Číselné charakteristiky náhodných veličin
|
|
- Milada Ševčíková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí chováí áhodé veličiy. Číselé charakteristiky vystihují pouze ěkteré rysy tohoto chováí, apř. popisují polohu realizací áhodé veličiy a číselé ose či jejich promělivost (variabilitu). Jsou jedodušší ež číselé charakteristiky, ale esou je částečou iformaci. Podobě jako v popisé statistice volíme vhodou číselou charakteristiku podle toho, jakého typu je daá áhodá veličia - zda je ordiálí ebo itervalová či poměrová. Číselé charakteristiky zaků mají své teoretické protějšky v číselých charakteristikách áhodých veliči. Číselé charakteristiky spojité áhodé veličiy aspoň ordiálího typu Charakteristika polohy : α-kvatil Nechť je spojitá áhodá veličia aspoň ordiálího typu s distribučí fukcí Φ() a hustotou pravděpodobosti φ(). Nechť α (0, ). Číslo K α (), které splňuje podmíku α = Φ(K α ()) = K () ( )d, se azývá α-kvatil áhodé veličiy. K 0,50 () - mediá, K 0,5 () - dolí kvartil, K 0,75 () - horí kvartil, K 0,0 (),..., K 0,90 () -. až 9. decil, K 0,0 (),..., K 0,99 () -. až 99. percetil. Kterýkoliv α-kvatil je charakteristikou polohy číselých realizací áhodé veličiy a číselé ose. Charakteristika variability: kvartilová odchylka q = K 0,75 () - K 0,5 ().
2 Ilustrace Ozačeí pro kvatily speciálích rozložeí ~ N(0, ) K α () = u α, ~ χ () K α () = χ α(), ~ t() K α () = t α (), ~ F(, ) K α () = F α (, ). Tyto kvatily ajdeme ve statistických tabulkách. Používáme vztahy: u α = - u -α, t α () = - t -α (), F α (, ) = F (, ).
3 Výzam kvatilu u 0,5 = -0,6745 Výzam kvatilu χ 0,95(8) = 5,5073
4 Výzam kvatilu t 0,90 (5) =,4759 7,3 8,8867 Výzam kvatilu F 0,05 (3,7) = 0, 5 F 0,95
5 Příklad: Nechť U ~ N(0, ). Pomocí systému STATISTICA ajděte mediá a horí a dolí kvartil. Prví možost: Použijeme Pravděpodobostí kalkulátor. Do okéka průměr apíšeme 0, do okéka Sm. Odch. apíšeme, do okéka p apíšeme pro mediá 0,5, pro dolí kvartil 0,5 a pro horí kvartil 0,75. V okéku se objeví 0 pro mediá, -0,67449 pro dolí kvartil a 0,67449 pro horí kvartil. Ilustrace pro horí kvartil: Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,75 a hodota distribučí fukce v bodě 0,67449 je 0,75 (začeo šrafovaě). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o třech proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa prví proměé apíšeme =VNormal(0,5;0;). Dostaeme 0. Do dlouhého jméa druhé proměé apíšeme =VNormal(0,5;0;). Dostaeme -0, Do dlouhého jméa třetí proměé apíšeme =VNormal(0,75;0;). Dostaeme 0,67449.
6 Příklad: Nechť ~ N(3, 5). Pomocí systému STATISTICA ajděte dolí kvartil. Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí Normálí. Do okéka průměr apíšeme 3, do okéka Sm. Odch. apíšeme,36, do okéka p apíšeme 0,5 a v okéku se objeví,498. Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VNormal(0,5;3;sqrt(5)). Dostaeme, Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete χ 0,05(5). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí Chi. Do okéka sv. apíšeme 5 a do okéka p apíšeme 0,05. V okéku Chi se objeví 3,97. Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VChi(0,05;5). Dostaeme 3,97.
7 Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete t 0,99 (30) a t 0,05 (4). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí t (Studetovo). Do okéka sv. apíšeme 5 (resp. 4) a do okéka p apíšeme 0,99 (resp. 0,05). V okéku t se objeví,4576 (resp. -,7630). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a jedom případu. Do dlouhého jméa této proměé apíšeme =VStudet(0,99;30) (resp. VStudet(0,05;4)). Dostaeme 3,97 (resp. -,763). Příklad: Pomocí systému STATISTICA určete F 0,975 (5, 0) a F 0,05 (, 0). Prví možost: Spustíme Pravděpodobostí kalkulátor, vybereme Rozděleí F (Fisherovo). Do okéka sv apíšeme 5 (resp. ), do okéka sv apíšeme 0 (resp. 0) a do okéka p apíšeme 0,975 (resp. 0,05). V okéku F se objeví 3,89056 (resp. 0,0556). Druhá možost: Otevřeme ový datový soubor o jedé proměé a dvou případech Do dlouhého jméa prví proměé apíšeme =VF(0,975;5;0), do dlouhého jméa druhé proměé apíšeme =VF(0,05;;0).Dostaeme 3,89 (resp. 0,0556).
8 Číselé charakteristiky diskrétích a spojitých áhodých veliči aspoň itervalového typu Charakteristika polohy: středí hodota E() číslo, které charakterizuje polohu realizací áhodé veličiy a číselé ose s přihlédutím k jejich pravděpodobostem. Diskrétí případ: áhodá veličia má pravděpodobostí fukci π(). Středí hodota E, pokud je suma vpravo koečá. Fyzikálí výzam: středí hodota je těžiště soustavy hmotých bodů, jejichž celková hmotost je a bod o souřadici má hmotost π(). Spojitý případ: áhodá veličia má hustotu pravděpodobosti φ(). Středí hodota E d, pokud je itegrál vpravo koečý. Fyzikálí výzam: středí hodota je těžiště hmoté přímky, jejíž celková hmotost je a hmota je a přímce rozprostřea podle předpisu φ (). Cetrovaá áhodá veličia: Y = - E(). (Pro áhodou veličiu Y platí: E(Y) = 0.)
9 Středí hodota trasformovaé áhodé veličiy Y = g() E Y g g d - Středí hodota trasformovaé áhodé veličiy Y = g(, ) E Y g g,,,, d d
10 Charakteristika variability: rozptyl D() - číslo, které charakterizuje promělivost realizací áhodé veličiy kolem její středí hodoty s přihlédutím k jejich pravděpodobostem. Defiičí vzorec: D E E (rozptyl je středí hodota kvadrátu cetrovaé áhodé veličiy). Výpočetí vzorec: D - D Směrodatá odchylka - d - E d E (rozptyl je středí hodota kvadrátu míus kvadrát středích hodot). D - vyjadřuje průměrou variabilitu realizací áhodé veličiy kolem její středí hodoty. E Stadardizovaá áhodá veličia: Z D (Pro áhodou veličiu Z platí: E(Z) = 0, D(Z) =.)
11 Příklad a výpočet středí hodoty a rozptylu diskrétí áhodé veličiy: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobostí 0,8. Náhodá veličia udává počet zkoušeých přístrojů. Vypočtěte středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy. Řešeí: abývá hodot,, 3, 4 a její pravděpodobostí fukce je π() = P(=) = 0,, π() = P(=) = 0,8*0, = 0,6, π(3) = P(=3) = 0,64*0, = 0,8, π(4) = P(=4) = 0,5*0, + 0,64 = 0,5, π(0) = 0 jiak E() = *0, + *0,6 + 3*0,8 + 4*0,5 =,95 D() = *0, + *0,6 + 3 *0,8 + 4 *0,5,95 =,4697
12 Postup ve STATISTICE: Otevřeme ový datový soubor o dvou proměých a cetost a čtyřech případech. Do proměé apíšeme,, 3, 4, do proměé cetost apíšeme 00, 60, 8, 5. Statistiky Základí statistiky/tabulky Popisé statistiky OK zavedeme proměou vah cetost OK - Proměé OK Detailí výsledky - zaškrteme Průměr, Rozptyl Výpočet. Popisé statistiky (Tabulka) Proměá N platých Průměr Rozptyl 000,95000,4767 Rozptyl však musíme upravit, musíme ho přeásobit číslem 999/000. Do výstupí tabulky tedy přidáme za proměou Rozptyl ovou proměou a do jejího Dlouhého jméa apíšeme =v3*999/000 Popisé statistiky (Tabulka) Proměá N platých Průměr Rozptyl NProm 000,95000,4767,469696
13 Středí hodoty a rozptyly vybraých diskrétích a spojitých rozložeí ~ Dg(μ) E() = μ, D() = 0 ~ A( ) E() =, D() = (- ) ~ Bi(, ) E() =, D() = (- ) ~ Ge E, D M ~ Hg N,M, E, N ~ Po E, D ~ Rd G E, D a b E, D ~ Rs(a, b) E() = ~ E D, D() = M N b a M N N N ~ N(μ, σ ) E() = μ, D() = σ ~ E, D ~ t E 0 pro (pro středí hodota eeistuje), ~ F, E,,3,4 rozptyl eeistuje). pro 3 (pro, středí hodota eeistuje), D D pro 3 (pro, rozptyl eeistuje). 4 pro 5 (pro
14 Čebyševova erovost: Jestliže áhodá veličia má středí hodotu E() a rozptyl D(), pak t 0 : P E t D. t (Výzam: pokud ezáme rozložeí áhodé veličiy, ale záme její středí hodotu a rozptyl, pak můžeme odhadout pravděpodobost, s jakou se od své středí hodoty odchýlí o více ež t-ásobek své směrodaté odchylky.) Ilustrace:
15 Příklad: Nechť E() = μ, D() = σ. a) Odhaděte P 3. b) Jestliže ~ N(μ, σ ), vypočtěte P 3 Řešeí: ad a) P 3 0, (Teto výsledek je zám jako pravidlo 3σ a říká, že ejvýše,% realizací áhodé veličiy leží vě itervalu (μ - 3σ, μ + 3σ).) ad b) P 3 = P(-3σ μ 3σ) = P(-3 3) = Φ(3) + Φ(-3) = [ - Φ(3)] = = ( 0,99865) = 0,007. (Má-li áhodá veličia ormálí rozložeí, pak pouze 0,7% realizací leží vě itervalu (μ - 3σ, μ + 3σ).)
16 Charakteristika společé variability: kovariace C(, ) číslo, které charakterizuje variabilitu realizací dvou áhodých veliči, kolem jejich středích hodot s přihlédutím k pravděpodobostem těchto realizací. Defiičí vzorec: C, E E E (kovariace je středí hodota součiu cetrovaých áhodých veliči). C, E E E Výpočetí vzorec: středích hodot). (kovariace je středí hodota součiu míus souči C,,, - d d d d Výzam kovariace: Je-li kovariace kladá (záporá), pak to svědčí o eisteci jistého stupě přímé (epřímé) lieárí závislosti mezi realizacemi áhodých veliči,. Je-li kovariace ulová, pak říkáme, že áhodé veličiy, jsou ekorelovaé a zameá to, že mezi jejich realizacemi eí žádý lieárí vztah. Pozor z ekorelovaosti evyplývá stochastická ezávislost, zatímco ze stochastické ezávislosti plye ekorelovaost.
17 Charakteristika těsosti lieárího vztahu: koeficiet korelace R(, ) - číslo, které charakterizuje těsost lieárí závislosti realizací áhodých veliči,. Čím bližší je, tím těsější je přímá lieárí závislost, čím bližší je -, tím těsější je epřímá lieárí závislost. Defiičí vzorec: R, E E D E D pro kladé směrodaté odchylky, jiak klademe R(, ) = 0 (koeficiet korelace je středí hodota součiu stadardizovaých áhodých veliči). Výpočetí vzorec: odchylek). R, C, D D (koeficiet korelace je podíl kovariace a součiu směrodatých
18 Příklad a výpočet koeficietu korelace diskrétího áhodého vektoru: Náhodá veličia udává příjem mažela (v tisících dolarů) a áhodá veličia Y příjem maželky (v tisících dolarů. Je záma simultáí pravděpodobostí fukce π(,y) diskrétího áhodého vektoru (,Y): π(0,0) = 0,, π(0,0) = 0,04, π(0,30) = 0,0, π(0,40) = 0, π(0,0) = 0,, π(0,0) = 0,36, π(0,30) = 0,09, π(0,40) = 0, π(30,0) = 0, π(30,0) = 0,05, π(30,30) = 0,, π(30,40) = 0, π(40,0) = 0, π(40,0) = 0, π(40,30) = 0, π(40,40) = 0,05, π(,y) = 0 jiak. Vypočtěte koeficiet korelace příjmů mažela a maželky. Řešeí: Náhodá veličia i áhodá veličia Y abývají hodot 0, 0, 30, 40. Sestavíme kotigečí tabulku: Y ,0 0,04 0,0 0,00 0,5 0 0,0 0,36 0,09 0,00 0, ,00 0,05 0,0 0,00 0,5 40 0,00 0,00 0,00 0,05 0,05 y 0,30 0,45 0,0 0,05,00 Spočteme E() = 0.0,5+0.0, ,5+40.0,05 = 0, E(Y) = 0.0,30+0.0, ,0+40.0,05 = 0, D() = 0.0,5+0.0, ,5+40.0,05 0 = 60, D(Y) = 0.0,30+0.0, ,0+40.0,05 0 = 70, C(,Y) = 0.0.0, , , = 49, R(,Y) = 49/ = 0,76.
19 Postup ve STATISTICE: Vytvoříme ový datový soubor o třech proměých, Y, cetost a 6 případech. Do proměé apíšeme 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 30, 30, 30, 30, 40,40 40, 40, do proměé Y 4 pod sebe 0, 0, 30, 40 a do proměé cetost 0, 4,, 0, 0, 36, 9, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 5. Statistiky - Základí statistiky/tabulky zavedeme proměou vah cetost OK - Korelačí matice OK sezam proměých, Y OK. Korelace (Tabulka6) Oz ač. korelace jsou výzamé a hlad. p <,05000 N=00 (Celé případy v yecháy u ChD) Proměá Průměry Sm.odc h. Y Y 0, ,784989, , , , ,756086,000000
20 Vlastosti středí hodoty a) E(a) = a b) E(a + b) = a + be() c) E( E()) = 0 d) E i i = i E ( i ) e) Jsou-li áhodé veličiy,..., stochasticky ezávislé, pak E i Vlastosti kovariace a) C(a, ) = C(, a ) = C(a, a ) = 0 b) C(a + b, a + b ) = b b C(, ) c) C(, ) = D() d) C(, ) = C(, ) e) C(, ) = E( ) E( )E( ) f) C i m i, Y j = m j i j C ( i,yj) i = i E ( i )
21 Vlastosti rozptylu a) D(a) = 0 b) D(a + b) = b D() c) D() = E( ) - E () d) D i i i = D ( i ) ) i i ) C(i, j) i j i D ( (jsou-li áhodé veličiy,..., ekorelovaé, pak D i Vlastosti koeficietu korelace a) R(a, ) = R(, a ) = R(a, a ) = 0 b) R(a + b, a + b ) = sg(b b ) R(, ) c) R(, ) = pro D() 0, R(, ) = 0 jiak d) R(, ) = R(, ) e) R(, ) = C( D( 0 jiak ), ] D( pro ) D( ) D( ) 0 i = f) R(,) a rovost astae tehdy a je tehdy, když mezi veličiami, eistuje s pravděpodobostí úplá lieárí závislost, tj. eistují kostaty a, a tak, že P( = a + a ) =. (Uvedeá erovost se azývá Cauchyova Schwarzova Buňakovského erovost.)
22 Příklad a využití vlastostí číselých charakteristik: Náhodé veličiy, Y jsou áhodé chyby, které vzikají a vstupím zařízeí. Mají středí hodoty E() = -, E(Y) = 4 a rozptyly D() = 4, D(Y) = 9. Koeficiet korelace těchto chyb je R(,Y) = -0,5. Chyba a výstupu zařízeí souvisí s chybami a vstupu fukčí závislostí Z = 3 Y + Y - 3. Najděte středí hodotu chyby a výstupu. Řešeí: E(Z) = E(3 Y + Y 3) = 3E( ) E(Y) + E(Y ) E(3) = = 3{D() + [E()] } [C(,Y) + E()E(Y)] + D(Y) + [E(Y)] 3 = = 3[D() + [E()] ] [R(,Y) D () D(Y) + E()E(Y)] + D(Y) + [E(Y)] - 3 = 3(4 + 4) -[-0,5 3 + (-) 4] = = 68
23 Cetrálí limití věta: Jsou-li áhodé veličiy,, stochasticky ezávislé a všechy mají stejé rozložeí se středí hodotou μ a rozptylem σ, pak pro velká ( 30) lze rozložeí součtu i N,. i i i aproimovat ormálím rozložeím N(μ, σ ). Zkráceě píšeme i i Pokud součet i stadardizujeme, tj. vytvoříme áhodou veličiu U, pak rozložeí této áhodé veličiy lze aproimovat stadardizovaým ormálím rozložeím. Zkráceě píšeme U i N(0,) Normálí rozložeí je tedy rozložeím limitím, k ěmuž se blíží všecha rozložeí, proto hraje velmi důležitou roli v počtu pravděpodobosti a matematické statistice.
24 Ilustrace cetrálí limití věty: Uvažme stochasticky ezávislých áhodých veliči,,, přičemž každá z ich má rovoměré spojité rozložeí a itervalu (0,), tj. i ~ Rs(0,), i =,,. Protože E i a D i, podle cetrálí limití věty áhodá veličia U i i i i N 0,. Položíme-li =, pak U i 6 N 0,. i Při ilustraci působeí cetrálí limití věty a počítači postupujeme tak, že pro každou z veliči i ~ Rs(0,), i =,, vygeerujeme dostatečě velký počet realizací, apř. 000 a uložíme je do proměých v až v. Do proměé v 3 uložíme součet proměých v až v zmešeý o 6. Histogram kterékoliv proměé v až v se svým tvarem bude blížit obdélíku, zatímco histogram proměé v 3 se svým tvarem bude blížit Gaussově křivce.
25 Důsledkem cetrálí limití věty je Moivreova Laplaceova věta: Nechť,, jsou stochasticky ezávislé áhodé veličiy, všechy se řídí alterativím rozložeím A( součet i i ). Pak jejich Y má biomické rozložeí Bi(, ). Středí hodota veličiy Y je E(Y ) =, rozptyl je D(Y ) = (- ). Podle cetrálí limití věty se stadardizovaá áhodá veličia rozložeím N(0,). Y asymptoticky řídí stadardizovaým ormálím Aproimace se považuje za vyhovující, když jsou splěy podmíky: a (- ) 9. Na základě Moivreovy Laplaceovy věty se používá aproimativí vzorec, který složitý výpočet distribučí fukce biomického rozložeí ahrazuje jedoduchým hledáím v tabulkách hodot distribučí fukce stadardizovaého ormálího rozložeí. Máme áhodou veličiu Y ~ Bi(, ). Pak y y pravděpodobostí fukce P Y y pro y = 0,,,, y distribučí fukce Aproimativí vzorec: t 0 y y t t P Y y P Y t - složitý výpočet t 0 y P(Y y). ( ) t
26 Příklad a aplikaci Moivreovy Laplaceovy věty: 00 ezávisle a sobě hodíme hrací kostkou. Jaká je pravděpodobost, že šestka pade aspoň 0? Řešeí: Y 00 počet šestek ve 00 hodech, Y 00 ~ Bi(00, 6 ). Ověřeí podmíek dobré aproimace: a (- ) a 00 6 Aproimativí výpočet: 0,66-6 0, , Y00 9 P Y P Y00 9 P P U , ,66 Přesý výpočet: P Y 00 0 P Y 00 9 t t 6 t t 0,975
27 Příklad a aplikaci Moivreovy Laplaceovy věty: Osobě prohlašující, že má proutkařské schoposti, předložíme 00 dvojic zakrytých ádob. V každé dvojici je jeda ádoba prázdá a druhá aplěá vodou. Výsledky proutkaře srováme s výsledky hypotetické osoby, která pracuje zcela áhodě. Nechť áhodá veličia Y 00 udává počet úspěšě idetifikovaých dvojic ádob. Jaká je pravděpodobost, že Y 00 překročí přirozeé číslo y, y = 0,,, 00? Řešeí: Je zřejmé, že Y 00 ~ P Y 00 y P Y 00 y Bi 00,. P Y ,5 00 0,5 0,5 y = 50: P Y ,5 0, 5 y = 55: P Y ,8434 0, 5866 y = 60: P Y ,9775 0, 075 y = 65: Y , , 0035 P 00 y ,5 0,5 0,5 P Y y 50 5 y 50 5 Ilustrace: závislost, P Y 00 y a y,0 0,8 0,6 p 0,4 0, 0,0-0, y
Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VícePravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
VíceParametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti
1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceCvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
Více} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy
Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,
VíceDynamická pevnost a životnost Statistika
DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
Více1. Základy počtu pravděpodobnosti:
www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více