Statistika pro metrologii

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistika pro metrologii"

Transkript

1 Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých techologií a materiálů (CZ.1.07/2.3.00/ )

2 I. Matematická statistika kombiatorika áhodý pokus, áhodý jev pravděpodobost jevů diskrétí áhodá veličia spojitá áhodá veličia číselé charakteristiky áhodé veličiy základí diskrétí typy rozděleí pravděpodobosti základí spojité typy hustoty pravděpodobosti systematizace fukcí rozděleí áhodých veliči áhodý vektor číselé charakteristiky áhodého vektoru mometové charakteristiky áhodého vektoru

3 Kombiatorika 1 1. Variace k-té třídy z prvků uspořádaé skupiy po k prvcích z daých prvků Počet variací k-té třídy z prvků bez opakováí V k = 1 2 k 1 = 1 2 k 1 V k =! k! Počet variací k-té třídy z prvků s opakováím V k ' = k 2. Permutace prvků každá uspořádaá -tice vybraá z prvků Počet permutací prvků bez opakováí P = =! Počet variací k-té třídy z prvků s opakováím! P ' = 1! 2! k! 1 2 k =

4 Kombiatorika 2 3. Kombiace k-té třídy z prvků skupiy o k prvcích z prvků Počet kombiací k-té třídy z prvků bez opakováí! C k = k! k! = k Počet kombiací k-té třídy z prvků s opakováím C k ' = k 1 k 4. Některé vlastosti kombiačích čísel k = k 0 = =1 k k 1 = 1 k 1

5 Náhodý pokus, áhodý jev Pokus je uskutečěí určitého, jedozačě staoveého systému podmíek. Jev je výsledek (a též každý důsledek) provedeého pokusu. (jev emožý, jev jistý, jevy áhodé) Základí jevový prostor Ω je eprázdá možia, jejíž prvky jsou možé výsledky pokusu, tzv. elemetárí jevy. Jev je podmožia jevového prostoru. (jev emožý V = prázdá možia, jev jistý U = celá možia Ω) ALGEBRA JEVŮ: Součet jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astae alespoň jede z jevů A, B. Začíme A+B Souči jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astaou oba jevy současě. Začíme A.B Rozdíl jevů A, B je jev, který astae právě tehdy, když astae jev A a eastae jev B. Začíme A-B Jev oa je opačý k jevu A, je-li o A A=U Jevy A, B jsou eslučitelé (disjuktí), když platí A. B=V Jevy A 1, A 2, A tvoří systém eslučitelých jevů, je-li A i. A j =V pro všecha i j Systém eslučitelých jevů je úplý, je-li A 1 A 2 A =U

6 Pravděpodobost jevů - defiice Axiomatická defiice pravděpodobosti: Nechť Ω je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo P(A), pro ěž platí: 1. P A 0 axiom ezáporosti 2. P U =1 axiom jedotky 3. P A 1 A 2 = P A 1 P A 2 axiomaditivity jsou li jevy A 1, A 2, avzájem eslučitelé Klasická defiice pravděpodobosti: Nechť je dáo elemetárích jevů, které tvoří úplý systém eslučitelých jevů a jsou stejě možé. Rozkládá-li se jev A a m (m<) elemetárích jevů z tohoto systému, pak pravděpodobost jevu A je reálé číslo: P A = m Geometrická defiice pravděpodobosti: V roviě (případě a přímce ebo v prostoru) je dáa určitá oblast Ω a v í další uzavřeá oblast A. Pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, že áhodě zvoleý bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: P A = A kde A, jsou míry oblastí A a Ω. Statistická defiice pravděpodobosti: Nechť A je hromadý jev. Nastae-li v pokusech jev A právě jevu A: f P A =lim f Číslo se azývá absolutí četost jevu A, je relativí četost jevu A při pokusech. f f krát, defiujeme pravděpodobost

7 Podmíěá pravděpodobost Podmíěá pravděpodobost: Podmíěá pravděpodobost vyjadřuje pravděpodobost uskutečěí jevu A za předpokladu, že astal jev B. Zapisuje se P A/ B a je rova: P A/ B = P A.B P B Nezávislé jevy: Dva jevy A, B azýváme ezávislé, ezávisí-li pravděpodobost jedoho z ich a tom, zda se druhý uskutečí či ikoliv, tj. platí-li: P A/ B =P A Vlastosti ezávislých a eslučitelých jevů: Jsou-li jevy A, B eslučitelé, pak: P A B =P A P B Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak: P A. B =P A. P B

8 Úplá pravděpodobost, Bayesovy vzorce Úplá pravděpodobost: Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H 1 H 2 H a libovolý jev A, který může astat pouze současě s ěkterým z jevů. Pro pravděpodobost jevu A platí: P A =P H 1. P A/ H 1 P H 2. P A/ H 2 P H. P A/ H = i=1 H i P H i. P A/ H i Bayesova věta: Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H 1 H 2 H a libovolý jev A, který může astat pouze současě s ěkterým z jevů H i. Pak pravděpodobost, že astae jev H i za předpokladu, že astal jev A, je: P H, kde i / A = P H i. P A/ H i P A = P H k. P A/ H k P A k=1

9 Opakovaé pokusy Beroulliho posloupost Beroulliho posloupost: Je-li pravděpodobost jevu A v každém pokusu P(A) = p, pak pravděpodobost jevu Beroulliho poslouposti ezávislých pokusů uskutečí právě k-krát, je určea vztahem: P A k = k. pk. 1 p k Př. Házíme pětkrát kostkou. Jaká je pravděpodobost, že šestka pade dvakrát? A k, že se jev A v Řešeí: jev A: pade 6 (při jedom pokusu) P(A) = p = 1/6 počet pokusů: = 5 jev astoupí dvakrát: k = 2. Tedy: P A k =P A 2 = Praxe: Biomické rozděleí Bi(,p) p x = x. px. 1 p x 2. 5 = ,16 5 Poissoovo rozděleí Po(X) p x = x x!.e

10 Opakovaé pokusy výběry bez vraceí Výběry bez vraceí: Nechť je dá soubor N prvků, z ichž M má určitou vlastost a (N-M) ikoliv. Vybereme postupě prvků, z ichž žádý evracíme. Pravděpodobost, že mezi vybraými bude k takových, že mají sledovaou vlastost, vypočteme podle vzorce, odvozeého z klasické defiice pravděpodobosti: k Př. Máme 10 kvalitích výrobků a 5 zmetků. Vybereme dva výrobky a sledujeme pravděpodobost výskytu zmetků mezi těmito dvěma vybraými. Řešeí: P k = M k. N M P x = 5 x. 10 N x 2 15, x=0,1, 2 2 Praxe: Hypergeometrické rozděleí H(N,M,) podle ormy ČSN x P x = M x. N M N

11 Náhodá veličia Obor hodot M: Čísla přiřazeá elemetárím jevům tvoří obor hodot M proměé, kterou azýváme áhodá veličia. Náhodá veličia X: Náhodá veličia je reálá fukce defiovaá a možiě všech elemetárích jevů, která každému jevu přiřadí reálé číslo. Př. Hod micí Záko rozděleí áhodé veličiy: Záko rozděleí áhodé veličiy je pravidlo, jež každé hodotě ebo možiě hodot z každého itervalu přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia abude této hodoty. Děleí áhodé veličiy: diskrétí... obor hodot M je koečá ebo ekoečá posloupost spojité... obor hodot M je otevřeý ebo uzavřeý iterval

12 Diskrétí áhodá veličia Diskrétí áhodá veličia: Nechť X je diskrétí áhodá veličia s oborem hodot {x 1, x 2, x }, která těchto hodot abývá s pravděpodobostmi { p 1, p 2, p }. Údaje sestavíme do tabulky, ve které je každé hodotě x i přiřazea právě jeda hodota. p i x i x 1 x 2 x p i p 1 p 2 p Fukce rozložeí pravděpodobosti áhodé veličiy X (též frekvečí fukce) : Pravděpodobostí (frekvečí) fukci áhodé veličiy X azýváme fukci p x =P X =x Vlastosti frekvečí fukce: 1. p x i 0 2. p x i =1 i=1 3. P x 1 X x 2 = x 1 x 2 P x Distribučí fukce áhodé veličiy X: Reálá fukce, která přiřazuje každé hodotě áhodé veličiy X pravděpodobost, že X abude hodoty meší ež toto x i, se azývá distribučí fukce F(x). Matematicky zapsáo: P X = x i F x =P X x = x i x x i

13 Diskrétí áhodá veličia - příklad Př. Máme 5 kvalitích výrobků a 7 zmetků. Náhodá veličia X představuje počet kvalitích výrobků mezi pěti vybraými. Vytvořte pravděpodobostí a distribučí fukci takové áhodé veličiy. 5 x. 7 5 x P x = 12 5 F x =P X x = x i x P X = x i frekvečí fukce bodový graf frekvečí fukce úsečkový diagram frekvečí fukce histogram distribučí fukce

14 Spojitá áhodá veličia Distribučí fukce áhodé veličiy X: Reálá fukce, která přiřazuje každé hodotě x i áhodé veličiy X pravděpodobost, že X abude hodoty meší ež toto, se azývá distribučí fukce F(x). Matematicky zapsáo: F x =P X x Vlastosti distribučí fukce: x i 1. 0 F x 1 2. P x 1 X x 2 =F x 2 F x 1 ; x 1 x 2 3. F x je eklesající 4. F =0, F =1 5. F x je zleva spojitá,resp. spojitá Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X: Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X defiovaé a itervalu fukce defiovaá vztahem: f x = df x =lim dx h 0 F x h F x =lim h h 0 P x X x h h Vlastosti hustoty pravděpodobosti: x 1. f x 0 2. F x = 3. F x = f x dx=1 4. f x =Ḟ x f d a,b je ezáporá, reálá

15 Spojitá áhodá veličia - příklad Př. Zázorěte distribučí fukci a hustotu pravděpodobosti spojité áhodé veličiy, daé vztahem f x = exp [ 1 2. x 2], x,

16 Číselé charakteristiky áhodé veličiy Náhodá veličia X je jedozačě určea rozděleím pravděpodobosti pomocí pravděpodobostí fukce ebo hustoty pravděpodobosti, případě pomocí distribučí fukce. Tyto fukce jsou však často poměrě složité a jejich určeí pracé. Proto je výhodé shrout iformace o áhodé veličiě do ěkolika čísel, které ji dostatečě charakterizují číselé charakteristiky. Děleí áhodé veličiy podle způsobu kostrukce: mometové charakteristiky kvatilové charakteristiky ostatí charakteristiky Děleí áhodé veličiy podle vlastostí, které charakterizují: charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky šikmosti charakteristiky špičatosti

17 Mometové charakteristiky Počátečí momet k-tého řádu k = i=1 k = x j k p x j prodiskrétí áhodou veličiu x k f x dx pro spojitou áhodou veličiu Cetrálí momet k-tého řádu k = i=1 x j k p x j prodiskrétí áhodou veličiu k = x k f x dx pro spojitou áhodou veličiu Vztahy mezi počátečími a cetrálími momety 2 = = = = k 0 k 1 k 0 k 1 1 k k 2 1 k 2 1 k k k 1

18 Výzam mometových charakteristik Charakteristika polohy - prví počátečí momet = středí hodota E x = 1 = i=1 x j p x j ebo E x = 1 = x f x dx Charakteristika variability - druhý cetrálí momet = disperze D x = 2 = x j 1 2 p x j ebo D x = 2 = x 1 2 f x dx i=1 Charakteristika šikmosti třetí cetrálí ormovaý momet A= 3 kde 3 3 = i=1 x j 1 3 p x j ebo 3 = x 1 3 f x dx Charakteristika špičatosti čtvrtý cetrálí ormovaý momet B= 4 3 kde 4= 4 i=1 x j 1 4 p x j ebo 4 = x 1 4 f x dx

19 Výzam mometových charakteristik 2 Charakteristika šikmosti koeficiet šikmosti A Charakteristika špičatosti koeficiet špičatosti B

20 Kvatilové charakteristiky p-kvatil Nechť F(x) je distribučí fukce áhodé veličiy X. Pak hodota F x p = p x p, pro kterou platí: kde p 0,1 se azývá p-kvatil. Výzam p-kvatilu Prakticky používaé kvatily:

21 Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy I Beroulliho (alterativí) rozděleí A(p) Alterativí rozložeí pravděpodobosti s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá pouze dvou hodot: 1 v případě přízivého výsledku (jev astae), 0 v případě epřízivého výsledku (jev eastae). Pravděpodobostí fukce má tvar: P X =0 =1 p P X =1 = p Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E X = p, D X =1 p Rovoměré rozděleí R() Rovoměré rozložeí pravděpodobosti s parametrem má áhodá veličia X, abývající růzých hodot x i,i=1, 2, se stejou pravděpodobostí. Pravděpodobostí fukce má tvar: P X =x i = 1, pro i=1, 2,

22 Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy II Biomické rozděleí pravděpodobosti s parametry a p má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu výskytu áhodého jevu při ezávislých pokusech, přičemž teto áhodý jev má v každém pokusu stálou pravděpodobost výskytu p. Pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x. px. 1 p x Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =.p, D x =.p. 1 p Biomické rozděleí Bi(,p)

23 Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy III Poissoovo rozděleí pravděpodobosti s parametrem λ má áhodá veličia X, abývající hodot x i, i=1, 2,, když pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x x!.e, 0 Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =, D x =, A x = 1, B x =1 3 Poissoovo rozděleí Po(λ)

24 Základí typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodé veličiy IV Geometrické rozděleí Ge(p) Geometrické rozděleí pravděpodobosti s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu eúspěšých pokusů, které předcházejí prvímu úspěšému pokusu při ezávislých opakovaých pokusech, přičemž áhodý jev má v každém pokusu stálou pravděpodobost výskytu p. Pravděpodobostí fukce má tvar: p x = x. px. 1 p x Základí charakteristiky geometrického rozděleí jsou: E x = 1 p p, D x = 1 p p 2 Hypergeometrické rozděleí H(N,M,) Hypergeometrické rozděleí pravděpodobosti s parametry N, M, má áhodá veličia X, která abývá hodot počtu jedotek se zkoumaou vlastostí v vybraých jedotkách při výběru bez vraceí, přičemž je vybíráo ze souboru o velikosti N jedotek, mezi imiž je M jedotek se zkoumaou vlastostí. Pravděpodobostí fukce má tvar: x P x = M x. N M N Základí charakteristiky alterativího rozděleí jsou: E x =. M N, D x =. M N. 1 M N. M N 1

25 Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy I Trapézové (lichoběžíkové) rozděleí Tra(a,b,c,d) Hustota pravděpodobosti má obecý tvar: f x =0 pro x a, f x = x a h pro a x c, c a f x =h pro c x d, f x = b x h pro d x b, b d f x =0 pro b x, 2 kde h= [ b a ] [ d c ] = 2 r 2s t Triagulárí (trojúhelíkové) rozděleí Tri(a,b,c) Limití případ trapézového rozděleí pro c=d (s=0) Rektagulárí (rovoměré) rozděleí Rec(a,b) Limití případ trapézového rozděleí pro a=c a d=b (r=s=0) f x =0 pro x a,b, f x =h pro x a, b,kde h= 1 b a

26 Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy II Gaussovo (ormálí) rozděleí N(μ,σ 2 ) Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = 1. 2.exp [ 1 2. x 2], x, Pravidlo 3σ: P x ; =68,27% P x 2 ; 2 =95,45%, resp. přesě P x 1,96 ; 1,96 =95% P x 3 ; 3 =99,73 %, resp. přesě P x 2,57 ; 2,57 =99% Normovaé gaussovo rozděleí N(0,1) Hustota pravděpodobosti má tvar, který je trasformací Gaussova rozděleí pro μ=0 a σ=1: f x = 1 2.exp [ 1 2. x 2], x,

27 Základí typy rozděleí hustoty pravděpodobosti spojité áhodé veličiy III (Studetovo) t-rozděleí t() Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = x2 2 1 Log-ormálí rozděleí t() Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = 1 x 2 exp [ 1 2 l x 2], x 0 Expoeciálí rozděleí Exp(λ) Hustota pravděpodobosti má tvar: f x = e x x 0 f x =0 x 0

28 II. Systematizace fukcí rozděleí áhodých veliči Pearsoova soustava typy křivek Pearsoovy soustavy Johsoova soustava B-A2 diagram Burrova soustava

29 Používaé soustavy fukcí rozděleí áhodých veliči Pearsoova soustava Obecá fukce Pearsoovy soustavy pro hustotu pravděpodobosti áhodé veličiy je defiováa jako řešeí difereciálí rovice df f = x 0 1 x 2 x dx 2 přičemž růzé tvary fukce hustoty pravděpodobosti jsou dáy volbou parametrů 0, 1, 2, Johsoova soustava Základí myšlekou Johsoovy soustavy je ávrh takových elieárích trasformací, které převedou ormálí rozděleí a další typy. Jako základ je bráa hustota pravděpodobosti ormovaého ormálího rozděleí: f x = 1 2.exp [ 1 2. x2], x, Burrova soustava Burrova soustava je založea (a rozdíl od Pearsoovy a Johsoovy soustavy) a defiici distribučí fukce, která má obecý tvar: F x =[1 exp G x ] k přičemž G(x) je vhodá fukčí závislost.

30 Pearsoova soustava TYP I - beta rozděleí 1. druhu 2 2 / , c 1 x c 2 růzé, reálé kořey c 1, c 2 Variaty: typ I (a,b); typ I-j (c,d); typ I-u (e) TYP 0 - ormálí rozděleí 1 = 2 =0 ; 0 0 df f = x dx 0 TYP VII 2 2 / =0, 2 0, x komplexí kořey Variata: typ VII (o) TYP II TYP VI - beta rozděleí / =0, 2 0, c 1 x c 1 druhu df f = x symetrické kořey c 0 1 x 2 x dx 2 2 / ,c 1 x 2 1 = c 2 růzé, reálé kořey c 1 > c 2 Variaty: Variata: typ II (f); typ II-u (g) typ VI (m); typ VI-j () TYP III - gama rozděleí 2 2 / =, 2 =0, c 1 x jede reálý koře Variaty: typ III (h,i); typ III-j (j) TYP IV / , x komplexí kořey Variaty: typ IV (k) TYP V 2 2 / =1,c 1 x jede dvojitý reálý koře c 1 Variata: typ V (l)

31 Typy křivek Pearsoovy soustavy

32 Johsoova soustava Gaussovo ormovaé ormálí rozděleí N(0,1) f x = 1 2.exp [ 1 2. x2] f B x = m 2 Johsoovo rozděleí typu S B omezeé rozděleí x B =b exp x k m 1 exp x k m a b x a b z a exp { 1 2 [ k m l 2 x a b x a ] } f U x = m 2 Johsoovo rozděleí typu S U eomezeé rozděleí x U =bsih x k m a 1 x a 2 b exp{ 1 [ 2 2 k m l x a b x a 2 b 1] 2} Johsoovo rozděleí typu S L log-ormálí rozděleí f L x = x L =bexp x k m m x a 2 exp { 1 2 [ a k ml x a b ] 2 }

33 B-A 2 diagram

34 III. Teorie chyb a ejistot model měřeí kvatitativí parametry měřeí pojem chyba a ejistota měřeí stadardí ejistota typu A stadardí ejistota typu B zákoy šířeí ejistoty, rozšířeá ejistota měřeí

35 Model měřeí obecý model měřeí: Y 1 = f 1 X 1,1 ; X 1,2 ; ; X 1,1 Y 2 = f 2 X 2,1 ; X 2,2 ; ; X 2,2 Y m = f m X m,1 ; X m,2 ; ; X m, m model měřeí pro jedu výstupí veličiu: Y = f X 1 ; X 2 ; ; X model měřeí pro přímé měřeí: Y =X model měřeí pro jedu hlaví vstupí veličiu: Y 1 = f 1 X 1,1 =x 1,1 ; ; X 1, k1 = X 1, H ; ; X 1, 1 = x 1,1 = f 1 X 1, H Y 2 = f 2 X 2,1 =x 2,1 ; ; X 2, k 2 = X 2, H ; ; X 2,2 =x 2,2 = f 2 X 2, H Y m = f m X m,1 =x m,1 ; ; X m, k m = X m, H ; ; X m, m =x m, m = f m X m, H

36 Kvatitativí parametry měřeí Citlivostí koeficiet C udává velikost odezvy měřící sestavy a změu hodoty a vstupu (přičemž ostatí vstupí veličiy jsou bráy jako parametry). C j,i = Y j = f j X j, i X j, i X j,i Rozsah R výstupí veličiy je velikost itervalu, ve kterém se achází hodoty výstupí veličiy (obor hodot), odpovídající hodotám vstupí veličiy v itervalu všech možých hodot (defiičí obor). R j max =max { f j X j, H } ; R j mi =mi { f j X j, H } R j =R j max R j mi Rozlišeí měřeí r je rovo ejmeší detekovatelé změě hodoty výstupí veličiy, která je reakcí a miimálí změu vstupí veličiy. r j = f j X j, H mi j, H f j X j, H Počet rozlišitelých úroví k výstupí veličiy udává počet možých výsledků měřeí od miimálí hodoty (dolí mez) po maximálí hodotu (horí mez) s krokem rovým rozlišeí. k j = R j 1= R j r j r j r j Počet rozlišitelých pásem k' výstupí veličiy udává počet itervalů o velikosti rozlišeí, které tvoří celý rozsah. k ' j = R j r j

37 Pojem chyba a ejistota měřeí Přesost měřeí je těsost shody mezi aměřeou hodotou veličiy a pravou (kovečě pravou) hodotou. Kovečě pravá hodota měřeí je hodota výsledku měřeí, přiřazeá pro daý účel k veličiě kovecí (dohodou). Chyba měřeí je dáa algebraickým rozdílem mezi aměřeou hodotou a pravou hodotou. q=q q Děleí chyb měřeí podle charakteru výskytu: hrubé chyby systematické chyby áhodé chyby Nejistota měřeí určuje iterval, ve kterém se pravá hodota měřeí achází (obecě uto dodat s určitou pravděpodobostí ebo lépe spolehlivostí) q± q q= q max q mi 2 Mírou ejistoty měřeí je směrodatá odchylka daé hodoty. Takto vyjádřeá ejistota se skládá ze stadardí ejistoty typu A a stadardí ejistoty typu B, bývá proto ozačováa jako kombiovaá stadardí ejistota u.

38 Stadardí ejistota typu A Stadardí ejistota typu A je způsobea áhodými vlivy (příčiy jejího vziku jsou ezámé). Je staovea z opakovaých měřeí stejé hodoty za stále stejých podmíek statistickým přístupem (výpočtem směrodaté odchylky souboru aměřeých hodot). Je začea symbolem u A. Odhadem hodoty q ěkteré vstupí veličiy Q, vytvořeým a základě statisticky ezávislých pozorováí (měřeí), je aritmetický průměr: q j q= 1 j=1 Odhadem rozptylu aměřeých hodot je pak výběrová směrodatá odchylka: s q = 1 q j q 2 j=1 Výběrová směrodatá odchylka výběrových průměrů je dáa vztahem: q = s q 1 = 1 q 1 j q 2 j=1 Stadardí ejistota typu A je rova: u A q =k t q Koeficiet k t je korekčí faktor, zohledňující malý počet měřeí. Jeho hodoty jsou uvedey v tabulce: k t 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,7 2,3 7,0

39 Stadardí ejistota typu B Stadardí ejistota typu B je dáa zámými a odhadutelými příčiami. Určuje se též a základě statistického přístupu, ovšem jiým postupem ež statistickou aalýzou série měřeí. Je staovea odborým úsudkem a základě všech dostupých iformací o možé variabilitě této veličiy, o mezích chybách použité měřící techiky, o stavu prostředí, v ěmž měřeí probíhá a podobě. Je začea symbolem u B. Zdroje stadardí ejistoty typu B jsou: eúplé defiice měřeé veličiy údaje výrobců v techické dokumetaci a ormách údaje uváděé v kalibračích listech ebo jiých certifikátech zalosti a zkušeosti z používáí měřících přístrojů a zařízeí edostatečá zalost všech vlivů a měřeí epřesé změřeí referečích a pracovích podmíek hodoty kostat a parametrů získaých z vějších zdrojů drift a stabilita použitých měřicích přístrojů rozlišitelost měřicích přístrojů Základem je odhad mezích hodot daé veličiy: q q max ; q mi ; q max q mi =2 q Dále je provedea úvaha o typu rozděleí áhodé veličiy a je poměr mezí a směrodaté odchylky: = q q Stadardí ejistota typu B je rova: u B q = q

40 Zákoy šířeí ejistoty, rozšířeá ejistota Kombiovaá stadardí ejistota je rova: u q = u A 2 q u B 2 q Výsledá stadardí ejistota epřímého měřeí je dáa zákoem šířeí ejistoty v obecém tvaru: u 2 y j = C 2 j, i u 2 x j,i 2 i=1 i=1,k i Záko šířeí ejistoty v kvadratickém tvaru: u y j = i=1 2 C j,i u 2 x j, i C j,i C j, k u x j,i u x j, k r x j,i, x j, k Záko šířeí ejistoty v lieárím tvaru: u y j = C j, i u x j, i i=1 Rozšířeá ejistota měřeí: U y j =k U j u y j Koeficiety rozšířeí: k U =1.96 pro spolehlivost 95% k U =2.58 pro spolehlivost 99%

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více