2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

Transkript

1 . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité takovýto proces stadardizovat a uvést a pravou míru. V dalším se tedy budeme zabývat ovým pojmem, pojmem áhodé veličiy. Defiice.. Nechť dále X : Ω Ø R je reálé zobrazeí, pro které platí { ω Ω; X ( ω) < c} œ A, potom toto zobrazeí azveme áhodou veličiou. Defiice vypadá velmi abstraktě, ale jak uvidíme je sestavea takto proto, abychom mohli velmi jedoduše používat k popisu áhodých veliči jedodušší prostředky apř. distribučí fukce. Náhodé veličiy budeme většiou ozačovat velkými písmey a a rozdíl od áhodých jevů, velkými písmey z koce abecedy. Při řešeí kokrétích úloh se setkáváme především s dvěma typy áhodých veliči s diskrétí a se spojitou áhodou veličiou. Diskrétí áhodá veličia X může abývat je koečého ebo spočetého počtu hodot; spojitá áhodá veličia abývá hodoty z ěkterého itervalu ( a,b). Defiice.. Nechť dále je X áhodé veličia. Potom ji azýváme : def a) Diskrétí áhodou veličiou X (Ω) je koečá ebo spočetá možia; def b) Spojitou áhodou veličiou X (Ω) = I, kde I je reálý iterval. Jako dobrého kadidáta a áhodou veličiu diskrétího typu si můžeme představit áhodou veličiu, která bude popisovat arozeí chlapce v případě dvojčat. Dalším podobým příkladem je áhodá veličia, která popisuje hodotu odpovědí a otázku v testu. Myslím, že každý teto typ áhodé veličiy může vytvořit a umí ho iterpretovat. Druhým případem jsou áhodé veličiy spojitého typu, jde o případy, kdy možých výsledků je velmi moho. Při měřeí se apříklad vyskytují chyby daé přístrojem ( systematické chyby ) a chyby áhodé. Ve většiě případů jsou áhodé chyby spojitého charakteru. Pro popis áhodých veliči se hodí aparát tzv. distribučí fukce. Defiice..3. Nechť dále je X áhodé veličia. Distribučí fukcí áhodé veličiy F azveme reálou fukci defiovaou předpisem F (x) = P( X < x) (.) Výhoda využití této fukce spočívá v tom, že většiu abstraktích úvah můžeme provádět v prostředí možiy reálých čísel tedy a reálé ose. Při popisu jakékoli áhodé veličiy si právě distribučí fukci sažíme určit pokud možo jedozačě, abychom pomocí í mohli zjistit ěkteré výzamé vlastosti áhodé veličiy ( kvatily, středí hodotu, modus atd. ). Pro jedotlivé typy áhodých veliči se ještě dále zavádí pojmy hustoty áhodé veličiy a pojem pravděpodobostí fukce. Defiice..4. Nechť dále je X diskrétí áhodá veličia. Potom fukci P : x # P(X = x ) (.) azveme pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X. c R

2 platí Defiice..5 Nechť dále je X spojitá áhodé veličia. Potom reálou fukci f defiovaou tak, že x F ( x) = f ( u) du (.3) azveme hustotou áhodé veličiy X. Příklady jedotlivých typů áhodých veliči a jejich popisů uvedeme v dalších částech této kapitoly. Nejdříve ale uvedeme tvrzeí o vlastostech distribučí fukce áhodé veličiy. Tvrzeí.. Nechť dále je X áhodé veličia a F je její distribučí fukce. Potom má fukce F ásledující vlastosti: a) Fukce F je eklesající; b) Fukce F je zleva spojitá v každém bodě svého defiičího oboru; c) P(a X < b) = F(b) F(a), pro všecha a b; d) F( x) ; lim = x lim F( x) = e). x Toto tvrzeí je jedím ze základích tvrzeí o distribučí fukci. Stručě můžeme pomocí ěho apříklad vyloučit, že ějaké fukce je distribučí fukcí, můžeme pomocí ěho počítat pravděpodobost, že áhodá veličia je prvkem ějakého itervalu.. Náhodé veličiy diskrétího typu.. Degeerovaé rozděleí, x = x Nejjedodušší typ áhodé veličiy. Zvolme x œ R. Nechť P. x., x x Pravděpodobostí fukce tedy abývá je hodoty a Pravděpodobostí fukce Distribučí fukce Pravděpodobostí fukce degeerovaého rozděleí F(x),9,8,7,6,5,4,3, P(x),9,8,7,6,5,4,3,,, V praxi teto typ áhodé veličiy ehraje žádou roli. Někdy se také ozačuje jako degeerovaé ormálí rozděleí... Alterativí rozděleí Teto typ áhodé veličiy hraje již výzamější roli jak v praktickém uplatěí áhodých veliči. Pomocí í můžeme sado modelovat situace, které mají dvě alterativí

3 odpovědi apř. pokus se podařil, pokus edopadl dobře; odpověď a otázku je pozitiví, odpověď je egativí. Toto rozděleí je i základím rozděleím pro biomické rozděleí. Budeme ho defiovat podobě jako v předchozím případě pomocí pravděpodobostí fukce ( všiměme si, že hodota závisí a parametru p): P : x p, x = p, x =, jiak Pravděpodobostí fukce p =,3 p =,8 (.4),8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5,9,8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5 Distribučí fukce,,9,8,7,6,5,4,3,, - -,5,5,5,,8,6,4, - -,5,5,5...3 Biomické rozděleí Jde o případ jedé z ejdůležitějších diskrétích áhodých veliči. Toto rozděleí odpovídá případu, kdy zjišťujeme při provedeí ezávislých pokusů počet úspěšých provedeí pokusu, přičemž pravděpodobost úspěšého provedeí pokusu je rovo hodotě p ( jde o číslo z itervalu (, ) a pravděpodobost eúspěšého provedeí pokusu je rovo p. Je zřejmé, že toto rozděleí může abývat hodot od do. Pokud porováme toto rozděleí s předchozím alterativím rozděleím vidíme, že biomické rozděleí vziká jako součet alterativích rozděleí se stejým parametrem p. Je li v každém pokusu pravděpodobost úspěšého provedeí pokusu rova p, potom pravděpodobost, že v ezávislých pokusech astae přesě k úspěšých provedeí pokusu je rova k k P(X = k ) =. p.( p), pro k =,,, (.5) k Připomíáme, že symbol je kombiačí číslo udávající počet k čleých k kombiací z prvků bez opakováí, vypočte se ásledujícím způsobem:

4 ! = (.6) k k!.( k)! Pozameejme, že hodota! se azývá faktoriál a určuje se je pro ezáporá celá čísla jako souči přirozeých čísel meších ebo rových s hodotou ;! =. Pro vlastí práci se biomické rozděleí ozačuje symbolicky jako Bi(,p). Vidíme tedy, že toto rozděleí má dva parametry Většiou toto rozděleí určujeme tabulkou. Uveďme si dále pravděpodobostí fukce ěkolika biomických rozděleí. = ; p =,3 = ; p =,8,3,5,,5,, ,35,3,5,,5,, = 3; p =, = 3 ; p =,8,,5,,5,,5,, = ; p =,5 =; p=,,,8,6,4, 4 6 8,4,,,8,6,4, Uvedeme ěkolik příkladů vedoucích a biomické rozděleí. Příklad..3. Předpokládejme, že arozeí chlapce je,5. Zjistěte jaká je pravděpodobost, že v rodiě s 5 dětmi jsou právě dva chlapci! Řešeí: Uvedeme tabulku biomického rozděleí Bi(5;,5): k(počet chlapců) P(X=k) /3 5/3 /3 /3 5/3 /3 Z tabulky je zřejmé, že tato hodota je rova 5/3 =,565. Příklad..3. Zjistěte jaká je pravděpodobost, že v rodiě s 5 dětmi je více ež chlapci? Řešeí: Využijeme předchozí tabulku a daá pravděpodobost je tedy rova součtu : /3 + 5/3 + /3 = 6/3 = ½ =,5. Daá pravděpodobost je rova,5. Při kokrétím způsobu vyčíslováí hodot (.) velmi často arážíme a problém vyčísleí faktoriálů pro velké hodoty ebo k. Protože platí tzv. záko velkých čísel, je

5 možo aproximovat biomické rozděleí ormálím rozděleím. Kokrétí způsob si ukážeme v části. Platí pravidlo : Biomické rozděleí můžeme aproximovat s postačující přesostí pomocí ormálího rozděleí jestliže 9 > p( p) (.7)..4 Poissoovo rozděleí Náhodá veličia tohoto druhu vziká buď tehdy, kdy události určitého druhu astávají áhodě v prostoru ebo v čase ( poruchy, oemocěí atd. ) ebo jako limití případ biomického rozděleí. Je li pravděpodobost p oé áhodé události relativě malá a rozsah opakováí velký potom Poissoovo rozděleí podstatě splývá s biomickým rozděleím ( viz Poissoova věta ). Jak uvidíme Poissoovo rozděleí je pro vlastí výpočet mohem jedodušší, ež výpočet biomických koeficietů. Nechť X je áhodá veličia, která odpovídá počtu výskytů výjimečé události apř. poruše v daém časovém itervalu. Veličia X může abývat celočíselých hodot od do. Nechť l je kostata, která odpovídá průměrému počtu událostí v itervalu. Potom λ x e. λ P( X = x) = (.8) x! Náhodou veličiu X azveme Poissoovým rozděleím s parametrem l ( číslo e je základ přirozeých logaritmů e U,788.Symbolicky začíme Poissoovo rozděleí Po(l), parametr l >. Pokud chceme použít Poissoovo rozděleí je uto split ásledující pravidla: a) Pravděpodobost výskytu jedé události v daém itervalu je úměré délce tohoto itervalu b) Události se vyskytují ezávisle jak ve stejém itervalu, tak v po sobě jdoucích itervalech Příklad..4. Předpokládejme, že v lidské populaci se vyskyte vzácá choroba s pravděpodobostí,. Ve vzorku lidí máme určit pravděpodobost, že vzorek eobsahuje žádého emocého, jedoho emocého! Řešeí: Pravděpodobost výskytu choroby je,, předpokládaý počet emocých je tedy l =,. =. K výpočtu použijeme vzorec (.4) e. x = ï,367879! = e. x = ï,367879! =. Na závěr si uvedeme pravděpodobostí fukce dvou Poissoových rozděleí. l = 5 l = 34,,,8,6,4, ,8,7,6,5,4,3,,

6 . Spojité áhodé veličiy Podle defiice je spojitá áhodá veličia charakterizováa tím, že její obor hodot je celý reálý iterval I. Jak již víme můžeme ji popsat pomocí distribučí fukce ebo častěji pomocí fukce hustoty. Distribučí fukce přiřazuje každému reálému číslu x pravděpodobost toho, že áhodá veličia X bude mít hodotu meší ež x. Jestliže vycházíme z grafického zázorěí fukce hustoty, potom pravděpodobost, že áhodá veličia X leží v itervalu (a,b) je rova ploše vymezeé grafem fukce hustoty a osou x v itervalu (a,b)... Rovoměré rozděleí Toto rozděleí je charakteristické jedoduchou fukcí hustoty, která abývá je dvou hodot. Nechť a, b œ R ; a < b. Defiujme hustotu f takto :, x R \ (a,b) f : x (.9), x (a,b) b - a Hodota distribučí fukce je potom dáa ásledujícím předpisem:, x a x a F : x, x ( a, b > (.) b a, x > b Toto rozděleí má především teoretický charakter, ejužívaější je případ volby parametrů a = a b =. Pro teto případ zobrazíme hodotu hustoty a distribučí fukce: Slouží apříklad k tvorbě geerátorů áhodých čísel, které hrají důležitou roli v teorii výběru dat. Hustota f(x) Distribučí fukce F(x),,8,6,4, - -,,8,6,4, Cauchyho rozděleí Jde opět o případ rozděleí, které je důležité především z teoretických důvodů. Nechť a>, potom je hustota rozděleí defiováa takto:

7 a f : x., (.) π a + x Podle vztahu (.3) je distribučí fukce rova : x π F : x. arctg +, (.). π a V dalším uvedeme ukázku hustoty a distribučí fukce pro případ a=: hustota pro hodotu a= Distribučí fukce pro hodotu a=,35,3,5,,5,, ,,8,6,4, Normálí rozděleí Jestliže budeme provádět ějaký pokus ( e utě áhodý ) zjistíme, že výsledek je ovlivě částmi eáhodého charakteru ( apř. přírodí zákoy ) a částí áhodou ( měřící přístroje atd.). Proto může být výsledek za stejých podmíek růzý. Pokud ale opakujeme takovéto pokusy mohokrát zjistíme, že průměré hodoty výsledků se budou postupě velmi málo od sebe lišit, áhodá část výsledků se potom realizuje v poloze výsledku vůči průměré hodotě. V praxi jsou velmi často splěy předpoklady ( formulovaé již Gaussem při staoveí zákoa rozděleí chyb ): a) Působí velmi moho áhodých avzájem ezávislých a aditivích veliči ( áhodé vlivy se sčítají ) b) Vliv každého každé áhodé veličiy a skutečou měřeou hodotu je zaedbatelě malý c) Kladé vlivy jsou stejě pravděpodobé jako záporé. Za těchto předpokladů získáme rozděleí zákou chyb, které se azývá ormálí rozděleí. Slovo ormálí je zde použito ve výzamu řídící se zákoem či modelem. Normálí rozděleí se ěkdy také azývá Gaussovo...3. Obecé ormálí rozděleí Hustota ormálího rozděleí má ásledující tvar ( x µ ). σ f ( x) =. e (.). σ.. π V tomto vyjádřeí jsou e U,78 ( Eulerova kostata ); p U 3,4; kostata m je středí hodota rozděleí ; kostata s je směrodatá odchylka rozděleí. Protože je hustota určea přesě při zalosti dvou parametrů m a s, ozačujeme toto rozděleí jako N(m, s ). Na obrázku íže uvedeme tři růzé hustoty ormálích rozděleí.

8 ,8,7,6,5,4,3,, N(-,4) N(,) N(4;,5) Z předchozích grafů můžeme usoudit a ěkteré vlastosti grafu hustoty ormálího rozděleí: a) Fukce hustoty abývá svého maxima v bodě x = m. b) Hustota je tím meší, čím je bod x dále od hodoty m c) Graf hustoty je symetrický podle přímky x = m. d) Všechy grafy mají zvoovitý tvar e) Žádý graf eprotíá osu x, leží stále ad í f) Plocha pod každým grafem je rova jedé Jak je již zámo z tvrzeí.. je pravděpodobost, že áhodá veličia typu N(m, s ), abude hodot z určitého itervalu, je rova ploše pod hustotou ad tímto itervalem. Tedy platí ásledující údaje: ) 68,7% hodot leží v itervalu (m - s,m,+s) ) 95% hodot leží v itervalu (m -. s,m,+. s) 3) 99% hodot leží v itervalu (m - 3. s,m,+3. s) Důležitou součástí práce s ormálím rozděleím je zalost distribučí fukce. Dříve bylo uto pracovat s tabulkami, které měli hodoty distribučí fukce tabelováy. To je des samozřejmě ahrazeo prací s počítačem. Je proto možo alézt prakticky libovolé hodoty distribučí fukce. Z historických, ale i teoretických důvodů je ejdůležitější rozděleí tohoto typu áhodá veličia N(, ). V další části se proto budeme specielě věovat této áhodé veličiě.

9 ..3. Normovaé ormálí rozděleí Toto rozděleí získáme volbou m = a s = v předchozí části.,8,6 Distribučí fukce F(x),4 hustota f(x), Jde o jedo z ejdůležitějších rozděleí, jeho distribučí fukce má specielí ozačeí F(x) a samo rozděleí se ěkdy ozačuje jako rozděleí Z ~ N(, ). Pomocí lieárí trasformace lze alézt hodoty áhodé veličiy N(m, s ) pomocí hodot rozděleí N(, ). Proto byly hodoty tohoto rozděleí tabelováy. Tato trasformace je rova u = x µ (.3). σ Jestliže je X~ N(m,s ) bude áhodá veličia µ U = X ~ N(,) (.4) σ Hodota f(x) hustoty ormovaého ormálího rozděleí je rova x f ( x) =. e (.5).. π Protože toto rozděleí hraje velmi důležitou roli v kokrétích případech statistických šetřeí, má jako jedié specielě ozačeou distribučí fukci F(x). V moha reálých situacích je toto rozděleí limitím případem a lze ho tedy používat apř. při práci s biomickým, Poissoovým rozděleím. Protože fukce hustoty f(x) rozděleí N(,) je symetrická podle počátku viz (.5). Musí platit pro distribučí fukci F(x) ásledující rovost : F(-x) = - F(x) (.6) Hodoty distribučí fukce N(,) jsou uvedey v tabulce 3. Příklad..3.. Jaká je pravděpodobost, že hodota proměé typu N(,) leží v itervalu <-,>? Řešeí: V tabulce jsou tabelováy je kladé hodoty. Pro záporé hodoty se vychází ze vztahu (.6). Protože F() =,9775, musí být tedy F(-) = -,9775 =,75. Podle vlastost c) v tvrzeí.. je hledaá pravděpodobost rova rozdílu mezi hodotami F() a F(-). Tedy P = F() - F(-) =,9775,75 =,9545.

10 Příklad..3.. Řešme stejý příklad pro případ N(,4) ; N(-,) a N(,4)! Řešeí: µ Podle vztahu (.4) U = X je N(,) σ.je li X ~ N(,4), je U = (X-)/ ~ N(,). Přepočteme ejprve meze itervalu <-,>; u = (--)/ = -,5 a u = (-)/ =,5. Hledaá pravděpodobost je potom P = F(,5) - F(-,5) =,6946,6687 =, Je li X ~ N(-,), je U = (X+)/ ~ N(,). Přepočteme opět meze itervalu <-,>; u = (- + )/ = ; u = ( + )/ U,649. Hledaá pravděpodobost P = F(,649) - F() =,9775,5 =, Je li X ~ N(,4), je U = (X)/ 4 ~ N(,). Přepočteme opět meze itervalu <-,>; u = (- - )/ 4 = -,363 ; u = ( )/ 4 U,363. Hledaá pravděpodobost P = F(,363)- F(-,363 ) =,6485 -,37595 =.,487. Příklad Nechť X~N(,). Nalezěte hodoty itervalů <-a,a>, pro které P(Xœ<-a,a>)= p. Proveďte pro hodoty p=,9;,95;,975;,99;,995! Řešeí: Vzhledem k vlastostem distribučí fukce F(x) budeme hledat hodoty x p takové, že F(x p ) = (+p)/. Tyto hodoty x p budou potom rovy hodotě a. Řešeí uvedeme v tabulce: p,9,95,975,99,995 x p = a,644853,959963,44,57583,874 Následující áhodé veličiy hrají velmi výzamou roli v prostředí statistiky, mají cetrálí roly v moha případech itervalových odhadů, statistických hypotéz, v statistické regresy a korelaci. V íže uvedeých výrazech se vyskytuje tzv. gamma fukce ozačovaá symbolem G. Tato fukce je popisováa v základích matematických příručkách či příručkách statistických apř. v předášce...4 c rozděleí o stupích volosti Toto rozděleí hraje velkou roli jak v teorii odhadu, tak i ve výzamých typech eparametrických statistických hypotéz. Jde o jedo parametrické rozděleí. Parametrem je přirozeé číslo, azývaé stupěm volosti. Jak uvidíme v dalších kapitolách toto rozděleí je rovo součtu ezávislých áhodých veliči, které jsou rovy druhé mociě rozděleí N(, ). Hustota tohoto rozděleí je staovea takto: x - f ( ). x.e, x > x = (.7). Γ Toto rozděleí se vyskytuje apř. v testech dobré shody v ichž je základím aparátem. Velmi důležitým je také při práci tzv. t testu. Dále jsou uvedey vybraé grafy hustot a distribučích fukcí pro čtyři růzé případy počtu stupňů volosti.

11 ,9,8,7,6,5,4,3,, =5 5 5 F(x) f(x),45,4,35,3,5,,5,,5,9,8,7,6,5,4,3,, = 5 5 F(x) f(x),,9,8,7,6,5,4,3,,,9,8,7,6,5,4,3,, = 5 5 F(x) f(x),3,5,,5,,5,8,6,4, =35,3,5,,5,,5 5 5 F(x) f(x)..5 Studetovo rozděleí ( t rozděleí ) Jde o jedo ze základích rozděleí. Využívá se především v teorii odhadu. Je jedo parametrické, parametr azýváme opět stupěm volosti( může abývat hodot přirozeých čísel ). Rozděleí je symetrické a pro hodoty velkých ( >) je dobře aproximováo rozděleím N(, ). Podobě jako u rozděleí c ho lze určit také ásledujícím vztahem: U X =, U ~ N(,), C - χ rozděleí (.8) C Hustota tohoto rozděleí je rova: + Γ f ( ) x = Γ. π. stupeň: x. + + (.9) stupeň:,45,9,4,8,35,7,3,6,5,5,4,,3,5,,,, ,4,9,35,8,7,3,6,5,5,,4,5,3,,,, F(x) f(x) F(x) f(x) Asymptotickým rozděleím k tomuto rozděleí je N(,). Proto pro velké hodoty stupě volosti volíme áhradu za ormovaé ormálí rozděleí.

12 ..6 Fischer Sedecorovo rozděleí ( F rozděleí ) Toto rozděleí se využívá především při porováí rozptylů dvou výběrů. Ovšem stále častěji je také využíváo v F testu apříklad v regresy a korelaci ebo v aalýze rozptylu. Jde o dvou parametrické rozděleí. Parametry se azývají stupě volosti. Podobě jako u předchozích rozděleí je možo získat F - rozděleí jako fukci jiých rozděleí. Kokrétě : Nechť X je rozděleí c o stupích volosti a X je rozděleí c o m stupích volosti, echť dále jsou obě rozděleí ezávislá. Potom áhodá veličia F defiovaá X F = (.) X m je F rozděleí s, m stupi volosti. Vlastí hodota hustoty tohoto rozděleí je uvedea dále + m Γ + m f, m ( x) =.. x. +. x (.) m m m Γ. Γ =, m= =, m=,9,8,7,6,5,4,9,8,7,6,5,4,3,3,,,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 Distribučí fukce hustota Distribučí fukce hustota =, m=6 =5, m=5,9,4,8,,7,6,5,8,4,6,3,,4,,,5,5,5 3 3,5 4 4,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 Distribučí fukce hustota Distribučí fukce hustota