Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, BD b) CD, HF c) SEFSCD, SABSHG d) ED, BG e) AH, Déčko EB Déčko, Béčko f)* SAEB, SBFG g) AB, BD h) AG, AH i) EC, FD 3) Je dán pravidelný trojboký hranol ABCA B C s hranou podstavy délky 6 cm a výškou 4,5 cm. Určete odchylku přímek BC a AB. 4) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek ASGH a SABE. 5) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s hranou podstavy délky 5 cm a boční hranou délky 7 cm. a) Určete výšku jehlanu. b) Určete odchylku přímek AB a CV. c)* Určete odchylku přímek CV a ASDV. Kolmost přímek a rovin v prostoru 6) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli. a) Přestože je přímka a kolmá k přímce b, přímka b nemusí být kolmá k přímce a. b) Je-li p q a zároveň p r pak je r q. c) Je-li p q a zároveň r q pak je p r. d) Existují tři přímky, které jsou navzájem po dvojicích kolmé. e) Přímky z minulé věty mohou, ale nemusejí procházet jedním bodem. f) Nechť jsou přímky a, b kolmé k dané přímce p. Přímky a, b mohou stále mít libovolnou odchylku. 7) Je dána krychle ABCDEFGH, rozhodněte, které dvojice přímek jsou k sobě kolmé. a) AB, BC b) CD, EH c) AB, EG d) AD, CH e) Najděte všechny přímky, které jsou určeny vrcholy krychle a jsou kolmé k přímce CH. 8) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli. a) K tomu, aby byla přímka kolmá k rovině stačí, aby byla kolmá k jedné její přímce. b) Jako a) ale ke dvěma různým přímkám roviny. c) Jako a) ale ke třem různým přímkám roviny. d) Jako a) ale ke čtyřem různým přímkám roviny. e) Jako a) ale k deseti různým přímkám roviny. f) Existuje přímka kolmá ke dvěma rovnoběžným rovinám. g) Existuje přímka kolmá ke dvěma různoběžným rovinám. e) Existuje rovina kolmá ke dvěma různým přímkám, které nejsou rovnoběžné. f) Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžkám, pak je kolmá i ke všem přímkám, které leží v rovině určené těmito různoběžkami. 9) Dokažte, že v krychli ABCDEFGH a) není přímka AG kolmá k rovině BDH b) je přímka BD kolmá k rovině AEG. 10) Dokažte, že v pravidelném čtyřstěnu (trojboký jehlan, který má všechny hrany stejně dlouhé) jsou hrany, které nemají společný bod kolmé. 11) V krychli ABCDEFGH najděte a) přímku kolmou k rovině BGH procházející bodem C. b) rovinu kolmou k přímce AH procházející bodem F. c) rovinu kolmou na přímku SAEF procházející bodem E. d) přímku kolmou k rovině ABSEH procházející bodem E. 12) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení v prostoru. Své rozhodnutí zdůvodněte, případně najděte protipříklad v krychli nebo jiném vhodném tělese. a) Kolmice k dané rovině musejí být rovnoběžné. b) Ale naopak pokud jsou dvě přímky rovnoběžné a jedna z jich je kolmá k dané rovině, pak druhá přímka nemusí být kolmá k této rovině. c) Je-li přímka kolmá ke dvěma rovinám, pak jsou tyto roviny rovnoběžné. d) Ale naopak, jsou-li dvě různé přímky kolmé k jedné rovině, nemusejí být rovnoběžné. e) Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou přímku. f) Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmou přímku. g) Daným bodem lze vést k dané přímce nekonečně mnoho kolmých rovin. 13) Rozhodněte, zdali v krychli ABCDEFGH je přímka BH kolmá k rovině ACF. Kolmý průmět 14) Najděte kolmý průmět a) vrcholu jehlanu do roviny podstavy. b) vrcholu E do roviny ABG ve standartní krychli. c) středu přední stěny krychle do roviny ACG ve standartní krychli. d) v krychli přímky SEHSCD do i) roviny EFG (horní) ii) roviny ABE (přední) iii) roviny BCF (pravá)
Řešení: 1) a) b) g) Přímky se protnou mimo krychli a vytvoří pravoúhlý trojúhelník FPB s odvěsnami délek 1 a 2 cm (délku hrany krychle jsme si zvolili 1 cm). c) h) 0 d) 45 e) 0 f) 0
2) a) 0 b) Jedná se o mimoběžky, proto nejprve posuneme DC nahoru do bodu H. f) Nejprve posuneme přímku SAEB do bodu E. Tím získáme rovnoraemnný trojúhleník GESBF. Ten rozdělíme na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky, ze kterých snadno spočítáme velikost poloviny odchylky pomocí funkce sinus. c) 90 d) 90 (přímky musíme nejprve posunout) e) AH posuneme do bodu B, čímž získáme rovnostranný trojúhelník EGB (strany jsou úhlopříčky stěn krychle). Rovnostranný trojúhelník má všechny úhly 60. g) jako a) h) Přímky jsou různoběžné, odchylku určíme pomocí funkce tangens v pravoúhlém trojúhelníku AGH.
i) Přímky se protnou ve středu krychle. Odchylku určíme z rovnoramenného trojúhelníku EFS, u kterého známe základnu (1) a výšku ( 2/2). Trojúhleník rozpůlíme výškou na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a pomocí funkce tangens určíve velikost poloviny odchylky. b) Přímku AB posuneme do bodu C. Z rovnoramenného trojúhelníku DCV určíme odchylku. Trojúhelník si rozdělíme na dva pravoúhlé a pomocí funkce kosinus (řpilehlá = 5, přepona = 7) určíme úhel alfa. 3) Přímky jsou mimoběžné, přímku AB posuneme do bodu B. Dostáváme tak rovnoramenný trojúhelníku, u kterého snadno určíme délky stran. 4) Dlouhý příklad, viz sešit spolužáka. 5) a) Výšku určíme z pravoúhlého trojúhelníku CES. c) Příklad pro fajnšmekry. Přímku VC posuneme do bodu SDV, tím dostaneme střední příčku zadní stěny o délce 3,5 (zelená). Délku fialové strany snadno určíme pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku ASDCD. Určit délku úsečky ASDV (červené) je obtížnější. Musíme využít znalosti z 2. ročníku, kdy známe AD, DSDV a úhel při vrcholu D známe z bodu b).
6) a) NE, kolmost i odchylka je vždy vzájemná b) ANO c) NE d) ANO, hrany ve vrcholu krychle e) ANO, přímky lze libovolně posouvat f) ANO 7) a) ANO b) ANO c) NE, 45 d) ANO e) EH, AD, BC, FG, DG, AF, AG, DF poslední dvě zdůvodníme pomocí kolmosti přímky CH k rovině AFGD. 9) a) AG není kolmá k přímce DH, a tedy ani k rovině BDH. To že AG, DH nejsou kolmé můžeme zjistit například tak, že DH posuneme do bodu A a vidíme, že odchylka přímek je úhel při vrcholu A pravoúhlého trojúhelníku AGE s pravým úhlem při vrcholu E. b) BD je kolmá k AC a tedy i EG a také je BD kolmá k BF a tedy i AE. Ukázali jsme, že přímka BD je kolmá ke dvěma různoběžným přímkám (EG, AE) roviny AEG, proto je BD kolmá k rovině. 10) Dokážeme, že přímka DC leží v rovině kolmé k AB. DC leží v roině DCSAB, přímky DSAB a CSAB jsou různoběžné a kolmé k AB (jsou to výšky stěn). Přímka AB je tedy kolmá ke dvěma různoběžkám roviny DCSAB a tedy ke všem přímkám této roviny a tedy i k přímce DC. 8) a) NE b), c), d), e) NE, modrá přímka je kolmá k libovolně mnoha přímkám roviny (červené), ale ne ke všem (fialová) a tedy není ani kolmá k rovině. f) ANO g) NE e) NE f) ANO, toto je důležité kritérium kolmosti přímky k rovině, které nám umožní snadno testovat zdali je či není daná přímka kolmá k rovině.
11) a) Řešením je přímka CF, která je kolmá k BG a k EF, a tedy i ke GH. CF je tak kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny ABGH a tedy je kolmá k rovině. c) Rovina EHSAB. b) Rovina DEF. d) Přímka ESDH.
12) a) ANO, kolmost k rovině jednoznačně určuje směr přímky b) NE, rovnoběžné přímky se shodují ve všech odchylkách i kolmosti k třetím objektům c) ANO, přímka nemůže být kolmá k různoběžným rovinám. d) NE e) NE, například v krychli mohu z bodu A vést více kolmic k přímce CG: AB, AC, AD f) ANO, kolmost k rovině jednoznačně určuje směr přímky. g) NE Nyní ukážeme, že α = β, jedná se totiž o úhly v podobných trojúhelnících, poměr protilehlé ku přilehlé je v obou případech stejný. 1/ 2 = 2/2 Nyný můžeme upravit výraz pro hledanou odchylku přímek (fialově) 180 β 90 α = 180 β 90 + α = 90 β + α = 90 Vidíme tedy, že přímka HB je kolmá k přímce SABCDF, je tedy kolmá ke dvěma různoběžkám roviny ACF a proto je HB kolmá k rovině ACF. 13) Zkusme najít přímky v rovině ACF kolmé k BH. Můžeme ukázat, že BH je kolmá k AC, neboť BH leží v rovině BDHF, která je kolmá k AC: Podívejme se nyní na přímku SABCDF a určeme její odchylku od HB. Situaci si překreslíme do roviny BDHF:
14) a) b) d) c)