EOVÁNÍ YPOÉZ. Základí ojmy V Kaitole jsme se sezámili s ostuem, jak odhadout ezámé arametry základího souboru oulace v říadě, že emáme k disozici všechy jeho rvky, ale je jeho část - áhodý výběr. V raxi to ale ebývá jediý ty iformace, která ás o oulaci zajímá. Často chceme z údajů, získaých a základě áhodého výběru, vyvodit i jié úsudky o celé oulaci. Zajímalo-li ás v ředchozí kaitole aříklad to, s jakou středí hodotou a roztylem lí licí automat balíčky mouky, může ás avíc zajímat i to, jestli mají hmotosti těchto balíčků ormálí rozděleí ebo jestli se o seřízeí automatu zlešily jeho vlastosti tz. ová středí hodota je blíž k hodotě kg a ový roztyl je meší, ež tomu bylo řed seřízeím. Každé takové tvrzeí o ezámé vlastosti základího souboru azýváme statistická hyotéza a ostu, kterým ověřujeme její srávost a základě výsledků získaých z výběrového šetřeí, se azývá testováí hyotéz. tatistická hyotéza tatistická hyotéza je tvrzeí, které se týká ezámé vlastosti rozděleí ravděodobosti ozorovaé áhodé veličiy. Je to výrok, který se zakládá a ředchozí zkušeosti, a rozboru dosavadích zalostí ebo a ouhé doměce. Pojedává-li statistická hyotéza o arametrech rozděleí áhodé veličiy středí hodotě, mediáu, roztylu,, mluvíme o arametrické hyotéze, týká-li se jiých vlastostí áhodé veličiy tyu rozděleí, ezávislosti výběru,, azýváme ji hyotézou earametrickou. Parametrické hyotézy můžeme zaisovat jako rovosti res. erovosti mezi testovaým arametrem a jeho ředokládaou hodotou ař. růměrá hmotost balíčku mouky je u balicího automatu X rova kg, tj., res. růměrá hmotost balíčku mouky je u balicího automatu X meší ež kg, tj., jako rovosti res. erovosti mezi dvěma ebo více testovaými arametry ař.: růměrá hmotost balíčku mouky je u balicích automatů X, Y a Z stejá, tj. X Y Z, res. růměrá hmotost balíčku mouky je u balicího automatu X větší ež u balicího automatu Y, tj.. X Y Nearametrickými hyotézami ak mohou být aříklad tvrzeí: rodukce zmetků v jedotlivých hodiách je rovoměrá má rovoměré rozděleí, hmotosti v mužské oulaci mají ormálí rozděleí, hmotosti a výšky v mužské oulaci jsou závislé zaky. Z výše uvedeých říkladů je atro, že statistické hyotézy lze dělit i jiak ež a arametrické a earametrické, a to: odle očtu šetřeých oulací a hyotézy jedovýběrové, dvouvýběrové a vícevýběrové,
odle toho, zda je hyotéza jedoduchým ebo složeým výrokem, a hyotézy jedoduché a složeé. yotéza, jejíž latost ověřujeme, se azývá ulová hyotéza a začí se. Ke každé ulové hyotéze vždy staovíme alterativí hyotézu zkráceě alterativu, ěkdy též ozačovaou, kterou řijmeme tehdy, když je ulová hyotéza zamítuta. Máme-li aříklad ulovou hyotézu : a, můžeme alterativí hyotézu staovit v jedom z ásledujících tvarů: a : a, b : a, c : a. V říadě a alterativí hyotéza oírá latost ulové hyotézy bez bližší secifikace. vrdí, že hodota testovaého arametru je jiá, ež udává ulová hyotéza. akto formulovaá alterativí hyotéza se azývá oboustraá zajímají ás výzamé odchylky arametru od hodoty a v obou směrech. V říadech b a c hovoříme o tzv. jedostraé alterativí hyotéze odstatá je ro ás odchylka arametru od hodoty a je v jedom směru. Jedostraá alterativí hyotéza rověž oírá latost ulové hyotézy, zároveň ale tvrdí, že hodota testovaého arametru je buď meší, ebo větší, ež je hodota uvedeá v ulové hyotéze. var alterativí hyotézy volíme v souladu se zadáím roblému a s iformacemi získaými z výběrového souboru, jak můžeme vidět v ásledujících říkladech: Příklad..: Výrobce jistého tyu žárovek uvádí středí dobu svíceí h. taovte ulovou a alterativí hyotézu ro říad, že chceme ověřit ravdivost tohoto tvrzeí. Řešeí: Poulace základí soubor: všechy žárovky uvedeého tyu ledovaý statistický zak áhodá veličia: doba svíceí Nulová hyotéza: : lterativí hyotéza: : Pokud bychom měli odezřeí, že ás výrobce klame a středí doba svíceí je meší, ež uvádí, a tato aše doměka by byla odořea iformací z výběrového souboru výběrový růměr by vyšel meší ež h, staovili bychom alterativí hyotézu ve tvaru: :. Příklad..: taovte ulovou a alterativí hyotézu ro říad, že chceme ověřit, zda seřízeí automatu vedlo k meší kolísavosti v délce vyráběých součástek. Řešeí: Poulace základí soubor : všechy součástky vyrobeé řed seřízeím Poulace základí soubor : všechy součástky vyrobeé o seřízeí ledovaý statistický zak áhodá veličia: délka součástky Nulová hyotéza: : lterativí hyotéza: : est statistické hyotézy estem statistické hyotézy rozumíme rozhodovací roces, ři kterém a základě iformací získaých z výběrového souboru rovedeme rozhodutí ve rosěch jedé z hyotéz a.
yto dvě hyotézy musí být formulováy tak, aby v daém okamžiku latila rávě jeda z ich. Nulovou hyotézu řitom ovažujeme za ravdivou až do okamžiku, dokud ás iformace získaé z výběrového souboru eřesvědčí o oaku odobě je v soudictví aliková rici resumce eviy, dokud se eajde důkaz, který svědčí o viě. Výsledkem testováí je ak jedo z těchto rozhodutí: a Zamítáme hyotézu ve rosěch alterativy ašli jsme ádý důvod zamítout. b Ne hyotézu eašli jsme ádý důvod zamítout. oto závěrečé rozhodutí rovedeme a základě vyočteých hodot fukce X, azývaé testovým kritériem ěkdy též testovou statistikou. Jedá se o fukci áhodého výběru, která má vztah k ulové hyotéze a která má za ředokladu její latosti zámé rozděleí. Obor hodot testového kritéria X se za ředokladu latosti dělí a dvě disjuktí odmožiy: kritický obor W a jeho dolěk - obor rakticky možých hodot V. Kritický obor W je defiová tak, aby ravděodobost, že hodota testové statistiky X leží uvitř tohoto oboru, byla za ředokladu latosti ulové hyotézy rova číslu tz. P X W. Pravděodobost, že X leží za ředokladu latosti ulové hyotézy mimo kritický obor W, tedy že leží uvitř oboru rakticky možých hodot V, je tudíž tz. P X V. Číslo azýváme hladia výzamosti testu, její hodotu volíme řed začátkem testováí obvykle =,5 ebo,. Kokrétí odoba W a V bývá u růzých testů růzá. Při kostrukci těchto oblastí se držíme ásledujícího ostuu. Vycházíme ze vztahu P X V. Obor rakticky možých hodot V tedy určíme jako iterval a, b, kde ro hodoty a, b latí: P a X b. eto iterval bývá azývá také kofidečím itervalem ebo itervalem solehlivosti, jak je tomu v teorii itervalových odhadů arametrů Kaitola.4. Obor rakticky možých hodot V totiž eí ic jiého, ež itervalový odhad X a hladiě výzamosti. Nechť aše ulová hyotéza ředokládá, že = B. uto hyotézu lze testovat roti alterativě B, B ebo B. V říadě alterativy B oužíváme ro určeí oboru V takzvaý symetrický oboustraý iterval solehlivosti, což je iterval a, b, ro který latí: P X a P X b, v říadě alterativ B a B oužíváme jedostraý iterval solehlivosti, což je iterval a, b, ro který latí jede z těchto dvou vztahů: P X a P X b, a P X b P X. Kritický obor W je ak dolňkem možiy V tz. itervalu a, b do itervalu,. Krají body itervalu a, b, tedy body, které oddělují kritický obor W od oboru rakticky možých hodot V, určíme jako kritické hodoty rozděleí, které má za ředokladu latosti ulové hyotézy statistika X. Přiomeňme, že kritická hodota rozděleí a hladiě výzamosti je hodota, kterou áhodá veličia s tímto rozděleím u symetrických rozděleí její absolutí hodota řekročí s ravděodobostí viz Defiice 3
.4.4. Kokrétí tvar kritického oboru W bývá v literatuře součástí každého uvedeého testu. eď už si je vysvětlíme, jak a základě vyočteé hodoty testového kritéria X a kritického oboru W vyvodit závěrečé rozhodutí o hyotéze. taovíme-li a začátku testováí dostatečě malou hladiu výzamosti, aříklad =,5, bude ravděodobost toho, že hodota testového kritéria X ade za ředokladu latosti do kritického oboru W, rova 5%. Jestliže ak tato situace astae, bude to ro ás sigál, že ulová hyotéza zřejmě elatí ravděodobost, že by latila, je totiž v tomto říadě je 5%. Závěr testu tudíž staovíme takto: ade-li ozorovaá hodota testového kritéria X do kritického oboru W, hyotézu, ade-li tato hodota do oboru řijetí V, hyotézu e. Postu ři testováí statistické hyotézy Postu ři testováí statistických hyotéz tedy můžeme shrout do těchto šesti bodů: Formulujeme ředložeou otázku ve formě ulové a alterativí statistické hyotézy. eto ostu jsme si ukázali v Příkladech.. a... Zvolíme vhodý test s kokrétí testovou statistikou X. Pro testováí růzých tyů statistických hyotéz jsou dooručey růzé testy, s těmi ejzámějšími se sezámíme a ásledujících strákách této kaitoly. U každého testu je uvedeo, jaký ty hyotézy se jím dá testovat, o jakou testovou statistiku X se test oírá a jak vyadá kritický obor W říadě jaké rozděleí má statistika X za ředokladu latosti ulové hyotézy. Některé testy ředokládají kokrétí rozděleí oulace ejčastěji je to rozděleí ormálí. esty vyžadující zalost rozděleí oulace ozačujeme jako arametrické. Pokud ejsou jejich ředoklady slěy, měli bychom oužít jejich alterativu testy earametrické eboli robustí. yto testy ekladou žádé ředoklady a kokrétí rozděleí oulace, mají tedy širší oužití. labší ožadavky u těchto testů však zůsobují, že tyto testy ejsou tak silé, jako jejich arametrické rotějšky. 3 Zvolíme řijatelou hladiu výzamosti. oto číslo, jak se brzy dozvíme, určuje ravděodobost chyby I. druhu, roto se musí volit dostatečě malé. V raxi se ejčastěji setkáváme s hodotami =,;,5 a,. V techických oblastech volíme obvykle hladiu výzamosti =,5, ve seciálích říadech ěkteré medicíské alikace ároky a ravděodobost chyby I. druhu ještě zvyšujeme a volíme =,. 4 Vyočteme ozorovaou hodotu testového kritéria. uto hodotu získáme tak, že do říslušého vztahu ro X dosadíme hodoty áhodého vektoru X, zjištěé u jedotek výběrového souboru. 5 Vyočteme kritickou hodotu testového kritéria a hladiě výzamosti a určíme kritický obor W. 6 Vyslovíme závěr. 4
kutečost: hyotézu řijímáme hyotézu, okud ozorovaá hodota testového kritéria leží v kritickém oboru W. Rozdíl mezi ozorovaou a teoretickou hodotou testového kritéria ovažujeme v tomto říadě za statisticky výzamý a zvoleé hladiě výzamosti, což zameá, že se edá vysvětlit ouze ahodilostí výběru, hyotézu e hyotézu, okud ozorovaá hodota testového kritéria eleží v kritickém oboru W. Zameá to, že rozdíl mezi ozorovaou a teoretickou hodotou testového kritéria je a daé hladiě výzamosti vysvětlitelý ahodilostí výběru. Příklady otázek, a které se dá odovídat omocí výsledků říslušých statistických testů: Má základí soubor Z ředokládaou středí hodotu? Mají dva soubory stejou diserzi? Můžeme ředokládat, že dva výběry ocházejí z téhož Z? Má Z ředokládaé rozděleí? ěmito slovy zřejmě ebudeme formulovat otázky v raxi, bude ás ale ař. zajímat, zda: Bylo dodáo uhlí deklarovaé kvality? Pracují dva měřicí řístroje stejě řesě? Nezměily se rovozí odmíky ovlivňující výrobu ař. seřízeí obráběcích strojů? Je rodukce zmetků v jedotlivých hodiách rovoměrá? Chyba I. a II. druhu Je zřejmé, že závěr, který učiíme, emusí být vždy srávý. Všechy možosti, které mohou o vysloveí kokrétího rozhodutí astat, oisuje ásledující tabulka: ab...: Výsledek tesu o latí o elatí Ne o Zamítáme o rávé rozhodutí Chyba I. druhu - solehlivost testu hladia výzamosti Chyba II. druhu rávé rozhodutí q -q síla testu Jestliže ulová hyotéza je ve skutečosti latá a my ji řesto zamíteme, doouštíme se chyby, ozačovaé jako chyba I. druhu. Pravděodobost, že k takovémuto ochybeí dojde, je rova hladiě výzamosti. Platí-li ulová hyotéza a my jsme ji ezamítli, rozhodli jsme srávě. Pravděodobost tohoto rozhodutí je - a azýváme ji solehlivost testu. rávým rozhodutím je rověž zamítutí ulové hyotézy v říadě, že tato hyotéza elatí. ohoto rozhodutí se doouštíme s ravděodobostí - q, která bývá ozačováa jako síla testu. Chybou II. druhu je ezamítutí ulové hyotézy v říadě, že tato hyotéza elatí. Pravděodobost této chyby ozačujeme q. Přirováme-li tuto situaci k medicískému testováí kde ulová hyotéza říká, že aciet je zdráv, ak chyba I. druhu zameá falešě ozitiví výsledek aciet je zdráv, ale testováí ukazuje a emoc, chyba II. druhu odovídá falešě egativímu výsledku aciet je emocý, ale test to eodhalí. 5
Pravděodobosti a q, s imiž chyby I. a II. druhu astávají, rozhodují o kvalitě testu. Je-li test hyotézy založeý a testové statistice X s kritickým oborem W a oborem rakticky možých hodot V, ak latí ásledující vztahy: P X W P X V P X V q P X W q Při testováí hyotéz se samozřejmě sažíme ostuovat tak, abychom miimalizovali ravděodobosti obou chyb, i q. o však eí možé, eboť sížeím hodoty q se zvýší hladia výzamosti a aoak. Proto je třeba ajít komromis mezi ožadavky a a q. V raxi tedy ostuujeme tak, že zvolíme dostatečě malou hladiu výzamosti a hyotézu volíme okud to jde tak, aby byla testem zamítuta. V tom říadě totiž máme od kotrolou velikost chyby, které jsme se mohli doustit je rova hodotě. Pravděodobost chyby II. druhu q se dá sížit volbou vhodého testu okud máme možost výběru ebo zvětšeím rozsahu výběrového souboru. Jediě tak sížíme ravděodobost q, aiž bychom tím zvýšili ravděodobost.. yotézy o roztylu est o roztylu ormálího rozděleí Předokládejme, že máme ormálě rozděleou oulaci se středí hodotou μ a roztylem a žádý z arametrů μ, ezáme. Na základě výběru X, X,, X z daé oulace chceme ověřit ředoklad, zda roztyl oulace je rove hodotě. Nezámý roztyl odhademe výběrovým roztylem s, který určíme z ozorovaých výběrových hodot x, x,, x. Je zřejmé, že vyočteá a ředokládaá hodota roztylu s a se mohou od sebe lišit. Rozdíl může být ouze evýzamý a lze ho řičíst účiku áhodých vlivů, ůsobících ři výběru. eto rozdíl však může být i eáhodý říkáme také statisticky výzamý ebo sigifikatí. est o roztylu ak ředstavuje ověřeí, zda se výběrový roztyl s a ředokládaý roztyl liší statisticky výzamě ebo ouze áhodě. Nulovou hyotézu zvolíme ve tvaru možostí:,, :,, : :, u alterativy, 3 : můžeme volit ze tří. Jako testové kritérium oužijeme výběrovou charakteristiku X, která má v říadě latosti ulové hyotézy rozděleí tedy rozděleí s stui volosti. Jak víme z Kaitoly, kritická hodota tedy kritická hodota rozděleí s stui volosti a hladiě výzamosti je defiováa tak, že ro áhodou veličiu X s rozděleím latí: 6
P X. Kritická oblast rozděleí a hladiě výzamosti je tedy vymezea kritickými hodotami a. estujeme-li hyotézu oroti alterativě,, orováváme vyočteou hodotu testové statistiky s těmito kritickými hodotami a hyotézu v říadě, že latí ebo. V říadě alterativy, tvoří kritickou oblast iterval ;, eboť ve rosěch této alterativy hovoří vysoké hodoty s a tedy i testového kritéria. yotézu ak v říadě, že latí. V říadě alterativy, 3 tvoří kritickou oblast iterval ; a hyotézu v říadě, že latí. Iformace ažeé v tomto odstavci můžeme stručě shrout ásledujícím záisem: :, : K: X KO: ; ; ZÁVĚR: KO KO e tz. okud ebo, ak, jiak e :, : K: X KO: ; ZÁVĚR: KO KO e tz. okud, ak, jiak e 3 :, 3 : K: X KO: ; 7
ZÁVĚR: KO KO e tz. okud, ak, jiak e Pozámka: ymbol K zde i v dalším textu ozačuje testové kritérium, symbol KO kritický obor. Kritické hodoty získáme ze statistických tabulek ebo užitím excelovské fukce CIINV ař. 7 = CIINV,; 7 4,769, Příklad..: Měřeím délek válečků byl získá výběrový roztyl s =, mm. Za ředokladu ormality rozděleí těchto délek otestujte a hladiě výzamosti,5 hyotézu, že roztyl měřeé délky je,5 mm, tedy : =,5. Řešeí: ; s,;, 5 :,5 :,5 K: X, 7,6,5,975,5 9 CIINV,975;9,7 9 CIINV,5;9 9,3 Kritický obor obor zamítutí hyotézy tedy tvoří sjedoceí itervalů ;,7 a 9,3;, obor rakticky možých hodot je iterval 9,3;,7. Pozorovaá hodota testového kritéria eadla do kritického oboru, ulovou hyotézu tedy e. ZÁVĚR: KO e Roztyl měřeé délky se od hodoty od hodoty,5 mm výzamě eliší. Příklad..: motost kulečíkové koule lze okládat za áhodou veličiu s ormálím rozděleím. Za kvalití se ovažují koule, jejichž směrodatá odchylka hmotosti eřekračuje gramy. Při zkoušce deseti áhodě vybraých koulí jisté začky byly zjištěy ásledující hodoty jejich hmotostí v gramech: 7,76,68,7,73,69,68,7,7,7. Ověřte, zda koule této začky lze ovažovat za kvalití. Řešeí: ;, 5 volíme sami; s 5,8 [g ] vyočteme ař. omocí excelovské fukce VR. Za kvalití se ovažují koule, u kterých směrodatá odchylka hmotosti eřekračuje g, tj. koule, u kterých roztyl hmotosti eřekračuje 4 g. Budeme tedy testovat ulovou hyotézu : 4 oroti alterativě : 4 : : 4 8
: 4 K: X 5,8 3,99 4,59 CIINV,5;9 6,99 KO: ; 6,99; ZÁVĚR: KO e Nelze tvrdit, že roztyl hmotostí kulečíkových koulí je větší ež 4 g, sadu kulečíkových koulí testovaé začky tedy lze ozačit za kvalití. est o shodě dvou roztylů F-test Mějme dva ezávislé výběry X, X,, X a Y, Y,, Y, které ochází ze dvou základích souborů s rozděleími N, a N,, jejichž arametry, a, ezáme. Pak ulovou hyotézu : o shodě dvou roztylů testujeme omocí testového kritéria X, Y, kde, začí výběrové diserze jedotlivých výběrů. ato statistika má za ředokladu latosti ulové hyotézy Fisherovo-edecorovo rozděleí zkráceě F rozděleí s stui volosti ro čitatele a stui volosti ro jmeovatele. Přiomeňme, že kritická hodota F m, Fisherova-edecorova rozděleí s m a stui volosti a hladiě výzamosti je hodota defiovaá tak, že ro áhodou veličiu X s rozděleím F m, latí: P X F m,. Kritický obor u F-testu tedy určíme obdobě jako u testu ředchozího a ro jedotlivé tyy alterativí hyotézy můžeme ostu testováí zasat takto: :, : K: X, Y F, KO: ; F, F, ; ZÁVĚR: KO KO e tz. okud F, ebo F,, ak, jiak e :, : K: X, Y F, 9
KO: F ZÁVĚR:, ; KO KO e tz. okud F,, ak, jiak e 3 :, 3 : ; F, K: X, Y F, KO: ZÁVĚR: KO KO e tz. okud F,, ak, jiak e Pozámka: Pokud zvolíme idexy, tak, aby >, stačí v říadě orovat hodotu s kritickou hodotou F, a brát za kritický obor ouze iterval F, ;. Kritickou hodotu F m, získáme ze statistických tabulek ebo užitím excelovské fukce FINV ař. F,, = FINV,; ; 4,96. Příklad..3: Při vyšetřováí životosti jistého tyu výrobků ve dvou růzých rovozích odmíkách byly získáy dva statistické soubory s charakteristikami =, s =,9 h, = 3, s =,43 h. Za ředokladu ormality rozděleí otestujte a hladiě výzamosti,5 hyotézu o růzých roztylech v obou skuiách. Řešeí: = ; : : K: X, Y s =,9 h ; = 3; s =,43 h ;, 5,9,767,43 Protože, stačí v souladu s ozámkou tuto hodotu orovat s kritickou hodotou F, 5 KO:, F, = FINV,5; ;,389, ;,389; F
ZÁVĚR: KO Rozdíl mezi roztyly obou souborů je statisticky výzamý. Příklad..4: Byly sledováy výsledky v běhu a 5 m v sekudách u skuiy desetiletých chlaců a dívek. Za ředokladu ormality obou rozděleí osuďte získaé výsledky z hlediska vyrovaosti výkoů v jedotlivých skuiách. Chlaci:,8; 9,3; 9,4; 9,9;,; 9,3; 9,4; 8,9; 8,9; 9,6; 9,7;,6; 9,4; 9,5; 9,6;,; 9,3; 9,4; 8,4; 9,8; 8,8; 9,; 9,5; 9,8; 9,;,5; 9,4; 9,3; 9,9; 9,; 9,6; 8,7; 8,. Dívky:,7;,8;,;,6; 9,;,; 9,9;,; 9,3;,; 9,8;,;,;,;,;,;,;,; 9,4;,7; 9,3;,; 9,;,; 9,3;,; 9,4;,9. Řešeí: Určíme otřebé charakteristiky u obou skui, řičemž rohodíme ořadí tak, aby vyšlo F > ak bude stačit orovat hodotu ouze s kritickou hodotou F,, jak tomu bylo v Příkladu..3: Dívky: = 8; s,469 s ; Chlaci: = 33; s,34 s ;, 5 volíme sami, : : s a s vyočteme omocí excelovské fukce VR. K: X, Y,469,375,34, F 7, 3 = FINV,5; 7; 3,69 F, 5 KO: F, ;,69; ZÁVĚR: KO e Mezi roztyly eí statisticky výzamý rozdíl, výsledky chlaců a dívek lze ovažovat za stejě vyrovaé..3 yotézy o středí hodotě est o středí hodotě ormálího rozděleí jedovýběrový t-test Předokládejme, že máme ormálě rozděleou oulaci se středí hodotou μ a roztylem σ, řičemž hodoty těchto arametrů ezáme. Na základě výběru X, X,, X chceme ověřit ředoklad, že se středí hodota oulačí růměr μ rová určité hodotě μ. Nejleším bodovým odhadem ezámé středí hodoty je výběrový růměr x. Našim cílem je ověřit, zda se výběrový růměr x a hodota μ liší statisticky výzamě, ebo zda lze jejich rozdíl řisoudit áhodým vlivům. estujeme tedy ulovou hyotézu : μ = μ vůči alterativě μ μ, μ > μ ebo μ < μ. U tohoto testu oužíváme testovou statistiku
X X, která má za ředokladu latosti ulové hyotézy rozděleí t, tedy tudetovo rozděleí t rozděleí s stui volosti. tudetovo rozděleí je rozděleí symetrické, roto je jeho kritická hodota a hladiě výzamosti defiováa tak, že ro tuto kritickou hodotu t a áhodou veličiu X s rozděleím t latí: P X > t =. estujeme-li tedy a hladiě výzamosti hyotézu : μ = μ vůči alterativě μ μ, tvoří kritický obor sjedoceí itervalů ; t t ;, u alterativy μ > μ je kritickým oborem iterval t ; a u alterativy μ < μ je to iterval ; t. :, : X ; t t ; K: X t KO: ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e :, : X ; K: X t KO: t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e 3 :, 3 : X KO: ; K: X t t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e Pozámka: Kritickou hodotu t získáme ze statistických tabulek ebo užitím excelovské fukce INV ař. t,5 5 = INV,5; 5,57. Jedovýběrový t-test můžeme oužít ouze v říadě, má-li oulace ormálí rozděleí. V říadě výrazé eormality dáváme řed t-testem ředost ěkterému z earametrických
testů, ejčastěji mediáovému testu ebo jedovýběrovému Wilcoxoovu testu, které zájemci mohou ajít v literatuře, která se zabývá testováím hyotéz odroběji. Příklad.3.: Na hladiě výzamosti 5% otestujte hyotézu, že kulečíkové koule z Příkladu.. mají středí hmotost 7 g. Řešeí: ;, 5 ; s,43 [g] vyočteme ař. omocí excelovské fukce MODC.VÝBĚR; x 7, 4 [g] vyočteme ař. omocí excelovské fukce PRŮMĚR : 7 : 7 X K: X 7,4 7,54,43 t t, 59 = INV,5; 9,6 KO: ;,6,6; ZÁVĚR: KO e Dá se ředokládat, že středí hmotost kulečíkových koulí je 7 g. Příklad.3.: V ivovaru došlo k oravě licí liky. Za ředokladu ormality rozděleí otestujte a hladiě výzamosti =,5 hyotézu, že se orava zdařila, tedy že lika lí do láhví ivo o objemu 5 ml. Výsledky u vybraých vzorků v mililitrech: 495,; 496,8; 5,; 498,5; 5; 53; 5,7; 5,5; 5,8; 499,; 5,9; 5,; 5,7; 5,4; 5,; 5,; 499,9; 5,; 5,; 5,8; 499,3. Řešeí: ;, 5 ; s,8 [ml] vyočteo omocí excelovské fukce MODC.VÝBĚR; x 5,357 [ml] vyočteo omocí excelovské fukce PRŮMĚR : 5 : 5 X K: X 5,357 5,898,8 t t, 5 = INV,5;,86 KO: ;,86,86; ZÁVĚR: KO e Dá se ředokládat, že středí objem iva v jedé lahvi je 5 ml, tedy že se orava zdařila. est o shodě dvou středích hodot dvouvýběrový t-test Mějme dva ezávislé výběry X, X,, X a Y, Y,, Y, které ochází ze dvou základích souborů s rozděleími N, a N,, jejichž arametry, a, ezáme. Pak ulovou hyotézu : o shodě dvou středích hodot testujeme jiak v říadě shody roztylů, a jiak v říadě, kdy se tyto roztyly liší. Jako rví krok 3
tedy musíme rovést F-test, omocí kterého rozhodeme, zda rovedeme t-test, jehož realizace vyadá ásledově: či ikoliv. ž oté a lze-li ředokládat X, Y X ověříme F-testem, oužijeme testovou statistiku X, která má za ředokladu latosti ulové hyotézy rozděleí t, tedy tudetovo rozděleí s stui volosti. Podle tvaru alterativí hyotézy ak ostuujeme takto: :, : X X K: X, Y t ; t t KO: ; ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e :, : X X K: X, Y t KO: t ZÁVĚR: ; KO KO e tz. okud t, ak, jiak e 3 :, 3 : X X K: X, Y t KO: ; t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e 4
5 b otvrdí-li F-test, že, oužívá se testová statistika, X X Y X, která má za ředokladu latosti ulové hyotézy rozděleí t, tedy tudetovo rozděleí s stui volosti, kde je uto zaokrouhlit a celé číslo. Podle tvaru alterativí hyotézy ak ostuujeme takto: :, : K:, t X X Y X ; KO: ; ; t t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e :, : K:, t X X Y X ; KO: ; t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e 3 :, :
X X K: X, Y t ; KO: ; t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e Příklad.3.3: Odběratel dostává zářivky od dvou dodavatelů. Při hodoceí kvality zářivek se sleduje také očet zaojeí, který sesou zářivky bez oškozeí. Zkoušky výrobků vedly k těmto výsledkům: dodavatel : 39, 4, 968, 93, 95, 98, 89, 95, 389, 63, 7, 7, 8, 79, 849 dodavatel B: 947, 6, 96, 3, 7, 8, 94, 74, 3. Za ředokladu ormality rozděleí obou výběrů ověřte hyotézu, že kvalita obou dodávek je stejá. ladiu výzamosti volte =,5. Řešeí: = 5; x 998,8; s 76,7; = 9; x 946,444; s 6498,58;, 5 x, a, s vyočteme omocí excelovských fukcí PRŮMĚR a VR.; Nejdříve rovedeme F-test: : : K: X, Y F, 76,7,9 6498,58, F 4,8 = FINV,5; 4; 8 4,3 F, 5 KO:, ; 4,3; ZÁVĚR: KO e F Předokládáme tedy shodu roztylů a dále ostuujeme jako v říadě a: : : X X K: X, Y t 6
998,8 946,444 4.76,7 8.6498,58 5.95 9 5 9,756 t t, 55 9 INV,5;,74 KO: t ; ;,74 ; t,74; ZÁVĚR: KO e odota testového kritéria eadla do kritického oboru, hyotézu : tedy e a kvalitu obou dodávek vyhodotíme jako stejou. Příklad.3.4: Při atroologických měřeích obyvatelstva Egyta byla sledováa šířka osu u dvou skui dosělých mužů, jeda skuia ocházela ze severí části země a druhá z jiží. Naměřeé výsledky v cetimetrech jsou zazameáy v tabulce: sever: 3,6; 4,; 3,3; 3,4; 3,7; 3,; 4,; 4,; 3,6; 3,; 3,3; 3,7; 4,3; 3,3; 3,4; 3,4; 3,3; 3,6; 4,; 3,4; 3,7 jih: 4,3; 3,9; 4,3; 3,8; 4,; 4,; 3,8; 3,9; 3,8; 3,8; 4,; 3,7; 3,9; 4,4; 3,7; 3,8; 3,9; 3,9; 4,; 4,; 3,8; 4,; 4,3 Za ředokladu ormality rozděleí obou výběrů ověřte a hladiě výzamosti = 5% hyotézu : Šířky osu u dosělých mužů a severu a a jihu jsou stejé. Řešeí: = ; x 3,58; s,9; = 3; x 3,974; s,43;, 5 x, a, s vyočteme omocí excelovských fukcí PRŮMĚR a VR.; Nejdříve rovedeme F-test: : : K: X, Y F,,9,767,43, F, = FINV,5; ;,389 F, 5 KO:, ;,389; ZÁVĚR: KO F Předokládáme tedy rozdílost roztylů a dále ostuujeme jako v říadě b. Protože latí x x, volíme alterativí hyotézu ve tvaru. : : 7
X X X ; 3,58 3,974 4,57,9,43 3 K:, Y t,9,43 3 3,9,43 3 3 t t 3 INV,;3,694, KO: ; t ;,694 ZÁVĚR: KO odota testového kritéria adla do kritického oboru, hyotézu : tedy ve rosěch alterativy : - šířky osů dosělých mužů a severu země jsou statisticky výzamě meší ež a jihu. 3 est o shodě dvou středích hodot ro árovaé hodoty árový t-test Předcházející dvouvýběrový test umožňoval orovat ezámé středí hodoty dvou oulací a základě dvou ezávislých výběrů. V raxi se však často stává také to, že u každé z statistických jedotek zjišťujeme hodoty ějakých dvou solu souvisejících zaků ař. tlak krve řed a o odáí určitého léku, ostrost viděí levého a ravého oka, hmotost řed a o absolvovaé dietě atd.. Výsledkem zjišťováí jsou ak dvojice áhodých veliči X, Y, X, Y,, X, Y, které tvoří áry závislých ozorováí jde o veličiy zjišťovaé a stejé statistické jedotce, ař. u stejé osoby. Máme tedy dva závislé výběry X, X,, X a Y, Y,, Y, které ochází ze dvou základích souborů s ezámými středími hodotami μ, μ. Pak ulovou hyotézu : μ = μ o shodě těchto středích hodot můžeme vyjádřit ve tvaru : μ - μ = a testovat ji tak, že si vytvoříme rozdíly árovaých hodot X i Y i a zjišťujeme, je-li středí hodota těchto rozdílů rova ule. Chceme-li aříklad ověřit vliv určitého léku a tlak krve, budeme u každého acieta ozorovat dvojici zaků X i, Y i, kde X i je tlak krve řed odáím léku a Y i je tlak krve o odáí léku u i-tého acieta. Pro ověřeí účiosti léku emá smysl zjišťovat, zda je statisticky výzamý rozdíl mezi růměrým tlakem všech acietů řed odáím léku a růměrým tlakem všech acietů o odáí léku. U každého acieta tedy určíme rozdíl tlaků krve o a řed odáím léku a budeme zjišťovat, zda se středí hodota těchto rozdílů statisticky výzamě liší od uly. Nebude-li rokázáa statisticky výzamá odchylka od uly, bude lék rohláše za eúčiý. Defiujme tedy soubor rozdílů diferecí D = D, D,, D, kde D i = X i Y i. Lze ředokládat, že áhodé veličiy D, D,, D jsou ezávislé a že mají stejé rozděleí se středí hodotou μ D = μ μ. est o shodě dvou středích hodot rováděý a základě dvou závislých výběrů tedy můžeme řevést a jedovýběrový test o středí hodotě 8
alikovaý a soubor diferecí rozdílů D, tz. můžeme testovat hyotézu : μ D =. Lze-li ředokládat ormálí rozděleí veliči D, D,, D, můžeme ro toto testováí oužít jedovýběrový t-test, azývaý v tomto říadě árový t-test, který vyadá ásledově: : D, : D D K: D t D D KO: ; t t ; ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e : D, : D D K: D t KO: t ZÁVĚR: D D ; KO KO e tz. okud t, ak, jiak e 3 : D, 3 : D D D D KO: ; K: D t t ZÁVĚR: KO KO e tz. okud t, ak, jiak e Příklad.3.5: taoveí thiocyaového iotu CN- bylo aralelě rovedeo dvěma metodami ldridge a Barker a vzorcích. rovejte, zda obě metody dávají stejé výsledky. Předokládejte ormalitu rozděleí obou výběrů a hladiu výzamosti zvolte =,5. ldridge,38,56,45,49,38,4,6,36,6,4,43,4 Barker,39,58,44,5,4,45,59,37,8,4,4,38 Řešeí: Nejrve vyočteme rozdíly d i : ldridge,38,56,45,49,38,4,6,36,6,4,43,4 Barker,39,58,44,5,4,45,59,37,8,4,4,38 d i -, -,, -,3 -,3 -,4, -, -, -,,, 9
Pro hodoty diferecí d i vyočteme otřebé charakteristiky: = ; d,; s,9; d d a s d vyočteme omocí excelovských fukcí PRŮMĚR a MODC.VÝBĚR a řistouíme k samotému testu: : D : D D K: D D t D,,83,9 t t, 5 = INV,5;, KO: ; t ; ;, t =,; ZÁVĚR: KO e odota testového kritéria eadla do kritického oboru, hyotézu : D tedy e. Mezi výsledky obou metod ebyl shledá statisticky výzamý rozdíl..4 esty dobré shody yotéza o tom, že studovaá data výběr ocházejí z určitého teoretického očekávaého rozděleí se ověřuje tzv. testem dobré shody jedá se o shodu mezi teoretickým očekávaým a emirickým ozorovaým, výběrovým rozděleím. Nulovou a alterativí hyotézu v tomto říadě formulujeme takto: : Základí soubor má očekávaé rozděleí. : Základí soubor emá očekávaé rozděleí. Nejzámějším testem dobré shody je Pearsoův test χ -test dobré shody agl. Goodess of Fit test. Pearsoův test χ -test dobré shody eto test ověřuje, zda se ozorovaé četosti i jedotlivých variat áhodé veličiy shodují s očekávaými četostmi oi, což jsou četosti, které bychom očekávali v říadě latosti ulové hyotézy. Chceme-li ověřit, zda výběr ochází z diskrétího rozděleí, ak ro variatu x i zjistíme její ozorovaou četost i jako očet výskytů hodoty x i ve výběrovém souboru a očekávaou četost oi vyočteme odle vzorce oi. P X xi, kde je rozsah výběru a X áhodá veličia s rozděleím odovídajícím ulové hyotéze. Ověřujeme-li, zda výběr ochází z rozděleí sojitého, musíme ejrve rvky výběrového souboru rozdělit do k tříd, tedy do k itervalů a i, b i. Za hodoty x i ak bereme středy těchto
tříd tz. xi ai bi /, hodoty i určíme jako třídí četosti v jedotlivých třídách a hodoty oi vyočteme odle vzorce oi. P X ai, bi, kde je rozsah výběru a X áhodá veličia s rozděleím odovídajícím ulové hyotéze. Počet tříd k řitom musíme volit tak, aby byly slěy ásledující odmíky: - všechy očekávaé četosti oi musí být větší ež, - ejvýš % očekávaých četostí oi může být meších ež 5, - edooručuje se volit očet tříd k větší ež. Pokud máme zadaý třídě rozděleý soubor, kde tyto odmíky ejsou slěy, rovedeme sloučeí sousedích tříd v ezbytém rozsahu. Pokud ulová hyotéza udává eje ty rozděleí, ale i všechy jeho arametry, jde o úlě secifikovaý test. Příkladem úlě secifikovaého testu může být aříklad ověřeí toho, zda výběr ochází z Poissoova rozděleí se středí hodotou Poissoovo rozděleí má jede arametr λ, který je rove středí hodotě tohoto rozděleí. V moha říadech ás však zajímá ouze to, zda výběr ochází z určité třídy rozděleí aříklad z rozděleí ormálího. Je-li v ulové hyotéze urče ouze ty rozděleí, res. ejsou-li zadáy všechy jeho arametry, mluvíme o eúlě secifikovaém testu. V tomto říadě je třeba esecifikovaé arametry očekávaého rozděleí odhadout z áhodého výběru. Počet takto odhadovaých arametrů ak budeme začit s. Jako testové kritérium u χ -testu oužíváme áhodou veličiu k X N i Noi / Noi, i která má ři latosti ulové hyotézy rozděleí k s, tedy rozděleí s k s stui volosti. Jelikož vysoké hodoty testového kritéria odovídají velkým rozdílům mezi ozorovaými a očekávaými četostmi a budou tedy svědčit ve rosěch alterativy, bude kritickým oborem iterval k s ; a celý test můžeme shrout takto: : Základí soubor má očekávaé rozděleí. : Základí soubor emá očekávaé rozděleí. k K: X N N / N k s kde: N i i i oi oi ozorovaá četost i-té hodoty res. v i-té třídě, N oi očekávaá četost i-té hodoty res. v i-té třídě, k očet růzých hodot áhodé veličiy X res. očet tříd, s očet ezávislých arametrů očekávaého rozděleí, které musíme odhadout z áhodého výběru KO: k s, ZÁVĚR: KO KO e tz. okud > k s, ak, jiak e Příklad.4.: Náhodý výběr byl rozděle do tříd a byla určea emirická středí hodota,7 a emirická diserze,73. Za ředokladu, že soubor má exoeciálí rozložeí, byly určey očekávaé četosti v jedotlivých třídách, jak je uvedeo v tabulce:
i třída i oi, -,4 5 38,9,4 -,8 7 3,8 -, 4 4, -,6 5, 5,6 -, 8,4 6, -,4 4 8,5 7,4 -,8 8 5,88 8,8-3, 5 4,9 9 3, - 3,6 3,3 3,6-4,,8 a Formulujte ulovou a alterativí hyotézu ro Pearsoův test dobré shody. b Dolňte očekávaé četosti, které v tabulce chybí. c Vyzačte sloučeí tříd v otřebém rozsahu a staovte závěr a hladiě výzamosti %. Řešeí: a : Základí soubor má exoeciálí rozděleí. : Základí soubor emá exoeciálí rozděleí. b X ~ E ; x,7; s, 73, x, x E X ; F x = ; 44 E X x,7 e x i, x i,4;,8. P X,4;,8. P,4 X,8.[ F,8 F,4] o o /,7.,8 /,7.,4 e e 8, 39 44. 44* EXPON. DI,8;/,7; EXPON. DI,4;/,7; 8,39,8;,. P X,8;,. P,8 X,.[ F, F,8] /,7., /,7.,8 e e, 7 44. 44* EXPON. DI,;/,7; EXPON. DI,8;/,7;,7 c, Po dolěí chybějících očekávaých četostí bylo třeba sloučit osledí dvě třídy, eboť ebyly slěy ředoklady Pearsoova testu 3 z celkového očtu očekávaých četostí byly meší ež 5, což je více ež %: řed sloučeím: o sloučeí: iterval i oi i oi, -,4 5 38,9 5 38,9,4,8 7 8,39 7 8,39,8, 4,7 4,7,,6 5, 5,,6, 8,4 8,4,,4 4 8,5 4 8,5,4,8 8 5,88 8 5,88,8 3, 5 4,9 5 4,9 3, 3,6 3,3 3 5,4 3,6 4,,8
k K: X N i Noi / N k i i i oi k s, / oi oi 7,8867 9, 7 8,4753 tuto hodotu ajdeme v říslušých statistických tabulkách ebo vyočteme v Excelu jako CIINV,;7, k = 9 je očet tříd a s =, eboť z áhodého výběru jsme odhadovali arametr KO: k s, = 8,4753; ZÁVĚR: KO e Dá se ředokládat, že základí soubor má exoeciálí rozděleí. Příklad.4.: Výrobí firma odhaduje očet oruch určitého zařízeí během de omocí Poissoova rozděleí se středí hodotou,. Zaměstaci zazameali skutečé očty oruch ve 5 dech, viz tabulka. Ověřte, zda lze očet oruch daého zařízeí během de skutečě modelovat omocí Poissoova rozděleí s arametrem λ =,. Počet oruch 3 4 a více Počet dů 5 48 36 4 Řešeí: : Základí soubor má Poissoovo rozděleí s arametrem λ =,. : Základí soubor emá Poissoovo rozděleí s arametrem λ =,. Poissoovo rozděleí má ouze jediý arametr λ. eto arametr je secifiková v ulové hyotéze, tz. jde o úlě secifikovaý test očet odhadovaých arametrů s =. Defiujeme-li áhodou veličiu X jako očet oruch daého zařízeí během jedoho de, ak k jejím hodotám x i očet oruch a jejich ozorovaým četostem i očet dů vyočteme očekávaé četosti oi odle vzorce oi. P X xi, kde ro výočet říslušé ravděodobosti oužijeme zámý vztah ro ravděodobostí fukci Poissoova k rozděleí: P X k e k!.,, o. P X 5. e 45,8,!,, o. P X 5. e 54,,!,, o. P X 5. e 3,53,! 3,, o 3. P X 3 5. e 3,, 3! 3,,,,,,, o 4a více. P X 4.[ P X 4] 5. e e e e!!! 3! 5,7 Dostáváme tedy tabulku: x i 3 4 a více i 5 48 36 4 oi 45,8 54, 3,53 3, 5,7, 3
k K: X N i Noi / N k i i i oi k s,5 / oi oi 3,33 5,5 4 9,4877 tuto hodotu ajdeme v říslušých statistických tabulkách ebo vyočteme v Excelu jako CIINV,5;4, s = eboť z áhodého výběru jsme eodhadovali žádý arametr KO: k s, = 9,4877; ZÁVĚR: KO e Dá se ředokládat, že základí soubor má Poissoovo rozděleí s arametrem λ =,. 4
Příklady k rocvičeí:. Dva automaty vyrábějí součástky téhož druhu. Ze součástek vyrobeých rvím automatem jsme změřili 9 součástek, ze součástek vyrobeých druhým automatem součástek. Výběrové diserze měřeé délky byly s 6 μm, s 3 μm. Za ředokladu ormality rozděleí obou výběrů ověřte a hladiě výzamosti = 5% hyotézu o shodě diserzí.. Každé ze dvou olí bylo rozděleo a láů a a ich zaseto obilí, řičemž a láech rvího ole bylo oužito seciálí hojivo. U výosů z láů rvího a druhého ole byly vyočtey růměry x 6, x 5, 7 a výběrové roztyly s, 7, s, 7. Za ředokladu ormality rozděleí obou výběrů zjistěte a 5% hladiě výzamosti, jestli hojeí mělo růkazý vliv a výosy. 3. dobrovolíků zkoušelo účiky redukčí diety. Počátečí a kocové hmotosti v kilogramech, u kterých ředokládáme ormálí rozděleí, jsou uvedey v tabulce. Můžeme tuto dietu dooručit? a začátku 83 9 8 73 74 88 79 93 8 86 a koci 8 84 77 7 76 85 75 9 74 86 4. Iteligečí kvociet IQ, který oisuje iteligeci jedotlivce, má v běžé oulaci ormálí rozděleí, řičemž za růměrou hodotu se ovažuje IQ bodů. Při testu iteligece, kterého se zúčastilo áhodě vybraých studetů jistého gymázia, byly aměřey ásledující hodoty IQ: 65, 98, 3, 77, 93,,, 3, 8, 94. Dá se a základě těchto iformací tvrdit, že středí hodota IQ studetů tohoto gymázia je odrůměrá? 5. Na dálici byly v růběhu ěkolika miut aměřey tyto časové odstuy v sekudách mezi růjezdy jedotlivých vozidel:,5; 6,8; 5,; 9,8; 4,;,3; 4,;,9; 8,7; 7,7; 5,9; 5,3; 8,4; 3,6; 9,; 4,3;,6; 3,; 5,4; 8,6; 4,;,9;,5;,8;,6; 5,9; 8,3; 5,; 6,9; 5,;,3; 6,4; 6,5; 5,7; 3,6; 4,8; 4,; 7,3; 4,9;,6; 5,; 5,3; 4,; 3,3; 6,; 4,6;,6;,9;,5;,; 4,3; 5,5;,;,9; 3,; 3,8;,;,5; 8,6; 4,4; 6,8; 5,; 3,; 8,; 4,; 4,7; 7,3;,3;,9;,9; 4,6; 6,4; 5,3; 3,9;,4;,; 6,; 4,3;,6;,7;,;,8; 3,7; 6,9;,8; 4,3; 4,9; 4,; 4,5; 4,4;,9; 9,; 5,6; 4,8;,8;,; 4,3;,;,6;,5;,;,3;,8;,6; 3,8; 3,;,6; 4,9;,8; 3,9; 3,4;,6; 4,5; 5,8; 6,9;,8;,6; 6,8;,5;,9; 3,;,8;,6;,; 4,9;,;,6;,; 3,8;,;,8;,4. Ověřte, zda lze časové odstuy mezi růjezdy vozidel a dálici modelovat omocí áhodé veličiy s ormálím rozděleím. 5