ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 5/ Určování astronomických zeměpisných souřadnic a azimutu z měření na Slunce školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 2 NG1-90 Jan Dolista, Radka Junová 9. 5. 2011 Rudolf Šrutka
Zadání: Určování astronomických zeměpisných souřadnic a azimutu z měření na Slunce 1. Z měřených zenitových vzdáleností Slunce a časů určete zeměpisnou šířku stanoviska. Zeměpisnou délku získáte výpočtem ze souřadnic pilíře na střeše budovy B, kde se měření uskuteční. Pro opravu z astronomické refrakce je nezbytné zjišťovat teplotu a atmosférický tlak. Údaje potřebné pro převody časů hledejte na http://maia.usno.navy.mil/. 2. Z měřených vodorovných směrů na Slunce a zvolený trigonometrický bod a registrovaných časů určete směrník vybraného pozemního cíle v S-JTSK. Číselné zadání: X [m] Y [m] Pilíř č.4 ve směru od kopule 1040891.676 744945.041 Hradčany, chrám sv. Víta 1042459.180 744233.460 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Určení zeměpisné šířky 1.1 Měření Měření bylo provedeno 22.3.2011. Použit byl teodolit Zeiss Theo 010 (č. 801286). Měřeny a zapisovány byly zenitové úhly a okamžiky měření. Časy byly měřeny pomocí pracovních stopek, kteé byly synchronizovány se středoevropským časem SEČ pomocí hodin řízených radiovým signálem. Každý člen měřil zenitové úhly dle schematu: 3x spodní okraj Slunce v I.poloze 3x spodní okraj Slunce v II.poloze 3x horní okraj Slunce v II.poloze 3x horní okraj Slunce v I.poloze Pozn.: Pořadí měření na spodní a horní okraj mohlo být zaměněno. V průběhu měření byla několikrát zaznamenána teplota a tlak. Teplota byla zaznamenávána častěji neboť se rychleji měnila. Hodnoty jsou uvedeny v přiložených zápisnících. 1.2 Vyhledání hodnot v tabulkách Nejprve byl v astronomických tabulkách vyhledán greenwichský hvězdný čas pro světovou půlnoc daného dne. S 0 = 11 h 56 m 37.218 s Dále byla vyhledána rektascenze a deklinace pro datum měření a vypočteny 1. diference a to vždy jedna zpět a dvě následující k datu měření. Hodnoty rektascenze a deklinace jsou v tabulkách uvedeny v kroku 1 den a to vždy pro 0h terestrického času TČ. α 0 I 0.5 I +0.5 I +1.5 δ 0 I 0.5 I +0.5 I +1.5 0 h 3 m 44.5 s 3 m 38.7 s 3 m 38.5 s 3 m 38.5 s 0 24 19 23 42 23 41 23 39
1.3 Převod okamžiku měření ze SEČ na TČ Pro interpolaci v tabulkách bylo nutné převést okamžiky měření ze SEČ na čas terestrický, pro který jsou hodnoty tabelovány. Nejprve byly časy měření převedeny na časy UTC: a ty následně převedeny na čas terestrický TČ: UT C = SEC 1 h T C = UT C + 34 s + 32.184 s kde 34 s je rozdíl mezi koordinovaným časem UTC a atomovým časem TAI 32.184 s je rozdíl mezi atomovým časem TAI a dynamickým časem TČ 1.4 Interpolace v astronomických tabulkách Pro Slunce byly vyinterpolovány souřadnice α, δ pro každý okamžik měření. Použit byl Besselův interpolační polynom 2.stupně. Kromě 1.diferencí získaných z tabulek bylo tedy nutné dopočítat 2.diference 0 = I +0.5 I 0.5 +1 = I +1.5 I +0.5 a jejich průměr +0.5 = 1 ( ) 0 + +1. 2 Rektascenze Slunce v okamžiku pozorování je pak dána vztahem: resp. deklinace v okamžik pozorování: α = α 0 + n I +0.5 + 1 n(n 1) II +0.5 2 δ = δ 0 + n I +0.5 + 1 n(n 1) II 2 +0.5, kde n = T C 1.5 Hodinový úhel v okamžiku měření Pro každý z okamžiků měření zenitové vzdálenosti byl určen hodinový úhel s použitím rektascenze vyinterpolované pro střed intervalu měření: t = S 0 + (UT C + DUT 1) (1 + μ) + λ α, kde DUT 1 = 200.6907 ms je rozdíl mezi rotačním časem UT1 a koordinovaným časem UTC získaný z Bulletinu B 1 + μ = 1.0027379093 je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem λ je zeměpisná délka pilíře spočtená ze souřadnic v programu Matkart 1.6 Převod čtení v II. poloze Pro měření byl použit stroj se setinným dělením kruhu, tedy: Pro čtení v I. poloze platí: z = 400 g o II z = o I Zenitové vzdálenosti z byly zároveň převedeny z grádů na stupně.
1.7 Oprava o refrakci, denní aberaci a paralaxu Zenitové vzdálenosti byly opraveny o refrakci: R = ( 60.27 tan z 0.07 tan 3 z ) kde t je teplota v okamžiku měření v C b je atm. tlak v mbar o denní paralaxu: π = π 0 sin z kde π 0 = 8.794 je horizontální rovníková paralaxa Sluce o denní aberaci: b 1048.6 z = 0.32 cos φ sin a cos z kde φ je zem. šířka pilíře určená ze souřadnic v programu Matkart a je astronomický azimut určený z nautického trojúhelníka: ( ) sin t cos δ a = arcsin sin z Opravená zenitová vzdálenost pak je: 1.8 Určení zeměpisné šířky φ Z nautickeho trojúhelníka platí kosinová věta: 1.8.1 Zavedení substitucí Do kosínové věty jsou zavedeny substituce: z = z + R + π + z cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos t sin δ = m sin M cos δ cos t = m sin M 1.0342 1 + 0.00367 t Po umocnění obou výrazů a jejich sečtení lze ze substitucí vyloučit proměnnou M a tedy vyjádřit neznámou m: m = sin 2 δ + cos 2 δ cos 2 t Obdobně lze poměrem obou substitucí vyloučit proměnnou m a získat výraz pro proměnnou M: tan δ tan M = cos t Dosazením substitucí do kosínové věty je získán výraz: cos z = m sin M sin φ + m cos M cos φ Aplikací součtového vzorce je získán výraz: cos z = cos(φ M) m Následně je pak vyjádřena zeměpisná šířka: φ = M + arccos ( ) cos z m Z daného vztahu byla určena zeměpisná šířka pro každou z dvojic měřená zenitová vzdálenost - hodinový úhel (závislý na okamžiku měření). Výsledná zeměpisná šířka určovaného bodu byla určena aritmetickým průměrem dílčích výsledků a to nejprve zvlášť pro každého člena skupiny a následně pro celou skupinu.
1.9 Číselné výsledky φ měření Dolista Junová Šrutka 1 50 30 37.289 49 43 02.469 50 26 57.927 2 50 30 02.146 49 42 53.361 50 33 36.487 3 50 30 21.058 49 43 04.666 50 26 43.582 4 50 31 59.894 49 44 58.684 50 28 06.936 5 50 31 57.052 49 45 10.157 50 28 10.578 6 50 31 48.310 49 45 26.303 50 28 03.070 7 49 43 29.531 50 29 49.109 49 39 43.239 8 49 43 42.484 50 29 39.619 49 46 35.925 9 49 43 51.595 50 29 43.899 49 46 50.319 10 49 42 01.605 50 27 40.243 49 38 37.643 11 49 42 07.283 50 27 41.462 49 45 20.142 12 49 42 10.832 50 27 33.737 49 52 07.615 průměr 50 07 00.757 50 06 23.642 50 06 44.455 Průměrná zeměpisná šířka určovaného bodu za skupinu: φ = 50 06 42.951 Zeměpisná šířka bodu určená ze souřadnic: φ = 50 06 16.281 1 - Jan Dolista, 2 - Radka Junová, 3 - Rudolf Šrutka, 4 - průměr, 5 - ze souřadnic
2 Určení azimutu 2.1 Měření Měření bylo provedeno 22.3.2011. Použit byl opět přístroj Zeiss Theo 010 (č. 801286), pomocí kterého byly měřeny vodorovné směry na kostel a Slunce. Ke směrům na Slunce byly rovněž registrovány časy měření, k tomu byly použity ruční stopky synchronizované s hodinanmi řízenými radiovým signálem. Každý z členů skupiny zaměřil dvě jednotky dle schematu: vodorovný směr na kostel v I.poloze vodorovný směr na levý okraj Slunce v I.poloze vodorvný směr na pravý okraj Slunce v II.poloze vodorovný směr na levý okraj Slunce v I.poloze vodorvný směr na pravý okraj Slunce v II.poloze vodorovný směr na kostel v II.poloze Mezi I. a II.polohou při měření na Slunce musel být dodržen maximální časový odstup 2 minuty. 2.2 Zpracování zápisníku Pro měření byl použit zápisník astronomické orientace na Slunce, který byl spočten dle pokynů v záhlaví. Nejprve byl vypočten průměr z měření v I. a II.poloze a také průměr z časů měření v I. a II.poloze. Výpočtem průměru z I. a II.polohy měření na Slunce byl vodorovný směr vztažen ke středu Slunce ačkoliv měření bylo prováděna na jeho levý, resp. pravý okraj. Díky tomu mohla být dále použita rektascenze a deklinace uváděná v astronomických tabulkách. Následně byl jako rozdíl dvou směrů vypočten vodorovný úhel ω mezi kostelem a středem Slunce. 2.3 Hodinový úhel v okamžiku měření Hodinový úhel byl spočten stejným způsobem jako při určování zeměpisné šířky a to včetně převodu časů a interpolace v astronomických tabulkách (viz. kap. 1.2-1.5). 2.4 Určení azimutu A Azimut Slunce se spočte z nautického trojúhelníka jako: ( ) a sin t cos δ = arctan sin φ cos δ cos t cos φ sin δ kde φ je zem. šířka pilíře spočtená ze souřadnic v programu Matkart Takto určený azimut byl opraven o denní aberaci (denní paralaxa je zanedbatelná): δa = 0.32 cos φ cos a cos z kde z je zenitová vzdálenost spočtená z nautického trojúhelníka: ( ) sin t cos δ z = arcsin sin a Azimut Slunce opravený o denní aberaci je pak: Azimut věže kostela A se spočte jako: a = a + δa A = 180 + a + ω kde ω je vodorovný úhel mezi věží kostela a středem Slunce.
2.5 Určení směrníku σ Výsledný směrník je pak určen vztahem: σ = A 180 + c + 10 kde c = 7 51 29.1322 je meridiánová konvergence, která byla spočtena v programu Matkart 10 je rozdíl mezi astronomickým a geodetickým poledníkem 2.6 Číselné výsledky σ P 4,V it měření Dolista Junová Šrutka 1 335 48 19.898 335 34 37.141 335 34 49.395 2 335 34 46.909 335 34 45.315 335 34 51.803 3 335 34 50.968 335 07 48.023 335 23 53.484 4 335 34 49.317 335 34 50.014 335 34 45.123 průměr 335 34 49.065 335 34 44.157 335 34 48.774 Pozn.: Hodnoty zvýrazněné tučně byly z výpočtu průměru vyloučeny kvůli velké odlehlosti od ostatních hodnot. Průměrný směrník z pilíře č.4 na chrám sv.víta za skupinu: σ = 335 34 47.331 Směrník určený ze souřadnic: σ = 335 35 02.206 Závěr: Z měření zenitových vzdáleností na Slunce a časů měření byla vypočtena zeměpisná šířka stanoviska. Průměrná hodnota z měření celé skupiny je 50 06 42.951. Hodnota určená ze souřadnic pilíře je 50 06 16.281. Dosažený rozdíl tedy činí 26.670. Dílčí výsledky každého z členů skupiny jsou uvedeny v technické zprávě včetně zobrazení bodů v mapě. Z měřených vodorovných směrů na Slunce a věž kostela a časů měření byl vypočten směrník stanoviska a chrámu sv. Víta. Výsledná hodnota byla spočtena jako průměr z měření všech členů skupiny, tj. 335 34 47.331. Směrník určený ze souřadnic má hodnotu 335 35 02.206. Rozdíl tedy činí 14.875. V Praze 4.5.2011 Jan Dolista Radka Junová Rudolf Šrutka