovnoramenného trojúhelníku DCV určíme odchylku. Trojúhelník si rozdělíme na dva pravoúhlé a pomocí funkce kosinus (řpilehlá = 5, přepona = 7) určíme úhel alfa. 3) Přímky jsou mimoběžné, přímku AB posuneme do bodu B. Dostáváme tak rovnoramenný trojúhelníku, u kterého snadno určíme délky stran. 4) Dlouhý příklad, viz sešit spolužáka. 5) a) Výšku určíme z pravoúhlého trojúhelníku CES. c) Příklad pro fajnšmekry. Přímku VC posuneme do bodu SDV, tím dostaneme střední příčku zadní stěny o délce 3,5 (zelená). Délku fialové strany snadno určíme pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku ASDCD. Určit délku úsečky ASDV (červené) je obtížnější. Musíme využít znalosti z 2. ročníku, kdy známe AD, DSDV a úhel při vrcholu D známe z bodu b).

6) a) NE, kolmost i odchylka je vždy vzájemná b) ANO c) NE d) ANO, hrany ve vrcholu krychle e) ANO, přímky lze libovolně posouvat f) ANO 7) a) ANO b) ANO c) NE, 45 d) ANO e) EH, AD, BC, FG, DG, AF, AG, DF poslední dvě zdůvodníme pomocí kolmosti přímky CH k rovině AFGD. 9) a) AG není kolmá k přímce DH, a tedy ani k rovině BDH. To že AG, DH nejsou kolmé můžeme zjistit například tak, že DH posuneme do bodu A a vidíme, že odchylka přímek je úhel při vrcholu A pravoúhlého trojúhelníku AGE s pravým úhlem při vrcholu E. b) BD je kolmá k AC a tedy i EG a také je BD kolmá k BF a tedy i AE. Ukázali jsme, že přímka BD je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám (EG, AE) roviny AEG, proto je BD kolmá k rovině. 10) Dokážeme, že přímka DC leží v rovině kolmé k AB. DC leží v roině DCSAB, přímky DSAB a CSAB jsou různoběžné a kolmé k AB (jsou to výšky stěn). Přímka AB je tedy kolmá ke dvěma různoběžkám roviny DCSAB a tedy ke všem přímkám této roviny a tedy i k přímce DC. 8) a) NE b), c), d), e) NE, modrá přímka je kolmá k libovolně mnoha přímkám roviny (červené), ale ne ke všem (fialová) a tedy není ani kolmá k rovině. f) ANO g) NE e) NE f) ANO, toto je důležité kritérium kolmosti přímky k rovině, které nám umožní snadno testovat zdali je či není daná přímka kolmá k rovině.

11) a) Řešením je přímka CF, která je kolmá k BG a k EF, a tedy i ke GH. CF je tak kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny ABGH a tedy je kolmá k rovině. c) Rovina EHSAB. b) Rovina DEF. d) Přímka ESDH.

12) a) ANO, kolmost k rovině jednoznačně určuje směr přímky b) NE, rovnoběžné přímky se shodují ve všech odchylkách i kolmosti k třetím objektům c) ANO, přímka nemůže být kolmá k různoběžným rovinám. d) NE e) NE, například v krychli mohu z bodu A vést více kolmic k přímce CG: AB, AC, AD f) ANO, kolmost k rovině jednoznačně určuje směr přímky. g) NE Nyní ukážeme, že α = β, jedná se totiž o úhly v podobných trojúhelnících, poměr protilehlé ku přilehlé je v obou případech stejný. 1/ 2 = 2/2 Nyný můžeme upravit výraz pro hledanou odchylku přímek (fialově) 180 β 90 α = 180 β 90 + α = 90 β + α = 90 Vidíme tedy, že přímka HB je kolmá k přímce SABCDF, je tedy kolmá ke dvěma různoběžkám roviny ACF a proto je HB kolmá k rovině ACF. 13) Zkusme najít přímky v rovině ACF kolmé k BH. Můžeme ukázat, že BH je kolmá k AC, neboť BH leží v rovině BDHF, která je kolmá k AC: Podívejme se nyní na přímku SABCDF a určeme její odchylku od HB. Situaci si překreslíme do roviny BDHF:

14) a) b) d) c)