Testování statistických hypotéz

Transkript

1 Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky ve tabletách léku hodý? Je obah NO 3- v pité vodě meší ež 15 mg/l? Je kocetrace kyeliy vyráběá jedím potupem jiá ež druhým potupem? Je rozptyl výledků taoveí Fe aším přítrojem meší ež hodota,55 uvedeá v ormě? Budeme e zabývat tetováím hypotéz o parametrech rozděleí základího ouboru (, ). Nebudeme e zabývat tety týkajícími e tvaru rozděleí. 1

2 Statitická hypotéza - jakýkoli předpoklad o rozděleí pravděpodoboti áhodé veličiy; týká e parametrů rozděleí áhodé veličiy (hoda tředích hodot či rozptylů) v základím ouboru ebo e může vztahovat k rozděleí áhodé veličiy. Tet tatitické hypotézy je pravidlo, které a základě výledků zjištěých z aměřeých hodot předepiuje rozhodutí, má-li být tetovaá hypotéza zamítuta či ikoli. Hypotézu, kterou chceme tetovat (rozhodout o í) azýváme ulová hypotéza H 0. Dále e defiuje alterativí hypotéza H 1,kteráepřijímá v případě zamítutí H 0. 3 Př.: vyráběá kyelia má mít kocetraci 90 %; to ověřujeme pomocí aalýzy vybraých vzorků kyeliy. Pro oboutraou alterativu : H 0 :µ=90 H 1 :µ 90. Pro jedotraou alterativu : H 0 :µ=90 H 1 :µ<90 H 0 :µ 90 H 1 : µ < 90. Při tetováí e vymezuje kritická hodota (ejčatěji v tabulkách kritických hodot) pro tetováí ulové hypotézy. Je-li výledek zjištěý tatitickým tetem meší ež kritická hodota, přijímáme H 0. Je-li výledek větší, pak e H 0 zamítá přijímá e H 1. 4

3 Potup při tetováí hypotéz 1. Formulace H 0 ah 1.. Volba hladiy výzamoti. 3. Výpočet tetovací charakteritiky a základě áhodého výběru (pocházejícího z ormálího rozděleí). 4. Nalezeí kritické hodoty (v tabulkách). 5. Rozhodutí o přijmutí čí zamítutí hypotéz. 5 Chyby při tetováí hypotéz Při rozhodováí o přijetí či epřijetí H 0 e můžeme doputit jedé ze dvou chyb: 1. Zamíteme H 0,kdyžvekutečoti platí chyba 1. druhu.. Přijmeme H 0,kdyžvekutečoti eplatí (platí tedy H 1 ) chyba. druhu. Chyba 1. druhu má pravděpodobot a ta je rova hladiě výzamoti tetu (v praxi ejčatěji 5 %). Chyba. druhu má pravděpodobot a její velikot obvykle ezáme. Čílo 1- e azývá íla tetu. 6 3

4 Chyby při tetováí hypotéz Rozhodováí Skutečot Přijímáme H 0 Zamítáme H 0 (přijímáme H 1 ) Platí H 0 O.K. Chyba 1. druhu Neplatí H 0 Chyba. druhu (platí H 1 ) O.K. 7 Tetováí právoti (Jedovýběrový t-tet o tředí hodotě) 4

5 Tet právoti Slouží k rozhodutí, zda tředí hodota áhodého výběru (= aritmetický průměr) je ebo eí rova ějaké kokrétí číelé hodotě (azývaé prává hodota), či zda je průměr meší ebo větší ež ějaké kokrétí hodota. Tetováím rozdílu průměru a právé hodoty zjišťujeme, jak velký je mezi imi rozdíl. Je-li meší ež kritická hodota, je vyvětlitelý pouze áhodými chybami a výledek považujeme za právý. Předpokladem je, že základí oubor i áhodý výběr mají ormálí rozděleí. 9 Tet právoti H:μ =x;h:μx 0 1 Je zám rozptyl : x z Srováváme kritickou ormálího rozděleí z (1-/). hodotou ormovaého Neí zám rozptyl : x t Srováváme kritickou hodotou t-rozděleí -1 tupi voloti t (1-/; -1). 10 5

6 Tet právoti Je-li vypočteá hodota t ebo z meší ež přílušá kritická hodota, přijímáme H 0. Je-li vypočteá hodota t ebo z větší ež kritická, zamítáme H 0 a přijímáme H 1. H0 H1 x x x x x x H 0 e zamítá, když: t > t krit (1-/; -1) t > t krit (1-; -1) t < t krit (; -1) 11 Tet právoti L 1, t x (1 /, 1) IS obahuje μ, ± odtraíme použitím abolutí hodoty. t x 1 6

7 Tet právoti v oftware základí přítupy: Použitím klaického tetu právoti, což je možé v případě plěí tatitických předpokladů (ZP: ormalita, homogeita). Aplikací itervalu polehlivoti: Pomocí EDA a ZP idetifikujeme vhodý itervalový odhad tředí hodoty (průměr, mediá, opraveý průměr po traformaci) a zjitíme zda prává hodota (μ) leží uvitř itervalu polehlivoti. 13 Tetováí hody tředích hodot (Dvouvýběrový t-tet rovoti tředích hodot dvou ouborů) 7

8 Tetováí hody tředích hodot Slouží k tetováí dvou průměrů vypočteých z 1 a taoveí. Využívá e apř.: Porováí výledků aalýzy vzorků pomocí jedé metody. Porováí výledků laboratoří (či metod) při opakovaé aalýze jedoho vzorku. Předpokládá e, že oba áhodé výběry jou a obě ezávilé a pocházejí z ormálího rozděleí! Předpoklad hody či ehody rozptylů je třeba ověřit pomocí F tetu hody rozptylů. 15 Tet hody tředích hodot pro 1 = t x x 1 1 ( 1 ) ( 1 1) 1 ( 1) 1 ( x1 x) t pro 1 = T 1 ( 1) ( 1) Vypočteé t rováváme t krit pro ( 1 + )tupňů voloti. 16 8

9 Tet hody tředích hodot pro 1 t ( x x ) T Vypočteé t e rovává t krit pro tupňů voloti. 1 ( ) ( / ) ( / ) Tet hodoti Je-li vypočteá hodota t meší ež přílušá kritická hodota pro přílušý počet tupňů voloti, přijímáme H 0. Je-li vypočteá hodota t větší ež kritická, zamítáme H 0 apřijímáme H 1. H H 0 1 x x x x 1 1 x x x x 1 1 x x x x 1 1 H 0 e zamítá, když: t > t krit (1-/) t > t krit (1-) t < t krit () 18 9

10 F-tet hody rozptylů Kromě tetů o hodotách parametrů 1rozděleí je v praxi čato potřeba porovávat ezámé hodoty parametrů mezi dvěma základími oubory. Dvouvýběrový Fiher-Sedecorův tet (zkráceě F- tet) louží k ověřeí hody rozptylů dvou základích ouborů. Ze základích ouborů N( 1, 1 ) a N(, ) provedeme áhodé výběry, o kterých předpokládáme, že jou ezávilé a počteme výběrové odhady rozptylů 1 a. F 1 19 F-tet hody rozptylů POZOR! F muí být vždy větší ež 1! Je-li vypočteá hodota F meší ež přílušá kritická hodota F-rozděleí, přijímáme H 0. Je-li vypočteá hodota F větší ež kritická, zamítáme H 0 apřijímáme H 1. H 0 H 1 H 0 e zamítá, když 1 = 1 F> F krit(1-1, -1) 1 1 > F> F krit( 1-1, -1) 1 1 < F< 1/F krit(-1, 1-1) 0 10

11 Tetováí hodoti v oftware Studetovy tety vycházejí z předpokladu ormálího rozděleí aalyzovaých ouborů. Pokud tato podmíka eí plěa, elze je použít. Obecý potup: 1. Ověřeí ormality obou výběrů (EDA, ZP).. Tetováí hody rozptylů. 3. Tetováí hody tředích hodot. 1 Tetováí hodoti v oftware TESTY SHODY ROZPTYLŮ H 0 : 1 = H 1 : 1 Klaický F-tet hody rozptylů oba výběry pocházejí z ormálího rozděleí. Robutí F-tet hody rozptylů propřípad, kdy jede ebo oba výběry ejou z ormálího rozděleí. Tety hody rozptylů e používají k rozhodováí, zda lze při tetováí hody tředích hodot vycházet z předpokladu rovoti rozptylů. 11

12 Tetováí hodoti v oftware TESTY SHODY STŘEDNÍCH HODNOT H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ T 1 Klaický Studetův t-tet pro hodé rozptyly ormálí rozděleí u obou výběrů. T Klaický Studetův t-tet pro růzé rozptyly ormálí rozděleí u obou výběrů. T 3 Modifikovaý Studetův t-tet pro odchylky od ormality v šikmoti. 3 Tetováí hodoti v oftware TESTY SHODY STŘEDNÍCH HODNOT T 4 Robutí tet pro homokedaticitu v čitateli jou uřezaé průměry a ve jmeovateli wiorizovaé oučty čtverců odchylek (obdoba rozptylu, ale bez poděleí počtem tupňů voloti) t x ( ) x 1 S w,1( ) S w ( ), ( ) 4 1

13 Tetováí hodoti v oftware TESTY SHODY STŘEDNÍCH HODNOT T 5 Robutí tet pro heterokedaticitu x t 1 ( ) x ( ) h w,1 1 h w, S ( ) i it( ), 100 w, i w, i a hi i pro i hi 1 Tety T 1 at jou použitelé pro výběry z ormálího rozděleí a jou i dotatečě robutívůči odchylkám od ormality ve špičatoti. Robutí tety T 4 at 5 jou výhodé pro aymetrická rozděleí a rozděleí výrazě vyšší špičatotí ež 3. V případě ormálího rozděleí však mají meší ílu ež tety T 1 at. 1,. 5 Párový tet (Párový t-tet rovoti tředích hodot dvou ouborů) 13

14 Párový tet Slouží k tetováí hody dvou tředích hodot pro závilé výběry tzv. párová data, apř.: Porováí metod pomocí aalýzy více ež vzorků. Srováí životích ákladů u těch amých oob v roce 005 a 006. Vliv léku a hladiu choleterolu před a po aplikaci u tejých (více ež ) pacietů. Statitické předpoklady: párové diferece (d i ) jou ezávilé ormálím rozděleím. 7 Párový tet Párový tet je v praxi obvykle formulová jako oboutraá alterativa : H:x=0; H:x 0 0 d 1 d t x d d kde x d je průměr a d je měrodatá odchylka párových diferecí. Vypočteé t rováváme kritickou hodotou Studetova rozděleí pro -1 tupňů voloti t krit (1-/; -1). Je-li t<t krit, platí H 0. Je-li t>t krit, platí H

15 Tet vylučováí odlehlých hodot Dea-Dixoův tet Za odlehlé považujeme výledky, které jou v érii paralelích měřeí zatížey hrubou chybou. Zkrelily by ám tatitické zpracováí dat a proto je muíme před aalýzou vyloučit. Dea-Dixoův tet je vhodý pro oubory do = 30. Výledky e eřadí podle velikoti a počítá e rozpětí R. x x R 1 Q1 a Q x Q 1 aq áledě rováme kritickou hodotou Q krit (, ). Je-li Q 1 ebo Q <Q krit, daé hodoty ejou odlehlé. Je-li Q 1 ebo Q >Q krit, daé hodoty jou odlehlé. x R

16 Grubbův tet Grubbův tet je vhodý pro oubory do = 100. Parametrický tet. Používáme parametry ouboru: průměr a měrodatou odchylku. 31 Grubbův tet Variata A Variata B Variata C T x x x x1 T1 x x1 TB Vypočteé T i rováme kritickou hodotou pro tupňů voloti T krit (, ).Je-liT i >T krit, daá hodota/ty je/jou odlehlé. Mezi tety vylučováí OB patří i tet modifikovaých vitřích hradeb! 3 16